天津市2013届最新高三数学精选分类汇编14 选修部分 文

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（文史类）一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,1A x x B x x =∈=∈R R 剟, 则B A = （ ）A. (],2-∞-B.[]1,2C.[]2,2-D. []2,1-【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟2．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ）A. 7-B.4-C. 1D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.3．阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行程序框图中的循环语句，求值. 【参考答案】D【试题解析】结合循环结构逐步执行求解. .0,1==s n第一次：()211,21,11101=+=<--=⨯-+=n s ，第二次：()312,21,12112=+=<=⨯-+-=n s ，第三次：()31132,22,314s n =+-⨯=--<=+=，第四次：()22,24124==⨯-+-=s ，满足2s …，跳出循环，输出4=n .4．设,a b ∈R 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【测量目标】不等式的性质及运算，充分、必要条件.【考查方式】给出关于,a b 的两个不等式，由,a b 关系判断充分、必要条件. 【参考答案】A【试题解析】分别判断由2()0a b a -<是否能得出b a <成立和由b a <是否能得出2()0a b a -<成立.由2()0a b a -<可得b a <，当0=a ,b a <成立；而当0=a ，b a <成立时，2()0a b a -<不成立，所以2()0a b a -<是b a <的充分而不必要条件.5．已知过点()2,2p 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A. 12-B. 1C. 2D.12【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】由线线垂直判断切线方程，根据切线过固定点，圆心到切线的距离等于圆的半径，用点到直线的距离公式列出等式进而求未知数. 【参考答案】C【试题解析】圆的切线与直线10ax y -+=垂直，设切线方程为0=++c ay x ，再代入点(2,2)P 结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a 的值.由题得圆心()1,0，切线与直线01=+-y ax 垂直，切线方程为0=++c ay x .（步骤1）0=++c ay x 过点p )2,2(22,c a ∴=--=2=a .（步骤2）6．函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 （ ）A.1-B.C. D. 0【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出正弦函数()f x 及其定义域，由正弦函数的单调性判断最小值.【参考答案】B 【试题解析】确定π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. πππ3π0,,22444x x ⎡⎤∈∴--⎢⎥⎣⎦剟,（步骤1） 当ππ244x -=-时，π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值22-.（步骤2） 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…, 则a 的取值范围是 （ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【测量目标】利用函数的奇偶性、单调性求参数范围.【考查方式】已知复合函数()f x 的不等式，先转化再由函数的单调性和奇偶性，求解不等式中的参数范围. 【参考答案】C【试题解析】根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式的求解..12log f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log f a -=()2log f a ,∴原不等式可化为()2log f a ()1f ….（步骤1）又 ()x f 在区间[)0+∞，上单调递增，0∴…2log a …1，即1…2a ….（步骤2）()x f 是偶函数，∴()2log f a ()1f -….（步骤3）又()x f 在区间(]0,∞-上单调递减，1∴-…2log a 0…，112a 剟.（步骤3）综上所知122a 剟.（步骤4）8．设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小. 【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.()e 10x f x '=+> ，∴()x f 是增函数. （步骤1）∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x'=+>∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）(1)20,g =-< (2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +- = . 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出两个复数的乘积形式，直接求答案. 【参考答案】55i -【试题解析】()()23i 12i 35i 2i 55i +-=--=-.10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π2, 则正方体的棱长为 .【测量目标】空间几何体的结构特征及运算.【考查方式】已知球的体积，利用球内接于正方体的特殊性质，求棱长. 【参考答案】3【试题解析】先求球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，求半径为R ，则3493ππ,3,322R R a =∴==∴=11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线的方程及性质.【考查方式】已知抛物线方程，双曲线的离心率，两曲线有一个共同焦点，利用抛物线、双曲线的性质求方程.【参考答案】1322=-y x 【试题解析】首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出b a ,的值.由题可知抛物线的准线方程为2-=x ，∴双曲线的半焦距2=c .（步骤1） 又双曲线的离心率为2 ，∴3,1==b a ，（步骤2）∴双曲线的方程为1322=-y x .（步骤3） 12．在平行四边形ABCD 中, 1AD =， 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】已知平行四边形及向量，用向量表示，运用平面向量简单的四则运算求值. 【参考答案】21 【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE AD AB =- ，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB DC , 过点A 作的切线与CB 的延长线交于点E . 若5AB AD ==, 4BE =, 则弦BD 的长为 .【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知圆、内接多边形及切线，利用圆的内接四边形的性质、切割线定理、三角形的相似，求弦长. 【参考答案】215【试题解析】根据圆的内接四边形的性质，切割线定理及三角形的相似的性质列出比例式求解.因为AB DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以5===AB AD BC .（步骤1）又AE 是切线，所以AE BD ，()244536AE BE EC ==+= ，所以6=AE .（步骤2）因为CDB ∠=BAE ∠， BCD ∠=ABE ∠，所以ABE DCB △∽△，所以BCBEDB AE =，于是215465=⨯=BD .（步骤3） 14．设2a b +=，0b > ，则1||2||a a b+的最小值为 . 【测量目标】含绝对值的不等式求最值.【考查方式】根据已知条件，去掉绝对值符号，利用均值不等式判断最小值. 【参考答案】43 【试题解析】分0,0<>a a ，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.当0>a 时，1115224444a a ab a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭…； 当0<a 时，1111312244444a a ab a b a a b a b a b a b -+--⎛⎫+=+=+=-++-+= ⎪---⎝⎭… 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z 用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S …, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:((Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.【测量目标】随机事件及概率，抽样调查，古典概型.【考查方式】列举法，样本估计总体，古典概型及其概率计算公式等基础知识.【试题解析】用列举法计算随机事件所含的基本事件数,用古典概型及其概率计算公式求出概率. 