高一数学1.1.1任意角(教、学案)

高一数学必修4导学案第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________。

所学的角的范围是什么？______________________________________________________。

问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________。

二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。

这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

【典型例题】1、度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？（3）如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？3. 终边相同的角思考: （1）下列角分别是第几象限角？ 3001506060--- ，，，-660，，210，300，420，780，这当中一些角有什么共同特征？（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与060角终边相同的角的集合吗？成 。

1.1.1 任意角科目：高一数学 授课教师：弥渡二中 高路洪一、教学目标:1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.2.理解任意角以及象限角的概念.3.掌握所有与 角终边相同的角的表示方法.二、学情分析：三、教学重难点:重点：将0360范围内的角推广到任意角.难点：用集合来表示终边相同的角四、突破方法：在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角集合.五、教学过程：（一）创设情景，引入课题：1、提问：初中所学的角是如何定义的？角的取值范围如何？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；范围：0°～360°）2.课件出示跳水与体操比赛以及齿轮传动的图片，感受生活中与角有关的现象。

（体操：“转体720”，“转体1080”。

齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）.）【设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.】强调：虽然我们过去学习了0°～360°范围内的角，但在上述问题中我们发现了仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. （板书课题）（二）探究新知，讲授新课：1.任意角的相关概念：角的定义：角可以看成平面内内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.角的名称：【齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）】顶点 AO角的分类： 正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角负角：按顺时针方向旋转所形成的角零角：一条射线没有作任何旋转所形成的角强调说明：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．2、象限角结合上述任意角的定义，教师进一步提出问题：问题1：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，你能用图形表示210,210,660αβγ==-=-这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？（教师演示作图，让学生概括作图要点）画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负决定旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题2：如果把上述角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？ （让学生画图、探究、讨论和交流给出合理的方法）【设计意图：让学生自行尝试培养学生处理数学问题的动手能力及其猜想、探究能力】（课件出示象限角的概念）定义：若将角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.(练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？) (讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？)结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角(或轴线角）.【设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有些相关概念也要发生改变.使学生进一步理解象限角的概念，培养学生的数形结合能力，为下面引入终边相同的作好铺垫.】3、终边相同的角（1）请在坐标轴上画出30°,390°,-330°,并找出它们的共同点?（三个角的终边相同，两两之间相差360的整数倍）结论：具有这样特点的角我们把它称为终边相同的角。

1.1．1任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位臵旋转到另一个位臵所形成的图形．二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位臵旋转到另一个位臵所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角顶点AO⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k 〃360 ° ， k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k 〃720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n 〃180°,n ∈Z }．例5．写出终边在x y =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？解：α 角属于第三象限，∴ k 〃360°+180°＜α＜k 〃360°+270°(k ∈Z )因此，2k 〃360°+360°＜2α＜2k 〃360°+540°(k ∈Z ) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z )故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k 〃180°+90°＜2α＜k 〃180°+135°(k ∈Z ) ．当k 为偶数时，令k =2n (n ∈Z )，则n 〃360°+90°＜2α＜n 〃360°+135°(n ∈Z ) ，此时，2α属于第二象限角当k 为奇数时，令k =2n +1 (n ∈Z )，则n 〃360°+270°＜2α＜n 〃360°+315°(n ∈Z ) ，此时，2α属于第四象限角因此2α属于第二或第四象限角．正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系．教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180(πnn ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．αα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(． 例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式： 319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z ,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=- 是第二象限角..,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l ,半径为R ,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．OR l4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用"旋转"定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解"正角""负角""象限角""终边相同的角"的含义。

教学重点：理解"正角""负角""象限角""终边相同的角"的含义教学难点："旋转"定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于"狭隘"师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语："转体720o" （即转体2周），"转体1080o"（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

1.1.1任意角
一、教学目标：
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．教学难点：“旋转”定义角; 终边相同的角的表示．
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业：
五、教学反思：
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突。

