中考数学复习指导：例析抛物线中图形的存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。

抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。

在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。

问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。

通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。

然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。

抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。

1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。

当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。

3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。

抛物线与 y 轴相交的点就是 c。

顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。

- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。

- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。

- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。

因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。

实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。

而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。

结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。

通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。

只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。

中考专题复习：抛物线中角的存在性问题题目：如图1，二次函数y＝12x2－2x－6与坐标轴交于A、B、C，D为顶点.图11.75°角存在问题问题1：如图2，P是BC下方抛物线上一动点，若∠PCB＝75°，求点P的坐标.图2 图3解：易求A(－2，0)，B(6，0)，C(0，－6)，如图3，过点C作CE∥AB交抛物线于点E，过点P作CE的垂线，垂足为F.易求∠BCF＝∠OBC＝45°，则∠ECP＝30°.设PF＝m，则CF，P，－6－m)，把P，－6－m)代入y＝12m x2－2x－6，解得m，所以P，).2.45°角存在问题问题2：对称轴上有一动点M，使∠CMB＝45°，求M点坐标.图4解：易求抛物线的顶点D (2，－8)，BC 为确定的线段，BC 所对的∠CMB 始终是45°，则构成定弦定角模型，如图4.①以O 为圆心，OB 的长为半径，作⊙O 交直线x ＝2于点M 1，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍知∠BM 1C ＝12∠BOC ＝45°， 连接OM 1，设直线x ＝2交x 轴于点H ，则Rt △OM 1H 中，OM 1＝6，OH ＝2，所以22＋M 1H 2＝62，解得M 1H ＝所以M 1(2，；②以点G (6，－6)为圆心，BG 的长为半径作⊙G ，交直线x ＝2于点M 2，连接M 2G ， 同法求得M 2(2，－6－)，综上M (2，或(2，－6－).3.等角存在问题问题3：如图5，若CE ∥x 轴，Q 为x 轴上一动点，且∠QCB ＝∠EBC ，求点Q 坐标.图5解析：如图5.(1)由∠QCB ＝∠EBC ，过点C 作CQ 1∥BE ，交x 轴于点Q 1，又Q 1B ∥CE ，则四边形Q 1BCE 是平行四边形，所以Q 1B ＝CE ＝4，所以OQ 1 ＝2.所以Q 1(2，0).(2)易知∠Q 1CB ＝∠BCQ 2，作Q 1关于BC 的对称点F ，连接Q 1F 交BC 于H ，连接BF ，则△Q 1CH ≌△FCH ，△Q 1BH ≌△FBH ，则∠HBF ＝∠Q 1BH ＝45°，所以BF ⊥BA ，BF ＝BQ 1＝4，所以F (6，－4)，又C (0，－6)，则直线CF 的解析式为y ＝13x －6. 当y ＝0时，x ＝18，即Q 2(18，0).综上Q (2，0)或(18，0).4.和角存在问题问题4：如图6，y 轴上有一动点N ，若∠ANC ＋∠ACN ＝∠ABC ，求点N 的坐标.图6 图7解,：由OB ＝OC ，知∠ABC ＝45°，则∠ANC ＋∠ACN ＝45°.如图7，延长CA 并在延长线上找一点G ，使∠NGA ＝45°，由外角知∠GAN ＝∠ANC ＋∠ACN ＝45°，则∠NGA ＝∠GAN ，即GN ＝NA ，△ANG 是等腰直角三角形.过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，易证△GHN ≌△NOA (AAS)，设ON ＝a ，则GH ＝ON ＝a ，则G (－a ，a ＋2)，由A (－2，0)，C (0，－6)，易求直线AC 的解析式为y ＝－3x －6，将G (－a ，a ＋2)代入y ＝－3x －6，即a ＋2＝3a －6，解得a ＝4，当点N 在y 轴负半轴时，符合条件的N 点不存在.所以N (0，4).5.倍角存在问题 问题5：如图8，Q 为x 轴的动点，若∠CQB ＝2∠CBD ，求点Q 坐标.图8 图9解：在BC 上找点E ，使BE ＝DE ，由外角知∠CED ＝2∠CBD ①易知直线BC 解析式为y ＝x －6，设E (m ，m －6)，由B (6，0)，D (2，－8)，则BE 2＝(m －6)2＋(m －6)2，ED 2＝(m －2)2＋(m ＋2)2，由BE ＝ED 知(m －6)2＋(m －6)2＝(m －2)2＋(m ＋2)2，解得m ＝83，即E (83，－103)， 又易知CD 2＋BC 2＝BD 2，则∠BCD ＝90°，由C (0，－6)，E (83，－103)、D (2，－8)知CD ＝，CE tan ∠CED ＝34 ②由①②和已知∠CQB ＝2∠CBD ，则tan ∠CQB ＝34， 当点Q 在B 点左侧时，Q 1(－8，0)，当点Q 在B 点右侧时，Q 2(8，0)，即Q (－8，0)或(8，0).。

抛物线中的存在性问题复习1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .例1：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。

变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例2：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．A B C O xyD变式3：点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例3：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．A B CO xy M NA BCO xy变式5：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.变式6：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法： 三、巩固训练1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .（第1题） （第2题）A BC O xy DA BCO xyD2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （12-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．（1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．。

抛物线中的存在性问题1.如图，在同一坐标系中22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线22(1)4y x k x k =-++与轴交于点12(,0),(,0)A x B x 两点，C 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；（2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0．①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．2.已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB =4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S ．（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和B ，且1250a c +=.（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点A 沿AB 边以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/秒的速度向点C 移动，那么：①移动开始后第t 秒时，设S =PQ 2（cm 2），试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．。

