特别数形结合简单题型11月2日

黄山市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．2． 已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ） A ．f （a+1）≥f （b+2） B ．f （a+1）＞f （b+2）C ．f （a+1）≤f （b+2）D ．f （a+1）＜f （b+2）3． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ） A．B．C．D．4． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=05． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A ．14 B ．12C ．D ． 6． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．97． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形8． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2 B．C．D ．139． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24C ．30D ．3610．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.11．与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．12．已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．14．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ． 16．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．17．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图示．①函数f （x ）的极大值点为0，4； ②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．18．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.三、解答题19．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．20．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．21．关于x的不等式a2x+b2（1﹣x）≥[ax+b（1﹣x）]2（1）当a=1，b=0时解不等式；（2）a，b∈R，a≠b解不等式．22．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？23．已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）．（1）用分段函数的形式表示函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．24．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？黄山市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题13．②③④14．6,12,2,nna nn nn*=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N15．2-16．[0，2]．17．①②⑤．18．(,0)(4,)-∞+∞三、解答题19．20．21．22．23．24．。

想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。

例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。

如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。

长丰县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日2． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱 4．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A．B．C．D．5． 定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ） A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是66． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心7． 已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．132C ．12D ．15 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对10．已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）A ．∅B ．{x|x ＞0}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}可．11．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）A ．B ．C ．2015D ．12．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题13．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．14．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ． 16．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．17．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为．18．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．三、解答题19．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．阿啊阿20．已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．21．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）（1）求m和t的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．22．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：（1率分布直方图．（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．23．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．（1）求圆C的标准方程；（2）直线l 2与l 1垂直，且与圆C 交于不同两点A 、B ，若S △ABC =2，求直线l 2的方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32,f x x x t t =-++∈R ． （1）当1t =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数a 满足()32f a a +-<，求t 的取值范围．长丰县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2．【答案】D【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EG为直角梯形的中位线知，EG====5，∴EH=EG﹣1=4，则AB的中点到y轴的距离等于4．故选D．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．3．【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.考点：三视图【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.4．【答案】C【解析】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．5．【答案】D【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，∵函数f（x）是偶函数，∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，故选：D6．【答案】D【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。

数形结合思想例题解析数形结合思想例题解析一、结构几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：x 、y、 z 、 r 均为正数，且 x2y2z2 , z x2r 2x2例 1已知求证： rz xy.Cy r xA Bz解析：由 x2y2z2 , 自然联想到勾股定理。

由z x2r 2x2 .可以联想到射影定理。

进而可以作出吻合题设条件的图形（如图）。

比较图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性了如指掌。

证明：（略）小结：波及到与平方相关的恒等式证明问题，可结构出与之对应的直角三角形或圆，此后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：例 2已知：0＜a＜1，0＜b＜1.求证a2b2(1 a)2b2a2(1 b)2(1 a)2(1 b)2 2 2.证明：如图，作边长为 1 的正方形ABCD，在 AB 上取点 E，使 AE=a；在 AD上取点 G，使 AG=b，过E、G分别作 EF//AD 交 CD于 F；作 GH//AB 交 BC于 H。

设 EF与 GH交于点 O，连结 AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知△AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，所以OA a2b2OB(1a)2b2OC(1a)2(1 b)2OD a2(1b) 2且AC BD2因为OA OC AC, OB OD BD . 所以：- 1 - / 5数形结合思想例题解析a 2 b2(1 a)2 b2a 2 (1 b)2(1 a)2 (1 b)22 2.当且仅当a b12 时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可依据题设条件作出对应的图形，此后运用图形的几何性质或许平面几何的定理、公义去成立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：例 3若方程ax22x 10 （ a ＞ 0）的两根知足： x 1 ＜ 1， 1＜ x 2 ＜ 3，求 a 的取值范围。

解析：画出与方程对应的二次函数y ax 22x1 （ a ＞ 0）的草图：yy123x 0 1 2 3x由图可知：当x =1 时， y ＜0； 当 x =3 时， y ＞ 0.即a 122 1 1＜ 0 ； a 322 3 1＞ 0.5解得：9 ＜ a ＜ 1.例 4若对于 x 的不等式 0 x 2mx 2 1 的解集仅有一个元素，求m 的值。

浙江省杭州外国语学校2011届高三11月月考试题（数学文）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟;2．整场考试不准使用计算器一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B = （ ） A ．φ B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<2、“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、设平面向量(1,2),(2,)a b y ==- ,若a ∥b ，则|3|a b +等于 （ ）A．B．CD4、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是 （ ）A.cos 4y x =B.cos y x =C.sin()4y x π=+ D.sin y x =5、函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈，都有n k S S ≤成立，则k 的值为 （ ） A.22 B.21 C. 20 D.197、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为 （ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．08、1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是 （ ） A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F()0,7,直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.12522=-yxB.15222=-yxC.14322=-yxD.13422=-yx10、设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线 二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