说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课。

由于学生的计算机技术不高，导致教学时间过紧。

1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。

过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。

情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。

二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。

难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。

三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。

通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。

四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。

五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。

A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。

①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。

1.1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示：如图，OA 是角α的，OB 是角α的，O 是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k ∈Z ”这一条件不能漏．(2)k ·360°与α中间用“＋”连接，k ·360°－α可理解成k ·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边与始边重合的角是零角．()2．与－457°角终边相同的角的集合是()A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z}3．下列说法正确的是()A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．第一象限角是锐角D ．第四象限角是负角4．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是_______．任意角的概念[典例]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60°终边相同角的表示[典例]已知α＝－315°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．如图所示，求终边落在直线y ＝3x 上的角的集合．象限角的判断[典例]找出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角，并判断它们是第几象限角．(1)660°；(2)－950°8′；(3)10030°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．已知α是第四象限角，则270°－α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．[新知初探]1．任意角（1）射线旋转图形．(2)始边终边顶点(3)逆时针顺时针没有2．象限角原点终边象限角坐标轴上[小试身手]1．答案：(1)√(2)√(3)×2．解析：选C263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }.3．答案：A4．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°任意角的概念[典例][解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[活学活用]解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k ·360°＋45°(k ∈Z)，所以当k ＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.[活学活用]解：终边落在射线y ＝3x (x >0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}.象限角的判断[典例][解](1)∵660°＝360°＋300°＝2×360°－60°，∴与660°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，它们是第四象限角．(2)∵－950°8′＝－3×360°＋129°52′＝－2×360°－230°8′，∴与－950°8′角终边相同的最小正角是129°52′，最大负角是－230°8′，它们是第二象限角．(3)∵10030°＝27×360°＋310°＝28×360°－50°，∴与10030°角终边相同的最小正角是310°，最大负角是－50°，它们是第四象限角．[活学活用]解析：选D由题意知－90°＋360°·k ＜α＜360°·k (k ∈Z)，则－360°·k ＜－α＜－360°·k ＋90°(k∈Z)，270°－360°·k ＜270°－α＜360°－360°·k (k ∈Z)，显然270°－α是第四象限角.角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例][解]法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z)．n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．。

