江苏省如皋中学2019-2020学年高一下学期阶段考试数学试题

2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一下学期6月第四次阶段考试数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，26a =-，公差2d =，则12a =（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果． 【详解】∵等差数列{}n a 中，26a =-，公差2d =，∴1221062014d a a =+=-+=． 故选：C ． 【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出12a 的值，属于简单题．2．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是m n +=（ ）A ．3B ．17-C ．2D ．3或17-【答案】A【解析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行线间的距离求出m ，从而可得m n +的值. 【详解】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行， 则两条直线的斜率相等，即4n =-，又直线间的距离为=7m =，所以3m n +=. 故选：A 【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.3．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是( ) A ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若m α⊂，//n α，则//m n 【答案】D【解析】利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A 、B 、C 都不正确，只有D 正确，从而得到结论． 【详解】由于平面α和共面的直线m ，n ，若m ，n 与α所成的角相等，则直线m ，n 平行或相交，故A 不正确． 若//m α，//n α，则，则共面直线m ，n 平行或相交，故B 不正确． 若m α⊥，m n ⊥，则n 与平面α平行或n 在平面α内，故C 不正确．若m α⊂，//n α，根据直线m ，n 是共面的直线，则一定有//m n ，故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题． 4．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2或k ≤34B ．34≤k ≤2 C ．k ≥34D ．k ≤2【答案】A【解析】试题分析：因为2AP k =，34BP k =，结合图象可知，当2AP k k ≥=或34BP k k ≤=时，则直线l 与线段AB 相交，故选A ．【考点】直线的斜率．5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，23a =，()231nn n n a a a +=+-，则2n S =( )A ．422n n+- B ．44233n n -+-C ．422n n ++D ．42n n +【答案】A【解析】先由数列的递推关系可得当n 为奇数时，22n n a a +=，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当n 为偶数时，24n n a a +=，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列前n 项和的求和公式求解即可. 【详解】解：由11a =，23a =，()231nn n n a a a +=+-，当n 为奇数时，22n n a a +=，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列； 当n 为偶数时，24n n a a +=，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，所以()2314124221214n n n n n S S S --+=+-==-+-奇偶， 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列前n 项和的求和公式，重点考查了等比数列的判断，属基础题. 6．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．120 B ．150C ．180D ．240【答案】C【解析】【详解】试题分析：圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和,根据题意有侧面积是底面积的2倍.又因为圆锥的侧面展开图是扇形,其圆心角0α>,半径为,且其弧长等于圆锥底面周长,所以,根据扇形面积公式有22122R r απ=,代入,得.即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为180，故选C.【考点】圆锥侧面展开图,扇形面积与圆心角. 7．设直线())*12nx n y n N ++=∈与两坐标轴围成的三角形面积为n S ，则1220192020S S S S ++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．20172018B ．20182019C ．20192020D ．20202021【答案】D【解析】分别求出直线*(1)2()nx n y n N ++=∈与两坐标轴的交点，即2，2(，则111(1)1n S n n n n ==-++，然后分别代入1，2，⋯，2020，最后求和即可． 【详解】分别令0x =和0y =，得到直线*(1)2()nx n y n N ++∈与两坐标轴的交点2，2( 则1221112(1)1n S n n n n ===-++，然后分别代入1，2，⋯，2020， 则有1232020111111112233420202021S S S S +++⋯+=-+-+-+⋯+- 12020120212021=-=． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线方程的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从()2,0A 出发，河岸线所在直线方程40x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．10 B ．251- C ．25 D ．101-【答案】B【解析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短． 【详解】设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选:B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．二、多选题9．以直线240x y +-=与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ）A ．22(4)20x y +-=B ．22(4)20x y -+=C ．22(2)20x y +-=D ．22(2)20x y -+=【答案】AD【解析】先求出直线240x y +-=与坐标轴的交点，然后求出两交点距离即圆的半径，然后分别以,A B 为圆心写出圆的标准方程. 【详解】解：令0x =，则4y =；令0y =，则2x =.所以设直线240x y +-=与两坐标轴的交点分别为()()0,4,2,0A B.AB ==以A 为圆心，过B 点的圆的方程为：()22420x y +-=.以B 为圆心，过A 点的圆的方程为：()22220x y -+=. 故选：AD. 【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题. 10．下列说法中正确的是（ ）A ．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD【解析】由两直线平行于y 轴排除A ；根据直线平行或不平行于坐标轴，可确定方程均可以表示出来，知B 正确；整理得到圆的标准方程，进而确定圆心和半径，排除C ；由直线不过第二象限可构造不等式组求得结果，知D 正确. 【详解】对于A ，若两条直线均平行于y 轴，则两条直线斜率都不存在，A 错误； 对于B ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为112121y y x x y y x x --=--，为直线两点式方程；当直线平行于x 轴，则原方程可化为1y y =；当直线平行于y 轴，则原方程可化为1x x =；综上所述：方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线，B 正确；对于C ，圆的方程可整理为()()22125x y ++-=，则圆心为()1,2-，C 错误；对于D ，若直线不经过第二象限，则23022t t -⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：302t ≤≤，D 正确.故选：BD . 【点睛】本题考查直线和圆部分相关命题的辨析，涉及到直线方程的应用、根据直线所过象限求解参数范围、由圆的方程确定圆心和半径等知识，属于基础知识的综合考查.11．设,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2,1AB EF ==，给出下列四个命题正确的是（ ） A ．异面直线11D B 与EF 所成的角为45 B ．11D B ⊥平面1B EFC ．三棱锥11D B EF -的体积为定值； D ．直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60. 【答案】AC【解析】对于选项A ，111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角，111B D C ∠为45︒，所以A 正确；对于选项B ，11D B 与EF 不垂直，由此知11D B 与平面1B EF 不垂直，所以B 错误；对于选项C ，三棱锥11D B EF -的体积为23V =为定值，所以C 正确；对于选项D ，直线11D B 与平面1B EF 所成的角为所成角为30，所以D 错误．即得解. 【详解】 如图所示，对于选项A ，因为11//EF D C ，111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角，111B D C ∠为45︒，所以异面直线11D B 与EF 所成的角为45，所以A 正确；对于选项B ，由前面得异面直线11D B 与EF 所成的角为45，所以11D B 与EF 不垂直，由此知11D B 与平面1B EF 不垂直，所以B 错误； 对于选项C ，三棱锥11D B EF -的体积为11111122213323D EFV SB C ==⨯⨯⨯⨯=为定值，所以C 正确；对于选项D ，在三棱锥11D B DC -中，设1D 到平面1DCB 的距离为h ，1111B D DC D DCB V V --=，即有11112222223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2h =，直线11D B 与平面1B EF 所成的角的正弦为21222=，即直线11D B 与平面1B EF 所成的角为所成角为30，所以D 错误． 综上，正确的命题序号是AC ． 故选：AC ．【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系和体积的计算，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，1(1)n n na n a λ+=+，*n N ∈，若存在正整数p ，q ，r ()2,p q r ≥<使得等式11222p p q rp p a a a a qr---+=+成立，则下列结论正确的有（ ） A ．=2λB ．1(1)2n n a n -=+⋅C ．12n n a n -=⋅D ．424r p -=【答案】ACD【解析】1n =时，根据1(1)n n na n a λ+=+可求出λ，利用累乘法可求得n a ， 【详解】1n =时，212a a λ=，而11a =，24a =∴=2λ 故A 选项正确∴12(1)n n na n a +=+，即12(1)n n a n a n++=∴321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅222321121nn ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-12n n -=⋅ 故C 选项正确，B 选项错误假设存在正整数p ，q ，r ()2,p q r ≥<使得等式11222p p q rp p a a a a qr---+=+成立 ∴()2111121222222p p q r p p p p q r q r-------⋅⋅⋅⋅+=+ 化简整理得4222r q p -=+， 令22=4q +，解得1q = 取2p =，2r 时，424rp -=成立故D 选项正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查数列的基本知识，考查通项公式的求解，属于中档题.三、填空题13．经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 【答案】0x y －＝或20x y ＋－＝【解析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程，将点A(1,1)代入直线方程即可. 【详解】（1）当直线的截距不为0时即不经过原点， 设直线方程是：1x ya a+= 因为直线过点 A(1,1) 所以111a a+= 解得a=2即直线方程是20x y ＋－＝（2）当直线经过原点时方程为：0x y －＝ 综上所述直线方程为：0x y －＝或20x y ＋－＝ 【点睛】本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单独计算，以防遗漏. 14．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 【答案】163【解析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解。

