2019届高三年级(一模)考试数学试题分类汇编---函数

函数0215、设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数，则b a 的取值范围是________________．【答案】 【 解析】因为函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=，所以1111lg lg lg()()012121212ax ax ax ax x x x x -+-++==+-+-，即11()()11212ax ax x x-+=+-，所以222114a x x -=-，所以24a =，2a =，即12()lg 12x f x x +=-，由12012x x+>-得(21)(21)0x x +-<，所以1122x -<<，所以102b <≤，所以12b <≤即1b a <≤，所以ba 的取值范围是.16、设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=x x f ，则0)2({>-x f x }等于…（ ）A ．2{-<x x 或}2>xB ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>xD ．0{<x x 或}4>x【答案】D【解析】，当0≥x 时，由()240x f x =->得2x >，所以函数()0f x >的解集为{22}x x x ><-或，所以将函数()f x 向右平移2个单位，得到函数(2)f x -的图象，所以不等式(2)0f x ->的解集为0{<x x 或}4>x ,选D17、函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________． 【答案】23x + 【 解析】由f (x )=3x –2得23y x +=，即12()3x f x -+=.17、定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈ 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）A 2y x =B 2y x =C sin 3y x π=D 1y x x =-【答案】D【解析】OB OA ON )1(λλ-+=⇒N 在线段AB 上，且b a x N )1(λλ-+=，又b a x M )1(λλ-+=，∴x M =x N ，∴|MN |=|y M -x N |不等式|MN |≤k 恒成立 |MN |max ≤k ，∴最小的正实数k 即是|MN |max对于(A)，A (1,1)，B (2,4)，∴AB 方程为y =3x -2，如图1，|MN |= y N - y M =3x -2- x 2=-(x -23)2+41，当x =23时，|MN |max =41；对于(B)，A (1,2)，B (2,1)，∴AB 方程为y =-x +3，如图2，|MN |= y N - y M =-x +3-x 2=3-(x +x 2)≤3-22，当x =x 2，即x =2时，上式成立等号，∴|MN |max =3-22；对于(C)，A (1,23)，B (2,23)，∴AB 方程为y =23，如图3， |MN |=y M -x N = sin 3x π-23，当x =23时，|MN |max =1-23；对于(D)，A (1,0)，B (2,23)，∴AB 方程为y =23x -23，如图4， |MN |=y M -x N =22)(232123122323231-=-≤+-=+--x x x x x ， ∵223-是|MN |的四个最大值中的最小的一个，∴线性近似阀值最小的是D18、若函数x x f 3log 1)(-=，则=--)8(1f 【答案】93【 解析】因为3()1log f x x =-，由3()1log 8f x x =-=-得，3log 9x =，即93x =，所以19(8)3f --=.19、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 【答案】)2,43[ 【 解析】当1x =时，13(1)222f =-=.当32y =时，由312x +=得12x =.所以112b ≤<.而3()22f a ≤<，所以13()1222b f a ⨯≤⋅<⨯，即3()24b f a ≤⋅<，所以)(a f b ⋅的取值范围是)2,43[.20、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x a x x a x f x 满足对任意21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是___ ____． 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23【 解析】由对任意21x x ≠都有02121)()(>--x x x f x f 成立⇒)(x f 在R 上递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅->->111)2(021a a a a ，解得322a ≤<，即a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23.21、若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ▲ ．【答案】1【解析】因为函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，所以由()235x f x =+=，即22x =，所以1x =，所以(5)1g =.22、给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】③【 解析】由()()0f x f x -+=得()()f x f x -=-，所以函数为奇函数.对任意实数x 及任意正数m 由()()f x m f x +>可知，函数()f x 为增函数.①为奇函数，但在R 上不单调.②为偶函数.③满足条件.④为奇函数，但在在R 上不单调.所以满足条件的函数的序号为③.23、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C． D．【答案】D【解析】由(2)(2),f x f x -=+得(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期是4，又函数为偶函数，所以(2)(2)(2f x f x f x -=+=-，即函数关于2x =对称.且(2)(2)(6)3f f f =-==.由()log (2)0(1)a f x x a -+=>得()log (2)a f x x =+，令()y f x=()log (2)a y g x x ==+，做出函数(),log (2)a y f x y x ==+的图象如图，由图象可知，要使方程()log (2)0(1a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则有(2)(2)(6)(6)g f g f <⎧⎨>⎩，即l o g 43l o g 83a a <⎧⎨>⎩，所以33log 4log log 8log a a a a a a⎧<⎪⎨>⎪⎩，即348a <<2a <<，所以选D。

2019年山东省各地市一模试题分类汇编函数与导数一、选择题1.（菏泽一模3）函数的一个零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】零点所在单调区间满足，依次判定，即可。

【解析】，，故其中一个零点位于区间内，故选B。

【点评】考查了函数零点所在区间的判定，关键抓住零点所在区间满足，即可，难度中等。

2.（济宁一模5）已知函数是定义在R上的奇函数，且若则（）A. B. 9C. D. 0【答案】A【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题.3.（枣庄一模6）有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】①根据函数的单调性可得，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像，看交点个数得出结果②正确；③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.【解析】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；②正确；③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.故选D【点评】本题考查了函数的性质（单调性）以及函数与方程，借助数形结合思想，属于较易题.4.（聊城一模8）设函数f（x）＝+a，若f（x）为奇函数，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1n3）C．（0，ln3）D．（0，2）【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）＝+a，其定义域为{x|x≠0}若f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，即（+a）+（+a）＝﹣1+2a＝0，解可得a＝，则f（x）＝+又由y＝e x﹣1在（0，+∞）为增函数其y＞0，则f（x）＝+在（0，1）上为减函数且f（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上减函数且f（x）＜0，又由f（ln3）＝+＝1，则f（x）＞1⇒f（x）＞f（ln3），则有0＜x＜ln3，即不等式的解集为（0，ln3）；故选：C．5.（济南一模8）若，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用，把用表示，并得到，构造幂函数，利用幂函数的单调性，得到结果.【解析】设，则，则则设函数，在单调递减即，因此故选B项.【点评】本题考查对数与指数关系，构造函数，幂函数的特点等，属于中档题.6.（泰安一模9）已知函数等于A. 2B.C.D. 3【答案】A【分析】利用已知推导出，由此能求出结果．【解析】解：函数，．故选：A．【点评】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.（潍坊一模8）函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【解析】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.故选：A．【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．8.（潍坊一模9）已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（-1，0）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sin α＞sin（90°﹣β）＝cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．【解析】根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，则有f（ sinα）＞f（cosβ），故选：B．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题．9.（淄博一模10）已知，，设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】判断出单调性之后，将的自变量转化为同底的对数的形式比较大小，结合单调性可确定的大小关系.【解析】在上单调递减.可得：本题正确选项：【点评】本题考查利用函数单调性比较大小问题，关键在于能够将自变量变换成同底对数的形式，比较出自变量的大小关系.10.（德州一模9）设是定义在R上周期为2的函数，且，记，若，则函数在区间上零点的个数是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【分析】根据函数的周期性和解析式，作出函数的图象，利用函数零点与方程之间的关系转化为两个图象交点个数，利用数形结合进行求解即可．【解析】是定义在R上周期为2的函数，且，作出是在区间上图象如图：由，得，，作出的图象，由图象知两个函数共有8个交点，即的零点个数为8个，故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．11.（烟台一模11）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解析】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12.（临沂一模11）函数上不单调的一个充分不必要条件是A. B.C. D.【答案】A【分析】先求出函数的导函数，再根据函数f （x ）在（1，3）上不单调，得g （1）·g （3）＜0且△≥0，从而可求a 的取值范围。