河南省信阳市高级职业中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如右图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．C．D．5参考答案：A2. 已知下列命题：①若R，且kb=0，则k=-0或b=0；②若a·b=0，则a=0或b=0；③若不平行的两个非零向量a，b，满足|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=0；④若a与b平行，则a·b=l|a||b|；⑤若a·b=b·c，则a=c；⑥若a0，则对任一非零向量b，有a·b0．其中真命题的个数是( )．(A)0 (B)1(C)2 (D)3参考答案：C 3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 400，40B. 200，10C. 400，80D. 200，20参考答案：A【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.4. 圆锥的底面半径为，母线长是底面圆周上两动点，过作圆锥的截面，当的面积最大时，截面与底面圆所成的（不大于的）二面角等于(A) (B) (C) (D)参考答案：B略5. 已知，若，则（）A. B. C. D.参考答案：C【详解】由，得，则，则.6. 如图，为正方体的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是A． B． C． D．参考答案：C略7. 若实数，且，满足，，则代数式的值为()A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或20参考答案：A 8. 已知cos（α﹣π）=﹣，且α是第四象限角，则sin（﹣2π+α）=（）A．﹣B．C．±D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用“π﹣α”这组公式求出cosα，再利用诱导公式对所求的式子进行化简，由α的范围和平方关系求出α的正弦值，即求出所求的值．【解答】解：由cos（α﹣π）=﹣得，cosα=，又因α为第四象限角，∴sin（﹣2π+α）=sinα=﹣=﹣．故选A．9. 数列满足，，，…，是首项为，公比为的等比数列，那么（）A． B． C． D．参考答案：A略10. 圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为()A. -2B. 1C.D. 2参考答案：D【分析】由两圆对称，得到两圆的圆心中点坐标在直线上，进而可求出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为；圆的圆心为，所以，两圆心的中点坐标为，又两圆关于直线对称，所以点在直线上，因此，解得.故选D【点睛】本题主要考查由两圆位置关系求参数的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．参考答案：④【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．12. 若，则参考答案：13. 若，且，则的值为．参考答案：－1∵且,∴，∴，∴cosα+sinα=0,或cosα?sinα= (不合题意,舍去)，∴.14. 2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”：．参考答案：如：20011002,20100102等15. 已知点,点是圆上任意一点，则面积的最大值是参考答案：略16.已知幂函数y=f （x ）的图象过点，则f （8）= ．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f（﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有=3α，∴a=，即f（x）=，∴f（8）==．故答案为：．【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．17. 在等比数列中，已知，则_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