解：（1）计算10件产品的综合指标S ，如下表：（步骤1）其中4S …的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共六件， 故该样本的一等品率为6.0106=，从而可估计该产品的一等品率为0.6. （步骤2） （2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}12,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}17,A A ,{}19,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}29,A A ,{}45,A A ,{}47,A A {}49,A A ,{}57,A A ,{}59,A A {}79,A A ,共15种. （步骤3）②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ,{}17,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}57,A A ，共6种. （步骤4） 所以()52156==B P . （步骤5） 16．(本小题满分13分)在ABC △中, 内角C B A ,,所对的边分别是,,a b c .已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正、余弦定理，两角和与差的正弦及二倍角公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用公式和定理求边长和正弦值.【试题解析】⑴先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ;⑵用二倍角公式和两角差公式求值.解：⑴在ABC △中，由sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =.（步骤1） 又由sin 3sin b A c B =，可得c a 3=.又3=a ，故1=c .（步骤2）由B ac c a b cos 2222-+=，32cos =B ，可得6=b .（步骤3）⑵由32cos =B ，得35sin =B ，进而得1cos 22cos 2-=B B 91-=， 954cos sin 22sin ==B B B （步骤4） ∴πππsin 2sin 2cos sin cos 2333B B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=18354+.（步骤5） 17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱A A 1⊥底面ABC ,且各棱长均相等.F E D ,,分别为棱11,,C A BC AB 的中点. (Ⅰ) 证明EF 平面CD A 1;(Ⅱ) 证明平面CD A 1⊥平面11ABB A ； (Ⅲ) 求直线BC 与平面CD A 1所成角的正弦值.【测量目标】立体几何的结构，线面平行，面面垂直的判定，线面夹角的正弦值.【考查方式】(1)由线线关系⇒线面平行(2)线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值. 【试题解析】(1)证明：如图，在三棱柱中111C B A ABC -，11ACAC ，且11AC AC ＝，连接ED ， 在ABC △中，因为D E ，分别为AB BC ，的中点，所以AC DE 21=且DE AC （步骤1）又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE ＝，且1A F D E ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1EFDA .（步骤2）又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ， 所以EF 平面1ACD .（步骤3） (2)证明：由于底面ABC △是正三角形，D AB 为的中点，故CD AB ⊥，（步骤4） 又由于侧棱1A A ⊥底面ABC CD ⊂，平面ABC ， 所以1A A CD ⊥.（步骤5）又1A A AB A ＝，因此CD ⊥平面11A ABB CD ⊂，而平面1ACD ， 所以平面111ACD A ABB ⊥平面.（步骤6） (3)解：在平面11A ABB 内，过点1B BG A D ⊥作交直线1A D 的延长线于点G ，连接CG . 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线11A D ACD 是平面与平面11A ABB 的交线， 故BG ⊥平面1ACD .由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．（步骤7）设棱长为a ，可得1A D =由1A AD BGD △∽△，易得BG （步骤8）在Rt BGC △中，sin BCG ∠＝5BG BC =.所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为5.（步骤9） 18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设,A B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于,C D 两点. 若8AC DB AD CB += , 求K 的值.【测量目标】椭圆的定义与几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【试题解析】 ⑴设(),F c o -，用33=a c ，知c a 3=.（步骤1） 过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有()12222=+-by a c ， 解得36±=y ，于是334362=b ，解得2=b .（步骤2） 又222b c a =-，从而1,3==c a ，所以椭圆的方程为22=132x y +.（步骤3） (2)设点()11,C x y ，()22,y x D ，由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()0636322222=-+++k x k x k求解可得21x x +＝22623k k -+，21x x ＝223623k k -+.因为A ()0,3-，B ()0,3所以AC DB ＋AD CB())())11222211,,x y x y x y x y =+-+-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++()()222121262222k x x k x x k =-+-+-22212623k k+=++. （步骤5） 由已知得222126823k k++=+，解得=k （步骤6） 19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明1361n n S S +…(n *∈N ).【测量目标】等差、等比数列的通项公式及前n 项和，不等式的证明.【考查方式】(1)利用数列的定义及性质由等差数列转化求出等比数列的通项公式.(2)将等比数列的前n 项和建立不等式关系，分类讨论. 【试题解析】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4324,,2S S S -成等差数列， 所以342342S S S S -=+，即4234S S S S -=-， 可得342a a -=，于是4312a q a ==-.（步骤1） 又=1a 32，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）(2)证明：由(1)得：112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S ++….当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S ++…. （步骤3）故对于n *∈N ，有1136n n S S +….（步骤4） 20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),0,3,0().2x f x a x x a x x ax x -++-⎧>=⎪+⎪⎨⎩…(Ⅰ) 证明()f x 在区间()1,1-内单调递减, 在区间()1,+∞内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1213x x x ++-….【测量目标】函数与方程，函数与导数，不等式的性质.【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究函数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识. 【试题解析】证明：(1)设函数()()()3150f x x a x x =-+…，()=x f 2 3232a x x ax +-+()0x …， ①()213(5)f x x a '+＝－，由[2,0]a ∈－，从而当10x －＜…时，()213(5)350f x x a a '＝－＋＜－－…，所以函数()1f x 在区间(1,0]－内单调递减．（步骤1） ②()223(3)(3)(1)f x x a x a x a x '＝－＋＋＝－－，由于[2,0]a ∈-，所以当01x ＜＜时，()20f x '＜； 当1x ＞时，()20f x '＞.即函数()2f x 在区间(]0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤2）综合①，②及()()1200f f ＝，可知函数()f x 在区间(1,1)－内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤3）(2)由(1)知()f x '在区间(0)-∞，内单调递减，在区间306a +⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内单调递增．（步骤1） 因为曲线()y f x ＝在点()()(1,2,3)i i i P x f x i ，＝处的切线相互平行， 从而123x x x ，，互不相等，且()()()123f x f x f x '''＝＝．（步骤2）不妨设1230x x x ＜＜＜，由22212233(5)(3)(3)x a x a x a x a x a 3-＋=3-＋＋=3-＋＋， 解得222323(3)()0x x a x x ---33＋＝23x x ＋＝33a +，从而20x ＜＜36a +3x ＜.（步骤3） 设()23(3)g x x a x a ＝-＋＋，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭()()20g x g a ＜＜＝.由()2123(5)x a g x a -＋=＜，解得 10x ＜，所以123x x x ＋＋＞33a +.（步骤4）设t =a =2352t -，因为[2,0]a ∈－，所以t ∈⎣⎦，（步骤4） 故123x x x ＋＋＞，2231111(1)6233t t t +-+=---…即123x x x ＋＋…13-.（步骤5）。

