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主题 6思想方法微专题 1分类讨论问题背景分类是揭示概念外延的逻辑方法．很多数学问题存在一些不确定的因素，不能用统一的方法去研究、解决，这时我们就需要将研究的对象或过程进行分类，即将一个母项分成若干子项，然后对每一类子项分别加以研究，得出相应的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种解决问题的思想叫作分类讨论．引发分类讨论的因素有：（ 1）有些概念本身就包含多种情况，比如绝对值、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论，或者定理、公式、法则有范围、条件的限制．如等比数列前 n 项和公式；指数函数、对数函数的单词性等；（3）含有参数的问题，参数的不同范围的取值导致不同的结果；（4）有些问题比较复杂，它包含了多种情况，如题目的条件、结论不确定、图形位置、数量大小不确定等．思维模型说明：1．解决方案及流程：（1）确定分类讨论的对象；（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不漏不重、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论，即对各类问题进行讨论，逐步解决，各个击破；（4）归纳总结，即将各类情况归类、整合．得出综合结论．2．失误与防范（1）有关分类讨论的问题，分类不明确、分类重复或遗漏是常见的错误．要注意合理选取分类标准，厘清主次，准确分类并进行讨论；（2）还应该注意到，有时通过变换研究问题的角度．可以使分类讨论的过程简化或避免讨论．问题解决一、典型例题例 1 已知函数f x x2在 x 2 时取得极小值．a e x（ 1）求实数 a 的值；（ 2）是否存在区间m,n，使得 f x在该区间上的值域为e4 m,e4n ？若存在，求出 m， n 的值；若不存在，说明理由．例 2已知圆 M : x2y 222 y 0 上的两点，它们的横1 ，设点BC是直线 l : x坐标分别是 t, t 4 ，点P在线段BC上，过点P作圆M的切线PA，切点为A．经过A，P，M 三点的圆的圆心为D，当 t 变化时．求线段DO 长的最小值．二、自主探究1．若不等式mx2mx20 ，对一切实数x恒成立．试确定实数m 的取值范围．2．函数f xx22a1在区间1,1 上的最小值记为 g a ．（1）求g a的解析式；（2）求g a的最大值．3．已知函数f xx1,x0,求解不等式x x 1 f x 1．x, x1,14 f x x a ln x与g x x x的图象分别交直线x 1于点A B．设函数21，，a且曲线 y f x 在点A处的切线与曲线y g x在点 B 处的切线平行．（ 1）求函数f x , g x 的解析式，（ 2）当a1时，求函数h x f x g x的最小值；（3）当a 1 时，不等式f x mg x在 x 1 , 1上恒成立，求实数m 的取值范围．42。
高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。
它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。
分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。
下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。
首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。
这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。
例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。
根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。
2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。
根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。
3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。
此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。
高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述分类讨论是高中数学解题中十分重要的思想之一。
它通常用来解决复杂问题，在某些情况下，甚至能够在短时间内得出正确答案。
在教学中，如何培养学生分类讨论思想呢？笔者认为可以从以下几个方面入手。
一、理解分类讨论分类讨论在高中数学中是一个很常见的思路，也是一种比较实用的思想方法。
因此，教师应该首先让学生认识到分类讨论的实用性并理解其基本思想。
分类讨论是根据问题的不同情况将问题分成若干类，然后一一分析，解决每一个分类，最后得到问题的总解。
这种方法可以把复杂问题简单化，是提高解题效率的一种手段。
二、提高分类能力分类讨论涉及到分类的能力。
而分类的能力主要是对题目的理解，对数学概念的掌握和数学运算方法的熟练应用。
因此，教师应该在平时的教学中增加分类的习题，让学生多接触分类的思维方式，提高他们分类的能力。
在教学过程中，教师还可以针对不同的数学知识点，设置不同类型的分类习题，帮助学生更好地理解数学概念和运算方法，提高分类能力。
三、引导思考技巧分类讨论虽然是一个实用的思路，但是在具体操作时还需要一些技巧。