厦门市云顶学校2022-2023学年（上）九年级第二阶段考试数学试卷(AB层)一、选择题（每题4分，共40分）1. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A不是中心对称图形，故A错误；B是中心对称图形，故B正确；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．2. 一元二次方程2316x x+=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A .3，6-，1 B. 3，1，6 C. 3，6，1 D. 3，1，6-【答案】A 【解析】【分析】化为一般式解答即可．【详解】解：∵2316x x+=，∴23610x x-+=，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，6-，1．故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即20(0)ax bx c a++=¹．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．3. 已知抛物线22()1y x=-+，下列结论错误的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线2x= C. 抛物线的顶点坐标为(2,1) D. 当2x<时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．【详解】解：抛物线22()1y x=-+中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线2x=，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当2x=时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线2x=，因此当2x<时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在()2y a x h k=-+中，对称轴为x h=，顶点坐标为(,)h k．⊙的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）4. OA. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【答案】C【解析】【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，因6＞5，即d＜r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离.故选C5. 已知圆上的三点A，B，C和圆内的一点O，根据AÐ与OÐ的大小，下列四个选项中能判断点O一定不是该圆圆心的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圆周角定理判断即可．【详解】解：选项A，B，C中，∵∠BOC=2∠A，∴选项A，B，C中，点O可能是圆心．选项D中，∠BOC≠2∠A，∴点O一定不是圆心，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．6. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s 与时间t 的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P 是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）A. 小球滑行12秒停止B. 小球滑行6秒停止C. 小球滑行6秒回到起点D. 小球滑行12秒回到起点【答案】B【解析】【分析】根据函数图象结合s 与t 的关系式得出答案．【详解】解：如图所示：滑行的距离要s 与时间t 的函数关系可得，当t =6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．7. 如图，O e 是等边ABC V 的外接圆，点D 是弧BC 上的点，且20CAD Ð=°，则ACD Ð的度数为（ ）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB =∠ABC =∠BAC =60°，根据圆周角定理得到∠BCD =∠BAD =40°，进而可求出∠ACD 的度数．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =∠ABC =∠BAC =60°，∵∠CAD =20°，∴∠BAD =∠BAC -∠CAD =40°，∵»»BD BD=，∴∠BCD =∠BAD =40°，∴∠ACD =∠ACB +∠BCD =100°，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P 是线段AB 上一点()AP BP ＞，若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如图，AB 为339米，P 为塔AB 的黄金分割点()AP BP ＞，设AP x =，则x 满足的方程是（ ）A. ()2339339x x-= B. ()22339339x x -= C. ()2339339x x -= D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．【详解】解：因为满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点，AP x =．所以()2339339x x -=．【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解新定义是解题的关键．9. 已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A. 5-或2B. 5-C. 2D. 2-【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =∵抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧∴2k x =-＞0∴k ＜0∴5k =-故选：B ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．10. 已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( )A. 0＜m ＜1B. 1＜m ≤2C. 2＜m ＜4D. 0＜m ＜4【答案】C【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），x∴0＞4，∴对称轴为x=m中2＜m＜4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．二、填空题（每题4分，共24分）11. 点(1,4)M-关于原点对称的点的坐标是_______________________．【答案】()1,4-【解析】【分析】由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答．【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：x xy y=-ìí=-¢¢î，由题意得：x=1，y=-4，∴14xy-¢¢=ìí=î，∴点 M(1,−4) 关于原点对称的点的坐标是（-1，4），故答案为（-1，4）．