2013年天津市高考数学试卷（文科）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知集合A ＝{x ∈R||x|≤2}，B ＝{x ∈R|x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A (−∞, 2] B [1, 2] C [−2, 2] D [−2, 1]2. 设变量x ，y 满足约束条件{3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0 ，则目标函数z ＝y −2x 的最小值为（ ）A −7B −4C 1D 23. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（ ）A 7B 6C 5D 44. 设a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2<0”是“a <b”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 已知过点P(2, 2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切，且与直线ax −y +1=0垂直，则a =( )A −12B 1C 2D 126. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0, π2]上的最小值是( ) A −1 B −√22 C √22D 0 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)单调递增．若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是（ ）A [1, 2]B (0,12] C [12，2] D (0, 2]8. 设函数f(x)＝e x +x −2，g(x)＝lnx +x 2−3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（ ）A g(a)<0<f(b)B f(b)<0<g(a)C 0<g(a)<f(b)D f(b)<g(a)<0二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位．复数(3+i)(1−2i)=________．10. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．11. 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________x 2−y 23=1 ．12. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AC →⋅BE →=1，则AB 的长为________．13. 如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB // DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E ．若AB =AD =5，BE =4，则弦BD 的长为________． 14. 设a +b ＝2，b >0，则12|a|+|a|b的最小值为________．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S =x +y +z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品， (I)用产品编号列出所有可能的结果；(II)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知bsinA ＝3csinB ，a ＝3，cosB =23．（1）求b 的值；（2）求sin(2B −π3)的值．17. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点 (Ⅰ)证明EF // 平面A 1CD ；(Ⅱ)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(Ⅲ)求直线B 1C 1与平面A 1CD 所成角的正弦值．18. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为√33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，求k 的值．19. 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且−2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)证明S n +1S n≤136(n ∈N ∗)．20. 设a ∈[−2, 0]，已知函数f(x)={x 3−(a +5)x,x ≤0x 3−a+32x 2+ax,x >0(Ⅰ) 证明f(x)在区间(−1, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)内单调递增；(Ⅱ) 设曲线y ＝f(x)在点P i （x i , f(x i )）(i ＝1, 2, 3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1+x 2+x 3>−13．2013年天津市高考数学试卷（文科）答案1. D2. A3. D4. A5. C6. B7. C8. A9. 5−5i 10. √3 11. x 2−y 23=112. 1213. 15214. 3415.解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为610=0.6．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；(2)(I)在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1, A2}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A7}，{A1, A9}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A7}，{A2, A9}，{A4, A5}，{A4, A7}，{A4, A9}，{A5, A7}，{A5, A9}，{A7, A9}共15种．(II)在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．则事件B发生的所有可能结果为{A1, A2}，{A1, A5}，{A1, A7}，{A2, A5}，{A2, A7}，{A5, A7}，共6种．所以P(B)=615=25．16. 在△ABC中，有正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA＝asinB，又bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，所以c＝1．由余弦定理可知：b2＝a2+c2−2accosB，cosB=23，即b2＝32+12−2×3×cosB，可得b=√6．由cosB=23，可得sinB=√53，所以cos2B＝2cos2B−1=−19，sin2B＝2sinBcosB=4√59，所以sin(2B−π3)=sin2Bcosπ3−sinπ3cos2B=4√59×12−(−19)×√32=4√5+√318．17. 证明：(I)三棱柱ABC−A1B1C1中，AC // A1C1，AC＝A1C1，连接ED，可得DE // AC，DE=12AC，又F为棱A1C1的中点．∴ A1F＝DE，A1F // DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF // DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴ EF // 平面A1CD(II)∵ D是AB的中点，∴ CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴ AA 1⊥CD ，又AA 1∩AB ＝A ，∴ CD ⊥面A 1ABB 1，又CD ⊂面A 1CD ， ∴ 平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1； (III)过B 作BG ⊥A 1D 交A 1D 于G ，∵ 平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，且平面A 1CD ∩平面A 1ABB 1＝A 1D ， BG ⊥A 1D ，∴ BG ⊥面A 1CD ， 则∠BCG 为所求的角， 设棱长为a ，可得A 1D =√52a ，由△A 1AD ∽△BGD ，得BG =√55a ， 在直角△BGC 中，sin∠BCG =BG BC=√55， ∴ 直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值√55．18. （1）根据椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． ∵ 过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4√33， ∴ 当x ＝−c 时，a 2−b 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a ，∴2b 2a=4√33， ∵ 离心率为√33，∴ ca=√33， 解得b =√2，c ＝1，a =√3． ∴ 椭圆的方程为x 23+y 22=1；（2）直线CD:y ＝k(x +1)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由{y =k(x +1)x 23+y 22=1消去y 得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6＝0，△＝36k 4−4(2+3k 2)(3k 2−6)>0，∴ x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A(−√3, 0)，B(√3, 0)， ∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →＝(x 1+√3, y 1)⋅(√3−x 2．−y 2)+(x 2+√3, y 2)⋅(√3−x 1．−y 1)，＝6−(2+2k 2)x 1x 2−2k 2(x 1+x 2)−2k 2， ＝6+2k 2+122+3k 2=8，解得k =±√2，满足△>0，则k ＝±√2．19. （1）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵ −2S 2，S 3，4S 4等差数列，∴ 2S 3＝−2S 2+4S 4，即S 4−S 3＝S 2−S 4， 得2a 4＝−a 3，∴ q =−12，∵ a 1=32，∴ a n =32⋅(−12)n−1=(−1)n−1⋅32n ； （2）证明：由(Ⅰ)得，S n =32[1−(−12)n ]1+12=1−(−12)n ，∴ S n +1S n=1−(−12)n +11−(−12)n， 当n 为奇数时，S n +1S n=1+(12)n+11+(12)n=1+12n +2n1+2n =2+12n (2n +1)， 当n 为偶数时，S n +1S n=1−(12)n +11−(12)n=2+12n (2n −1)，∴ 当n 为奇数时，S n +1S n≤S 1+1S 1=136，当n 为偶数时，S n +1S n≤S 2+1S 2=2512<136，综上，S n +1S n≤136(n ∈N ∗)成立．20. （1）令f 1(x)=x 3−(a +5)x(x ≤0)，f 2(x)=x 3−a+32x 2+ax(x >0)．①f 1′(x)=3x 2−(a +5)，由于a ∈[−2, 0]，从而当−1<x <0时，f 1′(x)=3x 2−(a +5)<3−a −5≤0，所以函数f 1(x)在区间(−1, 0)内单调递减，②f 2′(x)=3x 2−(a +3)x +a =(3x −a)(x −1)，由于a ∈[−2, 0]，所以0<x <1时，f 2′(x)<0；当x >1时，f 2′(x)>0，即函数f 2(x)在区间(0, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)上单调递增． 综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知：f(x)在区间(−1, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)内单调递增；（2）证明：由(Ⅰ)可知：f′(x)在区间(−∞, 0)内单调递减，在区间(0,a+36)内单调递减，在区间(a+36,+∞)内单调递增．因为曲线y ＝f(x)在点P i （x i , f(x i )）(i ＝1, 2, 3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)=f ′(x 2)=f ′(x 3)．不妨x 1<0<x 2<x 3，由3x 12−(a +5)=3x 22−(a +3)x 2+a =3x 32−(a +3)x 3+a ．可得3x 22−3x 32−(a +3)(x 2−x 3)=0，解得x 2+x 3=a+33，从而0<x 2<a+36<x 3．设g(x)＝3x 2−(a +3)x +a ，则g(a+36)<g(x 2)<g(0)=a ．由3x 12−(a +5)=g(x 2)<a ，解得−√2a+53<x 1<0，所以x 1+x 2+x 3>−√2a+53+a+33，设t =√2a+53，则a =3t 2−52，∵ a ∈[−2, 0]，∴ t ∈[√33,√153]， 故x 1+x 2+x 3>−t +3t 2+16=12(t −1)2−13≥−13，故x 1+x 2+x 3>−13．。

