2019春九年级数学解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形(课堂10min)小测课件(新版)新人教版

第26讲 解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )． 在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。

九年级数学《解直角三角形及其应用》教学设计作为一名教学工作者，就难以避免地要准备教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。

怎样写教学设计才更能起到其作用呢？以下是小编收集整理的九年级数学《解直角三角形及其应用》教学设计，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

一．教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学过程（一）复习引入1．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系：sinA=cosB= sinB=cosA= tanA= tanB=(2)三边之间关系 (勾股定理)例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的`元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导"为什么两个已知元素中至少有一条边？"让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例1：已知a、b、c为Rt△ABC的三边，且斜边c=30a=15，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解∵sinA=a/c= 1/2∴ ∠a=30° ∴ ∠B=60°∴根据勾股定理求出b=例 2：在Rt△ABC中，∠B =30°，b=20，解这个三角形．引导学生思考分析完成后，让学生独立完成在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书完成之后引导学生小结"已知一边一角，如何解直角三角形？"答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。

但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。

2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。

24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384（米）.∵ABAC=cos50°,∴AC=20005050ABcos cos=︒︒≈3111（米）.答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确.问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）【答案】1.6米2.9.4海里四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.在实际问题中，计算时尽可能使用题中原始数据，这样可以让答案准确度接近真实值。