【点睛】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．12. 已知1是关于x的一元二次方程230+-=的一个根，则k=_____________x kx【答案】2【解析】【分析】把1代入方程转化为一元一次方程求解即可．【详解】∵1是关于x的一元二次方程230+-=的一个根，x kx∴130k+-=即2k=．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的意义是解题的关键．即13. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.【答案】1【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出AB，从而得出结论．∠ACB=90°，则BC=12【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=12AB=1212´=，故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14. 某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过d米时，可视为最佳观赏位置，若游客在运行的一圈里最佳观赏时长为12分钟，则d=_____________【答案】34米##34m【解析】【分析】先求出56OM=米，再求出30OBCÐ=°，然后求出22OC=米，，即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：AD BC^，88AD=米，100AM=米，CM BN d==米，则44OB OD OA===（米），56OM AM OA=-=米，∵匀速运行一圈的时间是18分钟，最佳观赏时长为12分钟，∴1236036012018BOEÐ=°-°´=°，∴1602BOC BOEÐ=Ð=°，∴30OBCÐ=°，∴1222OC OB==米，∴562234d CM OM OC==-=-=米，故答案为：34米．【点睛】本题考查了垂径定理的应用、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理，求出30OBCÐ=°是解题的关键．15. 已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OP A绕点O逆时针旋转到△OQB.设⊙O 的半径为1，∠AOQ＝135°，则AQ的长为_______________.【答案】2.【解析】【分析】首先根据题意画出图形，证明△AOB和△BOQ是等腰直角三角形，求出AB，BQ，然后利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：∵△AOB为等腰三角形，P为AB中点，∴∠AOP=∠AOP=∠BOQ，∵∠AOQ=135°，∴∠AOP=∠AOP=∠BOQ=45°，∴△AOB和△BOQ是等腰直角三角形，∴∠ABQ=90°，∵OA=OB=1，，∴AB=2，BQ=OB·cos45°=2=,∴2.故答案为2【点睛】本题考查了圆的基本性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及特殊角三角函数，能够根据题意作出图形，利用数形结合的思想是解题关键.16. 如图，在Rt V ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，D是边AC上的一个动点，连接BD，作CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的最小值为_________．【答案】7##+【解析】【分析】取BC 中点F ，连接AF 、EF ．易得点E 在以点F 为圆心，FC 长为半径的圆周上运动，当点A 、E 、F 在同一直线上时，AE 最短．据此计算即可．【详解】解：如图，取BC 中点F ，连接AF 、EF ．CE BD ^Q ，∴90BEC Ð=°，\点E 在以点F 为圆心，FC 长为半径的圆周上运动，∴当点A 、E 、F 在同一直线上时，AE 最短．∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB －∠BAC ＝30°，又∵AB ＝4，122AC AB \==，22BC AB AC \=-==12EF CF BC \===，AF \===，AE AF EF \=-=，即AE．．【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键，也考查了含30°的直角三角形的性质以及勾股定理的应用．三、解答题（共86分）17. ①解方程：2640x x ++=②先化简，再求值：211122x x x --¸++（，1x =+【答案】①1233x x =-+=-- ②112x -【解析】【分析】（1）选择公式法求解即可．（2）先化除法为乘法，因式分解，分配律，约分化简即可，后代入求值．【详解】①因为2640x x ++=，221,6,4,46414200a b c b ac ===D =-=-´´=＞，所以632x -±==-±，所以1235,3x x =-+=--．②211122x x x --¸++（=()()212121212111x x x x x x x x x x ++++´=´=+-+-+-，当1x =+时，原式112x ===-．【点睛】本题考查了公式法解方程，分式的化简求值，熟练掌握方程的解法，灵活化简是解题的关键．18. 如图，ABC V 的3个顶点都在55´的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC V 绕点B 顺时针旋转90°到A B C ¢¢¢V ．（1）请在图中画出A B C ¢¢¢V ；（2）若点B 坐标为()00，，点A 坐标为()23-,，直接写出点A ¢坐标______．【答案】（1）见详解 （2）(3,2)【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，在网格中找到,A C ¢¢的对应位置，然后顺次连接即可；（2）根据坐标轴的特点确定点A ¢坐标即可．【小问1详解】解：画出A B C ¢¢¢V 如下图，【小问2详解】若点B 坐标为()00，，点A 坐标为()23-,，则点A ¢坐标为(3,2)．故答案为：(3,2)．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、图形旋转等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．19. 2017年12月6日，我县举行了2018年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加了这次会议？【答案】共有8家公司参加了这次会议．【解析】【分析】设共有x 家公司参加了这交流会，已知参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，即：每家公司要和除自己以外的其他的公司签订合同，需签订()1x -份合同，所以x 家公司共签合同()1x x -份，由知共签合同28份，以签合同数相等为等量关系，列出方程求解．【详解】解：设有x 家公司参加了交流会，依题意可列方程：()1282x x -=´解得：128,7x x ==-（不合题意，舍去）答：有8家公司参加了这次会议．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．20. 