2019年山东省各地市一模试题分类汇编函数与导数一、选择题，1.（枣庄一模5）已知A. B. C. D.【答案】C【分析】将指数式化为对数值，写出【解析】由于，所以.，则（）的表达式，代入，，故，化简后求得的值.，2.（烟台一模4）函数 fx是定义在R上的奇函数，fA.111，当x时0，B.0f xl o g，x则实数m m=2C.1D.2【答案】C3.（日照一模6）函数 f x l n x 1x的图象大致为【答案】A【解析】由f(e)1111，排除B，f(e)10e e，排除C，D,从而选A.4.（泰安一模10）已知函数等于4B. C.D.31【分析】利用已知推导出【解析】解：函数，由此能求出结果．，．故选：A．5.（临沂一模7）已知函数的图象关于对称，则是奇函数，当=时，函数的图象与函数A. －7B. －9C. －11D. －13【答案】C【分析】由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log x的图象关于y＝x对称可得出，x2＞0时，f（x）＝2x，从而得出x＞0时，g（x）＝2x+x2，再根据g（x）是奇函数即可求出g （﹣1）+g（﹣2）的值．【解析】∵x＞0时，f（x）的图象与函数y＝log x的图象关于y＝x对称；2∴x＞0时，f（x）＝2x；∴x＞0时，g（x）＝2x+x2，又g（x）是奇函数；∴g（﹣1）+g（﹣2）＝﹣[g（1）+g（2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选：C．6.（潍坊一模8）函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【解析】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x> 时，导函数为-4sinx-函数时递减的，故选A.故选：A．<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，7.（枣庄一模7）有如下命题：①函数，，中有两个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用幂函数的单调性判断①的真假，利用图像判断②的真假，利用对数的单调性判断③的真假.由此判断出真命题的个数.【解析】根据幂函数的性质可知，，在上是减函数，在上是增函数，故①为真命题.令，，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故得，而述，真命题的个数为个，故选D.有两个零点，即②为真命题.由为定义域上的减函数，故，故③是真命题.综上所8.（德州一模9）设是定义在R上周期为2的函数，且，记，若，则函数在区间上零点的个数是A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】解：是定义在R上周期为2的函数，且，作出是在区间上图象如图：由，得，，作出的图象，由图象知两个函数共有8个交点，即的零点个数为8个，故选：D．9.（聊城一模8）设函数f xe1x 1a，若f x为奇函数，则不等式f x的解4集为A．0,l n2B．,l n 2C．,l n 3D．0,l n3【答案】C10.（德州一模10）已知函数，其中e是自然对数的底数，若，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，有，则函数为奇函数，又由，则函数在R上为减函数，，，又由，则；故选：B．11.（济南一模9）已知函数，则的最大值与最小值的和为A. B. C. D.【答案】C【分析】对进行化简，判断其中心对称，并求出对称中心，则其最大值和最小值也关于对称中心对称，得到结果.【解析】对整理得，1而易知都是奇函数，则可设，可得为奇函数，即关于点对称所以可知关于点对称，所以的最大值和最小值也关于点，因此它们的和为 2.故选 C 项.12.（淄博一模 10）已知， ，设 ， ， ，则A.的大小关系是（ ）B.C.D.【答案】A【分析】判断出单调性可确定【解析】单调性之后，将的大小关系.的自变量转化为同底的对数的形式比较大小，结合在 上单调递减可得：本题正确选项：13.（青岛一模 11）已知函数 关系是（ ）.，若 ， ， ，则 ， ， 的大小A.【答案】D【分析】可以得出a ，b ，c 的大小关系．B. C. D.，从而得出 c ＜a ，同样的方法得出 a ＜b ，从而得出【解析】,,根据对数函数的单调性得到 a>c,,又因为，，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故选：D．14.（菏泽一模12）已知函数最小值为，则（）在区间上的最大值为，A. 4【答案】AB. 2C. 1D. 0【解析】设，则，则函数最大值为，最小值为，所以，是奇函数，由已知，即，故选A．，记的15.（济宁一模11）已知函数，若函数有三个不同的零点，，，且，则的取值范围为A.【答案】C【解析】解：作出由，B. C. D.的图象如图：得，，，，则由，得，即，得，即，，则，即的取值范围是，故选：C．16.（泰安一模11）设，，则A. B. C. D.6【答案】D【分析】利用对数的运算法则即可得出．【解析】，，，，则故选D..17.（泰安一模12）若函数围是（）恰有三个极值点，则的取值范A.【答案】AB. C. D.【分析】先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值点问题转化为了与y=-2m的交点问题,结合图像即可得出m范围；当【解析】由题可知，由，可得，当<0,可得m的范围.时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当令，，即，解得，综上，时，有两个不同的解；当.，18.（济南一模11）已知函数A.C.则B.D.的解集为（）【答案】B【分析】研究的单调性，利用函数单调性解不等式.【解析】当时，，，单调递增，且时，，当时，单调递增，且因此可得解得故选B项.单调递增，可转化为，19.（日照一模12）己知函数实数m的取值范围是f x 2cosx m si n x3x 在，上单调递减，则A．[一1，1]B．11C．1D．11【答案】B【解析】f (x)2sin x(m sin x)2cos x(cos x)3，因为f(x)在(,)上单调递减，所以f (x)0恒成立，整理得4sin2x 2m sin x 50，设nsi x t(1t1)，则不等式g(t)4t22m t 50在区间[1,1]上恒成立，于是有g (1)42m 50 g(1)42m 50，，221，2，2281m2即，故实数的取值范围是1m211[,]22，故选B.20.（聊城一模12）已知函数x,x 0,x 1f xln x,xx若关于x的方程，fx xa无实根，则实数a的取值范围为A.,0,1eB.,0,1eC.1D．10,e【答案】B21.（青岛一模12）已知函数相等的根，则实数的取值范围是（）A.C.，若方程（为常数）有两个不B.D.【答案】D【分析】求出当x＞0时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数f（x）的图象，由数形结合进行求解即可．【解析】m11,1e9当x＞0时，函数f′（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x＝e时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，当x≤0时，f（x）＝﹣x﹣x＝﹣（x+）+，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数f（x）的图象如图：要使f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或＜a＜e，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪故选：D．，22.（烟台一模12）已知函数 fx 1x x3x5x7x9x11x335791113，则使不等式fx 1成立的x的最小整数为A．3B．2C．1D．0【答案】D23.（枣庄一模12）已知函数的定义域为，且，的图象关于直线对称．若当时，，则使得成立的的取值范围是（）A.C.【答案】B 【分析】根据B.D.图像的对称性得到图像的对称性也即函数为偶函数，构造函数，为偶函数，结合已知条件可知函数的单调性，由此求得不等式的解集.【解析】由于函数图像关于对称，故的图像关于轴对称，也即函数为偶函2210而，即函数为偶函数，所以函数在上单调递减.由于，，根据单调性和对称性有或，故选B.二、填空题24.（聊城一模13）函数【答案】(0,2]y ln x 2x的定义域为____________.25.（日照一模13）若函数3【答案】fx x 23ax1为偶函数，则a ___________．【解析】因为fx fx，所以x23a x+1x2+3a x+1，可得a＝3.26.（菏泽一模13）函数的图像在处的切线方程是_________．【答案】【分析】对函数求导，求得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.【解析】案为：，所以，又当时，，所以切线方程为，故答27.（淄博一模13）若【答案】1，，，则_______．【分析】利用和求解得到的值；再将代入，求得；根据的值代入对应解析式求得结果.【解析】，解得：当时，本题正确结果：28.（济宁一模13）曲线在点处的切线方程为______．【解析】解：可得曲线在点的导数为，处的切线斜率为1，切点为，可得在点故答案为：．处的切线方程为，29.（烟台一模16）若定义域为R 的函数 f x满足f x f x，则不等式e f l n x x f 10的解集为（结果用区间表示）【答案】(0,e)30.（枣庄一模16）若正实数______.【答案】满足，则函数的零点的最大值为【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.【解析】因为正实数满足，则函数的零点令所以零点的最大值就相当于求令，的最大值所以函数是单调递减的，当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以令，令，解得，解得，此时，此时递增递减，所以此时故答案为31.（德州一模16）已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．【答案】【解析】解：设，，．由题意知，，，即，，解得或舍，代入得：，，，当时，，当时，．实数b的最大值是．故答案为：．32.（临沂一模16）若，则定义直线为曲线，的“分界直线”．已知，则的“分界直线”为____．【答案】y=x-1【分析】求得f（x），g（x）的交点（1，0），可得所求直线过（1，0），即b＝﹣k，由kx ﹣k（x）在x＞1恒成立，运用判别式小于等于0，化简可得k＝1，可得直线方程为y＝x﹣1，再证x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，通过函数y＝xlnx﹣x+1，求得导数，判断单调性，即可得到所求结论．【解析】由f（1）＝ln1＝0，g（1）（1﹣1）＝0，则f（x），g（x）的图象存在交点（1，0），且f（x），g（x）在[1，+∞）递增，可得直线y＝kx+b必过（1，0），即b＝﹣k，由kx+b≥g（x），即kx﹣k（x）在x＞1恒成立，即有（2k﹣1）x2﹣2kx+1≥0，可得2k﹣1＞0，且△＝4k2﹣4（2k﹣1）≤0，解得k＝1，即有直线方程为y＝x﹣1，下面证明x﹣1≤xlnx在x≥1恒成立，由y＝xlnx﹣x+1的导数为y′＝1+lnx﹣1＝lnx，由x≥1可得lnx≥0，即有函数y＝xlnx﹣x+1在x≥1递增，可得xlnx≥x﹣1在x≥1恒成立，则f（x），g（x）的“分界直线”为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．三、解答题33（泰安一模21）已知，函数，直线l：．讨论的图象与直线l的交点个数；若函数的图象与直线l：相交于，两点，证明：【分析】．根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．构造函数【解析】解：则，求函数的导数，结合由題意，令，与l的交点坐标，进行证明即可．，令所以令，解得在，解得．上单调递增，，所以在上单调递减，则当时，函数取得极小值，同时也是最小值，当，即时，的图象与直线l无交点，当当综上所述，当，即，即时，时时的图象与直线l只有一个交点．的图象与直线l有两个交点．的图象与直线l无交点；时证明：令的图象与直线l只有一个交点，时的图象与直线l有两个交点．，，，，即时，在，上单调递增，恒成立，又，，，又在，上单调递增，即．34.（菏泽一模21）已知函数（1）设，求函数.的单调区间；（2）若函数在其定义域内有两个零点，求实数的取值范围.【分析】(1)对函数f(x)求导，然后构造函数单调性和最值即可得到函数f(x)的单调性；（2）“函数，通过判断F(x)的在其定义域内有两个零点”可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，利用导数的几何意义求解即可得到答案.【解析】（1）函数的定义域为，令令，则，得；令，得所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以所以所以（2）（法一）：对任意的单调递增区间为的定义域为恒成立，，无单调递减区间.，所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，如图若令过原点且与函数令切点图像相切的直线斜率为，由图可得由又于是，得，所以，所以，所以，解得：故实数的取值范围是（法二）的定义域为，，当所以当时，在时，令，单调递增，所以，得，在不会有两个零点，不合题意，在上，，在上单调递增，在上，，在上单调递减，所以，又时，时，，，要使即所以所以有两个零点，则有，即实数的取值范围为.35.（济南一模21）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数..【分析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间.（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【解析】（1）函数的定义域为，，令，则，，（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，（ii）若，则，当当时，时，，，是增函数，是减函数，当时，，是增函数，（iii）若当时，当时，，则，，，是增函数，是减函数，当时，，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当当，时，在在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，上是增函数；（2）当在所以时，上是增函数，在的极小值为上是减函数，在，上是增函数，的极大值为设，其中，,,所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.所以当时，有且仅有1个零点.36.（临沂一模21）已知函数．(1)判断(2)若的单调性；在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为﹣2lnx00，令g（x）＝﹣2lnx0 0，根据函数的单调性证明即可．【解析】（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）x﹣a，易知x2﹣ax﹣2＝0有两根，x1故f（x）在（0，）递减，在（0，x2，，+∞）递增；（2）∵a＜0，∴1，∴f′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x，又f′（x）x﹣a，∴x﹣a＝0①，要使f（x）≥0在区间（1，+∞）恒成立，且f（x）＝0有唯一解，须f（x）＝0，即﹣2lnx0 0由①②得：（1）﹣ax＝0②，﹣2lnx（1）﹣x（00故﹣2lnx0，令g（x）＝﹣2lnx0 0，x）＝0，显然g（x）在（1，+∞）递减，∵g（1）＝2＞0，g（2）＝﹣2ln2∴1＜x＜2，0，又∵a故a＜1．x在（1，+∞）递增，037.（青岛一模21）已知函数，，为自然对数的底数.（1）当时，证明：函数只有一个零点；（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.【分析】(1)对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值，发现函数最大值等于0，从而得证；（2）原题等价于导函数存在两个变号零点，对导函数求导研究导函数的单调性，和图像性质，使得导函数有两个零点，进而得到结果.【解析】（1）由题知：令，当，，所以在，，上单调递减.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故只有一个零点.（2）由（1）知：不合题意，当又因为时，因为，所以，；；，；又因为，因为函数所以所以存在所以，，，即，满足；，，，，，；，；此时存在两个极值点，0，符合题意.当时，因为，；，；所以；所以，即在上单调递减，所以无极值点，不合题意.综上可得：.38.（潍坊一模21）已知函数，，.（1）当时，求的单调区间；（2）设，若，为函数的两个不同极值点，证明：.【分析】（1）求出原函数的导函数，可得时，若，，单调递增；若，求出导函数的零点，根据导函数与0的关系可得原函数的单调性；（2）根据导数先得在R上单调递增，原题转化为证，根据和进一步转化为证，设，，再由，化为证明，设，得到证明，利用导数证明即可．【解析】解：（1），若，，，单调递增.若，由，解得，且，，，，单调递减，单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，当（2）故时，的单调递增区间为，在上单调递增，即证：，，单调递减区间为.也即证：，又，所以，为方程即，的两根，即证，即，而①-②得，即证：，不妨设，，则证：变形得，所以，，设，则，∴在单调递增，，即结论成立.2239.（枣庄一模21）已知（I）求函数的极值；（II）设，若【分析】（I）求得函数的有两个零点，求的取值范围．，将分成两类，利用的正负情况，得到的单调区间，进而求得的极值.（II）先求得函数的表达式，并求得其导数，对分成类，利用的单调区间和极值情况，结合题意“【解析】（I）有两个零点”的要求，求得的取值范围..（1）若，显然，所以在上递增，所以没有极值.（2）若所以所以（II）（1）若在在，则，上是减函数，在处取极小值，极小值为函数.，则；，上是增函数..的定义域为，且..所以在上是减函数，在上是增函数.所以.令，则.显然又函数在，所以在上是减函数，取实数上是减函数.，则.又由零点存在性定理，所以，则符合题意.（2）若所以，则不符合题意.（3）若，在在，显然.上是减函数，在上各有一个唯一的零点.仅有一个零点.上是增函数.①若，则.此时，即在上递增，至多只有一个零点，所以不符合题意.②若，则，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极大值，且极大值，所以所以最多有一个零点，不符合题意.③若，则，函数在和上递增，在上递减，所以在处取得极大值，且极大值为，所以最多有一个零点，所以不符合题意.综上所述，的取值范围是.40.（淄博一模21）已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围..【分析】（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.【解析】（1）①当令当时，，解得，时，，且；当时，所以，②当的单调递增区间是时，，单调递减区间是和；所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；③当时，令，解得，，并且当时，；当时，.所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；④当时，，所以的单调递增区间是⑤当当时，令，解得时，，；当，且时，所以，（2）由的单调递减区间是及（1）知，，单调递增区间是和①当时，，不恒成立，因此不合题意；②当⑴极大值：⑵极小值：时，需满足下列三个条件：，得⑶当当所以③当时，时，；时，在，，故单调递增，所以④当极大值：；时，极小值：由②中⑶知，解得所以综上所述， 的取值范围是41.（日照一模 21）已知函数fx 2ax l n x l n x 2ax 2．(1)当 a1 时，求曲线y fx 在1，f1处的切线方程；(2)若对任意x1,，都有 fx 0，求实数 a的取值范围．【解析】解：（1）当a 1时，f ( x ) (2 x ln x ) ln x 2 x 2，函数 f ( x )的定义域为 (0,)，f1 1 1(x) (2 )ln x (2 x ln x ) 2 2(1 )ln x x x x ，所以 f(1)0 ，又 f (1) 0，所以曲线 yf ( x ) 在 (1, f (1))处的切线方程为 y 0 . ….………....4分（2） f1(x) (2a ) ln x (2a x ln x )x1 1 2(a x 1) 2a 2( a ) ln x ln x x x x ，由题意知f (1) 0 ，则有 2a 2 0 ，所以 a 1 .（i ）若 a0 ，则当 x 1 时， f(x) 0 ， f ( x ) 在 (1，)上单调递减，而f (e 2 )(2 a e 22) 22a e 22 2a e 2 2 0，不满足f ( x ) 0.（ii ）若a1，当1 x1 1 时， f (x) 0 ， f ( x ) 在 (1， ) a a上单调递减，当 1 1x 时， f (x) 0 ， f ( x ) 在 ( ，)a a 上单调递增，故f ( x ) 在 [1,) 1上的最小值为 f ( ) ，a由题意得 1 1 f( ) (2 ln a ) (l n a ) 2 2(2 ln a ) ln a 0 ，解得 a ， a e 226（iii）若a 1，则当x 1时，f (x)0，f(x)在(1，)故x 1时，f(x)0恒成立.上单调递增，又f(1)0，综上，实数a的取值范围是[1e2,1].…….………...12分42.（德州一模21）已知函数．证明：当时，；设，若存在实数，，使得，求小值参考公式：的最【解析】解：等价于：当令，当时，，时，设函数，则，，故在递减，在递增，故，故在递增，故，即当时，；则设，，，则，即，故，，故，，，，令则故故在，，，，递增，且，当时，，当时，，故在递减，在递增，故时，取最小值，此时，即的最小值是．43.（济宁一模21）已知函数，．求函数若不等式的单调区间；在时恒成立，求a的取值范围．【解析】解：，若，，在递增，若，令，解得：，故在递增，在递减，综上，若，若，在不等式考核在递增，递增，在递减；在恒成立，令，，，若，，在递减，故，故不等式恒成立等价于，故，故，若，则，当当时， ，时，，故在递减，在递增，故，不合题意，若，当时， ，故在递增，故，不合题意，综上，．44.（聊城一模 21）已知函数1 y 轴于点 ．fxx2ln x mx 3x ，曲线 y f x 在x 1处的切线交(1)求 m 的值；(2)若对于(1，十∞)内的任意两个数x , x ，当 x x 12 1 2时，f xf x12xx1 2ax x 1 2恒成立，求实数 a 的取值范围． 【解析】0，345.（烟台一模21）已知函数 fx 11x4ax2,a R 42．(1)当a 1时，求曲线f x 在点2,f 2处的切线方程；(2)设函数gx x 22x 2a ex ef x，其中e 2.71828…是自然对数的底数，讨论g x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】解：（1）由题意f (x)x3ax，所以当a 1时，f(2)2，f (2)6， (2)分因此曲线y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程是y 26(x 2)，即6x y 100. ……………………………………………………4分（2）因为g(x)(x22x 2a)e x e f(x)所以g (x)(2x 2)e x (x22x 2a)e x e f (x)(x2a)e x e(x3ax)(x2a)(e x e x)，………………6分令h(x)e x e x，则h(x)e x e，令h(x)0得x 1，当x (,1)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x (1,)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以当x 1时，30当a 0时，g (x)(x2a)h(x)0，g(x)在(,)上单调递增，无极值；…………………………………………9分当a 0时，令g (x)0，可得x a.当x a或x a，g (x)(x2a)h(x)0，g(x)单调递增，当a x a，g (x)0，g(x)单调递减；因此，当x a时，g(x)取极大值g(a)( 2ae2a)e42a；当x a时，g(x)取极小值g(a )(2aea2)e42.a…………………………11分综上所述：当a 0时g(x)在(,)上单调递增，无极值；当a 0时，g(x)在(,a)和(a,)单调递增，在(a,a)单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为g(a)( 2a2)ea e42a，极小值为eg(a )(2a 2)a e4a.………………………………………12分231。