抛物线与存在性-8一、解答题（共30小题）1、（2010?河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．2、（2010?江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．3、（2010?吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2010?昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）5、（2010?荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．6、（2010?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥A C，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2010?江西）如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．8、（2010?江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2010?丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC 可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当a=，b=﹣，c=﹣时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=﹣2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2010?龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2010?临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．12、（2010?茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．13、（2010?南宁）如图，把抛物线y=﹣x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y 轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．14、（2010?綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2010?盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．16、（2010?攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax2+b（a≠0）交于A（﹣4，﹣2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P使得△P AC的面积是△ABC面积的，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2010?曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18、（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2010?三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（﹣4，0）、C （0，﹣12）．顶点为M，过点A的直线y=kx﹣4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

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抛物线与存在性-1一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．(1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；(2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上?并说明理由．2、(2000•甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧）,并且M和N两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．（1）求点M和N的坐标；（2)求系数a的取值范围；（3）当y取得最大值时,抛物线上是否存在点P,使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．3、（2000•内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是,过A（0，4)作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣)，且抛物线过A、B两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2001•哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．(1)求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、（2001•山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）过点P（1，﹣2)、Q（﹣1，2),且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧,与y轴交于C点，连接AC、BC．（1）求a与c的关系式；（2)若(O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线?若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6、（2001•温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图,若抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边）,与y轴的负半轴交于点C,试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在,求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．7、(2001•无锡)已知直线y=﹣x+m(m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；(2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）(x1＜x2）,问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°?如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．8、(2002•鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A(x1，0)，B（x2，0）（x l＜x2）,且x12+x22=34．（1)求m,x1，x2的值；（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在,请求出所有点C的坐标;若不存在，请说明理由．9、（2002•贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣）,且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1)求二次函数的解析式；(2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分,如果存在，请求出P点的坐标;如果不存在，请说明理由．10、（2002•广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且,求抛物线的函数解析式，并画出它的图象;(3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°?如果不存在，请说明理由；如果存在,先找出点P的位置,然后再求出点P的坐标．11、（2002•内江）如图,一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A,交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的顶点为C,其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2)=0有两个相等实数根，且a=b；（1)试判定，△ABC的形状；(2）当时求此抛物线的解析式；（3)抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．12、（2002•泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2,0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1,x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3)在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、（2002•青海）如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．(1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=S△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．14、（2002•山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．(1）证明：△OAB为等边三角形;(2)若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；(3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2002•武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）,交y轴于C点,且x1＜0＜x2，(AO+OB）2=12CO+1．（1）求抛物线的解析式；(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围;若不存在，请说明理由．16、(2002•无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于,求这条直线和抛物线的解析式．（2)问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．17、（2002•乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2．（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；(3）在（2）中，是否存在k值,使A、B两点的纵坐标之和等于4?如果存在，求出k值;如果不存在,请说明理由．18、（2003•北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2002•浙江）已知抛物线过A(﹣2，0）、B （1,0）、C(0，2）三点，（1)求这条抛物线的解析式；（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2002•浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0,3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边,点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；(2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P,使得以A，P,Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21、（2002•漳州)已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．（1）求b、c的值（用含m的代数式表示)；（2）设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2)，且AD•BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；（3)在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P,使得PC=PD？若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22、（2003•长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+(+k)k，k为实数．(1)求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2)任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标;试说明当k变化时,抛物线C 的顶点在一条定直线L上,求出直线L的解析式并画出图象；（3)在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B(OA＜OB)，试问：是否为一定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由；(4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．23、（2003•福州）已知：如图,二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1)与x轴交于点D．（1)求A、B、C三点的坐标；(2）在直线x=m（m＞1)上有一点P（点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3)在(2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q,请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．24、(2003•哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，0）、B（5，0)两点，最高点的纵坐标为4,与y轴交于点C．(1）求该抛物线的解析式；(2）若△ABC的外接圆⊙O'交y轴不同于点c的点D’，⊙O'的弦DE平行于x轴,求直线CE的解析式；（3）在x轴上是否存在点F,使△OCF与△CDE相似？若存在,求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．25、（2003•汕头）已知抛物线y=﹣x2+（m+3）x﹣（m﹣1）．（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示)；（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；（3)在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P,使PC⊥QC？若点P存在,求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形)26、（2003•山西）如图,已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．（2）若⊙A的位置大小不变,⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C,在此变化过程中探究：＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来;若不存在，说明理由．27、（2003•武汉）已知：二次函数y=x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2,与y轴交于点C，且满足．(1）求这个二次函数的解析式;（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．28、（2003•无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上,又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积(即S△OAC﹣S△OBC=OA•OB)（1）求b的值；（2)若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在,求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．29、（2003•泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣(m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边,直线y1=﹣2x+m+6经过点N,交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．(2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B,与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3)在（2)的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形?若存在,求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．30、（2004•长春）已知二次函数y=x2﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题：（1)求△ABC的面积；(2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；（3）在（2）中,使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．答案与评分标准一、解答题(共30小题)1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图)的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．(1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2)以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方?还是下方？还是正好落在此直线上?并说明理由．考点：二次函数综合题。

抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)[例]已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1.注：作铅垂线求S△ACD也是可以的（2）方法一：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．方法二：（K 值法）结论1：直线1111:l y k x b =+与直线2222:l y k x b =+垂直⇔121k k =-； 结论2：点11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x ≠）分别是直线:l y kx b =+上两个不同的点，则2121y y k x x -=-.（证明：11y kx b =+……①22y kx b =+……②， ②－①得，2121()y y k x x -=-，2121y y k x x -=-） 解：90932(5)3AD a a k a ---===----，9(5)42202CD a a a k a ----===---， ∵∠ADC =90°，∴1AD CD k k =-，即23261a a a -⨯=-=-，12a a ==. ∴抛物线的解析式为：y =（x +5）（x ﹣1）=x 2+x ﹣． 练习.已知抛物线c bx x y ++-=221与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。

1.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．图1 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 4.Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．5.如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图26.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．7.如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,8.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝310．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图9.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图212.如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．13.如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC 和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1。

抛物线中的存在性问题复习1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .例1：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。