最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编5：数列一、选择题1 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且{}n a 是单调递增数列,则实数a的取值范围是（）A ．[)7,8B ．()1,8C ．()4,8D ．()4,72 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知等差数列{}na 中,a 7+a 9=16,S 11=299,则a 12的值是（） A ．15B ．30C ．31D ．643 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）数列}{n a 的前n 项和为)()1(,1*2N n a b n n S n n n n ∈-=++=,则数列}{n b 的前50项的和为（） A ．49B ．50C ．99D ．1004 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{a n }满足：765=2a a a +，若存在两项,n m a a 使得14a =，则nm 41+的最小值为（） A ．23 B ．35 C ．625D ．不存在5 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，数列{an}前9项的和为（） A ．297B ．144C ．99D ．666 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则∆ABC是（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形7 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m na a 使得14m n a a a =，则14m n+的最小值为（） A ．32B ．53C ．256D ．不存在8 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为（） A ．16B ．13C ．35D ．569 ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{a n }的首项为1，若1234,2,a a a 成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为（） A ．1631 B ．2 C ．1633 D ．3316 二、填空题10．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正项等比数列中，若，则等于______.11．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个花盆(如图).设第n层共有花盆的个数为)(nf,则)(nf的表达式为_____________________.12．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）数列{an}中，若a1=1，123n na a+=+（n≥1），则该数列的通项an=________。

天津市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（14） 复数与推理证明一、选择题:1.（天津市十二区县重点中学2013年高三毕业班联考一）i 是虚数单位，复数31i i--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -【答案】C 1．（天津市天津一中2013届高三第一次月考文）i 是虚数单位,复数2i 1i z -==-( ) A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i - 【答案】A 【解析】2i (2i)(1+i)3311i (1i)(1+i)222i z i --+====+--，选A. 2．（天津市新华中学2012届高三第二次月考文）复数ii 43)21(2-+的值是 A. 1- B. 1 C. i - D. i【答案】A【解析】22(12)144341343434i i i i i i i+++-+===----，选A.二、解答题:20. （天津市南开中学2013届高三第四次月考理）（本小题14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中0>a 。