2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----三角函数1.（2019海淀一模文科）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 D(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+2.（2019海淀一模文科）在△ABC 中，14,5,cos 8a b C ===，则=c ，ABC S ∆=6,3.（2019海淀一模文科）已知函数())cos4f x x x a π=-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值；(Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间．解：（Ⅰ）π(0)sin()cos014f a =+=12a += 所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+π)4x =+由图象得0ππ242x += 所以0π8x = 函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z4. （2019朝阳一模文科）已知ABC △中， 120A ∠=，a =ABC 的面积且b c <.则 Bc b -=A. B. 3 C. 3-D.5.（2019朝阳一模文科）已知函数2()cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()3f π的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．解：（Ⅰ）由已知2()coscos 3333f ππππ=+13144=+=. 因为()fx 1cos 222x x +=+π1sin(2)62x =++， 所以函数()f x 的最小正周期为π．………………………..7分（II ）由πππ2π22π262k x k -++≤≤得,ππππ36k x k -+≤≤，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 当0k =时, 函数()f x 的单调增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则ππ[0,],36m ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的最大值为π6. ………………………..13分 6.（2019西城一模文科）在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则 C （A ）（B ）（C ）（D ）7.（2019西城一模文科）能说明“在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一c =438343组A ，B 的值是____．答案不唯一，如60A =，30B =8.（2019西城一模文科）已知函数()sin (cos )f x x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π[,]312-上的最小值和最大值.解：（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =-1sin 2cos2)2x x =-……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期πT =. ……………… 8分（Ⅱ）因为π5π312x -≤≤，所以 ππ7π2336x -+≤≤． ……………… 9分所以当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值1.当ππ233x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值 ……………… 13分9.（2019丰台一模文科）已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<．①函数()f x 的最小正周期为____； ②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____． ．π；6π-10.（2019丰台一模文科）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3cos 24C =-．（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =时，求a ．解：（Ⅰ）因为 3cos24C =-，所以 2312sin 4C -=-.因为 02C π<<，所以 sin 4C =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin C =因为 ABC ∆是锐角三角形，所以 cos 4C ==. 因为 2c a =，sin sin a cA C=，所以 1sin sin 2A C ==,cos 8A =.所以 sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=.因为sin sin a bA B=，b =， 所以 2a =.11.（2019石景山一模文科）已知2π()sin()5f x x =，则(0)(1)(2)(3)(2019)f f f f f +++++= AA. 0B. 505C. 1010D. 202012.（2019石景山一模文科）在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=，则sin β=__________．13-13.（2019石景山一模文科）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-．（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．解：(Ⅰ)在ABC △中，1cos 3B =-，∴sin B==，∵b=3c=，由正弦定理sin sinb cB C=3sin C=，∴sin C=（Ⅱ）由余弦定理222+2cosb=a c ac B-得2112+923()3=a a-⨯⨯-，∴2230a a=+-，解得1a=或3a=-（舍）∴1sin2ABCS=ac B11323=⨯⨯⨯14.（2019延庆一模文科）函数()=sin22f x x x在区间[,]22ππ-上的零点之和是 D（A）3π-（B）3π（C）6π（D）6π-15.（2019延庆一模文科）如图，在ABC∆中，点D在BC边上，cos ADB∠=，3cos=5C∠，7AC=．sin CAD∠（求Ⅰ）的值；（Ⅱ）若10BD=，求AD的长及ABD∆的面积．解：（Ⅰ）因为cos10ADB∠=-，所以cos10ADC∠=，………………………1分ADB Csin ADC ∠=…………………2分又因为3cos =,5C ∠4sin 5C ∠=，所以，…………………3分s i n s i n ()s i n c o s c o s s i n D A C A D C A C D A D C A C D A D C A C D∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠……5分3455=+=…………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，…………9分得47sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．…………11分所以11sin 102822ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………13分 16.（2019怀柔一模文科）在ABC ∆中，=b ，45∠=A ，75∠=C ，则=a __________．17.（2019怀柔一模文科）已知函数()sin cos f x x x =+． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值． 解：（Ⅰ）．------------------------5分 （Ⅱ），的最小正周期为． ，因此，函数的最大值是．----------------------------------------13分 18.（2019东城文科一模）在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠= .34π 19.（2018东城文科一模）已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两()sincos444f πππ=+==()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+-(sin cos )(sin cos )x x x x =+-+22cos sin cos 2x x x =-=22T ππ==()g x π1cos21x ∴-≤≤()g x 1个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间 . 5[,]44ππ（答案不唯一） 20（2019东城文科一模）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象. 解：（I ）2224cos sin 13336f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 132ππ=+14112⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭1=-.………………………………………………………………………………………………………………. 3分（Ⅱ）()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 166x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14cos sin cos 122x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =-+2cos2x x =-12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………..9分所以()f x 的最小正周期22T π==π. ………………………………………………….10分因为[]0,x ∈π，所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.列表如下：…………………………..13分21.（2019昌平文科一模）在锐角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3．若△ABC 的面积为，则∠A ＝ 60° ；BC ＝．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sin A ，结合A 为锐角可求A 的值，根据余弦定理可求BC 的值．【解答】解：∵AB ＝2，AC ＝3． 若△ABC 的面积为＝AB •AC •sin A ＝，∴解得：sin A ＝，∵A 为锐角， ∴A ＝60°，∴BC ＝＝＝．故答案为：60°，．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．22.（2019昌平文科一模）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）若f （x ）在区间上的最小值为﹣2，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）＝＝sin2x +cos2x ＝2sin （2x +）． 由2k π﹣≤2x +≤2k π+，求得．所以f （x ）的单调递增区间是．（Ⅱ）在区间上，∴2x +∈[2m +，]．要使得f （x ）在区间上的最小值为﹣2，2sin （2x +）在区间上的最小值为﹣1， ∴2m +≤﹣，∴m ≤﹣，即m 的最大值为﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题． 23.（2019房山文科一模）在△ABC 中，已知6BC =，4AC =， 3sin 4A =，则B ∠=____.6π 24.（2019房山文科一模）已知函数sin 2cos21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围.（Ⅰ）()sin0cos0111012cos02f +++=== ……………2分（Ⅱ） 由0cos ≠x 得,2x k k π≠+π∈Z所以 函数的定义域是 ,2x x k k ⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z ……………5分 （Ⅲ）()22sin cos 2cos 112cos x x x f x x⋅⋅+⋅-+=⋅ ……………9分()2cos sin cos 2cos x x x x⋅+=⋅sin cos x x =+4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………11分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即 02x π<<3sin()144424x x ππππ∴<+<<+≤1)6x π∴<+所以 函数()fx 在(0,)2π上的取值范围为 ……………14分25.（2019通州文科一模）已知函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为 CA ．f (x )＝2sin(32 x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(x ＋2π9)C ．f (x )＝2sin(32 x ＋5π4)D ．f (x )＝2sin(x ＋2518π)26.（2019通州文科一模）在△ABC中，3cos 5A =，a =5b =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积． 解：（Ⅰ）因为3cos 5A =,0A <<π， 所以02A π<<，4sin 5A =． ………………2分 3232由sin sin a b A B =得，45sin sin 2b A B a ⨯===． ………………4分 因为a b > ，所以A B >. 所以4B π=． ………………6分 （Ⅱ）因为A BC ++=π，所以()C A B =π-+. ………………7分 因为4B π=，所以sin cos B B ==． ………………8分 所以()()sin sin sin C A B A B =π-+=+⎡⎤⎣⎦ ………………9分sin cos cos sin A B A B =+ ………………10分4355==． ………………11分 所以△ABC 的面积1sin 2S ab C =1514210=⨯⨯=． ………………13分27.（2019门头沟文科一模）已知中，，则的面积为（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C ，再根据余弦定理求b ，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.28.（2019门头沟文科一模）一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .【答案】(1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解：1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为：1，2．【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．29.（2019门头沟文科一模）已知函数（1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1），所以的周期单调增区间：（2）【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.。