1.1.1 任意角（教学设计）内容：人教A版高中数学必修④第一章第一节第一课时.适合对象：高一学生【教材分析】三角函数是基本初等函数之一，也是中学数学的重要内容之一，它是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具．因此，本节课作为高中三角函数的起始课，有着衔接初高中学习，承前启后的作用，也为今后学习任意角的三角函数奠定了基础．本节课主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；介绍象限角的概念；终边相同的角的表示方法；帮助学生树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广后角的概念．【教学目标分析】根据新课程标准和上述教材分析，本节课的教学目标设计如下：1．知识与技能目标：（1）使学生理解用“旋转”定义角；（2）理解“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义；（3）掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．2．过程与方法（1）通过问题情境，让学生自己完成角的概念的推广这一认知过程，培养学生观察、分析、运用所学知识解决问题的能力；（2）指导学生通过各种角表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力．3．情感态度价值观（1）通过对角的定义的推广过程的教学使学生感受到数学的应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心，激发学生学习数学的热情；（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，同时体会到创新的乐趣；（3）通过对角的集合表示的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风．【教学重难点】1．教学重点：理解并掌握正角、负角、零角及象限角的定义，会表示终边相同的角的集合；2．教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言表示出来．【教学问题诊断分析】学生在初中已学过0360范围内的角，这可能对角的概念的推广在认识上有一定的困难，因此，在教学中可结合生活中的具体例子，以学生熟悉的背景，引起学生的认知冲突，让学生体会角的概念有推广的必要．接着给出有关角的概念，在已有的认知条件下，学生是可以接受的.值得注意的是，终边相同的角的概念并不难理解，但用集合表示终边相同的角时，部分学生还是会有一些障碍，针对这一问题，在教学时应多举实例将特殊问题推广到一般情况，最好能让学生自己总结.【教学方法分析】新课程要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课可采用问题引领的方式让学生思考、自主探究及教师启发的教学方法．教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，并以多媒体辅助教学为手段，构建学生自主探究的平台，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.【信息技术分析】多媒体教室及PowerPoint2003．【教学过程】导入新课师：今天这节课，我想和大家共同探讨一个话题：角（教师板书）师：对于角，我们并不陌生，初中就学过角的概念．问题1：初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答.设计意图：回忆初中所学角的概念，为接下来角的推广作准备．新课讲解内容一：角的定义问题2：体操名词“程菲跳”是“踺子后手翻转体180度接前直转体空翻540度”的动作命名．这里的540度是一个什么样的角，能描述它吗？设计意图：用体操情境引发学生思考，激发学生探究新知的欲望，调动学生参与教学的积极性，由此引出用“旋转”来定义角.师生活动：师：540度角初中学过吗？怎么描述呢？生：初中没学过，我认为540度实际上就是旋转了一周半．师：那540度角能画出来吗？生：我目前画不出来.师：现在540度角还画不出来，说明初中角的概念不能满足我们进一步学习的需要，所以本节课的首要任务就是将角推广到任意角．（教师板书：1.1.1任意角，同时PPT给出角的定义）角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的的图形.（接着用PPT演示角的形成过程并给出角的表示方法以及角的顶点、始边和终边的概念）内容二：正角、负角和零角师：好，我们接着看下一个问题.问题3：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度？设计意图：使学生认识到角的推广不仅考虑要用旋转量，还应考虑旋转方向，为接下来正角、负角和零角的概念做好准备.师生活动：生：这是900度的角（教师追问：你是怎么想到的？学生继续作答）师：那向内旋转和向外旋转完全一样吗？生：不完全一样，空中旋转过程不一样（因为方向不同）师：也就是说，我们不仅需要从数量的角度将角推广，还需要根据旋转方向不同将角加以区分．在新的定义下，我们继续探讨与角有关的概念．（教师板书，同时PPT给出概念）1．正角、负角和零角我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．师：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．内容三：象限角师：前面我们讲了这么多，现在请大家动手画出120的角.设计意图：利用新概念重新认识角的问题，通过画120角发现位置可能不同，让学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 通过画图探究、交流，不难给出合理的规定，让学生感知把角放到平面直角坐标系中的好处.师生活动：教师让学生把所画的图形在黑板上展示，最好有位置不同的图形作对比.如果没有的话，教师自己画一个和学生所画位置不同的角.师：可以看出，由于选取始边的位置不同，可能同样大小的角画出来的位置不同，我们更好的管理任意角，我们要给任意角加以规定.为了后续学习的需要，我们常在平面直角坐标系中讨论角，那么怎么呢把角放到坐标系中比较合理？生：把角的顶点放在坐标原点，始边放在x 轴的正半轴.（教师纠正为x 轴非负半轴） 教师在总结分析角的始边和顶点规定的基础上，给出象限角的概念.（教师板书：象限角.同时PPT 上给出象限角的概念）2．象限角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．内容四：终边相同的角师：学习了这些概念，我们再画几个角.问题4：在平面直角坐标系中作出32-，328，392-的角，观察这些角之间有什么内在联系？设计意图：从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.师生活动：学生独立画图.教师巡视后，学生回答.生：这些角的终边相同.（教师追问：为什么？能解释一下吗？）师：与32-角终边相同的角有多少个？（学生回答：无数个）师：这些与32-角终边相同的角，包括32-的角在内，能用集合表示出来吗？教师给足时间让学生思考、作图，教师巡视后请学生（可找多个学生）在黑板上写出自己的答案，教师归纳总结，得出终边相同的角的集合.（教师板书，PPT 展示下面文字）3．终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}=360,k k Z ββα+⋅∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和．例题分析例 1 在0360（即0360α≤<）范围内，找出与95012'-角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：95012129483360''-=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限角．设计意图：通过例题，使学生进一步理解任意角的概念以及象限角和终边相同的角的概念. 师生活动：学生独立完成后回答，教师点评总结.学生练习1．下列说法正确的是（ ）参考答案：DA ．第一象限的角小于第二象限的角B ．若90180α≤≤，则α是第二象限的角C ．小于90的角都是锐角D ．有些角不是任何象限的角2．与460-角终边相同的角可以表示成( )参考答案：CA ．460360,k k Z +⋅∈B ．100360,k k Z +⋅∈C ．260360,k k Z +⋅∈D ．260360,k k Z -+⋅∈设计意图：通过练习，检验是否掌握的任意角的概念.师生活动：学生独立思考，教师巡视、个别辅导后请学生回答，教师再点评. 课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？设计意图：让学生复习本节课的主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法. 师生活动：学生回答，教师补充.同时解决学生提出的疑惑布置作业必做题：课本第9页 习题1.1 A 组 1、2、3选做题：已知α是第一象限角，那么2α和2α是第几象限角？ 板书设计。