如图，ABC V 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，使MAC ABC Ð=Ð，（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）尺规作图：作»AC的中点D ，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE AB ^于E ，交AC 于F （保留作图痕迹），并求证：FD FG =．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】(1)根据AB 是直径，得到90ACB Ð=°，从而得到90BAC ABC Ð+Ð=°，结合MAC ABC Ð=Ð，得到90BAC MAC Ð+Ð=°即90MAB Ð=°得证．(2)根据»AC 的中点D ，得到ABD CBD Ð=Ð，结合90FDB ABD Ð=°-Ð，得到90BGC CBD Ð=°-Ð，得证BGC FDB Ð=Ð，结合BGC FGD Ð=Ð得证．【小问1详解】因为AB 是直径，所以90ACB Ð=°，所以90BAC ABC Ð+Ð=°，因为MAC ABCÐ=Ð，所以90BAC MACÐ+Ð=°，所以90Ð=°，MAB所以MN是半圆的切线．【小问2详解】因为»AC的中点D，所以ABD CBDÐ=Ð，因为AB是直径，DE AB^，所以90Ð=Ð=°，ACB DEB因为90Ð=°-Ð，BGC CBDFDB ABDÐ=°-Ð，90所以BGC FDBÐ=Ð，因为BGC FGDÐ=Ð，所以FDB FGDÐ=Ð，所以FD FG=．【点睛】本题考查了切线的证明，圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的证明，圆周角定理是解题的关键．21. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m 的取值范围；（3）若x 1，x 2为方程的两个根，且n ＝x 12＋x 22﹣8，试判断动点P （m ，n ）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）7m >；（3）经过定点（﹣3，21），理由见解析【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明；（2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可；（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出121224x x m x x m +-＝，＝，代入n ＝x 12＋x 22﹣8，，从而将动点P （m ，n ）仅用含m 的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可．【详解】（1）Q 关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0，1,,24a b m c m ==-=-，\()()()2222442481640b ac m m m m m -=---=-+=-³\该一元二次方程总有两个实数根；（2）Q 关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ＋2m ﹣4＝0，1,,24a b m c m ==-=-，24422m m b b ac x a ±--±-\==122,2x m x \=-=Q 该方程一个小于5的根，另一个根大于5，25m \->解得7m >（3）121224x x m x x m +-＝，＝Q \ n ＝x 12＋x 22﹣8()2121228x x x x =+--()22248m m =---24m m=-∴动点()P m n ，可表示为()24m m m -，\当m ＝-3时，2491221m m -=+=\动点()P m n ，所形成的数图象经过点点()3,21-．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根的判别式24b ac =-△：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．22. 如图1，ABC V 、CDE V 都是等边三角形，边DE 分别交BC 、AC 于点D 、E ，将CDE V 绕点C 顺时针旋转ɑ°()0360a °°＜＜设直线AE 与直线BD 相交于点F（1）如图2，当()0360a°°＜＜时，求证：BD AE=．（2）当CDEV绕点C旋转至B、D、E三点共线时，若7AB=，3CD=，求BD的长．【答案】（1）见解析 （2）5或8【解析】【分析】（1）根据60ACB DCE°Ð=Ð=，得到ACB ACD DCE ACDÐ+Ð=Ð+Ð，结合等边三角形的性质，运用SAS证明ACE BCDV V≌即可．（2）分B、D、E三点在BC上方共线和下方共线，两种情况计算．【小问1详解】因为ABCV、CDEV都是等边三角形，所以60ACB DCE°Ð=Ð=，AC BC=，CD CE=,所以ACB ACD DCE ACDÐ+Ð=Ð+Ð，所以ACE BCDÐ=Ð，所以AC BCACE BCD CE CD=ìïÐ=Ðíï=î，所以ACE BCDV V≌，所以BD AE =．【小问2详解】当B 、D 、E 三点在BC 上方共线，过点C 作CF BD ^于点F ，因为ABC V 、CDE V 都是等边三角形，所以7,3,60AB BC CD CE DE CDE =====Ð=°，所以3,22DF FE CF ===，所以132BF ===，所以133522BD BF DF =-=-=；当B 、D 、E 三点在BC 下方共线，过点C 作CF BD ^于点F ，因为ABC V 、CDE V 都是等边三角形，所以7,3,60AB BC CD CE DE CDE =====Ð=°，所以3,22DF FE CF ===，所以132BF ===，所以133++822BD BF DF ===；所以BD 的长为5或8．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x（天）之间的关系式是203062403040x x y x x <£ì=í-+<£î，，，销售单价p （元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为_________件；（2）当030x <£时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？【答案】（1）30 （2）2100元（3）9天【解析】【分析】（1）将15x =直接代入表达式即可求出销售量；（2）设销售额为w 元，分类讨论，当020x ££时，由图可知，销售单价40p =；当20x 30<£时，有图可知，p 是x 的一次函数，用待定系数法求出p 的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；（3）分类讨论，当20x 30<£和030x <£时列出不等式，解不等式，即可得出结果．【小问1详解】解：当15x =时，销售量230y x ==；故答案为30；【小问2详解】设销售额为w 元，①当020x ££时，由图可知，销售单价40p =，此时销售额4040280w y x x=´=´=∵800>，∴w 随x 的增大而增大当20x =时，w 取最大值此时80201600w =´=②当20x 30<£时，有图可知，p 是x 的一次函数，且过点（20，40）、（40，30）设销售单价()0p kx b k =+¹，将（20，40）、（40，30）代入得：20404030k b k b +=ìí+=î 解得1250k b ì=-ïíï=î ∴1502p x =-+∴()2215021005025002w py x x x x x æö==-+×=-+=--+ç÷èø∵10-<，∴当20x 30<£时，w 随x 的增大而增大当30x =时，w 取最大值此时()2305025002100w =--+=∵16002100<∴w的最大值为2100，∴当030<£时，日销售额的最大值为2100元；x【小问3详解】当030££时，248xx³解得24x³∴2430x££当3040x-+³<£，624048x解得32x£∴3032<£x∴2432££，共9天x∴日销售量不低于48件的时间段有9天．