2019年高考数学试题分类汇编函数一、选择题.1、（2019年高考全国卷1文理科3）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：B解析： 001log 2.0log 22<⇒=<=a a ，112202.0>⇒=>=b b ，1012.02.003.0<<⇒=<=c c ，b c a <<∴，故选B2、（2019年高考全国卷1文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 3、（2019年高考全国卷1理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。

2019年数学高考一模试题(含答案)一、选择题1．设1i 2i 1i z -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．2 2．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．3．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．5．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．36．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D7．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+9．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3210．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 312．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0二、填空题13．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．14．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．15．函数2()log 1f x x =-________．16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．17．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．18．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________. 20．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .三、解答题21．已知直线352:{132x t l y t =+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.22．若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．23． 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥；(2) 求三棱锥M EFD -的体积．25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．A解析：A【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可.【详解】解：由()x ln x f x =e ，得()f 1=0，()f 1=0- 又()1f e =0e e >，()1f e =0e e--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.4．C解析：C【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．5．C解析：C【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C 6．C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的.综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.7．C解析：C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用. 8．D解析：D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符； ()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0，两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程.圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为2d =， 所以公共弦长为：22222l r d =-=.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.11．B解析：B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．12．C解析：C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知： 2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得： ()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题13．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：64【解析】【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人解析：60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++. 故答案为60. 15．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.16．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以66(12)6312S --==--，故答案是63-. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.17．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不解析：y =sin x （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f（x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.18．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计 解析：1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值.【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：23【解析】【分析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为23.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．三、解答题21．（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②（2）将5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得2180t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.22．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2； 由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.23．（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠. （2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠. 联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+. 故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.24．（1）见解析；（2）13 【解析】【分析】（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结合()1及棱锥体积公式求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=， MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=， 由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．25．（1）340x y -+=；（2）2105【解析】【分析】 （1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B 22210431=+r 210． 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．。