变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例2：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．A B C O xyD变式3：点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例3：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．A B CO xy M NA BCO xy变式5：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.变式6：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法： 三、巩固训练1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .（第1题） （第2题）A BC O xy DA B CO xyD2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （12-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．（1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上。

抛物线与存在性-1一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2、（2000•甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．（1）求点M和N的坐标；（2）求系数a的取值范围；（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2000•内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是，过A（0，4）作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2001•哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、（2001•山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC．（1）求a与c的关系式；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6、（2001•温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．7、（2001•无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．8、（2002•鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B （x2，0）（x l＜x2），且x12+x22=34．（1）求m，x1，x2的值；（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2002•贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．10、（2002•广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．11、（2002•内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC 三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实数根，且a=b；（1）试判定，△ABC的形状；（2）当时求此抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．12、（2002•泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、（2002•青海）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．（1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=S△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．14、（2002•山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O 为坐标原点．（1）证明：△OAB为等边三角形；（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2002•武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）2=12CO+1．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．16、（2002•无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式．（2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．17、（2002•乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2．（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．18、（2003•北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2002•浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点，（1）求这条抛物线的解析式；（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2002•浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q 三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21、（2002•漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．（1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22、（2003•长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．23、（2003•福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．24、（2003•哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．25、（2003•汕头）已知抛物线y=﹣x2+（m+3）x﹣（m﹣1）．（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）；（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）26、（2003•山西）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．27、（2003•武汉）已知：二次函数y=x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．28、（2003•无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC﹣S△OBC=OA•OB）（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．29、（2003•泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．30、（2004•长春）已知二次函数y=x2﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题：（1）求△ABC的面积；（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．考点：二次函数综合题。

2019-2020年中考数学函数图象中的存在性问题解析1.(2013年上海市中考第24题) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 图2 ◆思路点拨：1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．◆满分解答：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH A (-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (-，可得a =． 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x =-=．（2）由221)y x x ==-，得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (-、B (2,0)、M (1,3-，得t a n 3ABO ∠=，AB =3OM =．所以∠ABO ＝30°，OA OM=C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当B A O A B C O M==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当B C O B A O ==时，36B C B ==．此时C (8,0)．图3 图4 2.（2014•四川内江，第28题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3.0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．◆满分解答：（1）如图1，∵A （﹣3，0），C （0，4），∴OA=3，OC=4． ∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB 上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2++=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA ．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB ．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M 的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．3.(2009年临沂市中考第26题)如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． ,图1 ◆满分解答：（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==COAO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6 4.(2013年山西省中考第26题)如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 ◆满分解答：（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)．（2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++． 当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．◆考点伸展：第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4 5.(2012年扬州市中考第27题)如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2◆满分解答：（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x－3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ．由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2．所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)． ◆考点伸展：第（3）题的解题过程是这样的：设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±．此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6．当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图56.(2013年上海市松江区中考模拟)如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1 图2◆满分解答：（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 1,164 3.c b c =⎧⎨-++=⎩解得92b =，c ＝1．所以抛物线的解析式是2912y x x =-++． （2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5．如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5AOH OBC ∠=∠=，所以4sin 5AH OA AOH =⋅∠=． 所以35OH =，225BH OB OH =-=． 在Rt △ABH 中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=． （3）直线AB 的解析式为112y x =+．设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1(,1)2x x +，那么2291(1)(1)422MN x x x x x =-++-+=-+．当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9(1,)2（如图3）．图3 图4 ◆考点伸展：第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得2x =（如图5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，(2，(2．图57.(2013年苏州市中考第29题)如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1 ◆满分解答：（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++． 过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c c c --=--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ．直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+． 因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5．综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个． 8.(2013年菏泽市中考第21题)如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1 ◆满分解答：（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠PAQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=， 所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+． 所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818． ◆考点伸展：如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4。

探究抛物线中特定三角形的存在性以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点．解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略．一、抛物线中等腰三角形的存在性例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点坐标为A （－2，0）．(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求C 点坐标，连结AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)易得抛物线解析式为配方得，y ＝()2125344x --+， 所以对称轴方程为x ＝3；(2)在213442y x x =-++中，令x ＝0， 则y ＝4，所以点C(0，4).令y ＝0，则2134042x x -++= 解得x 1＝8，x 2＝－2，∴A （－2，0），B(8，0).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC 的解析式为142y x =-+； (3) △AOC ∽△COB ．理由：在△AOC 与△COB 中∵OA ＝2，OC ＝4，OB ＝8， ∴2141,4282OA OC OC OB ==== ∴OA OC OC OB =．又∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ；(4)因为抛物线的对称轴方程为x ＝3，Q 点在对称轴x ＝3上，如图2．点评 本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q 坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想．二、抛物线中的直角三角形的存在性例2 （广州市中考题）如图3，抛物线y ＝－38x 2－34x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；(3)若直线l 过点E(4，0)，M 为直线l 上一动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 解析式．解 (1)A （－4，0），B(2，0)（过程略）；(2)因为抛物线y ＝－38x 2－34x ＋3的对称轴为x ＝－1， 与y 轴交点C 的坐标为(0，3)，所以直线AC 的解析式为y ＝34x ＋3．且当x ＝－1时，有y ＝94，所以直线AC 与对称轴x ＝－1的交点H 的坐标为（－1，94）． 因为AB ＝6，CO ＝3，所以△ACB 的面积为，S △ACE ＝9．不妨设点D 的坐标为（－1，m ），如图4，则△ACD 的面积为S △ACD ＝12×DH ×AO ＝9．当点D 位于AC 上方时，DH ＝m －94， 代入解得m ＝274； 当点D 位于AC 下方时，DH ＝94－m ， 代入解得m ＝－94．所以点D 的坐标为 （－1，274），或（－1，－94） (3)如图5，以AB 为直径作⊙P ，当且仅当直线l 与⊙P 相切时符合题意．因为Rt △PME 中，∠PME ＝90°，PM ＝3，PE ＝5，所以由勾股定理，可得ME ＝4．利用三角形相似可以求得点M 的坐标M （45，125） 设直线l 的解析式为y=kx+b ，代入M （45，125），E(4，0)，解得 4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，即343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l 的解析式为y ＝－34x ＋3 同理可得直线l 的另一个解析式为y ＝34x －3． 点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力．三、抛物线中相似三角形的存在例3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（x1，0），B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE＝30°，128x x-=．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)连结AD、BD，在(1)中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图7，点Q为弧EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)如图8，由抛物线的对称性可知：AD＝BD，△ADB为等腰三角形．若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，必须有∠BAP＝∠BPA＝∠BAD．设AP交抛物线的对称轴于D’点，显然同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．所以在该抛物线上不存在点P，使得与△PAB与△ADB相似；点评解决存在性问题的基本思路是：先假设存在，然后根据问题的已知条件去探索，但对于按部分条件得出的结论，还需要验证是否满足题目的全部要求．。