江苏省如皋中学2019-2020高一第二学期数学阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列{}n a 中，1252,2a a ==，则101a 的值是 ( )A 、49B 、50C 、51D 、522. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 ( ) A. l ∥a B. l 与a 异面 C. l 与a 相交 D. l 与a 没有公共点3. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( ) A.31 B. 31- C. 91 D. 91-4.若a ,b 为异面直线，,,a b l αβαβ⊂⊂=I ，则 （ ）A.l 与a ,b 分别相交B. l 至少与a ,b 中的一条相交C.l 与a ,b 都不相交D.l 至多与a ,b 中的一条相交5.在空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是AB 、CD的中点，EF =则异面直线AD 与BC 所成的角为 ( ) A ．120ο B. 90ο C. 60ο D. 45ο6. 在数列{a n }中，已知S n ＝1－4＋7－10＋13－16＋…＋1(1)(32)n n ---， 则S 15＋S 22－S 31的值( )A ．57B ．46C ．13D ．－577. 如图，△ABC 中，∠ACB=90ο，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离 点A 时，∠PCB 的大小 （ ）A ．不变B ．变小C ．变大D ．有时变大有时变小lPBAB ECFD8. 定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”．若已知正项数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++L 的 值为 ( )A ．111B ．112C ．1011D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。

2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一下学期5月阶段考试数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，12a =，252a =，则101a 的值是（ ） A ．49 B ．50C ．51D ．52【答案】D【解析】直接利用{}n a 为等差数列，可以求得公差2112d a a =-=，进而可得结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，12a =，252a =，则公差2151222d a a =-=-=， 所以101111002100522a a d =+=+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．若直线//l 平面a ，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（ ） A ．l a // B ．l 与a 异面C ．l 与a 相交D ．l 与a 没有公共点 【答案】D【解析】由线面平行的定义判断． 【详解】因为直线//l α，所以直线l 与平面α没有公共点.因为直线a α⊂，所以直线与直线a 也没有公共点， 故选：D . 【点睛】本题考查两直线的位置关系．解题时注意题设中线面平行的定义． 3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a = A ．19B ．19-C ．13D ．13-【答案】A【解析】设公比为q,则22411111111109,99a a q a q a q a q a q a ++=+⇒==∴=Q ，选A.4．若a ，b 为异面直线，a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，则（ ） A ．l 与a ，b 分别相交 B ．l 至少与a ，b 中的一条相交C ．l 与a ，b 都不相交D ．l 至多与a ，b 中的一条相交【答案】B【解析】直接利用空间中线线，线面，面面间的位置关系求解即可. 【详解】由a ，b 为异面直线，a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，若l 与a ，b 都不相交，则l 与直线a ，b 都平行，由平行线的性质知，直线a ，b 也平行于直线a ，b 为异面直线相矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于基础题. 5．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，3EF =，则异面直线AD ，BC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【解析】取AC 中点G ，连接EG 、FG ，可知∠EGF 或其补角即为异面直线AD ，BC 所成的角，在△EFG 中，由余弦定理可得cos ∠EGF ，结合角的范围可得答案． 【详解】取AC 中点G ，连接EG 、FG ，由三角形中位线的知识可知：EG 12=P BC ，FG 12=P AD ， ∴∠EGF 或其补角即为异面直线AD ，BC 所成的角，在△EFG 中，cos ∠EGF 22222211(3)122112EG FG EF EG FG +-+-===-⨯⨯⨯⨯，∴∠EGF ＝120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°， 故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，涉及解三角形的应用，属中档题． 6．在数列{}n a 中，已知()()1147101316132n n S n -=-+-+-+⋅⋅⋅+--，则152231S S S +-的值（ ）A ．57B ．46C ．13D ．57-【答案】D【解析】根据n 的奇偶分情况讨论，即可得出答案. 【详解】当n 为奇数时， 由()()1147101316132n n S n -=-+-+-+⋅⋅⋅+--，所以()()1131147101316132(3)(32)222n n n S n n n --=-+-+-+⋅⋅⋅+--=⨯-+-=-，当n 为偶数时， 由()()1147101316132n n S n -=-+-+-+⋅⋅⋅+--，所以()()131471013161322n n S n n -=-+-+-+⋅⋅⋅+--=-， 故152231313311522(31)5722222S S S ⎛⎫=⨯-+-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭+- 故选：D. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和在数列中的应用，属于基础题.7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小( )．A ．变大B ．变小C ．不变D ．有时变大有时变小 【答案】C【解析】试题分析：因为∠ACB ＝90°，所以A C ⊥BC,又因为直线l 垂直于平面ABC ，所以l ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理可知，BC ⊥平面PAC ，所以∠PCB ＝90°，即∠PCB 的大小不变.【考点】本小题主要考查线面垂直的判定和应用.点评：应用线面垂直的判定定理时要注意直线要垂直于平面内的两条相交直线.8．定义12nn p p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．111B ．112C ．1011D ．1112【答案】C【解析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=L ，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】由已知得12121n n a a n a =++++L ，∴()1221n n a a a n n S +++=+=L ，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴L 故选：C 【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题.二、多选题9．已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个结论，正确的是：（ ） A ．如果//a α，//a b ，那么//b α B ．如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.C ．若直线m 垂直于平面α内的任意一条直线，则m α⊥D ．如果m α⊥，n α⊥，那么//m n . 【答案】BCD【解析】运用线面平行的定理和线面垂直的定理，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：由//a α，//a b ，则b α⊂或//b α，故A 不正确； 对于B ：由m α⊥，//n α，则m n ⊥，故B 正确；对于C ：若直线m 垂直于平面α内的任意一条直线，则m α⊥，故C 正确； 对于D ：由m α⊥，n α⊥，则//m n ，即垂直于同一个平面的两直线平行，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于基础题．10．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =【答案】AC【解析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”；对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.11．已知数列{}n a 不是常数列，其前n 项和为n S ，则下列选项正确的是（ ） A ．若数列{}n a 为等差数列，0n S >恒成立，则{}n a 为递增数列B ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，310S S =，则n S 的最大值在6n =或7时取得C ．若数列{}n a 为等比数列，则202120210S a ⋅>恒成立D ．若数列{}n a 为等比数列，则{}2na 也为等比数列.【答案】ABC【解析】利用等差数列、等比数列的性质直接求解即可得到结论. 【详解】对于A ：若数列{}n a 为等差数列，0n S >恒成立，则公差0d >，故{}n a 为递增数列，故A 正确；对于B ：若数列{}n a 为等差数列，10a >，设公差为d ，由310S S =，得113210931022a d a d ⨯⨯+=+，即16a d =-，故()7n a n d =-， 所以，当7n ≤时，0n a ≥，70a =，故n S 的最大值在6n =或7时取得，故B 正确； 对于C ：若数列{}n a 为等比数列， 则()202120211202022020202120211111011a q q S a a qa qqq--⋅=⋅⋅=⋅⋅>--恒成立，故C 正确； 对于D ：若数列{}n a 为等比数列，则1122n n a a q -⋅=，所以()11112222n n n n nna a q q a a a +-+⋅--==不是常数，故{}2n a 不是等比数列，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离. 【详解】对选项A ：（方法一）以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D 、(1,0,0)A 、1(1,0,1)A 、1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.从而1(0,0,1)DD =u u u u r ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠u u u u r u u u r ，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1A G AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)222AD HS ∆⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，而113948AD H AEFD S S ==四边形△，从而选项C 正确；对于选项D ：（方法一）由于111111112222224GEF EBG BEFG S S S ∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭梯形，而11112228ECF S ∆=⨯⨯=，而13A GEF EFG V S AB -∆=⋅，13A ECF ECF V S AB -∆=⋅，所以2A GEF A ECF V V --=，即2G AEF C AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF的距离的二倍.从而D 错误.（方法二）假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题．三、填空题13．在等差数列{}中，前15项的和，则.【答案】6【解析】根据等差数列性质化简和项 即得结果. 【详解】【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知面//α面β，点P 是面α，β外一点(如图所示)，且直线PAB ，PCD 分别与α，β相交于点A ，B ，C ，D ，若4PA =，5PB =，3PC =，则PD =______.【答案】154【解析】根据题意可得//AC BD ，进而可得PA PCPB PD=，代入数据即可得到结论. 【详解】由题意，面//α面β，则//AC BD ，所以PAC PBD ∆∆:，即PA PCPB PD=， 所以351544PC PB PD PA ⋅⨯===. 故答案为：154. 【点睛】本题考查线段长的求法，解题时要认真审题，属于基础题. 15．下列结论中，正确的序号是______.①如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ③如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ④如果一个平面内的一个角(锐角或钝角)的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行 【答案】③④【解析】根据题意，利用线面，面面的关系逐一判断即可. 【详解】对于①：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错误； 对于②：如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③：根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，故③正确；对于④：一个角的两边可以看做两条相交直线，根据面面平行的判定定理可知，这两个平面平行，故④正确． 故答案为：③④. 【点睛】本题考查空间中线面，面面平行的判定与性质定理，属于基础题.16．已知在数列{}n a 中，11a =，132nn na a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______.