2019届高三数学一模含参汇编1. [19届浦东一模10]已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 答案：(,-∞2. [19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为答案： [2,6)-3. [19届奉贤一模9]函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为 答案： [2,1]-4. [19届闵行一模8]已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是 答案： [2,4]5. [19届青浦一模11]已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是答案： 1(0,]26. [19届徐汇一模11]已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是答案： (1,3](4,)+∞7. [19届杨浦一模11]当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2 8. [19届长嘉一模8]已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f x g x ≥的解集是答案： [1,2)9. [19届崇明一模9]若函数2()log 1x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a =答案：610. [19届奉贤一模3]设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -= 答案： 2log (1)x -，1x >11. [19届虹口一模4]设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 答案： 812. [19届虹口一模12]若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为 答案： (,0]{1}-∞13. [19届普陀一模12]记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++ 答案： 2a14. [19届松江一模3]已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案： 215. [19届杨浦一模8]若函数1()ln1x f x x +=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-16. [19届青浦一模8]设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω=答案： 32。

2019年高考数学一模试卷及答案一、选择题1．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．144．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-405．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－16．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．427．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．138．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+)2παB ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+9．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)10．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，711．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)12．对于不等式2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,211+<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,即2k k +<k+1. 那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15．复数()1i i +的实部为 ．16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 17．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．18．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．19．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．20．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.22．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 24．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.25．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A. 2．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．4．C解析：C【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.5．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算6．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．9．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.10．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.15．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.16．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660 【解析】 【分析】 【详解】第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.17．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.18．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 19．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数解析：6 【解析】 【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z 的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.20．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.三、解答题21．(1)见解析；(2)43 sinα=【解析】试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA⊥面DMB，所以PA BD⊥，（2）以,,MP MB MD所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量()13,1,3n=--，设平面PCB的法向量2n=()3,1,3-，121212•1cos,7n nn nn n==，即43sin7α=.试题解析：（1）证明：取AP中点M，连,DM BM，∵DA DP=，BA BP=∴PA DM⊥，PA BM⊥，∵DM BM M⋂=∴PA⊥面DMB，又∵BD⊂面DMB，∴PA BD⊥（2）∵DA DP=，BA BP=，DA DP⊥，060ABP∠=∴DAP∆是等腰三角形，ABP∆是等边三角形，∵2AB PB BD===，∴1DM=，3BM=.∴222BD MB MD=+，∴MD MB⊥以,,MP MB MD所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A-，()3,0B，()1,0,0P，()0,0,1D从而得()1,0,1DP=-，()1,3,0DC AB==，()1,3,0BP=-，()1,0,1BC AD==设平面DPC的法向量()1111,,n x y z=则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴(13,1,n =-， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =，由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得222200x z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴(23,1,n = ∴121212•1cos ,7n n n n n n ==设二面角D PC B --为α，∴43sin α==点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得000x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.23．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.24．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.【解析】【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=当15x -<<时，()()510g x g >=当5x ≥时，()()min 69g x g ==综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.25．（1）方式一（2）35【解析】【分析】（1）用总的受训时间除以60，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”.【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则 1205251010155201060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时）2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时） 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=， 来自乙组的人数为：620430⨯=， 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,b c b d b e b f ，()()(),,,,,c d c e c f ，()()(),,,,,d e d f e f ，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,,b c b d b e b f共9种，故所求的概率93155P ==. 【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.。

1（2019静安一模）. 函数22log (4)y x =-的定义域是1（2019普陀一模）. 函数2()1f x x x=-的定义域为 3（2019奉贤一模）. 设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=3（2019普陀一模）. 设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 3（2019松江一模）. 已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =4（2019闵行一模）. 方程110322x =-的解为4（2019宝山一模）. 方程ln(931)0x x +-=的根为4（2019虹口一模）. 设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a =5（2019黄浦一模）. 若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =5（2019静安一模）. 若α、β是一元二次方程2230x x ++=的两个根，则11αβ+=5（2019浦东一模）. 若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点6（2019长嘉一模）. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2)，则()f x 的定义域为 6（2019金山一模）. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=6（2019虹口一模）. 函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为 8（2019闵行一模）. 已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是8（2019杨浦一模）. 若函数1()ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为8（2019宝山一模）. 函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = 8（2019长嘉一模）. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9（2019崇明一模）. 若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 9（2019奉贤一模）. 函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a的取值范围为9（2019徐汇一模）. 已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为 9（2019松江一模）. 若|lg(1)|0()sin 0x x f x xx ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对9（2019杨浦一模）. 在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是10（2019浦东一模）. 已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为10（2019奉贤一模）. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为 “丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙 亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年， 那么到改革开放100年时，即2078年为 年 11（2019徐汇一模）. 已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是11（2019静安一模）. 集合12{|log ,12}A y y x x x ==-≤≤，2{|510}B x x tx =-+≤，若A B A =I ，则实数t 的取值范围是11（2019金山一模）. 设函数21()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是11（2019青浦一模）.已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 11（2019崇明一模）. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为12（2019浦东一模）. 已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为12（2019静安一模）. 若定义在实数集R 上的奇函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，13()f x x =，则方程1()3f x =在区间(4,10)-内的所有实根之和为 12（2019松江一模）. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为12（2019普陀一模）. 记a 为常数，记函数1()log 2a xf x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121af f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++12（2019长嘉一模）. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素13（2019黄浦一模）. 设函数()y f x =，“该函数的图像过点(1,1)”是“该函数为幂函数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件13（2019杨浦一模）. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 15（2019宝山一模）. 关于函数23()2f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形C. 函数有最大值D. 当0x >时，()y f x =是减函数 15（2019闵行一模）.已知函数y =x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不确定15（2019虹口一模）. 已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞UC. 1(,)(1,)2-∞-+∞U D. (,0)(0,2)-∞U 15（2019徐汇一模）. 对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =；②y =）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”15（2019杨浦一模）. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤16（2019青浦一模）. 记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 90216（2019金山一模）. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 16（2019普陀一模）. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 816（2019杨浦一模）. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7)16（2019虹口一模）. 已知点E 是抛物线2:2C y px =(0)p >的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在△EFP 中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅，则μ的最大值为（ ）A.B. C.D. 16（2019长嘉一模）. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数；② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数.下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题16（2019崇明一模）. 函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129,,,[0,]2n x x x ⋅⋅⋅∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值 是（ ）A. 11B. 13C. 14D. 18 18（2019松江一模）. 已知函数2()21xf x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.18（2019徐汇一模）. 已知函数2()2ax f x x -=+，其中a ∈R . （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.18（2019虹口一模）. 已知函数16()1x f x a a+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.18（2019青浦一模）. 如图，某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ？19（2019黄浦一模）. 已知函数()21xaf x b =+-，其中a 、b ∈R . （1）当6a =，0b =时，求满足(||)2x f x =的x 的值； （2）若()f x 为奇函数且非偶函数，求a 与b 的关系式.19（2019奉贤一模）. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（1）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？19（2019青浦一模）. 对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的 取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数.19（2019金山一模）. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； （2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.19（2019浦东一模）. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ① 3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++； ② 3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0 （即累积经验值．．．．．不变）； ③ 超过5小时为不健康时间，累积经验．．．．值．开始损失，损失的经验值与不健康时间成 正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ； 若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24， 求实数a 的取值范围.19（2019杨浦一模）. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.19（2019宝山一模）. 某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y （单位：度）与时间t （单位：小时，[0,20]t ∈）近似地满足函数关系|13|2b y t t =-++，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度 （精确到0.1C ︒）；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒，求大棚一天中保温时段通风 量的最小值.19（2019崇明一模）. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立.） （1）判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()5g x =（1a ≥）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.20（2019闵行一模）. 对于函数()y f x =，若函数()(1)()F x f x f x =+-是增函数，则称函数()y f x =具有性质A .（1）若2()2x f x x =+，求()F x 的解析式，并判断()f x 是否具有性质A ； （2）判断命题“减函数不具有性质A ”是否真命题，并说明理由；（3）若函数23()f x kx x =+(0)x ≥具有性质A ，求实数k 的取值范围，并讨论此时函数()(sin )sin g x f x x =-在区间[0,]π上零点的个数.21（2019普陀一模）. 已知函数()2x f x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--. （1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值.。

2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =”是“π3B =”的（B ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =V ，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a bA B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 2S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-+————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin2cos2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ）Θ53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ）ΘAaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。