2021 中考数学压轴训练之图形存在性问题〔含答案〕1.如图，抛物线 y＝ax2＋ bx＋ 4 与 x 轴交于点 A(－ 1， 0)、B(8， 0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的分析式；(2)点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，过点 M 作 MH ⊥ BC 于点 H ，求△ PMH 周长的最大值；(3)在 (2) 的条件下，能否存在点 P，使得以点 P、 C、 M 为极点的三角形与△ OBC 相像？假定存在，求出点P 的坐标，假定不存在，请说明原因．第1题图解： (1)将点 A(－ 1， 0)， B(8， 0)分别代入 y＝ ax2＋ bx＋ 4 中，a－ b＋ 4＝ 0得，64a＋ 8b＋ 4＝01a＝－2解得，7b＝217∴抛物线的分析式为 y＝－2x2＋2x＋ 4；(2)对于 y＝－12x2＋72x＋ 4，令 x＝ 0，那么 y＝ 4，∴点 C 的坐标为 (0， 4)，设直线 BC 的分析式为 y＝ kx＋ t，将点 B(8， 0)， C(0，4)分别代入得，8k＋t ＝ 0k＝－12，，解得t＝ 4t＝ 4∴直线 BC 的分析式为 y＝－1x＋4，2设点 P 的坐标为 (m，－112＋72m＋4) ，那么点 M 的坐标为 (m，－2m2m＋4)，∴PM＝－12711212＋8，2m＋2m＋4－ (－2m＋ 4)＝－2m ＋ 4m＝－2(m－ 4)1∵－2<0 ，∴当 m ＝ 4 时， PM 有最大值，其最大值为 8，∵ MH ⊥ BC ， MN ⊥AB ， ∴∠ MHP ＝∠ PNB ＝ 90°，∵∠ MPH ＝∠ BPN ， ∴∠ HMP ＝∠ ABC ，∵∠ MHP ＝∠ BOC ＝ 90°， ∴△ MPH ∽△ BCO ，∵ OC ＝ 4， OB ＝ 8， ∴ BC ＝ 42＋ 82＝ 4 5，∴△ OBC 的周长为 4＋ 8＋ 4 5＝ 12＋ 4 5，设△ PMH 的周长为 L ，那么L＝ 8 ，解得 L ＝24 5＋8，12＋4 5 4 55245∴△ PMH 周长的最大值为＋ 8；(3)存在，①当∠ MCP ＝90°时，易得△ MPC ∽△ BCO ，第1题解图①如解图①，过点 M 作 MG ⊥OC 于点 G ，∴∠ GCM ＋∠ BCO ＝∠ OBC ＋∠ BCO ＝ 90°， ∴∠ GCM ＝∠ OBC ，∵∠ CGM ＝∠ BOC ＝90°， ∴△ CMG ∽△ BCO ，MG OC 1∴ CG ＝OB ＝2，1∴MG ＝2CG ，由 (2)知，点 P 的坐标为 (m ，－12m ＋4)，点 M 的坐标为 (m ，－ 12m 2＋72m ＋4) ，∴ m ＝ 1CG ＝1(OG － OC)＝ 1(－ 1m 2＋7m ＋ 4－ 4)，22222 整理得 m 2－ 3m ＝ 0，解得 m ＝ 0(舍去 ) 或 m ＝3，5∴点 P 的坐标为 (3， 2)；第1题解图②②当∠ PMC ＝90°时，如解图②，易得△CPM ∽△ BCO，∵∠ MNO ＋∠ CMP ＝ 180°，∴CM∥ OB，∴MN＝ OC＝ 4，17∴－ m2＋ m＋ 4＝ 4，22解得 m＝ 0(舍去 ) 或 m＝7，1∴点 P 的坐标为 (7，2)，综上所述，存在知足条件的点51)．P，点 P 的坐标为 (3， ) 或(7，222. 如图，以 D 为极点的抛物线 y＝－ x2＋ bx＋c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y＝－ x＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线 BC 上有一点 P，使 PO＋PA 的值最小，求点P 的坐标；(3)在 x 轴上能否存在一点Q，使得以 A、C、 Q 为极点的三角形与△BCD 相像，假定存在，恳求出点Q的坐标；假定不存在，请说明原因．第2题图解： (1)∵直线 y＝－ x＋3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，当 x ＝ 0 时， y＝ 3，当 y＝ 0 时， x＝ 3，∴B 点坐标是 (3，0)， C 点坐标是 (0， 3)，∵抛物线 y＝－ x2＋ bx＋ c 经过 B， C 两点，c＝3，解得c＝ 3∴，－9＋ 3b＋ c＝ 0b＝ 2∴抛物线的分析式为：y＝－ x2＋ 2x＋ 3；(2)如解图，作点O 对于直线BC 的对称点O′，连结 O′C， O′ B， O′ A，O′O，∵点 B， C 两点的坐标分别是(3， 0)和 (0， 3)，∴四边形COBO ′为正方形，∴ O ′的坐标为 (3， 3)，∵抛物线 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3 交 x 轴于 A ，B 两点， ∴当 y ＝0 时，－ x 2＋2x ＋ 3＝ 0，解得： x 1＝－ 1， x 2＝ 3，∴ A 点坐标是 (－ 1，0) ， 设直线 AO ′的分析式为 y ＝ kx ＋ b ， ∵ A(－1， 0)， O ′ (3， 3)，3∴ －k ＋ b ＝ 0 k ＝ 4，解得，3k ＋ b ＝ 3 b ＝ 3433∴直线 AO ′的分析式为： y ＝ 4x ＋ 4，直线 AO ′与直线 BC 的交点就是使PO ＋PA 的值最小的点 P 的地点，3 3x ＝ 9 ∴联立直线 AO ′与直线 BC 的分析式，得7y ＝ 4x ＋4 ，解得，12y ＝－ x ＋3y ＝ 7∴点 P 的坐标是 (9，127 7)；(3)存在．