【答案】11231n -⨯- 【解析】把已知数列递推式取倒数，然后变为111131n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，求其通项公式后可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】 由题意，132n n n a a a +=+，取倒数得132132n n n n a a a a ++==+，即111131n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又11120a +=≠， 所以，数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列，故11123n na -+=⨯，所以11231n n a -=⨯-.故答案为：11231n -⨯-. 【点睛】本题考查数列的递推式求通项公式，属于基础题.四、解答题17．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面正方形ABCD ，且PA AB a ==，E ，F 是侧棱PC ，PD 的中点，（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）求直线PC 与底面ABCD 所成角θ的正切值； 【答案】（1）证明见解析.（2）22【解析】（1）根据题意，//EF CD ，又//AB CD ，进而可得结论；（2）根据题意可知，直线PC 与底面ABCD 所成角为PCA ∠，列式解得即可. 【详解】（1）由题意，EF 是PCD ∆的中位线， ∴//C EF D ，又C //D AB ，∴//EF AB ，而AB Ì面PAB ，EF ⊄面PAB ∴//EF 面PAB .（2）连AC ，则AC 是PC 在底面的射影，则PCA θ=∠所以tan 2PA AC θ===. 【点睛】本题考查线面平行，线面角的正切值，属于基础题.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6810a a +=-，1035S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1） 2n a n =-；（2） 12n n nT -=．试题分析：（1）运用等差数列的通项公式及前n 项和公式建立方程组即可获解；（2）运用错位相减的方法、等比数列的前项和公式即可获解.【解析】（1）由题设可得方程组⎩⎨⎧-=+-=+7925611d a d a ，解之得⎩⎨⎧-==111d a ，所以n n a n -=--=2)1(1；（2）因为12121212---⋅-=n n n n n a ，所以)212132121(212112122--⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+-+⋅⋅+++=n n n n T ，令 12/2212132121,212112--⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=+⋅⋅+++=n n n n n S S ，则/n n n S S T -=，因而22214)211(421)211(2212112---=-=-=+⋅⋅+++=n n n n n S ，因为12/212132121-⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n S ，所以n n n S 21213212212132/⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=，以上两式两边相减可得n n n nn n n n n nS 212122121121121212121211211132/⋅--=⋅---=⋅-+⋅⋅⋅++++=--，所以12/21214--⋅--=n n n n S ，因此1/2-=-=n n n n n S S T .【考点】等差数列及前n 项和、等比数列及前n 项和、错位相减法求和及运用.【易错点晴】本题考查的重点是等差数列及前n 项和、等比数列及前n 项和、错位相减法求和及运用.求解过程中要求熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识和基本方法，特别是教材中推导等比数列的前项和的过程中所运用的“错位相减”的数学思想和方法对于求解本题中的和的问题是恰到好处.当然本题的求解也离不开化归与转化的数学思想和方法，如将一个数列拆成两个可求和的两个数列等. 19．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． 【答案】见解析【解析】证明：(1）如图所示，取PD 的中点E ，连接AE 、NE ，∵N 为PC 的中点，E 为PD 的中点，∴NE ∥CD 且NE ＝CD ，而AM ∥CD且AM ＝AB ＝CD ，∴NE ∥AM 且NE ＝AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD ，又AD∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AE ，又AE ∥MN ，∴MN ⊥CD.(2）由(1）可知CD ⊥AE ，MN ∥AE.又∠PDA ＝45°，∴△PAD 为等腰直角三角形， 又E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，∴AE ⊥平面PCD. 又AE ∥MN ，∴MN ⊥平面PCD. 【考点】线面垂直的证明.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()11n n aS a a =--，(a 为常数，且0a ≠，1a ≠). （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值. 【答案】（1）nn a a =.（2）13a =【解析】（1）根据题意，可得数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列，进而写出通项公式； （2）由（1）可得()11n n aS a a =--代入，再由数列{}n b 为等比数列，进而可得a 的值. 【详解】 （1）因为()11111aS a a a =-=-，所以1a a =. 当2n ≥时，11n n n aa S S a -=-=-()1n n a a --， 整理得1nn a a a -=，即数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列. 所以1n n n a a aa -=?.（2）由（1）知，()()()21312111n n nn naa a a a ab a a a ⨯----=+=-() 由数列{}n b 是等比数列，则2213b b b =⋅，所以222323223a a a a a +++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得13a =， 再将13a =代入()式得3nn b =，故数列{}n b 为等比数列， 所以13a =.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，属于基础题．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C AB ⊥，侧面11BCC B 为菱形.（1）求证：1B C ⊥平面1ABC .（2）如果点D ，E 分别为11A C ，1BB 的中点，求证：//DE 平面1ABC . 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】（1）根据侧面11BCC B 为菱形，则11B C BC ⊥，进而可得结论；（2）取1AA 的中点F ，连DF ，FE ，可得//DF 面1ABC ，同理可得//EF 面1ABC ，进而可得//DE 面1ABC . 【详解】（1）因三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为菱形，则11B C BC ⊥. 又1B C AB ⊥，且AB ，1BC 为平面1ABC 内的两条相交直线， 故1B C ⊥平面1ABC（2）如图，取1AA 的中点F ，连DF ，FE .因D 为11A C 的中点，则1//DF AC ，//EF AB 而DF ⊄平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ， 故//DF 面1ABC . 同理，//EF 面1ABC .因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面//DEF 面1ABC . 因DE ⊂平面DEF ， 故//DE 面1ABC . 【点睛】本题考查线面垂直，线面平行的证明，属于基础题. 22．已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和． （Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 【答案】（Ⅰ） 15q ±=． （Ⅱ）证明见解析过程. 【解析】【详解】（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得15q ±=． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列． 若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即．整理得2m l nq q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aqa -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 【点睛】本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试数 学 Ⅰ 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知(1i)z 1i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 2． 已知集合{}{}212,A B a a ==，-，，若{}1AB =,则实数a 的值为 ▲ ．3． 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 ▲ 名学生．4． 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 ▲ ．5． 某程序框图如右图所示，当输入7x =时，输出的y = ▲ ．6． 已知双曲线22213x y b-=的两条渐近线与直线3x =围成正三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．7． 已知变量,x y 满足约束条件0,02x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，则2y x -的最大值为 ▲ ．8． 已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则sin α= ▲ ．9． 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ▲ ． 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ▲ ．11．已知圆22420C x y x y +--=：，过点(6,0)P 的直线l 与圆C 在x 轴上方交于,A B 两点，且3PA PB =，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除则直线l 的斜率为 ▲ ．12．若2,0x y >>，且211x y +=，则1121x y +--最小值为 ▲ ． 13．已知ABC ∆中，2,1AB AC ==，平面ABC 上一点D 满足3BC AD ⋅=-，则()BC BD CD ⋅+= ▲ ．14．已知32()3f x x a x a =--，若存在[]1,1x ∈-，使得()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()(2),0,62g x f x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形． （1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．FEPDCBA收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除过椭圆22182x y+=上一点(2,1)P --作两条直线12,l l 与椭圆另交于,A B 点，设它们的斜率分别为12,k k ．（1）若121,1k k ==-，求PAB ∆的面积PAB S ∆； （2）若,OA OB PA PB ==，求直线AB 的方程．18． (本小题满分16分)从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。