【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点．24. 如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点（030V的外接圆交ABABP°<Ð<°），作BCP于点D．点E是圆上一点，且»»=，连接DE交BP于点F．PD PE（1）求证：BE BC=（2）当点P运动变化时，BFDÐ的度数．Ð的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求BFD（3）探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析 （2）60Ð=°BFD（3）BF EF EC=+，理由见解析【解析】【分析】（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC；（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝60°，即可解答；（3）延长,CE BP交于点J，先证明JEF≌即可得出结论．V VV是等边三角形，然后证明JPC FDB【小问1详解】证明：连接PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∴∠PEB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠PEB，∵»»=，PD PE∴∠PBD＝∠PBE，∵BP＝BP，∴△ABP≌△EBP（AAS），∴AB＝EB，∴EB＝BC；【小问2详解】解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，∵»»=，PD PE∴∠DEP＝∠EBP，∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB＝∠PEB＝60°，∴∠BFD的度数为60°；【小问3详解】BF EF EC=+，理由如下：延长,CE BP交于点J，Q，180,180Ð+Ð=°Ð+Ð=°ABC CED JEF CED\Ð=Ð=°，60JEF ABCQ，Ð=Ð=°JFE BFD60\V是等边三角形，JEF\=，EF JE在JPCV和APB△中，Ð=Ð=°，J AJPC APBÐ=Ð，60\Ð=Ð，JCP PBA连接PD，Q四边形CPDB是圆的内接四边形，\Ð+Ð=°，PCB PDB180Q，Ð+Ð=°PDB ADP18060ADP PCB \Ð=Ð=°，60A Ð=°Q ，ADP \V 是等边三角形，AD AP \=，AC AP AB AD \-=-，即PC DB =，在JPC V 和FDB △中，60J BFD JCP FDB PC DB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()JPC FDB AAS \V V ≌，BF JC \=，BF JC JE EC EF EC \==+=+，即BF EF EC =+．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．25. 已知 ()2115y a x m =-+，点(),25m 在抛物线22222y a x b x c =++上，其中0m >．（1）若11a =-，点()1,4在抛物线()2115y a x m =-+上，求m 的值；（2）记O 为坐标原点，抛物线22222y a x b x c =++的顶点为M ，若20c =，点()2,0A 在此抛物线上，90OMA Ð=°，求点M 的坐标；（3）若2121613y y x x +=++，且2222248a c b a -=-，求抛物线22222y a x b x c =++的解析式【答案】（1）2 （2）()1,1- （3）2231210y x x =++【解析】【分析】（1）代入解析式，解方程，注意条件0m >，判断取舍．（2）根据20c =，()2,0A 可确定抛物线的对称轴为1x =，判定A 与原点是对称点，顶点坐标为()21,M a -，根据等腰直角三角形的性质，得到21a -=，当21a -=即21a =-时抛物线有最大值()1,1M ，而抛物线经过(),25m ，且251>，不符合题意；当21a -=-即21a =时抛物线有最小值()1,1M -，而抛物线经过(),25m ，且251>-，符合题意．（3）根据()2115y a x m =-+，点(),25m 在抛物线22222y a x b x c =++上，确定x m =时，122525301613y m m y +=+==++，确定1,17m m ==-（舍去），从而得到()22111111525y a x a x a x a =-+=-++得到()()()2212211122251613a a x b a x a x x y y c +=++-+++=++，得到一组对应相等关系式1221121216513a a b a a c ì+=ï-=íï++=î，得到1222212118287a a b a c a a ì=-ï=-íï=-=+î，根据2222248a c b a -=-得到()()222224+71828a a a a --=-，确定23a =，2212,10b c ==．【小问1详解】解：因为11a =-，点()1,4在抛物线()2115y a x m =-+上，所以()2541m =--+，解得2,0m m ==（舍去），所以2m =．【小问2详解】解：因为抛物线22222y a x b x c =++的顶点为M ，20c =，点()2,0A 在此抛物线上，所以22420a b +=即222b a =-，所以抛物线的对称轴为2212b x a =-=，因为2012+=，所以点A 与原点是对称点，顶点坐标为()21,M a -，因为90OMA Ð=°，等腰直角三角形的性质，得到21a -=，当21a -=即21a =-时，抛物线有最大值()1,1M ，而抛物线经过(),25m ，且251>，不符合题意；当21a -=-即21a =时抛物线有最小值()1,1M -，而抛物线经过(),25m ，且251>-，符合题意．所以顶点坐标为()1,1M -．【小问3详解】解：因为()2115y a x m =-+，点(),25m 在抛物线22222y a x b x c =++上，所以x m =时，1225251613y m m y +=+==++，解得1,17m m ==-（舍去），所以()22111111525y a x a x a x a =-+=-++所以()()()2212211122251613a a x b a x a x x y y c +=++-+++=++，所以1221121216513a a b a a c ì+=ï-=íï++=î，所以1222212118287a a b a c a a ì=-ï=-íï=-=+î，因为2222248a c b a -=-，所以()()222224+71828a a a a --=-，解得23a =，2212,10b c ==．所以抛物线的解析式为2231210y x x =++．【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线与特殊三角形的综合，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和抛物线与特殊三角形的关系是解题的关键．第34页/共34页。