抛物线的分析式可化为 y ＝－ (x － 1)2＋ 4，∴点 D 的坐标是 (1， 4)，∵ B(3， 0)，C(0， 3)，∴ BC ＝ 3 2， CD ＝ 2， BD ＝ 2 5，∴ BC 2＋ CD 2＝ BD 2，即∠ DCB ＝ 90°， ∵点 Q 在 x 轴上， ∴∠ CAQ ≠ 90 °，①当∠ CQA ＝ 90°时， Q 点与原点重合，此时 AQ ＝ 1， CQ ＝3， AC ＝ 10，∵AQ ＝ CQ ＝ AC ＝ 2，DCBCDB 2∴△ ACQ ∽△ DBC ，此时 Q(0， 0);②当∠ ACQ ＝ 90°时，△ ACQ ∽△ DCB ∽△ AOC ，∴OA ＝AC， 1 ＝10，∴ AQ ＝ 10，CA AQ 10 AQ∵ A(－1， 0)，∴ Q(9， 0)；综上所述，在 x 轴上存在点 Q ，使得以 A 、 C 、 Q 为极点的三角形与△ BCD 相像，点 Q 的坐标是 (9， 0)或(0 ，0)．第 2题解图3.如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－ 3 经过点 A 〔 2，－ 3〕，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且OC＝ 3OB.(1)求点 B，C 的坐标；(2)假定点 D 在 y 轴上，且∠ BDO＝∠ BAC，求点 D 的坐标；(3)假定点 M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，能否存在以点A、B、M、N平行四边形？假定存在，求出全部切合条件的点M 的坐标，假定不存在，请说明原因．为极点的四边形是第3题图解： (1)令 x＝0 得 y＝－ 3，∴C(0，－ 3)，∴OC＝ 3，∵OC＝ 3OB，∴OB＝ 1，∴B(－1， 0)，把 A(2，－ 3)， B(－ 1，0)分别代入 y＝ ax2＋ bx－3 得：a－b－ 3＝ 0，解得4a＋2b－ 3＝－ 3a＝ 1，b＝－ 2∴抛物线的分析式为(2)如解图①，过点y＝ x2－ 2x－3；B 作 BE⊥AC，交AC 延伸线于点 E.第3题解图①∵C(0，－ 3)， A(2，－ 3)，∴ AC∥ x 轴，∴ BE＝ 3，又∵ OB＝1，∴AE＝ 3，∴ AE＝ BE，∴∠ BAE＝45°，∵∠ BDO＝∠ BAC＝ 45°，∴OB＝ OD，∴D 点的坐标为 (0， 1)或 (0，－ 1)，(3)存在．如解图②.第3题解图②当 AB∥ MN 时，由 AB＝ MN ＝ 3 2，可知点 M 与对称轴的距离为3，由 y＝ x2－ 2x－ 3 可得对称轴为直线 x＝ 1，∴点 M 的横坐标为 4 或－ 2，把 x＝ 4 和－ 2 分别代入 y＝ x2－ 2x－ 3 可得点 M 坐标，把x＝－ 2 代入 y＝x2－2x－ 3 得 y＝ 4＋ 4－3＝ 5，∴M1(－ 2， 5)．把 x＝ 4 代入 y＝ x2－ 2x－ 3 得 y＝16－ 8－ 3＝ 5，∴ M2(4， 5)，当 MN 与 AB 相互均分时，四边形AMBN 是平行四边形，由AC＝ BN＝2，可知点 M 与点 C 重合，∴点 M3坐标为 (0，－ 3)，∴M 的坐标为 (－ 2， 5)或 (0，－ 3)或 (4， 5)．4.如图，抛物线极点 P(1， 4)，与 y 轴交于点 C(0， 3)，与 x 轴交于点 A， B.(1)求抛物线的分析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△ BCQ 与△ BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)假定 M， N 为抛物线上两个动点，分别过点M， N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为D，E，能否存在点 M， N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明原因．第2题图解： (1)设抛物线分析式为： y＝ a(x－1) 2＋4(a≠0)．∵抛物线过点 C(0， 3)，∴a＋ 4＝ 3，∴ a＝－ 1.∴ y ＝－ (x －1) 2＋4＝－ x 2＋ 2x ＋ 3； (2)由 (1) 得，抛物线的分析式为 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3，令 y ＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3，∴ A(－1， 0)， B(3， 0)，∵ C(0， 3)，∴直线 BC 的分析式为 y ＝－ x ＋3， ∵ S △ BCP ＝ S △ BCQ ，∴点 P 、 Q 到 BC 的距离相等．①当点 P 、 Q 位于 BC 的同侧时，如解图①，过点 P 作 PQ ∥BC 交抛物线于 Q ，又∵ P(1， 4)，∴直线 PQ 的分析式为 y ＝－ x ＋5，联立y ＝－ x ＋ 5，y ＝－ x 2＋ 2x ＋3.x 1＝ 1 x 2 ＝ 2解得 (舍去 )， ，y 1＝ 4 y 2 ＝ 3∴ Q 1(2，3)．