（1）求a 的值（2）若对任意的),0[+∞∈x ，有2)(kx x f ≤成立，求实数k 的最小值 （3）证明∑=∈<+--n i N n n i 1*)(2)12ln(122 20. 解：（1）)(x f 的定义域为),(+∞-aax a x a x x f +-+=+-='111)(，由0)(='x f ，得a a x ->-=1， 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表： x )1,(a a --a -1 ),1(+∞-a )(x f ' －0 ＋ )(x f↘ 极小值 ↗ 因此，)(x f 在a x -=1处取得最小值，故由题意01)1(=-=-a a f ，所以1=a 。

（Ⅱ）解：当0≤k 时，取1=x ，有02ln 1)1(>-=f ，故0≤k 不合题意。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A B =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C)(D) 07．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表（II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；_E _A（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1A 1B18．(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 且与x 轴（I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤ ，选D. 2．A 解：由2z y x =-得 。

最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是 （ ）A ．24B ．12C ．8D ．42 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）在正三棱锥P ABC -中,,D E 分别是,AB AC 的中点,有下列三个论断:①PB AC ⊥;②AC //平面PDE ;③AB ⊥平面PDE ,其中正确论断的个数为 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 3 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）设,m n 是两条不同的直线,γβα、、是三个不同的平面.给出下列四个命题: ①若m ⊥α,//n α,则m n ⊥; ②若γβγα⊥⊥,,则βα//; ③若//,//m n αα,则//m n ;④若//,//,m αββγα⊥,则m γ⊥.其中正确命题的序号是 （ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 4 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C l D 1中，AA 1=2AB ，E是AA 1的中点，则异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为 （ ）A ．15B C D ．35二、填空题5 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________.6 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈,AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是_________.7 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.8 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.9 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）若某几何的三视图(单位:cm )如下图所示,此几何体的体积是_____________3cm .10．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为________.11．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位cm)，可得这个几何体的体积是 cm 3.12．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为13．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）一个几何体的三视图如右图所示(单位：cm)，则这个几何体的体积为 立方厘米．2 2 22 24正视图侧视图俯视图三、解答题14．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥底面ABCD,且AB=PD=1. (1)求证:AC ⊥PB;(2)求异面直线PC 与AB 所成的角; (3)求直线PB 和平面PAD 所成角的正切值.15．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）如图,PAD ∆为等边三角形,ABCD 为矩形,平面⊥PAD 平面ABCD ,2=AB ,E 、F 、G 分别为PA 、BC 、PD 中点,22=AD .(1)求PB 与平面ABCD 所成角; (2)求证:EF AG ⊥;(3)求多面体AGF P -的体积.16．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD 是正三角形,且平面PAD ⊥底面ABCD (1)求证:AB ⊥平面PAD(2)求直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值; (3)设1AB =,求点D 到平面PBC 的距离.17．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD AB AD ======(Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (III)求点E 到平面ACD 的距离.BE18．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点.求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCCB ; (2)直线1//A F 平面ADE .19．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）已知在四棱锥P ABCD-中,//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====,,E F 分别是,AD PC 的中点. (Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面; (Ⅱ)求证//PA BEF 平面;(Ⅲ)若PB AD =,求二面角F BE C --的大小.20．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ,E 为AD 的中点,M 是棱PC 的中点,2PA PD ==,112BC AD ==,CD =. (Ⅰ)求证:PE ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求直线BM 与CD 所成角的余弦值.PABCD EMA DFEBC21．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）在如图的多面体中,EF ⊥平面AEB ,AE EB ⊥,//AD //EF BC ,24BC AD ==,2AE BE ==,G 是BC 的中点.(Ⅰ)求证://AB 平面DEG ;(Ⅱ)求直线BD 与平面BCFE 所成角的正切值; (Ⅲ)求证:BD EG⊥.22．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）如图，在直三棱柱ABC —A1BlC1中，，∠ACB=90o．AA 1=2，D 为AB 的中点.(I)求证：AC ⊥BC 1;(II)求证：AC 1//平面B 1CD ：(III)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值23．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面ABCD ．326PA AD AB BC ====，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小24．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）如图，四边形ABCD 是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE ，BE ⊥EC ，EC=1．点F 为线段BE 的中点． ( I )求证：CE ⊥平面ABE ；AEDPCB(Ⅱ)求证：DE∥平面A CF；(Ⅲ)求AC和平面ABE所成角的正弦值。