2022-2023学年吉林省长春市第二中学高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知数列3，5，7，9，……，()21n +，则17是这个数列的（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项【答案】B【分析】由数列通项有2117n +=求解，即知17是数列的第几项. 【详解】由题设，2117n +=，可得8n =，故17是这个数列的第8项. 故选：B2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-====-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A.点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.3．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D.4．若过点(2,1)P ，且与圆221x y +=相切的直线方程为（ ）A ．250x y +-=B ．250x y +-=或1y =C ．4350x y --=D ．4350x y --=或1y =【答案】D【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决. 【详解】圆221x y +=的圆心是(0,0) ，半径是1r = ，把点(2,1)P 的坐标代入圆的方程221x y +=可知点P 在圆221x y +=外， 当直线斜率不存在时， 直线为2x = ，不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为1(2)y k x -=- ，即120kx y k -+-= ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即1= ，解得0k = 或43k =， 切线为4350x y --=或1y = ， 故选：D.5．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（ ）尺．A ．24B ．60C ．40D ．31.5【答案】D【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，夏至日晷长为第13项的等差数列，求出公差即可列式计算作答.【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为113.5a =，夏至日晷长为1.5尺，记为13 1.5a =， 因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列{},N ,13n a n n *∈≤，数列{}n a 的公差131 1.513.51131131a a d --===---， 因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长，所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13项，秋分为第7项，故7167.5a a d =+=， 所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为1.57.5731.52+⨯=(尺). 故选：D.6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．32n a n =- B ．2n a n =-C ．n a n =D ．43n a n =-【答案】A【分析】根据等差中项的性质，列出方程代入计算即可求得公差d ，从而得到通项公式.【详解】因为2a ，3a ，6a 成等比数列，则2326a a a =⋅即()()()211125a d a d a d +=++，将11a =代入计算 可得2d =-或0d =（舍）则通项公式为()()11223n a n n =+-⨯-=-+ 故选:A.7．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ + 抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．8．已知数列{}n a 满足：6(3)8,6,6n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩（*n ∈N ），且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,3) B ．10(1,)7C ．10(,3)7D ．(1,3)【答案】C【分析】仿照分段函数的单调性求解，同时注意67a a <．【详解】由题意763016(3)8a a a a -->⎧⎪>⎨⎪--<⎩，解得1037a <<．故选：C ．二、多选题9．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长为12BC ．短轴长为12 D【答案】CD【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解判断选项即可． 【详解】椭圆22:1641C x y +=，化成标准方程为22111416y x +=， 可得12a =，14b =，c ==长轴长为21a =， A 选项错误；焦距2c =B 选项错误；短轴长为122b =， C 选项正确； 离心率32c e a ==，D 选项正确. 故选：CD ．10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为162（O 为坐标原点）【答案】ACD【分析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，162QNF S =△即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==， 由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，18241622QNF S =⨯⨯=△.故选：ACD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11．公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（ ） A ．d ＞0 B ．0n a >时，n 的最大值为9 C ．n S 有最小值 D ．0n S >时，n 的最大值为17【答案】BD【分析】根据等差数列的单调性以及前n 项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由1089S S S <<可得9100a a +<，90a >，100a <，故1090d a a =-<，A 错误； 对B ：由A 得，数列为单调减数列，且90a >，100a <，故0n a >时，n 的最大值为9，B 正确； 对C ：由A 得，0d <，故2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是关于n 的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，C 错误；对D ：因为数列{}n a 的前9项均为正数，且179170S a =>，()()181********S a a a a =+=+<， 故0n S >时，n 的最大值为17，D 正确； 故选：BD .12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是[2-+ C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为1 【答案】BCD【分析】根据点)P在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ，根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ，设上顶点A ，得到120AF AF <，即可判断C ，利用基本不等式判断D. 【详解】解：由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率2c e a ==>，即椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭，故A 不正确；当e =c1b =，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即2⎡⎣，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<， 所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当122QF QF ==时，等号成立， 又124QF QF +=， 所以12111QF QF +≥，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知直线1:2320l ax y a ++-=与()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值为______． 【答案】1【分析】根据直线一般式平行时满足的关系即可求解.【详解】由12l l //得：()112432a a a a ⎧+=⨯⎨≠-⎩，解得1a =，故答案为：114．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若314S =，12a =，则2514a a a a ++的值为__________． 【答案】2【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式，即可求出公比q ，再根据等比数列的性质可知2514a a q a a +=+，由此即可求出结果. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，314S =，12a =不能同时成立；当1q ≠时，因为n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，且3114,2S a ==，所以()3131141a q S q-==-，即()()21171q q q q-++=-所以217q q ++=，所以2q （3q =-（舍去）），又()14251414=a a a a a a qq a a ++=++，所以2514a a a a ++的值为2.故答案为：2.15．已知双曲线2222x y a b-=1（0,0a b >>）的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是_______. 【答案】(2，+∞)【分析】由一三象限的渐近线的斜率大于3可得离心率的范围． 【详解】依题意，斜率为3的直线l 过双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F 且与双曲线的左右两支分别相交， 双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于3， 即3b a >，因此该双曲线的离心率e 21()13c ba a==++=＞2． 