2019年高考数学一模试题(附答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1004．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 45．在二项式42nx x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）A ．16B ．14C ．512D ．136．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 9．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3210．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32411．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=则BC=______ A 3B 7C 2D 23二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15．若过点()2,0M 3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．16．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．19．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 20．函数232x x --的定义域是 .三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，()1,d k =(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．26．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.2．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.4．A解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】因为n前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.6．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故选D.考点：复数相等，复数的模.7．D解析：D 【解析】 【分析】由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()011g x x==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.9．C解析：C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =，所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选B. . 【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=|BC ∴故选：A 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8【解析】 【分析】由直线方程为3(2)y x =-与准线:al x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为)(,)a a 844+-， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA =，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得)()a a 8A 444++，将(a A 44+代入抛物线方程，即()2aa 44=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的解析：4【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D中，11BC C D BD ===1cos C BD ∠==.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，111201 2.2a a a a -=∴=±>∴=+，，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答解析：2 【解析】 【分析】过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1AD AB 12==，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅的值． 【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．Rt △ACD 中，1AD AB 12==， 可得cosA=11,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅==2． 故答案为2 【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3 【解析】因为30AOC ∠=，所以3cos cos302OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅，从而有2222232||2m OA n OB mn OA OB OA=++⋅⋅⋅．因为1,3,0OA OB OA OB ==⋅=22323m n=+，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3mn= 20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域三、解答题21．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可． 【详解】 （1）()sin 1,1b c x +=--，()//a b c +，()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-.（2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+.x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，若()()a dbc +⊥+，则()()0a d b c +⋅+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a dbc +⊥+ 【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 22．（1）13； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】（1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==，所以事件A 的发生的概率为13； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：数学期望为0121151515E X . 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 23．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin xy x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭.即22sin2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.（2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.24．（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 25．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】 【详解】解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：因此26．（1）见解析；（2 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】（1）PB 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124BN BO BD ==， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB 中，有14BN BD =，14PM PD =， MN PB ∴．PB ⊄平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB 平面MEF ；（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE 与Rt CDF ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．可知PM PN ⊥，则在Rt MND 中，12PM PN ＝，=，则22PM PN 3MN =+=．在MND 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得22262MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为63．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.。

2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x（C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x（D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =π3B =”的（B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条 4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________. 5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos 3=B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以sin 3B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a b A B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分 因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c 因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 22S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin 2cos 2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 222x x x =++32cos 222x x =+13(sin 22)22x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x取最大值，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ） 53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ） AaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。

一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。

2019年全国1卷省份高考模拟文科数学分类----三角函数1.（2019安徽名师联盟特供文科）已知函数()sin (0)4πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的一个零点是π4，且在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个 极值点，则（ ）A ．()sin π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π()sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()s 74πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()s 14πin 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】A 选项，因为()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内为增函数，无极值点，不满足题意；B 选项，由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z ；由ππ3π2π32π,242k x k k +≤+≤+∈Z ，得π2π5π2π,123123k k x k +≤≤+∈Z ； 所以函数π()sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,124⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故π()sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有一个极值点π12，不满足题意；C 选项，由πππ2π72π,242k x k k -+≤+≤+∈Z ，得3π2ππ2π,287287k k x k -+≤≤+∈Z ； 由ππ3π2π72π,242k x k k +≤+≤+∈Z ，得π2π5π2π,287287k k x k +≤≤+∈Z ； 所以函数()s 74πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π5π,2828⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5ππ,284⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()s 74πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值点π28，极小值点为5π28，满足题意；D 选项，由πππ2π112π,242k x k k -+≤+≤+∈Z ，得3π2ππ2π,44114411k k x k -+≤≤+∈Z ； 由ππ3π2π112π,242k x k k +≤+≤+∈Z ，得π2π5π2π,44114411k k x k +≤≤+∈Z ； 所以函数()s 14πin 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在π5π,4444⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5π9π,4444⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在9ππ,444⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()πsin 114f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭内有三个极值点π44，5π44，9π44，不满足题意．故选C ．2.（2019安徽名师联盟特供文科）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a b =，sin cos 6πc B b C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角C ；（2）若AD 是BC 上的中线，延长AD 至点E ，使得22DE AD ==，求,E C 两点的距离．【答案】（1）π3C =；（2． 【解析】（1）在ABC △中，由sin cos 6πc B b C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭及正弦定理得1sin sin sin sin 22C B B C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为sin 0B >，化简得1sin cos 022C C -=，即tan C =因为0πC <<，所以π3C =． （2）由余弦定理得2222π2cos33c a b ab b =+-=， 所以222a b c =+，故π2A =，即ABC △是直角三角形． 由（1）知ACD △是等边三角形，且1AD CD AC ===，π3CAD ∠=， 2DE =，所以3AE =，在ACE △中，222π2cos73CE AE AC AE AC =+-⋅=，CE =，故,E C3.（2019武汉市武昌区文科模拟）将函数f （x ）＝sin （）﹣2cos 2x +1的图象向左平移2个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，当x ∈[0，]时，g （x ）的最小值为（ ） A ．B ．0C ．D ．解：∵f （x ）＝sin （）﹣2cos 2x +1＝sin （）﹣cosxsin cos x sin （ x）∵f （x ）的 图象向左平移2个单位，得到函数y ＝g （x ） sin （x） sin （x） 当x ∈[0，]时，x，根据正弦函数的性质可知， g （x ） 即最小值为，故选：C ． 4. （2019武汉市武昌区文科模拟）已知sin （x），则cos x +cos （）＝ 解：已知sin （x）sin xcos x ， 则cos x +cos （ ）＝cos xcos xsin x （sin xcos x ） •，故答案为：．5.（2019武汉市武昌区文科模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，CD＝3，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，则AD的长为解：连接AC，BD∵AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°，∴AC，cos∠BCA，sin∠BCA，∵∠BCD＝120°，∴cos∠ACD＝cos（120°﹣∠ACB），△ACD中，由余弦定理可得，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠ACD65﹣12，∴AD故答案为：6.（2019山西省文科模拟）＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示．【解答】解：cos ＝cos（π+）＝﹣cos＝﹣，故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，cos（π+α）＝﹣cosα，体现了转化的数学思想．7.（2019山西省文科模拟）观察以下各等式：sin230°+cos260°﹣sin30°cos60°＝，sin215°+cos245°+sin15°cos45°＝，sin210°+cos240°+sin10°cos40°＝，从上述等式中能反映一般规律的式子为（）A．sin2α+cos2（90°﹣α）+sinαcos（90°﹣α）＝B．sin2α+cos2（60°﹣α）+sinαcos（60°﹣α）＝C．sin2（α+15°）+cos2（α﹣15°）+sin（α+15°）cos（α﹣15°）＝D．sin2（α﹣15°）+cos2（α+15°）+sin（α﹣15°）cos（α+15°）＝本题可运用排除法，首先根据角度的问题排除A、B两个选项；再根据两个角度对应的正弦余弦排除C选项，最终得到正确选项．【解答】解：由题意，可知：通过观察题干中三个等式的特点，首先可排除A、B两个选项，因为三个等式中两个角度的和并不都是90°，60°，故A、B错误；再仔细观察C选项发现C选项中两个角度与其正弦余弦与三个等式矛盾，故C错误；只有D选项完全符合三个等式，故选：D．【点评】本题主要考查对已知几个等式的归纳猜想能力，以及排除法的应用．本题属基础题．8.（2019山西省文科模拟）在△ABC中，|BC|cos A＝|AC|cos B，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得sin2A＝sin2B，可得：A＝B，或A+B＝，即可得解．【解答】解：∵|BC|cos A＝|AC|cos B，∴由正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＝π﹣2B，∴可得：A＝B，或A+B＝．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.（2019山西省文科模拟）已知函数的一个零点是，且在内有且只有两个极值点，则（）A．B．C．D．分析：利用正弦函数的图象与性质，判断函数的极值的个数，推出选项即可．【解答】解：在内为增函数，无极值点；在内有一个极值点；在内有极大值点，极小值点为，满足题意；在内有三个极值点，，不满足题意．故选：C．【点评】本题考查函数的极值的求法，正弦函数的图象与性质的应用，是基本知识的考查．10.（2019福州市文科模拟）已，则的取值范围是（）A．（﹣1.1]B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]．【分析】利用三角函数的倍角公式以及诱导公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵cos（﹣α）＝cos2（﹣）＝2cos2（﹣）﹣1＝2sin2（+）﹣1＝2t2﹣1，则＝＝2t﹣，t∈（0，1]，函数y＝2t﹣，在t∈（0，1]为增函数，则y＝2t﹣∈（﹣∞，1]，故选：D．11.（2019福州市文科模拟）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝2﹣sin2πx与f（x）的图象在区间（﹣1，1）上的交点个数为（）A．1B．3C．5D．7【分析】容易得到f（x），g（x）的图象关于（0，2）对称，结合导数判断f（x）的单调性，结合函数的图象即可判断【解答】解：∵f（x）＝＝2，容易得到y＝为奇函数，图象关于O（0，0）对称，则f（x）的图象关于（0，2）对称，∵函数g（x）＝2﹣sin2πx的图象关于（0，2）对称，当x∈（﹣1，1）f′（x）＝＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且2＜f（1）＜3，f（0）＝2，结合图象可知，有5个交点，故选：C．12.（2019福州市文科模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在线段AC上，且AE＝2EC，BE＝．（Ⅰ）求AC的长（Ⅱ）若∠ADC＝60°，，求∠ACD的大小．【分析】（Ⅰ）设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理及cos∠BEA＝﹣cos∠BEC，可得＝﹣，整理可解得z的值，即可得解AC的值．（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ACD＝，利用大边对大角可求∠ACD＜60°，利用特殊角的三角函数值即可得解．解：（Ⅰ）由题意，设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理可得：cos∠BEA＝，在△CBE中，由余弦定理可得：cos∠BEC＝，…4分，由于∠BEA+∠BEC＝180°，所以cos∠BEA＝﹣cos∠BEC，所以：＝﹣，…6分整理可得：16+6z2﹣4﹣18＝0，解得：z＝1（负值舍去），所以AC＝3…8分（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得，所以＝，所以sin∠ACD＝…10分，因为AD＜AC，所以∠ACD＜60°，所以∠ACD＝30°…12分13.（2019广东文科模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，是y＝f（x）的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，f（x）的单调增区间是（）A．，， ∈B．，， ∈C．，， ∈D．，， ∈解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1的一个零点是x，∴f（）＝2sin（ω+φ）﹣1＝0，∴sin（ω+φ），∴ω+φ2kπ或ω+φ2kπ，k∈Z；又直线x是函数f（x）图象的一条对称轴，∴ω+φkπ，k∈Z；又ω＞0，|φ|＜π，∴ω的最小值是，φ，∴f（x）＝2sin（x）﹣1；令2kπx2kπ，k∈Z，∴3kπ≤x3kπ，k∈Z；∴f（x）的单调增区间是[3kπ，3kπ]，k∈Z．故选：A．14.（2019广东文科模拟）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求的值．（Ⅰ） 解：由A ＝2B ，知sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，…………（1分） 由正、余弦定理得．………………（3分）因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，则 ．………………（5分） （Ⅱ） 解：由余弦定理得．……（6分）由于0＜A ＜π，所以（8分）故，（11分）（13分）15.（2019广东东莞市文科模拟）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足，，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：把看成关于a 的二次方程，则＝4（）＝4（）＝4（cos2B +﹣2）＝4[2sin （2B +）﹣2]≤0，故若使得方程有解，则只有△＝0，此时B ＝，，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0，∴a ＝2，由余弦定理可得，cos30°＝，解可得，c ＝4，∴＝＝2．故选：C ．16.（2019广东东莞市文科模拟）设θ为第二象限角，若tan （θ+）＝，则cos θ＝ ．【解答】解：∵tan （θ+）＝＝，∴tan θ＝，∵θ为第二象限角，∴cos θ＝﹣＝﹣＝．故答案为：．17.（2019湖南师大附中文科模拟）下图是函数sin()y A x ωϕ=+（x R ∈，0A >，0ω>，02πϕ<<）在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin y x =（x R ∈）的图像上所有的点（ ）A. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变【答案】D【解析】由函数图象可得：52266T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，则22,1A πωπ=== ， 当6x π=-时：22,263x k k ππωϕϕπϕπ⎛⎫+=⨯-+=∴=+ ⎪⎝⎭， 令0k = 可得：3πϕ=，函数的解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，由函数图象的平移变换和伸缩变换的知识可得： 将()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变即可得到sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 18.（2019湖南师大附中文科模拟）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．【答案】75︒)acosC ccosA b -=，)sinAcosC sinCcosA sinB -=，()A C -=()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒，又因为180B 120A C +=︒-=︒，所以2150,A 75A =︒=︒，故答案为75︒．19.（2019山东烟台文科模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，则cos 2θ=（ ） A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin θ，然后展开二倍角公式求cos2θ． 【详解】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，∴OP =sin 10θ=．则224cos212sin 125θθ=-=-⨯=⎝⎭.故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 20.（2019山东烟台文科模拟）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间距离为2π，将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，得到关于y 轴对称，则（ ）A. ()f x 的关于点(,0)6π对称B. ()f x 的图象关于点(,0)6π-对称C. ()f x 在ππ(,)63-单调递增 D. ()f x 在2(,)36ππ--单调递增 【答案】C【分析】由周期求出ω，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换、图象的对称性求出ϕ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 【详解】∵函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间距离为1222ππω⋅=，∴2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+.将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，可得sin(2)3y x πϕ=-+的图象， 根据得到的图象关于y 轴对称，可得32k ππϕπ-+=+，k Z ∈，∴6πϕ=-，()sin(2)6f x x π=-.当6x π=时，1()2f x =，故()f x 的图象不关于点(,0)6π对称，故A 错误； 当6x π=-时，()1f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点(,0)6π对称，故B 错误；在ππ(,)63-上，2[,]622x πππ-∈-，()f x 单调递增，故C 正确；在2(,)36ππ--上，32[,]622x πππ-∈--，()f x 单调递减，故D 错误， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，由周期求出ω，由图象的对称性求出ϕ的值，正弦函数的图象和性质，属于常考题型．21.（2019山东烟台文科模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A.23π B.3π C.6π D.56π 【答案】D【分析】由cos )cos 0A C C b A ++=，可得sin cos B b A =-，再由正弦定理得到tan A =，结合范围(0,)A π∈，即可求A 的值．【详解】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=-，)cos A C B b A +==-sin cos B b A =-，由正弦定理可得：sin sin cos A B B A =-，∵sin 0B >cos A A =-，即：tan 3A =-， ∵(0,)A π∈，∴56A π=.故选：D ． 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式等即可，属于基础题．22.（2019合肥市文科模拟）若函数()()πsin 103f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A. π18x =-B. 5π2x =-C. 7π18x =D. π2x =【答案】C【分析】先由最小正周期求出ω，再令()πππ32x k k ω+=+∈Z 可得对称轴方程，从而可得答案. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2π2π3T ω==，解得=3ω.()πsin 313f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令()ππ3π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ318k x k =+∈Z ，取1k =，可得()f x 图象的一条对称轴为7π18x =.故选C.【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数()()sin f x A x B ωϕ=++，最小正周期为2πT ω=，令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z 可得对称轴方程. 23.（2019合肥市文科模拟）已知V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若s i n 2s i n a B b C=，3b =，1cos 4B =，则V ABC 的面积为（ ）A. B.C.D.916【答案】B【分析】先由正弦定理得2a c =，再由余弦定理得,a c ，最后由1sin 2S ac B =求面积. 【详解】由sin 2sin a B b C =结合正弦定理可得2ab bc =，则2a c =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得()2219=2224c c c c+-⨯，解得32c =，则3a =.又sin B ==，所以113sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故选B. 【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式. 24.（2019合肥市文科模拟）已知函数()cos2sin f x x x =+，若对任意实数x ，恒有()()()12ff x f αα≤≤，则()12cos αα-=______． 【答案】14-【分析】由函数()f x 取得最值的条件，可求得121sin 1,sin 4αα=-=，再由三角恒等变换求()12cos αα-的值.【详解】对任意实数x ，恒有()()()12ff x f αα≤≤，则()1f α为最小值，()2f α为最大值.因为()2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，而1sin 1x -≤≤， 所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1sin 4x =时，()f x 取得最大值. 所以121sin 1,sin 4αα=-=.所以1cos 0α=.所以()1212121cos cos cos sin sin 4αααααα-=+=-. 【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值. 25.（2019福建宁德市文科模拟）若函数()sin 2cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A. 函数()f x 的最小正周期为2π B. 对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=C. 函数()f x 在3(,)24ππ上是减函数 D. 函数()f x 的图象关于直线=8x π-对称 【答案】B【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】函数f （x ）＝sin2x +cos2x ，24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则：①函数的最小正周期为22T ππ==．故选项A 错误． ②令：3222242k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得：588k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ），当k ＝0时，函数的单调递减区间为：[588ππ，]，故：选项C 错误．③当x 8π=-时，f （8π-）＝0，故选项D 错误，故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω;（2）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间。