高一数学期末参考答案一、单项选择题：1. D2. C3. C4. C5. B6. B7. A8. B二、多项选择题：9. AD 10. ABCD 11. AC 12. ACD三、填空题:13. π3 14. ()64， 15. 326+ 16.12+n n 四、解答题：17. 证明：（1）连接OE ，在长方体1111A B C D ABCD −中， 有四边形ABCD 为矩形，所以O 的AC 中点. 又E 为棱1C C 的中点，所以在1CAC ∆有1//AC OE .----------2分 又因为BDE OE 平面⊂,BDE AC 平面⊄1所以1AC ∥平面BDE .----------4分(2) 在长方体1111A B C D ABCD −中，有ABCD CC 平面⊥1 又ABCD BD 平面⊂，所以BD CC ⊥1----------6分 因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥----------8分 又1ACC AC 平面⊂,11ACC CC 平面⊂,C CC AC =1I 所以11ACC A BD 平面⊥.----------10分18. 因为AC 边上的高线BD 所在直线方程为022=−+y x ， 所以直线AC 的斜率为2，又直线AC 过点()2,4−A 所以直线AC 的方程为082=+−y x .----------3分 联立直线MC AC 与的方程： ⎩⎨⎧=+−=+−01082y x y x 解得C 的坐标为()76，----------6分因为B 为直线022=−+y x 上一点，所以设()0022,x x B −又M 为AB 的中点，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−−002,24x x M 因为M 点在直线01=+−y x 上，所以20=x ，即()2-,2B ----------9分 所以直线BC 的方程为02649=−−y x .----------12分19. （1）由已知132a a S n n −=，有()232111≥−=−−n a a S n n ，两式相减得13−=n n a a --------3分 即233a a =，又因为33321=+−a a a ，所以031≠=a所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为n n a 3=--------6分（2）由（1）得，n n a 311=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−⎪⎭⎫ ⎝⎛−=+++=n n n n T 31121311311313131312Λ--------8分 因为985492≤n T ，所以985984311≤−n 即9853≤n ，--------10分 解得61≤≤n ，所以使得不等式成立的n 的最大值为6.--------12分20. (1)因为()()101k a f x x x =<<且2338a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以411=k ；----------2分 又因为()()()21011k a g x x x −=<<−且314g a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()0,1a ∈，所以412=k .----------4分 （2）因为()()920f xg x +>对于任意()0,1x ∈恒成立，即5911>−−+x a x a 恒成立 又因为()1,0∈x ()0,1a ∈，所以()()()()a a xx a x x a x x x a x a −+≥−−+−+=−+−−+1211111111）（ 即()59121>−+a a ----------10分 解得5451<<a ,所以实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛5451，.----------12分 21. （1）因为四边形ABCD 为菱形，所以DC DA =. 又060=∠ADC ，所以ADC ∆为等边三角形，即有CD CA =， 又在ADC ∆中，因为E 的AD 中点，所以AD CE ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD CE 平面⊂，所以PA CE ⊥.又A AD PA =I ，PAD AD PAD PA 平面平面⊂⊂, 所以PAD EC 平面⊥又PCE CE 平面⊂所以PAD PCE 平面平面⊥..----------4分(2)因为PAD EC 平面⊥，所以斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠为PC 与平面PAD 所成的角的平面角...----------6分 因为ABCD PA 平面⊥，ABCD AD 平面⊂，所以AD PA ⊥ 在PAE Pt ∆中，522=+=AE PA PE 在CED Pt ∆中，322=−=ED CD CE 因为PAD EC 平面⊥，PAD PE 平面⊂，所以PE EC ⊥ 在CEP Pt ∆中，有515tan ==∠PE CE CPE 所以PC 与平面PAD 所成的角的正切值为515....----------8分 (3) 在平面PAD 中，过E 点作PD EM ⊥，垂足为M ，连接CM 因为PAD EC 平面⊥，PAD PD 平面⊂，所以PD EC ⊥ 又M CM EM =I ，EMC EM 平面⊂，EMC CM 平面⊂ 所以EMC PD 平面⊥又EMC CM 平面⊂所以CM PD ⊥，即EMC ∠为二面角A PD C −−的平面角.....----------10分 在EMD Pt ∆中，1=ED ，045=∠ADP ，所以22==MD EM 在CMD Pt ∆中，22=MD ，2=CD ，所以21422=−=MD CD CM 在EMC ∆中，3=EC ，由余弦定理71214222327212cos 222=⨯⨯−+=⋅−+=∠MC ME EC MC ME EMC 所以二面角A PD C −−的正弦值为742......----------12分 22. （1）在圆M 中，因为060=∠ACB ，所以0120=∠AMB 因为圆M 过点A 、B ，点C 在x 轴上方，所以圆心M 在y 轴的正半轴上， 即060=∠=∠MOB MOA又在直角三角形MOB 中，因为3=OB ，所以1=OM ，2=MB所以△ABC 的外接圆M 的方程为()4122=−+y x ----------3分（2）设()00,y x P ，00>x ，00>y ，则412020=+y x ，00x y k OP = 又因为EF OP ⊥，所以00y x k EF −=又直线EF 过点P ，所以直线EF 的方程为04100=−+y y x x 过M 点EF MH ⊥，垂足为H ， 则4120−=y MH 所以2024144242⎪⎭⎫ ⎝⎛−−=−=y MH EF 因为2100<<y ，所以(]415，∈EF ----------7分 （3）EF 中点H 的横坐标为221x x + 因为MH OP //，所以00x y K MH=，即直线MH 的方程为0000=+−x y x x y 又直线EF 的方程为04100=−+y y x x ，联立方程组0004y x x x H −= 0002182y x x x x −=+----------10分 因为)42(24100002020时取等号当且仅当==≥=+y x y x y x 所以8100≤y x 所以()18200021−≥−=−+y x x x x ，即()0212x x x −+的最小值为-1----------12分。

2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．13BCD3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24B ．22C ．20D ．8-5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ）A ．20B ．21C ．22D ．236．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n -D ．()1314n-7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4B ．2C ．5D ．528．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//m α，则αβ⊥10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a > B ．2437d -<<- C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 14．已知正项数列{}n a 满足2212n na a +=+，1a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n ∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(Ⅱ)求数列{n a }的通项公式．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nnS n >-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ； （2）若二面角1A DC A --为45°， ①证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．13BCD【答案】C3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π【答案】D4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24 B ．22C ．20D ．8-【答案】A5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】C6．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5 D ．52【答案】A8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】B 二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l β D ．若//m α，则αβ⊥【答案】AD10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 10．ABD11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED12．AC 三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或514．已知正项数列{}n a 满足2212n n a a +=+，1a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】100π16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．【答案】2 四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n ∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(Ⅱ)求数列{n a }的通项公式． 【详解】（Ⅰ）由题知，1a ＝2，2a ＝2+c ，3a ＝2+3c ， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以（2+c ）2＝2（2+3c ）， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2． （Ⅱ）当n ≥2时，由1n n a a cn +=+ 得2a ﹣1a ＝c ，3a ﹣2a ＝2c ，…1n n a a -- ＝（n ﹣1）c ，以上各式相加，得()()111212n n n a a n c c -⎡⎤-=+++-=⎣⎦L ，又1a ＝2，c ＝2，故()222n a n n n =-+≥，当n ＝1时上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为22n a n n =-+．（n ∈N *）．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nn S n >-. 【详解】解：（1）由122nn n a a -=+，得11122n n n n a a --=+，即11122n n n n a a ---=. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列， ∴122n na n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）1231n n n S a a a a a -=++++L1231135312222222222n n n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L23411353122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L2311122222n n n S n +⎛⎫-=+++-- ⎪⎝⎭L13322n n +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭. ∴13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3232322n n nS n n =-+>-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 试题解析：（1）解：由11216a S -=得：11216a a -= 解得811=a （1分）由22216a S -=得：22121)(6a a a -=+ 解得3212=a （3分） （2）解：由n n a S 216-= ①当2≥n 时，有11216---=n n a S ② （4分）①-②得：411=-n n a a （5分） {}n a 数列∴是首项811=a ，公比41=q 的等比数列 12111214181+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==∴n n n n q a a 1221log log 122121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴+n a b n n n（3）证明：由（2）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=2222)2(11161)2()2(1n n n n n c n ， ()()()222222222111111111111632435112n c n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦L ()()22221111115111621626412n n ⎡⎤⎛⎫+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ；（2）若二面角1A DC A --为45°，①证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ；②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.【详解】（1）如图所示连接1B C ，在平行四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD =， 在三棱柱111ABC A B C -中，又1111//,=A B AB A B AB ， 所以1111//,A B CD A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，又1A D ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1//A D 平面11BCC B ；（2）①取CD 的中点O ，连接1,AO A O ，因为AC BC =， 所以AO CD ⊥，又因为1A A ⊥平面ABC ，所以1A A CD ⊥，1A A AO A ⋂=，所以CD ⊥平面1A AO ，所以1A O CD ⊥，所以1A OA ∠为二面角1A DC A --的平面角， 在1Rt A OA △中，12OA A A ==，12AO CD =， 所以AC CD ⊥，又因为11,AC A A A A DA A ⊥⋂=，所以AC ⊥平面1A AD ，又因为111//,AC AC AC ⊂平面11AC D ， 所以平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②过A 作1AM A D ⊥，因为平面11AC D ⊥平面1A AD ， 所以AM ⊥平面11AC D ， 所以1A M 是1A A 在平面11AC D 上的射影， 所以1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，在1Rt AA M V 中，12,A A AD ==11tan AD AA M AA ∠==。