比如，分类的依据是什么？分类的数目如何确定？这些问题的回答需要一些特定的技巧。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生掌握分类讨论的操作技巧。
比如，应该从哪些方面入手分类，分类的数目应该合适，分类的结果需要符合题目的限制条件等。
四、培养综合能力分类讨论是一个涵盖多种数学学科的思想方法。
因此，学生在进行分类讨论时需要综合运用多种数学知识，如代数、几何、概率等。
因此，教师在教学过程中，应该注重综合教学，将分类讨论的思想引入到各种数学学科之中，让学生能够全面理解和运用分类讨论的思路。
五、巩固和应用在学生掌握分类讨论的基本思想和操作技巧后，教师需要通过大量的练习，让学生巩固和应用所学知识。
因为分类讨论的应用情形非常广泛，所以教师还可以举一些生活中实际应用分类讨论的例子，增加学生对数学知识的兴趣和实际应用能力。
转变六种思维方式教案反思教案标题：转变六种思维方式教案反思教案目标：1. 帮助学生认识并理解六种思维方式的概念和特征。
2. 培养学生灵活运用六种思维方式解决问题的能力。
3. 促进学生对自身思维方式的反思和转变。
教学内容：1. 六种思维方式的介绍和解释：批判性思维、创造性思维、系统性思维、逻辑性思维、判断性思维和创新性思维。
2. 每种思维方式的特征和应用场景。
3. 学生对自身思维方式的反思和转变方法。
教学步骤：引入：1. 引导学生思考并讨论什么是思维方式，为什么转变思维方式对个人发展和问题解决能力的重要性。
主体：2. 分别介绍和解释六种思维方式的概念和特征，通过实际例子帮助学生理解每种思维方式的应用场景。
3. 组织学生小组活动，让每个小组选择一种思维方式进行深入研究，并准备一个小组演示，展示该思维方式在解决实际问题中的应用。
4. 学生观看其他小组的演示，并进行讨论和分享，以促进对其他思维方式的理解和认识。
反思和转变：5. 引导学生反思自己的思维方式，提出一些问题，如：自己通常采用哪种思维方式？在什么情况下会转变思维方式？转变思维方式对自己有何好处？6. 学生个人或小组讨论并记录自己的思维方式反思和转变方法，例如通过阅读相关书籍、参加思维训练课程、与不同思维方式的人交流等。
7. 学生展示并分享自己的思维方式反思和转变方法，并互相提供建议和反馈。
总结：8. 总结本节课的学习内容和收获，强调转变思维方式对个人发展和问题解决的重要性，并鼓励学生在日常生活中积极实践和应用所学的思维方式。
教学评估：1. 观察学生在小组活动中的参与程度和表现，评估他们对六种思维方式的理解和应用能力。
2. 收集学生的思维方式反思和转变方法记录，评估他们对自身思维方式的认识和改进意识。
教学延伸：1. 鼓励学生在日常学习和生活中尝试不同的思维方式，培养灵活思维的习惯。
2. 推荐相关的思维训练资源和书籍，帮助学生进一步提升思维方式的转变和应用能力。
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
专题知识突破数学思想方法（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。
分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。
分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。
分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。
2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。
【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （ ）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。
【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。
张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。
如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。
已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。
数学解题中的“分类”思想知识技能梳理：1、分类讨论就是根据数学对象的异同点，将数学对象按某种标准划分为不同的种类，分别进行研究和求解。
思维策略是：化繁为简、化整为零、分别对待、各个击破。
2、引起分类讨论的原因：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）运用的数学定理、公式、运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论存在多种可能性；（4）数学问题中含有参变数，这些参变数的不同取值会导致不同的结果； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的策略来解决的。
3、注意点：（1）根据分类的原因确定讨论的对象； （2）根据讨论的对象划分分类的标准；（3）先易后难，先特殊后一般，逐类进行讨论，取得个部分结果； （4）最后归纳小结，综合得出结论。
典型例题剖析：例1、解不等式：01)1(log 1)1(log 21221<++⎪⎭⎫⎝⎛+-+x m m x 答案：当)1,0()1,( --∞∈m 时，不等式的解集为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛121,1211m m当),1()0,1(+∞-∈ m 时，不等式的解集为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛121,1211m m例2、已知),(y x P 是椭圆1422=+y x 上的点，)0,(a A 是x 轴上的点，求PA 的最小值。