上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编函数一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）方程ln(931)0xx+-=的根为 ． 2、（崇明区2019届高三）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 3、（奉贤区2019届高三）设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=4、（虹口区2019届高三）设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a =5、（金山区2019届高三）已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=6、（浦东新区2019届高三）若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点7、（普陀区2019届高三）函数2()1f x x x =-+的定义域为 8、（青浦区2019届高三）已知函数2()2(1)f x f x +=+，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是9、（松江区2019届高三）已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =10、（徐汇区2019届高三）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.11、（杨浦区2019届高三）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =12、（长宁区2019届高三）已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 13、（闵行区2019届高三）已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是14、（宝山区2019届高三）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = ．15、（奉贤区2019届高三）函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为16、（虹口区2019届高三）函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为 17、（虹口区2019届高三）已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞18、（金山区2019届高三）已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个19、（浦东新区2019届高三）已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为20、（普陀区2019届高三）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α=21、（松江区2019届高三）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 参考答案一、填空、选择题1、02、63、2log (1)x -，1x >4、85、166、(1,3)7、(,0)(0,1]-∞ 8、10,2⎛⎤⎥⎝⎦9、2 10、[]310,0,lg2x y x =-∈11、C 12、),0(+∞13、[2,4] 14、xy e -=- 15、[2,1]- 16、[42,9)17、B 18、A 19、(,2)-∞- 20、－2 21、100100[2,2]-二、解答题 1、（宝山区2019届高三）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位：度)与时间t (单位：小时，[0,20]t ∈)近似地满足函数13+2by t t =-+关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到00.1C ）； （2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于017C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.2、（崇明区2019届高三）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励 方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立.） （1）判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； （2）已知函数()5g x a x =-（1a ≥）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.3、（奉贤区2019届高三）入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（1）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？4、（虹口区2019届高三）已知函数16()1x f x a a+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33xt f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.5、（金山区2019届高三）设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.（1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；（2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2019届高三）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的 取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数2()21f x x =-在区间[2,)+∞上的弱渐近函数.7、（松江区2019届高三）已知函数2()21xf x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2xmf x ≥成立，求m 的最大值.8、（徐汇区2019届高三）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.参考答案 二、解答题1、解：（1）10013+2y t t =-+，1=[0,13)D ，2[13,20]D =， 当1t D ∈时，100132y t t =-++是减函数， ………………………………………2分当2t D ∈时，10013+2y t t =-+是增函数，………………………………………4分所以，0min (13) 6.7y y =≈，因而，大棚一天中保温时段的最低温度是06.7C .………………………………6分（2）由题意1317+2by t t =-+≥，所以()(2)1713b t t ≥+--，…………8分 令()12(2)(4+),()(2)1713(2)(30),t t t D g t t t t t t D +∈⎧=+--=⎨+-∈⎩，只需求()g t 的最大值，……………………………………………………………10分 当1t D ∈时，()g t 递增，()(13)=255g t g <，…………………………………11分 当2t D ∈时，2=30t t +-，即=14t ，()(14)256max g t g ==，……………12分 故，()(14)256max g t g ==，所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为256个单位. …………………14分 17. 2、解：（1）因为525(25)1065f =>， 即函数()f x 不符合条件③所以函数()f x 不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分 （2）因为1a ≥，所以函数()g x 满足条件①，……………………………………2分 结合函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②，得：1600575a -≤，所以2a ≤ ………………………………………………………………4分 由函数()g x 满足条件③，得：55xa x -≤对[25,1600]x ∈恒成立 即55x a x≤+对[25,1600]x ∈恒成立 因为525x x+≥，当且仅当25x =时等号成立……………………………………7分 所以2a ≤………………………………………………………………8分 综上所述，实数a 的取值范围是[1,2]a ∈……………………………………9分 3、4、5、6、解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）22()()21221f x g x x x x x -=--=--[)2,+x ∈∞，22()()212(1)f x g x x x x x ∴-=--=--令()()222222112()()()2(1)11x x x x h x f x g x x x x x x x --+-=-=--==+-+-任取122x x ≤<，则2212311x x ≤-<-，2212311x x ≤-<-221122011x x x x <+-<+-1222112222()()11h x h x x x x x ⇒>⇒<+-+-即函数2()()()2(1)h x f x g x x x =-=--在区间[)2,+∞上单调递减， 所以(()()0,423f x g x ⎤-∈-⎦，又([]0,4231,1⎤-⊆-⎦，即满足()2g x x =使得对于任意的[)2,x ∈+∞有()()1f x g x -≤恒成立，所以函数()2g x x =是函数2()21f x x =-在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．7、解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分 （2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx xm f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分 记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分 所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分8、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+>……………….11分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分 故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分。