第4题解图①②当点 P 、 Q 位于 BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交 BC 于点 G ，交 x 轴于点 H ，∴ G(1， 2)，∵此时点 P 、H 到 BC 的距离相等，∴ H(1， 0)， ∴ PG ＝ GH ＝ 2，如解图①，过点 H 作 Q 2Q 3∥BC 交抛物线于点Q 2，Q 3.直线 Q 2Q 3 的分析式为 y ＝－ x ＋1， 联立y ＝－ x ＋ 1，y ＝－ x 2＋ 2x ＋3.x 1＝ 3＋ 173－ 172x 2＝ 2解得，，y 1＝－1－ 17－1＋ 172y 2＝2∴ Q 2( 3－ －1＋ 173＋ 17， －1－ 1717，)， Q 3(2)．2 22综上所述，知足条件的点Q 的坐标为 (2，3)或(3－17，－1＋ 17)或 (3＋17，－ 1－17 22)；22第4题解图②(3)存在知足条件的M，N.如解图②，过点那么△ MNF 与△NEHM 作 MF ∥ y 轴，过点都是等腰直角三角形．N 作NF∥ x 轴交MF于点F ，过点N 作NH ∥ y 轴交BC于点H.设 M(x1， y1)，N(x2， y2)，直线MN的分析式为y＝－ x＋ b.y＝－ x＋ b，∵y＝－ x2＋ 2x＋ 3，∴x2－ 3x＋ (b－3)＝ 0.∴NF2＝ |x1－ x2|2＝(x1＋ x2)2－ 4x1x2＝ 21－ 4b.∵△ MNF 为等腰直角三角形，∴MN 2＝ 2NF 2＝ 42－ 8b.∵直线 MN 与 y 轴交点 (0， b)到点 C(0， 3)的距离为 |b－3|，∴NH2＝ (b－ 3)2，2∵ NE＝2 NH，1∴ NE2＝2(b－ 3)2.假如四边形MNED 为正方形，∴NE2＝ MN 2，∴42－8b＝12(b2－ 6b＋9) ．∴b2＋ 10b－ 75＝ 0，∴b1＝－ 15， b2＝ 5.∵正方形边长为MN ＝42－ 8b，∴MN＝ 9 2或 2，∴正方形MNED 的边长为9 2或 2.5. 如图，抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的对称轴为直线x＝－ 1，且抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，此中 A(1，0)， C(0， 3)．(1)假定直线 y＝mx＋ n 经过 B， C 两点，求直线BC 和抛物线的分析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第5题图－ 2a b＝－ 1解： (1)由题意得： a ＋ b ＋ c ＝0，c ＝ 3a ＝－ 1解得 b ＝－ 2，c ＝ 3∴抛物线分析式为 y ＝－ x 2－ 2x ＋3，∵对称轴为 x ＝－ 1，抛物线经过 A(1， 0)， ∴ B(－3， 0)，∴把 B(－ 3， 0)、 C(0， 3)分别代入 y ＝ mx ＋ n ，－3m ＋n ＝ 0 得 ，n ＝3m ＝1解得 ，n ＝ 3∴直线 BC 的分析式为y ＝ x ＋ 3；第 5题解图(2)设直线 BC 与对称轴 x ＝－ 1 的交点为 M ，如解图，连结 AM ，∵ MA ＝MB ，∴ MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC ，∴使 MA ＋ MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x ＝－ 1 代入直线 y ＝ x ＋3，得 y ＝ 2， ∴ M(－ 1， 2)，(3)设 P(－ 1， t)，∵ B(－ 3， 0)， C(0， 3)，∴ BC 2＝ 18，PB 2＝ (－1＋ 3)2＋ t 2＝ 4＋ t 2，PC 2＝ (－ 1)2 ＋ (t － 3)2＝ t 2－ 6t ＋ 10，①假定 B 为直角极点，那么 BC 2＋ PB 2＝ PC 2，即 18＋ 4＋ t 2＝ t 2－ 6t ＋10，解得 t ＝－ 2；②假定 C 为直角极点，那么 BC 2＋ PC 2＝ PB 2，即 18＋ t 2－ 6t ＋ 10＝ 4＋ t 2，解得 t ＝ 4；③假定点 P 为直角极点，那么PB 2 ＋PC 2＝ BC 2，即 4＋ t 2＋ t 2－ 6t ＋ 10＝ 18，解得 t 1＝3＋17， t 2＝ 3－ 17，2 2 综上所述， 知足条件的点3＋ 17P 共有四个， 分别为为 P 1(－1，－2) ，P 2(－ 1，4)，P 3(－ 1，2 )，P 4(－ 1，3－ 172)．6. 如图，二次函数 y ＝4x 2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A(3，0) 、B(－ 1， 0)，与 y 轴交于点 C.假定点 P 、3Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB 、 AC 运动，此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的分析式及点C 的坐标；(2)当 P 、 Q 运动 t 秒时，将△ APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 D 点处，判断四边形APDQ 的形状，并说明原因； (3)当点 P 运动到 B 点时，点角形为等腰三角形？假定存在，恳求出第6题图Q 停止运动，这时，在x 轴上能否存在点E 点坐标，假定不存在，请说明原因．