最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）3()2x f x x =+的零点所在区间为 （ ）A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l) 2 ．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，S 7=28，S 11=66，则S 9的值为（ ）A ．47B ．45C ．38D ．543 ．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））设⎩⎨⎧<+-≥--=0,620,12)(2x x x x x x f ，若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是 （ ） A ．),4(1,(+∞⋃--∞） B ．),3(2,(+∞⋃-∞）C ．),1(4,(+∞⋃--∞）D ．),3(0,(+∞⋃-∞）4 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈+∞时，函数f (x )单调递减，设1302a f (),b f (),c f ()=-==，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A ．b<a<cB ．c<b<dC ．b<c<aD ．a<b<c5 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知函数322x f (x )x ,g(x )x ln x,h(x )x x =+=+=+-的零点分别为x 1，x 2，x 3，则（ ）A ．x 3<x 1<x 2B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 1<x 2<x 3 6 ．（天津市大港区第一中学2013届高三第二次月考数学（文）试题）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 （ ）A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =7 ．（天津市大港区第一中学2013届高三第二次月考数学（文）试题）设函数1log ,0()log (),0a ax x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，(01a <<).若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是Ａ．(1,0)(0,1)- Ｂ．(,1)(1,)-∞-+∞ Ｃ．(1,0)(1,)-+∞ Ｄ．(,1)(0,1)-∞-8 ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩,若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根,则实数a 的取值范围是A ．{|20}a a -<<B ．{|20}a a -<≤C ．{|20a a -<<或12}a <<D ．{|20a a -<≤或1}a =9 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(][)10,-∞-⋃+∞B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．),1[]0,(+∞⋃-∞ 10．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D ．)2,1(11．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）设函数3()3,()=+∈f x x x x R ,当π02θ≤≤时,(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(,0)-∞ C ．1(,)2-∞ D ．(,1)-∞12．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数,满足条件)1(+=x f y 是偶函数,且当1≥x 时,1)21()(-=xx f ,则)32(f ,)23(f ,)31(f 的大小关系是（ ）A ．)31()23()32(f f f >> B ．)23()31()32(f f f >>C ．)31()32()23(f f f >>D ．)32()23()31(f f >>13．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（文）试题）已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2009()2008(f f +-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．214．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考文科数学）已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 15．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考文科数学）设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数,)('x f 是)(x f 的导函数,当],0[π∈x 时,1)(0<<x f ;当),0(π∈x 且2π≠x 时,0)(')2(>-x f x π,则函数x x f y sin )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．816．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）在下列区间中,函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为 （ ）A ．(1-4,0) B ．(0,14) C ．(14,12) D ．(12,34) 17．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）已知幂函数27+3-225()=(+1)()t t f x t t x t N -∈是偶函数,则实数t 的值为 （ ） A ．0 B ．-1或1 C ．1 D ．0或1 18．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ,当x ∈[0,2)时,2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时,1()-42t f x t ≥恒成立,则实数t 的取值范围是 （ ） A ．[-2,0)(0,l) B ．[-2,0) [l,+∞)C ．[-2,l]D ．(-∞,-2] (0,l]19．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）若2()=(-2+1+)f x lg x ax a 在区间(-∞,1]上递减,则a 的取植范围为 （ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1, +∞)D ．[2,+∞)20．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）己知函数()=(2+-1)x a f x log b (a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系是 （ ）A ．10<<b<1aB ．10<b<<1a C ．10<<a<1bD ．110<<<1a b二、填空题21．（天津市河西区2013届高三总复习质量检测（一）数学文）已知52x ⎛ ⎝的开式中的常数项为T ，()f x 是以和T 为周期的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_______________.22．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题）设函数34log (1)(4)()2(4)x x x f x x --+>⎧⎪=⎨≤⎪⎩的反函数为1()f x -，且11()8f a -=，则(7)f a += 。