江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一数学下学期教学质量调研试题（二）（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ） A.321nn + B. 321n n - C. 323n n -D.323nn +【答案】B 【解析】 【分析】把数列3，2，95，127，53，…，化简31，63，95，127，159，…，结合规律，即可求解.【详解】由题意，数列3，2，95，127，53，…，可化为31，63，95，127，159，…，可得数列的一个通项公式n a =321nn -.故选：B.【点睛】本题主要考查了根据数列的前几项归纳数列的通项公式，其中解答中合理找出数列中数字的变化规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使//βα，这样的β（ ） A. 恰能作一个 B. 至多作一个C. 至少作一个D. 不存在【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合面面平行的性质即可得解.【详解】若存在过直线l 的平面β，使得//βα，则直线l 与平面α无公共点，与直线l 是平面α的斜线矛盾，不合题意， 所以这样的平面β不存在. 故选：D.【点睛】本题考查了面面平行的性质，考查了空间思维能力，属于基础题.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11518,6115S S a =-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ） A. 4 B. 5C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出nS n可解出d ，将等差数列前n 项和公式和二次函数的性质相结合可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2188222n n n d d S n d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴822n S d dn n =+-，得511582836115S S d d d -=+--==-，解得2d =-， ∴222981892224n d d S n n n d n ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得当4n =或5时，n S 取最大值， 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.4.空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别为AB ，CD 的中点，EF =面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A. 120︒ B. 90︒C. 60︒D. 45︒【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ，利用三角形中位线定理可得： 112EG BC ==，112FG AD ==,在EFG 中，由余弦定理可得cos EGF ∠，即可得结果. 【详解】解：如图所示，取AC 的中点G ，连接,EG FG ， 因为,E F 分别为AB ，CD 的中点，所以112EGBC==，112EG BC==，在EFG中，由余弦定理得，2221131cos22112EG FG EFEGFEG FG+-+-∠===-⋅⨯⨯,因为(0,180)EGF∠∈︒︒，所以120EGF∠=︒，所以异面直线AD与BC所成的角为60︒，故选：C【点睛】此题考查了异面直线所成的角、余弦定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5.设等比数列{}n a的前n项和为12nnS m+=+，则na=（）A. 2nB. 132n-⋅ C. 152n-⋅ D. 32n⋅【答案】A【解析】【分析】根据公式11(2)(1)n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当2n≥时，()()11122222n n n n nn n na S S m m++-=-=+-+=-=；当1n=时，21124a S m m==+=+所以11222nnnnaqa++===；所以221224aqa m===+，解得2m=-，所以12a =，满足2(2)nn a n =≥.所以2nn a =.故选：A.【点睛】本题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.6.在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50︒，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A. θ的最大值为40︒B. θ的最小值为40︒C. θ的最大值为50︒D. θ的最小值为50︒【答案】C 【解析】 【分析】过A 作平面BCD 的垂线，找出二面角A BC D --的平面角和直线PA 与平面BCD 所成的角θ，根据正切值可求θ的最大值为50︒.【详解】解：作AE ⊥平面BCD 于E ，在平面BCD 内作EF BC ⊥于F ，连结AF ，由三垂线定理知，AF BC ⊥，则AFE ∠就是二面角A BC D --的平面角，连结AP ，APE ∠就是直线PA 与平面BCD 所成的角θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦点P 为直线BC 上的动点，所以,,AE AEEF PE EF PE≤≥即tan50tan tan APE θ︒≥∠=，所以50θ，故θ的最大值为50︒，故选：C【点睛】考查线面角和面面角的求法以及大小比较，基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） A. 直线1BB B. 直线CDC. 直线AHD. 直线GH【答案】C 【解析】 【分析】连接FH ，则可得四边形AEFH 为梯形，所以可得直线EF 与直线AH 相交. 【详解】解：如图，连接FH , 因为,F H 分别为11B C ，BC 的中点， 所以FH ∥1BB ，1FH BB =， 因为E 为1AA 的中点，所以111122AE AA BB ==，AE ∥1BB ， 所以AE ∥FH ，12AE FH =, 所以四边形AEFH 为梯形， 所以直线EF 与直线AH 相交. 故选：C【点睛】此题考查空直线的位置关系，属于基础题.8.数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式求出21nn c d d =+-，利用分组求和求出7S ，再解不等式即可.【详解】∵{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，2nn b =，∴()212121n n n nn b c a a d d d ===+-=+-，∴()()7721271247712d S d d -=+-=+-，即2477800d +<，解得793247d <，故d 的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，利用分组求和求数列的前n 项和，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9.已知α是一个平面，,m n 是两条直线，有下列四个结论，正确的是（ ） A. 如果//m α，//m n ，那么//n α． B. 如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥．C. 若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m α⊥．D. 如果m α⊥，//m n ，那么n α⊥． 【答案】BD 【解析】 【分析】由//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，可判定A 不正确；根据线面垂直的性质，可判定B 是正确的；根据线面垂直的定义，可判定C 不正确；根据平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判定D 是正确的．【详解】对于A 中，如果//m α，//m n ，那么//n α或n ⊂α，所以不正确；对于B 中，根据线面垂直的性质，可得若m α⊥，//n α，那么m n ⊥，所以是正确的； 对于C 中，根据线面垂直的定义，直线m 垂直于平面α内的任意直线，则m α⊥，而直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m 与α不一定垂直，所以不正确；对于D 中，平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直于这个平面，可得若m α⊥，//m n ，那么n α⊥，所以是正确的． 故选：BD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A. 13n n S -=B. {}n S 为等比数列C. 123n n a -=⋅D. 21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数列中n a 和n S 的关系式，求得数列的通项公式，可判定D 正确；再利用题设条件，求得n S 的表达式，可判定A 正确，最后结合等比数列的定义，可判定B 正确. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11.四棱柱1111A B C D ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，11A A AC AB ==，,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，下列结论正确的是（ ） A. 1C C //平面OMNB. 平面1//A CD 平面OMNC. 直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒D. 1OM D D ⊥【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ，假设1C C //平面OMN ，可推出矛盾结论； 对于B ，按照证明两个平面平行的判断定理易证；对于C ，假设直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，则可推出不确定的结论；对于D ，1OM D D ⊥转化为证明11AC A A ⊥，易证. 【详解】解：对于A ，若1C C //平面OMN ，因为11//C C A A ，则1A A //平面OMN ，或1A A ⊂平面OMN ，而1A A 和平面OMN 相交，故A 错；对于B ，因为,M N 分别为线段1A A ，1A B 的中点，所以////MN AB CD ，MN ⊄平面1A CD ，CD ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD ，因为,O N 分别为线段BD ，1A B 的中点，所以1ON A D //，ON ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//ON 平面1A CD ，MN ON N =，MN ⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面1//A CD 平面OMN ，故B 正确；对于C ，若直线1A C 与直线MN 所成的角为90︒，11A A A C AB a ===，由////MN AB CD ，则1=90ACD ∠︒，1A D =，显然22211D A A A A D +=，则1AD A A ⊥，而1A A 和AD 不一定垂直，故C 错误.对于D ，设11A A A C AB a ===，则AC =，显然22211A A AC AC +=，11AC A A ⊥ 由1//MO A C ，所以1MO A A ⊥，而11//D D A A ，所以1OM D D ⊥ 直线1A C 与直线1A A 所成的角为90︒， 故D 正确. 故选：BD【点睛】考查线面平行、面面平行的判断与证明，考查异面直线垂直的判断与证明，基础题. 12.已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，*12,,,r n n n N ∈，*12,,,t m m m N ∈，*,r t N ∈且r t ≠，若1212r t n n n m m m +++=+++，则下列结论正确的是（ ）A. 若1a d =，则1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+．B. 若1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则1a d =．C. 若1b q =，则1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．D. 若1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，则1b q =． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐一验证即可； 【详解】解：对于A ，()()()1211121111r n n n r a a a a n d a n d a n d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212r r ra n n n r d n n n d =++++-=+++()()()1211121111t m m m t a a a a m d a m d a m d ++⋅⋅⋅+=+-++-+++-()()11212t t ta m m m r d m m m d =++++-=+++所以1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，A 正确； 对于B ，因为1212r t n n n m m m a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()()()()()()1112111121111111r t a n d a n d a n d a m d a m d a m d+-++-+++-=+-++-+++-()()112112r t ra n n n r d ta m m m t d ++++-=++++-()()10r t a d --=，由r t ≠，所以1a d =，B 正确.对于C ，若1b q =，121212121111111r r rr n n n n n n rn n n r n n n b b b b q b q b q b q q ---+++-+++⋅⋅⋅⋅=⋅==121212121111111t t tt m m m m tm m m m m t m m m b b b b q b q b q b q q -+++-+++--⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，C 正确. 