E ，使得以A 、E 、Q 为极点的三4解： (1)∵二次函数 y ＝ 3x 2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A(3 ，0) 、B(－ 1， 0)两点，40＝ 3× 9＋ 3b ＋ c∴，0＝ 43× 1－ b ＋ c8解得b ＝－3，c ＝－ 4∴二次函数的分析式为y ＝4x 2－ 8x － 4，3 3∴ C(0，－ 4)；(2)四边形 APDQ 为菱形，原因以下：如解图①所示，第6题解图①∵AP＝ AQ＝ t， AP＝ DP ，AQ＝ DQ ，∴ AP＝ AQ＝ DQ＝ DP，∴四边形 APDQ 为菱形；(3)存在．如解图②，过点Q 作 QM⊥OA 于点 M，此时 QM∥OC，第6题解图②∵A(3， 0)，B(－ 1， 0)，C(0，－ 4)，∴ AB＝ 4，OA＝ 3， OC＝ 4，∴AC＝ 32＋ 42＝ 5，∵当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动， AB＝ 4，∴AQ＝ 4.∵QM∥ OC，∴△ AMQ ∽△ AOC，∴QMOC＝AMAO＝AQAC，∴QM＝AM＝ 4，4351612∴QM＝5，AM＝5，316 设 E(x，0) ，∵ Q(5，－5 )，那么 AE2＝ (3－ x)2， AQ2＝ AB2＝ 16， EQ2＝ (35－ x)2＋ (165)2，①当 AE 2＝ AQ2，即 (3－ x)2＝ 16 时，解得 x1＝－ 1， x2＝ 7，②当 AE 2＝ EQ2，即 (3－ x)2＝ (3－ x)2＋ (16)2，551解得 x3＝－3，③当 AQ 2＝ EQ2，即 (35－ x)2＋ (165)2＝ 16 时，9解得 x3＝－5， x4＝ 3(舍 )，综上所述，存在知足条件的点E，点 E 的坐标为 (－13， 0)或 (－95， 0)或 (－ 1， 0)或 (7， 0)．7.如图，抛物线经过原点 O(0，0)，与 x 轴交于点 A(3， 0)，与直线 l 交于点 B(2，－ 2)．(1)求抛物线的分析式；第7题图(2)点 C 是 x 轴正半轴上一动点，过点 C 作 y 轴的平行线交直线l 于点 E，交抛物线于点 F ，当 EF＝ OE 时，恳求出点 C 的坐标；(3)点 D 为抛物线的极点，连结OD，在抛物线上能否存在点P，使得∠ BOD＝∠ AOP？假如存在，请直接写出点P 的坐标；假如不存在，请说明原因．解： (1) 由题意可设抛物线的分析式为y＝ ax2＋ bx，将A(3， 0)， B(2，－ 2)代入y＝ ax2＋ bx中，得9a＋ 3b＝0a＝ 1，解得，4a＋ 2b＝－ 2b＝－ 3∴抛物线的分析式为y＝ x2－ 3x；(2)方法一：设直线l 的分析式为y＝ kx，将 B(2，－ 2)代入 y＝kx 中，得－ 2＝ 2k，解得 k＝－ 1，∴直线 l 的分析式为 y＝－ x，设点 C 的坐标为 (n， 0)，那么点 E 的坐标为 (n，－ n)，点 F 的坐标为 (n，n2－3n)．①当点 C 在点 A 的左边时，如解图①所示， EF＝－ n－ (n2－ 3n)＝－ n2＋ 2n，OE＝n2＋〔－ n〕2＝2n，∵EF＝ OE，∴－ n2＋ 2n＝2n，解得 n1＝0(C， E， F 三点均与原点重合，舍去)， n2＝ 2－2，∴点 C 的坐标为 (2－2， 0)；②当点 C 在点 A 的右边时，如解图②所示，EF＝ n2－ 3n－(－ n)＝ n2－ 2n，OE＝n2＋〔－ n〕2＝2n ，∵EF＝ OE，∴n2－ 2n＝ 2n，解得 n1＝0(C， E， F 均与原点重合，舍去)， n2＝2＋2，∴点 C 的坐标为 (2＋2， 0)；方法二：设直线l 的分析式为y＝ kx，将点 B(2，－ 2) 代入 y＝ kx 中，得－ 2＝ 2k，解得 k＝－ 1，∴直线 l 的分析式为y＝－ x，∴∠ AOB＝ 45°，∵CF∥ y 轴，∴△ OCE 为等腰直角三角形，∴OE＝ 2CE，∵ EF＝ OE，∴EF＝ 2CE.设点 C 的坐标为 (m，0)，那么点 E 的坐标为 (m，－m)，点 F 的坐标为 (m， m2－3m)，当点 C 在点 A 左边时，如解图①所示，EF ＝－ m－(m2－ 3m)＝－ m2＋2m， CE＝ m，由 EF＝ 2CE 得－ m2＋ 2m＝ 2m，解得 m1＝ 0(C，E， F 点均与原点重合，舍去)， m2＝2－2，∴ C 点的坐标为 (2－2， 0)；第7题解图①当点 C 在 A 点右边时，如解图②所示， EF＝ m2－ 3m－ (－ m)＝ m2－ 2m，CE ＝m，由 EF＝ 2CE 得 m2－2m＝ 2m，解得 m 3＝ 0(C ，E ， F 三点均与原点重合，舍去 )，m 4＝ 2＋ 2，∴ C 点的坐标为 (2＋ 2， 0)．综上所述，当 EF ＝ OE 时，点 C 的坐标为 (2－2， 0)或 (2＋ 2， 0)；第7题解图②14 1416 16 (3)存在点 P 使得∠ BOD ＝∠ AOP ，点 P 的坐标为 ( 5，－25)或 ( 5 ，25)．8.如图，点 A(－ 1，0) ，B(3， 0)， C(0， 1)在抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 上．第8题图(1)求抛物线分析式；(2)在直线 BC 上方的抛物线上求一点P ，使△ PBC 面积为 1；(3)在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，能否存在一点 Q ，使∠ BQC ＝∠ BAC ？假定存在，求出Q 点坐标；假定不存在，说明原因．