2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。

2013年天津市高考数学试卷（文科）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．23．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．44．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．07．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]8．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．20．（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键．4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选：B．【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f（log 2a）+f（）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．8．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i．故答案为5﹣5i．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为．【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=．故答案为：．【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A 5，A9}，{A7，A9}共15种．（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以p（B）=．【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q 的值，代入通项公式进行化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立．【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．20．（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．【分析】（Ⅰ）令，．分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，故，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）令，．①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；当x＞1时，，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．高考真题及答案高考真题解析 可得，解得，从而． 设g （x ）=3x 2﹣（a +3）x +a ，则． 由，解得， 所以，设t=，则， ∵a ∈[﹣2，0]，∴，故， 故． 【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，文1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]2．(2013天津，文2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2 3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )．A ．7B ．6C ．5D ．44．(2013天津，文4)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013天津，文5)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．A ．12-B ．1C ．2D ．126．(2013天津，文6)函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为( )．A ．－1 B．2-C．2 D ．07．(2013天津，文7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋12(log )f a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]8．(2013天津，文8)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )．A ．g(a)＜0＜f(b)B ．f(b)＜0＜g(a)C ．0＜g(a)＜f(b)D ．f(b)＜g(a)＜0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013天津，文9)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．11．(2013天津，文11)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________．13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为__________．214．(2013天津，文14)设a ＋b ＝2，b ＞0，则1||2||a a b+的最小值为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sinA ＝3c sinB ，a ＝3，cos B ＝23. (1)求b 的值； (2)求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值．17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x ya b(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F且与x(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．2013 天津文科数学第3页419．(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)．20．(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a ∈[－2,0]，已知函数()3325030.2x a x x f x a x x ax x ⎧-(+)≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，＝，(1)证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0.证明x 1＋x 2＋x 3＞13-.2013 天津文科数学 第5页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，即A ＝{x |－2≤x ≤2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，故选D. 2． 答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0，当l 0过点A (5,3)时，z 取最小值，且为－7，选A. 3． 答案：D解析：由程序框图可知，n ＝1时，S ＝－1；n ＝2时，S ＝1；n ＝3时，S ＝－2；n ＝4时，S ＝2≥2，输出n 的值为4，故选D. 4． 答案：A解析：因为a 2≥0，而(a －b )a 2＜0，所以a －b ＜0，即a＜b ；由a ＜b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0可以为0，所以“(a－b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件． 5． 答案：C解析：由题意知点P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，设切线的斜率为k ，则2021k -⋅-＝－1，解得12k =-，直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ，其与切线垂直，所以12a -＝－1，解得a ＝2，故选C.6． 答案：B解析：因为x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值-.7． 答案：C解析：因为12log a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋12(log )f a ＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1， 解得12≤a ≤2，故选C. 8．答案：A解析：由f (a )＝e a＋a －2＝0得0＜a ＜1.由g (b )＝ln b ＋b 2－3＝0得1＜b ＜2.因为g (a )＝ln a ＋a 2－3＜0， f (b )＝e b ＋b －2＞0，所以f (b )＞0＞g (a )，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．69．解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i. 10．解析：由题意知349ππ32V R ==球，32R =.设正方体的棱长为a＝2R ，a11．答案2213y x -= 解析：抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝ca＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3，所以双曲线的方程为2213y x -=. 12．答案：12解析：取平面的一组基底{AB ，AD }，则AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB ＋AD ， AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12. 13．答案：152解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD .所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°. 又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE ·EC ＝4×9＝36，故AE ＝6. 在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝222128AB BE AE AB BE +-=⋅， cos ∠BAD ＝cos(180°－∠ABE )＝－cos ∠ABE ＝18-， 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝2254，所以BD ＝152.14．答案：34解析：因为a ＋b ＝2， 所以2a b+＝1， 1||2||a a b +＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a aa a +=，，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立．2013 天津文科数学 第7页当a ＞0时，5+1=4||4a a ，故1||52||4a a b +≥； 当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a ab +≥.综上可得最小值为34.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(1)其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝62105=. 16．解：(1)在△ABC中，由sin sin a bA B=，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ， 又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，2cos 3B =，可得b =(2)由2cos 3B =，得sin B cos 2B ＝2cos 2B －1＝19-，sin 2B ＝2sin B cos B 所以πsin 23B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππsin 2cos cos 2sin 33B B -=17．(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ， 又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形， 所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ， 又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以A 1A ⊥CD ， 又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，8所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)解：在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，连接CG . 由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线， 故BG ⊥平面A 1CD .由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D， 由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG.在Rt△BGC 中，sin ∠BCG＝BG BC =. 所以直线BC 与平面A 1CD18．解：(1)设F (－c,0)，由3c a =，知a =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得3y =±，于是33=，解得b又a 2－c 2＝b 2，从而ac ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝2262k -，x 1x 2＝223623k k-+. 因为A(3-，0)，B(3，0)， 所以AC ·DB ＋AD ·CB＝(x 1y 1x 2，－y 2)＋(x 2y 2x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++.由已知得22212623k k+++＝8， 解得k ＝19． (1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是4312a q a ==-.2013 天津文科数学 第9页又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭. (2)证明112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S +≤+.当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S +≤+.故对于n ∈N *，有1136n n S S +≤.20．证明：(1)设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝3232a x x ax +-+(x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由a ∈[－2,0]，从而当－1＜x ＜0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减．②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f 2′(x )＜0；当x ＞1时，f 2′(x )＞0.即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①，②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． (2)由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间306a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，内单调递增．因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．不妨设x 1＜0＜x 2＜x 3，由213x －(a ＋5)＝223x －(a ＋3)x 2＋a ＝233x －(a ＋3)x 3＋a ， 可得222333x x -－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝33a +，从而0＜x 2＜36a +＜x 3. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭＜g (x 2)＜g (0)＝a . 由213x －(a ＋5)＝g (x 2)＜a，解得x 1＜0，所以x 1＋x 2＋x 3＞33a +， 设ta ＝2352t -，因为a ∈[－2,0]，所以t∈⎣⎦， 故x 1＋x 2＋x 3＞2231111(1)6233t t t +-+=--≥-，即x 1＋x 2＋x 3＞13-.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A)(,2]-∞(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6(C) 5(D) 4(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A)12- (B) 1(C) 2(D)12(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)22-(C)22(D) 0(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)(0,2](8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a << (C)0()()g a f b <<(D)()()0f b g a <<2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学 第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:产品编号A 1A 2A 3A 4A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.(16) (本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .(20) (本小题满分14分) 设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。

最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编10：算法初步姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）执行右图所示的程序框图,则输出的S 的值是（ ） A ．-1 B ．23 C ．32 D ．42 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）阅读右面的程序框图,则输出的S =（ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．553 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为5-,则输出的y 值是（ ） A ．1- B ． C ． 2 D ．414 ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 是A 21．B 39．C 81．D 102．5 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）在如图所示的计算1+3+5+…+2013的程序框图中，判断框内应填入 （ ）A ．、i≤1007B ．、i≤201lC ．、i<2013D ．、i≤2013否是y =log 12输出yx =|x -3||x |>3输入x开始6 ．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．11 C．38 D．1237 ．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c值为（）A．50 B．55 C．52 D．898 ．（天津市河西区2013届高三总复习质量检测（一）数学文）右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．6 B．27 C．56 D．124二、填空题9 ．（天津市天津八中2013届高三第三次月考数学（文）试题）如图所给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编10：算法初步参考答案一、选择题1. 【答案】D解:第一次循环,21,224S i ==-=-;第二次循环,22,32(1)3S i ===--;第三次循环,23,42223S i ===-;第四次循环,24,5322S i ===-;所以该循环是周期为4的周期循环,所以当9i =时,和第四次循环的结果相同,所以4S =.选D. 2. B3. A4. 【答案】D第一次循环,3,2S n ==;第二次循环,232321,3S n =+⨯==;第三次循环,32133102,4S n =+⨯==;第四次循环,不满足条件,输出32133102S =+⨯=,选D. 5. D6. B7. B8. D二、填空题9. 10?i >。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编16：选修部分一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文））不等式222x -<的解集是（ ）A ．()-1,1B ．()-2,2C ．()()-1,00,1D ．()()-2,00,2二、填空题 2 ．（2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______.DBCE P A3 ．（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.4 ．（2013年高考陕西卷（文））A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x的不等式||||2x a x b -+->的解集是______.5 ．（2013年高考天津卷（文））如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为______.6 ．（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s=+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____ 7 ．（2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是____________ .8 ．（2013年高考广东卷（文））(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD 中,3,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_______.图 39 ．（2013年上海高考数学试题（文科））若2011x =,111x y =,则x y +=________.三、解答题 10．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-1:几何证明选讲如图,.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于CD 于C EF ，,垂直于F ,连接,AE BE .证明:(I);FEB CEB ∠=∠ (II)2.EF AD BC =11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—1几何证明选讲:如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,,E F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF ⋅=⋅,,,,B E F C 四点共圆.(Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过,,,B E F C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.12．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<).13．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—4;坐标系与参数方程已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.14．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明:DB DC =;(Ⅱ)设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF ∆外接圆的半径.15．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+.(Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(Ⅱ)设1a >-,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围 16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.17．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.18．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.。