对于D ，1212r t n n n m m m b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅12111111r n n n b q b q b q ---⋅=12111111t m m m b q b q b q ---⋅121r n n n rr b q +++-121t m m m tt b q +++-=，11r tb q -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为*,r t N ∈且r t ≠，当r t -是偶数时，111,b b q q=-=-，故D 错误.故选：ABC【点睛】考查等差数列和等比数列的有关性质，基础题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n S是正项等比数列{}n a的前n和，318a=，326S=，则1a=______．公比q=______．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，解得首项和公比即可.【详解】当1q=时，333S a≠，不满足题意，故1q≠；当1q≠时，有()2131181261a qa qq⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123aq=⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.14.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15.下列结论中，正确的序号是_____．①如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；③如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；④如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．【答案】②③【解析】【分析】①中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; ②中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; ③中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; ④中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.【详解】对于①, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;对于②, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;对于③,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;对于④,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误; 故答案为: ②③【点睛】本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点、线、面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.16.已知数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n的前n项和为n S，若关于()*n n N∈的不等式2n nm S S+≥有且仅有一解，则实数m的取值范围是________．【答案】17, 212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n ≥++++++有且只有一个解，令111()12f n n n n n=++++++，可知{}()f n 为递增数列，根据单调性可得结果. 【详解】依题意得关于*()n n N ∈的不等式11112m n n n n≥++++++有且只有一个解， 令111()12f n n n n n=++++++， 则111111(1)()()()232212f n f n n n n n n n n+-=+++-+++++++++ 11122211n n n =+-+++ 112122n n =-++0>， 所以{}()f n 为递增数列， 因为11(1)112f ==+，117(2)3412f =+=， 所以17212m ≤<. 故答案为：17,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了数列不等式有解问题，考查了数列的单调性，属于基础题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与C ，D 不重合）分别在棱CD ，BD 上，且EF BD ⊥．求证：（1）//EF 平面ABC ；（2）AD AC ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）易得//EF BC ，由线面平行判定定理即可得结果；（2）由面面垂直性质定理可得BC ⊥平面ABD ，再由线面垂直判定定理得到AD ⊥面ABC ，进而可得结论.【详解】（1）BC BD ⊥，EF BD ⊥，,,BC EF BD ⊂平面BCD ，//EF BC ∴．EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．（2）平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，BC ∴⊥平面ABD ．AD ⊂平面ABD ，BC AD ∴⊥， AB AD ⊥，BCAB B =，∴AD ⊥面ABC ， AD AC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用，通过线面垂直得到线线垂直，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，111,34n n a a a +==+．（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）32n n a =-【解析】【分析】（1）构造123(2)n n a a ++=+即可证明；（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解【详解】（1）123(2)n n a a ++=+首项123a +=则{}2n a +是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）23n n a +=，故32n n a =-【点睛】本题考查等比数列的证明，通项公式，是基础题.19.如图，在长方体1111A B C D ABCD -中，2AB BC ==，13B B =，M 为AC 与BD 的交点．（1）证明：平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）求直线1D M 与平面1B AC 所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，得AC BD ⊥，由1B B ⊥平面ABCD ，得1B B AC ⊥，从而得AC ⊥平面11D DBB 进而可证平面11D DBB ⊥平面1B AC ；（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足为H ，可得1D H ⊥平面1B AC ，则1D MH ∠为1D M 与平面1B AC 所成的角，再由已知的数据可得到11MB D 为正三角形，从而得160D MH ︒∠=.【详解】（1）长方体1AC 中，四边形ABCD 为矩形，且AB BC =，∴四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，长方体1AC 中，1B B ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，1B B AC ∴⊥．1,BD B B ⊂平面11D DBB ，1BD B B B ⋂=，AC ∴⊥平面11D DBB ．AC ⊂平面1B AC ，∴平面11D DBB ⊥平面1B AC ．（2）过1D 作11D H MB ⊥，垂足H ，平面11D DBB ⊥平面1B AC ，平面11D DBB ⋂平面11B AC MB =，1D H ⊂平面11D DBB ，1D H ∴⊥平面1B AC ，1D M ∴在平面1B AC 上的射影为MH ，1D M ∴与平面1B AC 所成的角为1D MH ∠．在1Rt B BM 中，112MB BD ===，1B B =，12MB ∴==．同理，12MD =，112B D BD ==，11MB D ∴为正三角形，160D MH ︒∴∠=，∴直线1D M 与平面1B AC 所成的角为60︒．【点睛】此题考查了证明面面垂直，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和逻辑思维能力，考查了运算能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，310a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n b 是公比0q >的等比数列，且11b a =，582b a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-；2n n b =；（2）2(23)212n n T n +=-⋅+．【解析】【分析】（1）利用等差中项及310a =可知1+210a d =，进而通过125,,a a a 成等比数列计算可知()()21114a d a a d +=⋅+，由此可求得42n a n =-，利用11b a =，582b a =+求出12,2b q ==进而计算可得{}n a ，{}n b 的通项公式（2）通过（1）可知(42)2n n n a b n =-⋅，进而利用错位相减法计算即得．【详解】（1）310a =，1210a d ∴+=，①125,,a a a 成等比数列，2215a a a ∴=⋅即()()21114a d a a d +=⋅+，②由①②得：142d a =⎧⎨=⎩或1010d a =⎧⎨=⎩，0d ≠，14,2,d a =⎧∴⎨=⎩42n a n ∴=-． 11582,232,b a b a ==⎧⎨=+=⎩44512b q b ∴==，0q >，2q ∴=， 1222-∴=⋅=n n n b ．（2）1122n n n T a b a b a b =+++1212262(46)2(42)2n n n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅，23122262(46)2(42)2n n n T n n +∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， ()23144222(42)2n n n T n +∴-=+⋅+++--⋅ ()21121244(42)212n n n -+⋅-=+⋅--⋅-，2(32)212n n +=-⋅-，2(23)212n n T n +∴=-⋅+．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21.在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD =，,,E F M 分别为棱SA ，SB ，AD 上的点，且(0)SE SF DM t t EA FB MA===>．（1）求证：平面//MEF 平面SCD ；（2）若1t =，求二面角A EM B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）233． 【解析】【分析】（1）由(0)SE SF DM t t EA FB MA===>可得//EF AB ，//EM SD ，而由//AB CD 得//EF CD ，从而由线面平行的判定定理可得//EF 平面SCD ，//EM 平面SCD ，所以可证得平面//MEF 平面SCD ；（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ，由已知条件可推出EM HB ⊥，所以AHB ∠为二面角A EM B --的平面角，然后在Rt BAH △中可求出AHB ∠的正切值.【详解】（1）SESFEA FB =，//EF AB ∴．四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，//EF CD ∴．EF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，//EF ∴平面SCD ．SE DMEA DA =，//EM SD ∴．EM ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，//EM ∴平面SCD ．EFIEM E =，,EF EM ⊂平面MEF ，∴平面//MEF 平面SCD ．（2）过A 作AH EM ⊥，垂足为H ，连接HB ．四边形ABCD 是矩形，AB AD ∴⊥，平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面SAD ．EM ⊂平面SAD ，AB EM ∴⊥，AH EM ⊥，AB AH A ⋂=，AB ，AH ⊂平面ABH ，EM ∴⊥平面ABH ，HB ⊂平面ABH ，EM HB ∴⊥．AHB ∴∠为二面角A EM B --的平面角．1t =，,E M ∴分别为棱SA ，AD 的中点， SAD △是等边三角形，2AD =，EAM ∴是等边三角形，1AM =，2AH ∴= 在Rt BAH △中，2AH =，1AB =，tan AB AHB AH ∠== ∴二面角A EM B --【点睛】此题考查了证明面面平行，求二面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.数列{}n a 中，13a =，26a =，其前n 项和为n S ，且()11(2)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥．（1）求证：数列{}n S 是等比数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）设()()1211n n n n S b S S +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）证明见解析；3n n S =；（2）111231+=--n n T ． 【解析】【分析】- 21 - （1）由()11n n n n n a a S a a ++-⋅=⋅，化简得211n n n S S S -+=⋅，结合等比数列的性质，证得数列{}n S 是等比数列，进而求得其通项公式．（2）由（1），化简()()1211n n n n S b S S +=--1113131n n +=---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由题意，因为()11(2,)n n n n n a a S a a n ++-⋅=⋅≥，所以()()()()1111n n n n n n n n n S S S S S S S S S +--+---⋅=-⋅-⎡⎤⎣⎦，可得211(2),n n n S S S n -+=⋅≥， 因为1130S a ==≠，21290S a a =+=≠，所以0n S ≠， 所以11,(2)n n n nS S n S S +-=≥，所以数列{}n S 是等比数列． 则公比213S q S ==，所以数列{}n S 通项公式为1333n n n S -=⋅=． （2）由（1）可得()()1211n n n n S b S S +=--()()1233131n n n +⋅=-⋅-1113131n n +=---， 所以12231111111313131313131n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111231n +=--． 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟练应用等比数列的定义求得数列的通项公式，结合“裂项法”求和，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