2019年数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．B ．C ．D ．2．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－14．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．2,0,25．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．22B ．23C ．28D ．246．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B 3C 5D 7 8．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 10．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨D ．t 的值是3.1512．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．324二、填空题13．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =，b=1,则c =_____________16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 19．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：22n(ad bc)K(a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d）22．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N25．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．26．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续． 故选C ． 【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．3．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.6．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则55tan22BE aEABAB a∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.8．D解析：D【解析】【分析】【详解】由已知α=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设α=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2λμ=⎧⎨=⎩∴α=0m+2n,∴α在基底m, n下的坐标为(0,2).9．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC为等边三角形。

2019年山东省各地市一模试题分类汇编三角函数一、选择题1.（枣庄一模4）函数的减区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【分析】先利用降次公式化简，然后利用余弦函数的单调性求得减区间.【解析】，，解得，即减区间为，故选B.2.（淄博一模4）（）A. B.C. D.【答案】B【分析】将拆解为，和利用二倍角公式拆开，使得根号下的式子变成完全平方的形式，再根据符号整理.【解析】本题正确选项：3.（临沂一模5）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是A. 的一个周期为B.C. 是图象的一条对称轴D. 是偶函数【答案】D【分析】根据三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的周期性，奇偶性，对称性分别进行判断即可．【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝sin（2x）＝cos2x，则g（x）的最小正周期Tπ，故A错误，g（）＝cos（2）＝cos，故B错误，C．g（）＝cos（2）＝cos±1，即不是g（x）图象的一条对称轴，故C错误，D．g（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝g（x），即g（x）是偶函数，故D正确，故选：D．4.（德州一模5）将函数y=sin2x−√3cos2x的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A. 最小正周期为π2B. 关于x=π12对称C. 关于点(π3,0)对称 D. 在[−π12,5π12]上单调递减【答案】D【解析】解：将函数y=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为y=2sin(2x+π−π3)=2sin(2x+2π3).故所得图象对应的函数的周期为2π2=π，故排除A；令x=π12，求得y=2sin(2x+2π3)=12，不是最值，故排除B；令x=π3，求得y=2sin(2x+2π3)=−12，故图象不关于点(π3,0)对称，故排除C；在[−π12,5π12]上，2x+2π3∈[π2,3π2]，可得y=2sin(2x+2π3)单调递减，故D满足条件，故选：D．5.（潍坊一模6）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，若点是角终边上一点，则（）A. -12B. -10C. -8D. -6 【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义，通过，由此解得的值.【解析】由任意角的三角函数的定义可得，解得，故选D.6.（菏泽一模6）在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】解得到x的范围，然后利用几何概型的概率公式计算即可.【解析】所有的基本事件构成的区间长度为，由，解得：，则，所以由几何概型的概率公式得的值介于0到之间的概率为，故选:D7.（济南一模6）在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据条件可利用余弦定理将边求出，再将求出，利用三角形面积公式求出答案.【解析】在中，由余弦定理得,,整理得解得（舍）由,可得故选A项.8.（济宁一模5）将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π个单位长度后，得到函数g(x)的6”是“g(x)为偶函数”的()图象，则“φ=π6A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π6个单位长度后， 得到g(x)=sin[2(x +π6)+φ]=sin(2x +π3+φ)， 若g(x)是偶函数，则π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ， 即φ=π6+kπ，k ∈Z ，即“φ=π6”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A ．9.（聊城一模6）在ABC ∆，若AB=3BC ，22cos cos A B ==，则 A ．12B ．22C ．12D ．3 【答案】A10.（烟台一模5）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos2θ A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】D11.（泰安一模9）函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】B【解析】由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．12.（菏泽一模7）在中，角的对边分别为，若，，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【分析】将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案.【解析】因为，由正弦定理，得，所以，故选:A13.（潍坊一模7）若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D【分析】根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）＝cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【解析】由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为π，故C不正确；显然，f（x）＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．14.（济宁一模8）√3−tan20∘的值为()sin20∘A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：√3−tan20∘sin20∘=√3−sin20∘cos20sin20∘=√3cos20∘−sin20∘cos20∘sin20∘=2sin(60∘−20∘)12sin40∘=4×sin40∘sin40∘=4，故选：D ．15.．设函数()sin cos f x x x =-，若对于任意的x R ∈，都有()()2f x f x θ-=，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12B ．12-C ．3D ．3-【答案】B16.（烟台一模8）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间距离为2π，将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，得到关于y 轴对称，则 A. ()f x 的关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增D. ()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增 【答案】C17.（临沂一模9）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=3，C=60°，则tanA= A. B. C.D.【答案】B【分析】利用余弦定理列出关系式，将a ，b 及cos C 的值代入即可求出c 的值，进而根据正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式即可得解． 【解析】∵在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，∴由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝4+9﹣6＝7，解得：c．∴由正弦定理，可得：sin A，∵a＜b，A为锐角，∴cos A，tan A．故选：B．18.（枣庄一模9）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.【解析】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得故选A19.（菏泽一模10）若，且是钝角，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】将凑成然后利用两角和的余弦公式计算即可.【解析】因为是钝角，且，所以，故，故选:D20.（济南一模10）已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先根据三角函数的值，缩小的范围，根据和得到和【解析】，而即，两式相加、相减得，解得故选D项.21.（青岛一模10）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由函数的图像得到函数的周期排除AC，再由图像得到在处取得最值，从而得到答案.2112322468D CBPO【解析】根据图像得到三角函数的周期为，由周期的公式知.此时排除AC.又因为图像中函数在处取得最大值，代入B ，D 发现D 不合题意故舍去.故答案为：B 。

2019年数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈2．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±3．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．22B ．23C ．28D ．244．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 5．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+6．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i7．若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin θcos θ8，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．3-B ．32C ．52-D ．5 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 511．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形12．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 16．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．17．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．18．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男10生女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：22n(ad bc)K(a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d）22．在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．23．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大24．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．25．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．A解析：A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.4．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】试题分析：θ是ABC ∆的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.8．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．B解析：B 【解析】 【分析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.10．A解析：A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c+==-lglg 22b bc c =⇒=且sin A =A 为锐角，所以45A =，由b =，根据正弦定理，得sin )cos sin B C B B B ==-=+，解得cos 090B B =⇒=，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数二、填空题13．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2 【解析】 【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数14．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.15．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1 【解析】 【分析】先求出二项式9()ax x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r rr a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.17．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 18．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k ++=，2124p x x =， 所以2122222k PQ x x p p p k+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x = 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC ⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,22DM ∴==,所以PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA的最小值为5﹣213．故答案为5﹣213【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．8【解析】【详解】由题意知a∈Pb∈Q则a+b的取值分别为123467811故集合P+Q中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8【解析】【详解】由题意知a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q中的元素有8个.点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．三、解答题21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.【解析】试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得2K与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1， 2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种.其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、 （c ，2），共6种所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 22．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为33 【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sin A =3．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =3114372⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=，∴AC 边上的高为33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 23．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可. 24．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在的频率为：；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：0 1 2的数学期望.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证. 【详解】 证明：（1）EF 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈.又Q EF ∈，Q β∴∈， 则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线. 【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.。