1 / 2o x y x o 导学案 科目 高一数学 设计者 张进峰 班级 学生姓名必修四 第一 章 课题： §1.1.1任意角一、课标要求：1.了解任意角的概念。

2.理解终边相同角的含义及其表示。

二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的概念是本节课的重点。

用集合来表示终边相同的角是本节课的难点。

三、学习过程:阅读课本1-3页尝试解决下列问题。

1、任意角（1）任意角的概念：角可以看成是平面内一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

（2）正角、负角与零角我们规定按 方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____ 旋转，我们称它形成了一个零角。

零角的 与 重合。

如果α是零角，那么α= 。

2、象限角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标 重合；（2）使角的始边和x 轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何一个象限。

思考：（1）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗?（2）你能说出在直角坐标系内讨论角的好处吗？练习1、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o3、终边相同的角在下列坐标系中分别作出 690,750,30;150,210--角2 / 2思考：以上各角的终边有什么关系？把与30o 角终边相同的所有角表示为 ，所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成集合为 .。

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

练习 2、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 º (2)—54 º18′ (3)—1190º 30′练习3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 360720<≤-β的元素写出来：（1）1303o 18， （2）-225o练习4、写出终边在y 轴上角的集合四、检测题1、如果x 是第一象内的角，那么（ ）（A ）x 一定是正角 （B ）x 一定是锐角（C ）-3600<x <-2700或00<x <900 （D ）x ∈{x ∣k ⋅3600<x <k ⋅3600+900 k ∈Z }2、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限.180°—α在第__________象限。

高中数学任意角的教案
教学内容：高中数学任意角
教学目标：
1. 了解什么是任意角，熟练运用任意角的性质和相关定理；
2. 掌握任意角的三角函数公式及其相关推导过程；
3. 能够灵活运用任意角的三角函数计算角度、边长、面积等问题。

教学重点：
1. 任意角相关概念及性质；
2. 任意角的三角函数公式；
3. 任意角的应用问题解答。

教学难点：
1. 任意角的三角函数公式的推导；
2. 任意角的应用问题解答。

教学过程：
一、引入：
1. 引导学生回顾正角和负角的概念；
2. 介绍任意角的概念及性质，并引出任意角的三角函数。

二、讲解：
1. 任意角的三角函数公式及其推导过程；
2. 任意角的简单应用练习；
3. 解答学生提出的疑问。

三、练习：
1. 让学生自主完成一些任意角的计算练习；
2. 指导学生如何应用任意角的三角函数解决实际问题。

四、归纳总结：
1. 总结任意角的定义、性质、三角函数公式及应用方法；
2. 强调任意角的重要性和实用性。

五、作业布置：
1. 布置相关练习题，巩固所学知识；
2. 鼓励学生主动探索学习更多任意角相关内容。

教学反思：
1. 教学内容是否贴近学生实际需求，能否激发学生学习兴趣；
2. 教学方法是否多样灵活，利于学生深入理解和掌握知识点；
3. 教学过程中是否及时发现问题并及时调整，以保证教学质量和效果。