2019～2020学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）数 学 试 题一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1． 数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式n a =（ ）A ．321n n + B ．321n n - C ．323n n - D ．323nn + 2． 已知直线l 是平面α的斜线，过l 作平面β，使β∥α，这样的β（ ）A ．恰能作一个B ．至多作一个C ．至少作一个D ．不存在3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，5116115S S-=-，则n S 取最大值时的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64． 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF =直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．120oB ．90oC ．60oD ．45o5． 设等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，则n a = ( )A ．2nB ．132n -⋅C ．152n -⋅D ．32n ⋅6． 在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为50o ，点P 为直线BC 上的动点，记直线PA与平面BCD 所成的角为θ，则（ ）A ．θ的最大值为40oB ．θ的最小值为40oC ．θ的最大值为50oD ．θ的最小值为50o7． 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为1AA ，11B C ，11C D ，BC 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．直线1BB B ．直线CDC ．直线AHD ．直线GH8．数列{}n a 是首项为1，公差为()d d N ∈的等差数列，数列{}n b 的通项公式为2nn b =，设n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若7800S <，则d 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

江苏省如皋中学2019—2020学年度高一第二学期期末数学综合复习一一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为()A. 3√3B. 4√3C. ．√3D. 2√32.若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足()A. a//β，且b//β.B. a⊂β，且b//β．C. a⊥β，且b⊥β.D. a⊂β，且b⊥β．3.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是()A. −2B. −12C. 2 D. 124.在数列{a n}中，若a1=1,a2=12,2a n+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，则该数列的通项为()A. a n=1n B. a n=2n+1C. a n=2n+2D. a n=3n5.已知x>0，y>0，x+3y=1，则1x +13y的最小值是()A. 2√2B. 2C. 4D. 2√36.给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β，γ是空间中不同的平面)：①若a//b，b⊂α，则a//α；②若a⊥b，b⊥α，则a//α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α.其中正确的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为()A. 32√3πB. 48πC. 24πD. 16π8.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx−y+4=0与直线l2：x+ky−3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x−3y+10=0的距离的最大值为()A. 2B. 92C. 112D. 74二、多项选择题（本题20分）9.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3= 12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列{lga n}是公差为2的等差数列10.已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n； ②m//n，m//α⇒n//α； ③m//n，m⊥α⇒n⊥α； ④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是()A. 恒有BM//平面A1DEB. B与M两点间的距离恒为定值C. 三棱锥A1−DEM的体积的最大值为D. 存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD12.设数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n(n∈N∗)，S n为数列{a n}的前n项和;若数列{b n}满足：b n=(2−n)(a n−1)，且对任意的正整数n，都有b n+14t⩽t2成立，则有以下说法正确的是()A. 数列{a n−1}是等比数列B. 数列{b n}的最大项为b3或b4C. t的取值范围为[−14,1 2 ]D. S n>n−1对任意的n∈N∗恒成立三、填空题（本大题20分）13.若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b9=90，则b4+b6=．14.已知实数a>0，b>0，且1a +1b=1，则3a−1+2b−1的最小值为______．15.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x−y−1=0的交点，直线3x+4y−11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为______16.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1+a n1−a n，则a1a2a3…a14=________；设b n=(−1)n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则6S2020=________．三、解答题。

2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．13BCD3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24B ．22C ．20D ．8-5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20B ．21C ．22D ．236．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n -D ．()1314n-7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5D ．528．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//m α，则αβ⊥10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a >B ．2437d -<<- C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 14．已知正项数列{}n a 满足2212n naa +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nn S n >-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ； （2）若二面角1A DC A --为45°， ①证明：平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.2019--2020江苏省如皋中学高一第二学期数学周练八20200531一、单选题1．直线20x ++=的倾斜角是( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B C D 【答案】C3．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．1003π B ．100πC ．503π D ．50π【答案】D4．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-【答案】A5．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若7k a S =，则k =（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．23【答案】C6．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-n B ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B7．已知数列{}n a 满足115,2nn n a a a +==，则73a a = ( ) A ．4 B ．2 C ．5 D ．52【答案】A8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且满足()()1311n n n S n T +=+.若存在正整数k 使得n n a kb =，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】B 二、多选题9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( ) A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l β D ．若//m α，则αβ⊥【答案】AD10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 10．ABD11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S >，70a <，则( ) A ．60a > B ．2437d -<<- C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD12．如图直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE V 折起，使点A 到达点P的位置，且PC = ）A ．平面PED ⊥平面EBCDB ．PC ED ⊥C ．二面角P DC B --的大小为4π D ．PC 与平面PED12．AC 三、填空题13．已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或514．已知正项数列{}n a 满足2212n n a a +=+，1a =11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前8项和8S =___________．15．矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个大小为2π的二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】100π16．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q =____．【答案】2 四、解答题17．在数列{n a }中，1a =2，1n n a a cn +=+ (n∈N*，常数c≠0)，且123,,a a a 成等比数列． (I)求c 的值；(∈)求数列{n a }的通项公式． 【详解】（Ⅰ）由题知，1a ＝2，2a ＝2+c ，3a ＝2+3c ， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以（2+c ）2＝2（2+3c ）， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2． （Ⅱ）当n ≥2时，由1n n a a cn +=+ 得2a ﹣1a ＝c ，3a ﹣2a ＝2c ，…1n n a a -- ＝（n ﹣1）c ，以上各式相加，得()()111212n n n a a n c c -⎡⎤-=+++-=⎣⎦L ，又1a ＝2，c ＝2，故()222n a n n n =-+≥，当n ＝1时上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为22n a n n =-+．（n ∈N *）．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．19．已知数列{}n a 满足11a =，且122nn n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232nnS n >-. 