1 2x ＋ 1；解： (1)抛物线的分析式为 y ＝－ x 2＋3 31(2)由 B(3， 0)， C(0， 1)可得直线 BC 分析式为 y ＝－ 3x ＋ 1，如解图①，过点 P 作直线 PD ⊥ x 轴交直线BC 于点 D .连结 PC ， PB ，第8题解图①设 P(x，－1 2213x ＋3x＋ 1)，易得 D(x，－3x＋ 1)，∴PD＝－13x2＋ x，∴S△PBC＝ S△PDC＋ S△PDB＝12PD(x B－ x C)＝－12x2＋32x，又∵ S△PBC＝ 1，∴－1x2＋3x＝ 1，∴ x2－ 3x＋ 2＝ 0，224解得 x2＝ 1， x2＝ 2，∴ P1(1，3)， P2(2， 1)；(3)存在，原因以下：如解图，∵A(－1， 0)， C(0， 1)，∴OC＝ OA＝1，∴∠ BAC＝ 45°，∵∠ BAC＝∠ BQC，∴∠ BQC＝ 45°，∴点 Q 为△ ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．设△ ABC 外接圆心为M，∵线段 AC 的垂直均分线为直线y＝－ x，线段 AB 的垂直均分线为直线x＝ 1，∴点 M 为直线 y＝－ x 与直线 x＝ 1 的交点，即M(1，－ 1)．∴∠ BMC ＝ 2∠ BQC ＝ 90°，又∵ MQ ＝ MB ＝5，∴ y Q＝－ (1＋5)＝－ 1－5，∵点 Q 在直线 x＝ 1 上，∴ x Q＝ 1，∴ Q(1，－ 1－5) ．第8题解图②9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 交 x 轴于 A、B 两点 (A 在 B 的左边 )，且 OA＝3， OB＝ 1，与 y 轴交于 C(0， 3)，抛物线的极点坐标为D(－ 1， 4)．第9题图(1)求 A、 B 两点的坐标；(2)求抛物线的分析式；(3)过点 D 作直线 DE ∥y 轴，交 x 轴于点 E，点 P 是抛物线上 B、 D 两点间的一个动点 (点 P 不与 B、D两点重合 )， PA、 PB 与直线 DE 分别交于点 F 、 G，当点 P 运动时， EF ＋ EG 能否为定值？假定是，试求出该定值；假定不是，请说明原因．解： (1)由题意得，点 A 的坐标为 (－ 3， 0)，点 B 的坐标为 (1， 0)；(2)设抛物线的分析式为y＝ a(x＋ 3)(x－ 1)，将点 C(0， 3)代入得 3＝ a× 3× (－ 1)，∴ a＝－ 1，∴抛物线的分析式为y＝－ (x＋ 3)(x－ 1)＝－ x2－ 2x＋ 3；(3)EF ＋ EG 为定值， EF ＋EG＝ 8.如解图，过点P 作 PQ∥ y 轴，交 x 轴于点 Q，第 9题解图设 P(t，－ t2－ 2t＋ 3)，那么 PQ＝－ t2－2t ＋ 3， AQ＝ 3＋t，QB＝ 1－ t，∵ DE∥ y 轴，∴ PQ∥ DE，∴△ AEF ∽△ AQP ，∴AE＝EF，点 E 的横坐标与点 D 的横坐标同样，AQ PQ∵A(－3， 0)， E(－ 1，0)， B(1， 0)，∴ AE ＝ BE ＝ 2，∴EF ＝ AE · PQ ＝ 2×〔－ t 2－ 2t ＋ 3〕 ＝2×〔 1－ t 〕〔 t ＋ 3〕 ＝ 2(1－ t)，AQ3＋ t3＋t又∵ PQ ∥EG ， ∴△ BEG ∽△ BQP ，BE EG ∴ BQ ＝ PQ ，∴ EG ＝ BE · PQ ＝2×〔－ t 2－ 2t ＋ 3〕＝ 2×〔 1－t 〕〔 t ＋3〕 ＝ 2(t ＋ 3)，BQ 1－ t 1－ t ∴ EF ＋ EG ＝ 2(1－t)＋ 2(t ＋ 3)＝ 8.10.如图，抛物线 y ＝ 12x 2＋ bx －2 与 x 轴订交于 A ， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A(－1， 0)．(1)求抛物线的分析式及极点D 的坐标；(2)判断△ ABC 的形状，并证明你的结论；(3)点 M 是 x 轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M 的坐标．第10题图解： (1)∵ A( －1， 0)在抛物线上，∴ 0＝1× (－ 1)2－ b － 2，2解得 b ＝－32，∴抛物线的分析式为y ＝ 12x2－32x － 2，∵ y ＝ 12 3 13 2252x－2x － 2＝ 2(x － 2) － 8 ，∴ D 点坐标为 (3，－25)；28(2)△ ABC 为直角三角形，证明以下：1231 2 3∵在 y ＝2x － 2x － 2 中，令 y ＝ 0，可得 0＝2x －2x － 2，解得 x ＝－ 1 或 x ＝4， ∴ B(4， 0)，令 x ＝ 0，可得 y ＝－ 2，∴ C(0，－ 2)，∴ OA ＝ 1，OB ＝ 4， OC ＝ 2，由勾股定理可得， AC 2 ＝OA 2 ＋OC 2＝ 1＋ 4＝ 5， BC 2＝ OB 2＋OC 2＝ 16＋ 4＝ 20，又∵ AB 2＝ 52＝ 25，∴AC2＋ BC2＝ AB2，∴△ ABC 为直角三角形；(3)如解图，作点 C 对于 x 轴的对称点E，连结 DE 交 x 轴于点 M，第 10 题解图∵C(0，－ 2)，∴ E(0， 2)，设直线 DE 的分析式为y＝ kx＋ b′，把 D、 E 坐标代入可得，2＝ b′253，－8＝2k＋ b′41解得k＝－12，b′＝ 2∴直线 DE 的分析式为 y＝－4124，12x＋ 2，令 y＝0，可得 x＝41∴当△ DCM 的周长最小时，点M 的坐标为 (24， 0)．41。