答案：当23>a 时，最小值为a -2； 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,23a 时，最小值为312a -；当23-<a 时，最小值为a +2 例3、过原点作两条倾斜角互补的直线21,l l 分别交圆锥曲线0,0,12222>>=+n m ny m x 于四点围成一个矩形，设直线1l 的斜率为k ，则矩形面积为)(k S 。
当(]1,0∈k 时，求)(k S 的最大值。
答案：当10<<mn时，最大值为mn 2； 当1≥mn时，最大值为22224n m n m + 例4、若复数32,,z z z 在复平面上所对应的三个点C B A ,,组成直角三角形的三个顶点，且2=z ，求复数z 。
突破分类讨论问题，需学会化整为零地解决问题
数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径。
在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间。
因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题、会一类”的目的。
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。
典型例题1：
解题反思：
本题主要考查了相似形综合题，涉及等腰三角形的性质，平行四边形的面积及中位线，解题的关键是分三种情况讨论△DMN是等腰三角形．
典型例题2：
解题反思：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．。
高中数学七大基本思想方法讲解高中数学的七大基本思想方法是：分类讨论法、递推法、画图法、符号法、假设法、构造法和倒推法。
第一，分类讨论法。
分类讨论法是指将问题中的条件按照具有共同特征的情况分别讨论，从而对问题进行全面深入的解析。
通过逐个分类讨论，找出各个情况的共性和特点，以及不同情况下的不同解决方法。
这种方法可以将复杂的问题变得简单明了，易于理解与解答。
举个例子，假设有一道题目要求求解方程2x+3=5的解集。
我们可以将其分为两类：当x为正数时，方程有且仅有一个解；当x为负数时，方程无解。
通过将问题进行分类讨论，我们可以得到方程的解集为{x，x=1}。
第二，递推法。
递推法是指通过已知的初始值或者关系式来推导出未知项的计算方法。
这一方法常常用于求解数列中的其中一项或一些项，以及解决一些逻辑推理问题。
在递推的过程中，可以发现规律，从而推导出一般项、通项、边界条件等重要信息。
以求解斐波那契数列为例，斐波那契数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
我们可以利用这个关系式进行递推：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
通过递推，我们可以得到斐波那契数列的通项公式。
第三，画图法。
画图法是通过绘制几何图形的方法，对问题进行可视化的处理。
它可以使抽象的数学问题变得具体明了，通过观察图形的性质和特点，可以得到问题的解。
举个例子，假设要求解一个三角形的内角和。
我们可以通过画一个三角形，并在其中一点做垂线，将三角形划分为若干个小三角形。
通过观察这些小三角形，我们可以发现它们的内角和等于一个直角。
然后，我们可以用这个结论推导出原始三角形的内角和。
第四，符号法。
符号法是指通过引入合适的符号和代数运算，将实际问题抽象成为可以用代数式描述的数学问题。
通过对符号及其运算规则的运用，可以更加简洁地表达数学问题，进而进行求解。
比如，假设有一道题目要求求两个数的和，可以用符号法表示为a+b=x。
通过引入符号a、b和运算符号+，我们将实际问题抽象成了一个代数问题。
高中数学分类讨论思想考前突破一、思想解析分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．二、方法解析方法一：由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．例1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( )A ．－332 B.332 C ．－342 D.342(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________． 思路分析 求a →代入f (1)，f (a )求解→讨论a注：解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.方法二：由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．例2 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. 注：圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.方法三：由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (1)若函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是(2)函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]·e x 在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．注：含参数问题的求解要结合参数对题目结果的影响及参数的意义进行分类讨论.。