【详解】解：（1）由122nn n a a -=+，得11122n n n n a a --=+，即11122n n n n a a ---=. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列，∴122n n a n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）1231n n n S a a a a a -=++++L1231135312222222222n n n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 23411353122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 2311122222n n n S n +⎛⎫-=+++-- ⎪⎝⎭L 13322n n +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭. ∴13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3232322n n nS n n =-+>-. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【详解】（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面P AD .因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD P. 因为12BC AD P ，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面P AB , BN ⊂平面P AB .所以//CM 平面P AB .21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有n n a S 216-=，记n n a b 21log =.（1）求21,a a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）令22)1()2(1-++=n n b n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*∈N n ，都有645<n T . 试题解析：（1）解：由11216a S -=得：11216a a -= 解得811=a （1分） 由22216a S -=得：22121)(6a a a -=+ 解得3212=a （3分） （2）解：由n n a S 216-= ①当2≥n 时，有11216---=n n a S ② （4分）①-②得：411=-n n a a （5分） {}n a 数列∴是首项811=a ，公比41=q 的等比数列 12111214181+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==∴n n n n q a a 1221log log 122121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴+n a b n n n（3）证明：由（2）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=2222)2(11161)2()2(1n n n n n c n ， ()()()222222222111111111111632435112n c n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦L ()()22221111115111621626412n n ⎡⎤⎛⎫+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ；（2）若二面角1A DC A --为45°，①证明：平面11AC D ⊥平面1AAD ； ②求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值.【详解】（1）如图所示连接1B C ，在平行四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD =， 在三棱柱111ABC A B C -中，又1111//,=A B AB A B AB ， 所以1111//,A B CD A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，又1A D ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1//A D 平面11BCC B ；（2）①取CD 的中点O ，连接1,AO A O ，因为AC BC =，所以AO CD ⊥，又因为1A A ⊥平面ABC ， 所以1A A CD ⊥，1A A AO A ⋂=， 所以CD ⊥平面1A AO ， 所以1A O CD ⊥， 所以1A OA ∠为二面角1A DC A --的平面角， 在1Rt A OA △中，12OA A A ==，12AO CD =， 所以AC CD ⊥，又因为11,AC A A A A DA A ⊥⋂=， 所以AC ⊥平面1A AD ，又因为111//,AC AC AC ⊂平面11AC D ，所以平面11AC D ⊥平面1A AD ； ②过A 作1AM A D ⊥，因为平面11AC D ⊥平面1A AD ， 所以AM ⊥平面11AC D ， 所以1A M 是1A A 在平面11AC D 上的射影， 所以1AA M ∠是直线1A A 与平面11AC D 所成角，在1Rt AA M V 中，12,A A AD ==11tan AD AA M AA ∠==。

江苏省如皋中学2020学年度第二学期阶段练习高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．过点(2,1)且与直线210x y +-=平行的直线方程为 ．2. 某地区对两所初中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人， 乙校有学生500人，先用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在乙校抽取30人，则在甲校应抽取学生人数为_______.3.已知实数,x y 满足1xy =，则224x y +的最小值为__ __．4. 等比数列,24,36,x x x ++L 的第四项为_______．5. 根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________．6. 在等差数列{}n a 中,28146a a a ++=，则15S = ．7. 如果实数,x y 满足不等式组1,20,2,x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数32z x y =+最大值是 ．8. 在ABC ∆中,已知2cos ,6c a B C π=∠=,则A ∠的值为____ __．9. 下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．10.设直线cos 320()x R θθ-+=∈的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ． 11. ABC ∆中，,,a b c 成等差数列，30B ∠=o，ABC ∆的面积为32，那么b = ． 12. 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动， 设AB 中点M 的坐标为()00,x y ，满足008y x >+，则y x 的取值范围是 ． 13. 已知正实数,x y 满足(1)(1)4x y -+=，则x y +的最小值为 ．14. 设{}n a 等差数列，数列{}n b 成等比数列．若1212,a a b b <<，且222112233,,4b a b a b a ===，则数列{}n b 的公比为_______.二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知直线1:260l ax y ++=，直线22:(1)10l x a y a +-+-=．分别求a 的值，使（1）1l 与2l 相交；（2）12l l ⊥；（3）1l 与2l 重合；（4）12//l l ．16．（本题满分14分）ABC ∆中，角A B C 、、的对应边分别为a b c 、、，且满足.222c b ab a =+-（1）求角C ； （2）若ABC ∆的周长为2，求ABC ∆面积的最大值．17．（本题满分14分）设2()(1)(21)1f x k x k x =+-++，x R ∈． （1）若()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； （2）当10k -<<时，解不等式()0f x >.18．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，213,2322n n a S S +==+()n *∈N ．(1)证明数列{}n a 为等比数列，并求出通项公式；(2)设数列{}n b 的通项1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；(3)求满足不等式3()n n T S n N +>∈的n 的值．19．（本题满分16分）在直角坐标系中，已知射线:0(0),:20(0)OA x y x OB x y x -=≥+=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点C D 、．（1）当三角形COP 的面积等于三角形DOP 面积时，求直线CD 的方程； （2）当CD 的中点在直线20x y -=上时，求直线CD 的方程．20．（本题满分16分）设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,公比为(1)q q ≠． (1)若4149,,S S S 成等差数列，求证:102015,,a a a 成等差数列；(2)若,,(,,m k t S S S m k t 为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列{}n a 中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；(3)若q 为大于1的正整数．试问{}n a 中是否存在一项k a ，使得k a 恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．。

江苏省如皋中学 2020－2020 学年度第二学期阶段练习高一数学一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．数列a n中， a 1 3,a n 1 a n 2(n N *) ，则 a 10__▲ ___ ．2．在△ ABC 中， B450 ,C 600 , c32 ，则边 b = ▲ ．2n为奇数1,n3．已知数列 { a n } 知足 a nn为偶数，则a4a 5▲．2 , n4．已知(0, ),tan 1，则 cos2 ▲ ．2 25．以下图是用相同规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第10 个图案中需用黑色瓷砖 ▲ 块．．．．．．．（ 1）（ 2）（3）6．已知数列 { a n } 是等差数列，且 a 1 a 4 a 7 4, a 2a 5 a 8 9 ，则 a 3 a 6 a 9 =▲．7 ． 已 知 { a n } 是 等 比 数 列 ， a 3 和 a 8 是 关 于 x 的 方 程 x 22 xsin20的两根，且(a 3 a 8 )2 2a 2a 96 ，则锐角的值为 ▲ ．8．设 ABC 内角 A, B, C 所对边分别为 a, b,c ，若 ( 3b c)cosA acosC ，则 cosA __ ▲ __．9．已知cossin 2，则1sin 2 cos2 的值等于 ▲ ．cossin1sin 2 cos210．已知等差数列 { a n } 中， a 1 3, 11a 5 5a 8 ，则前 n 项和 S n 的最小值为▲ ．11．已知等比数列a n 知足 a n 0 ， n l ， 2 ， ，且 a 5 a 2 n 5 22 n n3 ，则当 n3 时，log 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3log 2 a 2 n1▲ ．12．已知 ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是 a , b , c ，给出以下命题：①若 sin BcosCcosBsin C ，则 ABC 必定是钝角三角形2 2 2，则 ABC 必定是直角三角形；②若sin Asin B sin C ③若 b cos A a cos B ，则 ABC为等腰三角形； ④在 ABC 中，若 A B ，则 sin A sin B ；此中正确命题的序号是▲．（注：把你以为正确的命题序号都填上13．一个三角形数阵：12 34 5 6789 10LLLLLLLL依据以上摆列的规律，第n 行 (n 3) 从左向右的第 3 个数为▲14．已知圆的内接四边形ABCD 中 ， AB 2, BC 6, AD CD4, 则四径R 的值为 ▲ .二、解答题 ：本大题共六小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内作答，解明、证明过程或演算步骤 ． 15．已知： 0， cos() 1 ,sin( ) 4 ．24 3 5(1) 求 sin 2的值； (2) 求 cos() 的值416．已知数列{ a n } 是等差数列， a aa15 ，数列 { b n } 是等比数123a 1b 2 , a 4 b 3 ．（ 1）求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式；（ 2）数列 { c n } 知足 c n2a n b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和．17．在ABC 中，角A、B、 C 所对的边长分别是a、 b、c ．（1）若 sin C sin( B A)sin2 A ，试判断ABC的形状；（2）若ABC 的面积S 3 3，且 c 13, C，求 a、b 的值．318. 如下图，ACD是边长为1的等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB 90o，BD 交AC于点 E.（1）求 BD 2的值；（ 2）求线段AE的长 .19. 如图，已知锐角A为定角，点 P,Q 分别在A的两边上，且 APQ 的面积为点时， PQ 长最短．. 20.已知数列{ a n}、{ b n}知足：a11,a2a( a N ) ．（ 1）若数列 { a n } 是等比数列，试求数列{ b n} 的前n项和S n；（2）当数列 { b n } 是说：数列 { a n } 必定是等比数列，乙同学说：数列{ a n } 必定不是等比数列法正确？请说明原因．。