⎨ ⎩2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P (B )·棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A , B 相互独立, 那么P ( AB ) = P ( A )P (B )·球的体积公式V = 4 π R 3.3其中 R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A)(-∞, 2](B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2)设变量 x , y 满足约束条件⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6⎦(C) 5(D) 4(4) 设a , b ∈ R , 则 “ (a - b )a 2 < 0 ”是“ a < b ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点 P (2,2) 的直线与圆(x - 1)2 + y 2 = 5 相切, 且与直线ax - y + 1 = 0 垂直, 则a =(A)- 1 2(B) 1 (C) 2(D) 12(6) 函数 f (x ) = sin ⎛ 2x - π ⎫ 在区间⎡0, π ⎤上的最小值是4 ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ (A) -1⎣ ⎦(B) - 2 2(C)22(D) 0(7) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上单调递增. 若实数 a 满足f (log 2 a ) + f (log 1 a ) ≤ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是2(A)[1, 2](B) ⎛ 0, 1 ⎤ 2 ⎥(C) ⎡1 ⎤⎝ ⎦(D)(0, 2]⎢⎣ 2 ,2⎥ (8) 设函数 f (x ) = e x + x - 2, g (x ) = ln x + x 2 - 3 . 若实数 a , b 满足 f (a ) = 0, g (b ) = 0 , 则(A)g (a ) < 0 < f (b )(B) f (b ) < 0 < g (a ) (C) 0 < g (a ) < f (b )(D)f (b ) <g (a ) < 02013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9π , 则正方体的棱长2为 .2x 2 y 2(11) 已知抛物线 y= 8x 的准线过双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为.(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60︒ , E 为 CD 的中点. 若 AC ·BE = 1 , 则 AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB //DC , 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E . 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .(14) 设 a + b = 2, b >0, 则 12 | a | + | a | 的最小值为 .b三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)某产品的三个质量指标分别为 x , y , z , 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表⎪ 如下:产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(II) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率.(16) (本小题满分 13 分)在△ABC 中, 内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c . 已知b sin A = 3c sin B , a = 3,(I) 求 b 的值;cos B =2.3(II) 求 ⎛ sin 2B - π ⎫ 的值.3 ⎝⎭(17) (本小题满分 13 分)如图, 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中, 侧棱 A 1A ⊥底面 ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱 AB , BC , A 1C 1 的中点. (I)证明 EF //平面 A 1CD ;(II) 证明平面 A 1CD ⊥平面 A 1ABB 1;(III) 求直线 BC 与平面 A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分 13 分)设椭圆 x2+ y 2 = > > 的左焦点为 F , 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截a 2b 21(a b 0)3得的线段长为 4 3 .3(I)求椭圆的方程;(II) 设 A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若AC ·DB + AD ·CB = 8 , 求 k 的值.(19) (本小题满分 14 分)已知首项为 3 的等比数列{a } 的前 n 项和为S (n ∈ N *) , 且-2S , S , 4S成等差数列.2nn234(I) 求数列{a n} 的通项公式;(II) 证明S n + S n≤ 13 (n ∈ N *) .6(20) (本小题满分 14 分)⎧ 设a ∈[-2, 0], 已知函数 f (x ) = ⎪ x 3 - (a + 5)x ,x ≤ 0,⎨x 3- a + 3 x 2 + ax , x > 0.⎪⎩2(I)证明 f (x ) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (II) 设曲线 y = f (x ) 在点P (x , f (x ))(i = 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且x x x ≠ 0,证明x + x+ x >1 . iii1 2 3123312013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。

2013年天津卷数学试题（文史类)一．选择题1。

（A ，天津,文理1）已知集合{}|2A x R x =∈≤,{}|1B x R x =∈≤，则A B =(A ）(,2]-∞ (B)[1,2] （C ）[2,2]- (D ）[2,1]-2。

设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- (C)1 （D ）2 3。

阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值为（A ）7 （B ）6 (C ）5 （D ）4 4。

设a ,b R ∈，则“2()0a b a -⋅<”是“a b <”的 （A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（A ）12-(B)1 (C ）2 （D ）126. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （A ）1- (B）2-（C）2（D)0 7。

已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是(A ）[]1,2 (B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）(]0,2 8。

设函数()2x f x e x =+-,2()ln 3g x x x =+-．若实数a ,b 满足()0f a =，()0g b =，则 （A)()0()g a f b << (B ）()0()f b g a << (C ）0()()g a f b << （D ）()()0f b g a << 二.填空题9. i 是虚数单位，复数(3)(12)i i +-=__________．10。