1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任意角[学习目标] 1.了解角的概念.2.把握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.娴熟把握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[学问链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？ 答 可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°. 2．在学校角是如何定义的？答 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 3．学校所学角的范围是什么？ 答 角的范围是[0°，360°]． [预习导引] 1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示方法：①常用大写字母A ，B ，C 等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示； ③特殊是当角作为变量时，常用字母x 表示． (3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.要点一 任意角概念的辨析例1 在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②其次象限角大于第一象限角； ③钝角都是其次象限角；④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ． 答案 ①②④解析 ①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是其次象限角，390°是第一象限角，明显390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，明显是其次象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法 推断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的生疏不能再停留在学校阶段，否则推断简洁错误．跟踪演练1 设A ＝{小于90°的角}，B ＝{锐角}，C ＝{第一象限角}，D ＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( ) A ．B C A B ．B A C C ．D(A ∩C )D ．C ∩D ＝B答案 D解析 锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角 B ＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角D ＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}要点二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并推断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练2给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是其次象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是其次象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三终边相同的角的应用例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解由终边相同的角的表示知与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，∴31136≤k<61136(k∈Z)．故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.要点四区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的全部角的集合，假如集合能化简的还要化成最简．本题还要留意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练4已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐标系中，分别画出集合A，B所包含的区域，结合图形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.1．－361°的终边落在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案 D2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，学校阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要留意“旋转方向”打算角的“正负”，“旋转量”打算角的“确定值大小”．2．关于终边相同角的生疏一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．留意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边肯定相同；终边相同的角不肯定相等，终边相同的角有很多多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案 D2．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案 D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知α∈(0°，360°)，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝.答案60°6．下列说法中，正确的是．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③其次象限的角为钝角；④小于90°的角肯定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不肯定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理其次象限的角也不肯定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不肯定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、力量提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案 C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．方法一 (分类争辩)当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是其次象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。

随意角教课设计一、教材剖析1、本节教材的地位和作用：本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。

三角函数是基本初等函数，它是描绘周期现象的重要数学模型。

这一节中包含随意角、终边同样的角的表示方法和象限角三个内容。

角的看法的推行正是这一思想的表现之一，是初中有关知识的自然持续。

为进一步研究角的和、差、倍、半关系供给了条件，也为此后学习分析几何、复数等有关知识供给有益的工具，因此学生正确的理解和掌握角的看法的推行尤其重要。

2、教课目的：知识与技术目标：（1）推行角的看法，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解随意角以及象限角的看法；（3）掌握全部与角 a 终边同样的角（包含角 a）的表示方法；过程与方法目标：（1）提升学生的计算能力 , 归纳归纳能力和类比思想能力；（2）经过绘图和判断角的象限，培育学生数形联合的思想方法；感情态度与价值观目标：（1）创建问题情形，激发剖析研究的学习态度，加强参加意识；（2）学会运用运动变化的看法认识事物.3、教课要点、难点：要点：理解随意角中正角、负角和零角和象限角的定义。

难点 :终边同样的角的表示方法。

二、学生状况剖析学生在初中就已经学过角的定义。

从学生学过的东西出发，联合实质生活中的例子，将随意角的范围扩展到大于 360 度，能够引起学生的的认知矛盾，激发学生的求知欲念，为这节课的顺利进行供给了有益的条件。

三、教法学法教法剖析：研究与发现新知识是教课的要点。

因此在教课中主要采纳以问题驱动、层层铺垫，从特别到一般启迪学生获取新知识。

学法指导：建构主义学习理论以为，学习是学生踊跃主动的建构知识的过程，学习应当与学生熟习的知识背景相联系。

在教课中，采纳自主研究与合作沟通的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，经过察看、操作、归纳、思虑、研究、沟通、反省参加学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教课过程环节教课内容设计设计企图从今日开始我们要学习必修四上的内容了，第一必修1和必章是什么？高中三角函数修四进行连接。