故答案为：(2，+∞)．16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列说法正确的有____________．①椭圆的长轴长为2②线段AB 长度的取值范围是4,222+⎡⎤⎣⎦；③ABF △面积的最小值是4； ④AFG 的周长为442+． 【答案】①②④【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断①；由椭圆性质可判断②；取特值，结合OA 长度的取值范围可判断③；由椭圆定义可判断④.【详解】解：由题知，椭圆中的几何量2b c ==，所以2222a c b =+=， 则242a =，故①正确；因为2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知222OA ≤≤，所以4222AB ≤≤+，故②正确； 记AOF θ∠=，则11sin sin()22ABFAOFOBFSSSOA OF OB OF θπθ=+=⋅+⋅- sin 2sin (2)sin OA OA θθθ=+=+取6πθ=，则111122422ABFSOA =+≤+⨯<，故③错误；由椭圆定义知，242AF AG a +==， 所以AFG 的周长42442AFGC FG =+=+，故④正确.故答案为：①②④四、解答题17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，37a =，557S a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)10n a n =-；(2)45.【分析】（1）求出等差数列的基本量后可求其通项；（2）根据通项的符号可求n S 的最大值．【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则()1112751074a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得191a d =⎧⎨=-⎩， 故()9110n a n n =--=-.（2）因为当19n ≤≤时，0n a >，当10n =时，0n a =，当10n >时，0n a <，故当9n =或10n =时n S 有最大值且最大值为9010452+⨯=. 18．已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ．(1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为直角三角形，求直线2l 的方程；【答案】(1)()()221150x y -++=(2)6x =或125480x y -+=.【分析】（1）设圆心坐标为(),a b ，根据题意由()()()()22224162664b a a b a b -⎧=⎪-⎨⎪-+-=-+-⎩求解；（2）易得圆心C 到直线2l的距离5d ==，再分直线2l 斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解.【详解】（1）解：设圆心坐标为(),a b ， 则()()()()22224162664b a a b a b -⎧=⎪-⎨⎪-+-=-+-⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩， ∴圆的半径r =∴圆C 的方程为：()()221150x y -++=. （2）CMN △为直角三角形，CM CN =，CM CN ∴⊥，则圆心C 到直线2l 的距离5d ==； 当直线2l 斜率不存在，即2:6l x =时，满足圆心C 到直线2l 的距离5d =；当直线2l 斜率存在时，设()2:246l y k x -=-，即6240kx y k --+=，5d ∴==，解得：125k =， 21248:055l x y ∴-+=，即125480x y -+=； 综上所述：直线2l 的方程为6x =或125480x y -+=.19．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF . （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案.【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx m k x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=， ()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A =PB =AB =2，E 为AD 中点．(1)证明：AC ⊥PE ；(2)若AC =2，F 点在线段AD 上，当直线PF 与平面PCD 所成角的正弦值为14，求AF 的长． 【答案】(1)证明见解析(2)1AF =【分析】（1）构造辅助线证明线面垂直得到线线垂直.（2）建立空间直角坐标系利用向量方法表示线面角即可求得AF 的长【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,ME BD ，又因为2PA PB AB ===，所以PM AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =．所以PM ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PM AC ⊥，在ABD △中，因为M ，E 分别是,AB AD 中点，所以ME BD ∥，由底面ABCD 为菱形知，AC BD ⊥，所以AC ME ⊥．因为PM ME M =，所以AC ⊥平面PME ，又PE ⊂平面PME ，所以AC PE ⊥．（2）解：∵2AC =，∴ABC 为正三角形，即AB MC ⊥，由（1）知PM ⊥平面ABC ，∴以M 为原点，以MB 为x 轴，MC 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),3,0),(3,0),3)--A C D P ， (0,3,3),(2,0,0)=-=-PC CD ，设面PCD 的法向量(,,)n x y z =，由·0·0PC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即33020z x =-=⎪⎩ 取(0,1,1)n =， 依题意设AF AD λ=，01λ≤≤，则(3,0),(3,3)λλλλ--=---F PF ，设直线PF 与平面PCD 所成角为θ，||1sin 4||||θ⋅==⋅PF n PF n ， 解得12λ=或2（舍去）， ∴1AF =．21．已知数列{}n a ，其中前n 项和为n S ，且满足15a =，*123(N )n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{3}n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)223n n a +=-，*n ∈N ，n S 3238n n +=--．【分析】（1）根据题意对123n n a a +=+两边同时加3，进一步推导即可发现数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{3}n a +的通项公式，进一步计算出数列{}n a 的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n 项和n S ．【详解】（1）证明：由题意，123n n a a +=+两边同时加3，可得132332(3)n n n a a a ++=++=+，13538a +=+=，∴数列{3}n a +是以8为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得123822n n n a -++=⋅=，则223n n a +=-，*n ∈N ， 故12n n S a a a =++⋅⋅⋅+342(23)(23)(23)n +=-+-+⋅⋅⋅+-342(222)3n n +=++⋅⋅⋅+-⋅3322312n n +-=-- 3238n n +=--．22．已知椭圆2222:10x y C a b a b +=>>（），四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 是椭圆C 的上顶点，点Q ，R 在椭圆C 上，若直线PQ ，PR 的斜率分别为12,k k ，满足1234k k ⋅=，求PQR 面积的最大值．【答案】(1)2214x y += (2)32【分析】（1）由对称性可知经过34P P ，两点，再把1P 代入，得到222211134a b a b +>+，从而确定不经过点1P ，确定点2P 在C 上，待定系数法求出曲线C 的方程；（2）设直线:QR y kx m =+，与椭圆C 的方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出12,k k ，列出方程，求出2m =-，直线QR 过定点()02M -，，故()123PM =--=，且由0∆>得到234k >，表达出1212PQRS PM x x =⋅⋅-=，换元后利用基本不等式求出面积的最大值32. 【详解】（1）由于34P P ，两点关于y 轴对称，故曲线C 经过34P P ，两点， 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ， 所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程为2214x y +=； （2）由于P 是椭圆C 的上顶点，故直线QR 的斜率一定存在，设()()1122,,,Q x y R x y ，直线:QR y kx m =+，联立方程组 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()222148440k x kmx m +++-= ()()()222222644441416140k m m k k m ∆=--+=+->，得2214k m +>，2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， ()()12121212121111kx m kx m y y k k x x x x +-+---⋅=⋅= ()()()221212121134k x x k m x x m x x +-++-==,由题意知1m ≠，由2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， 代入化简得()()()()222418141310k m k m m k m +-+-+-+=，整理得：240m --=，∴2m =-故直线QR 过定点()02M -，， 由0∆>得()22142k +>-，解得234k >， 且()123PM =--=，12121133222PQR S PM x x x x =⋅-=⨯-==令0t，则2663442PQR t S t t t ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =，即k = 所以PRQ △面积的最大值为32. 【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题难点在利用1234k k ⋅=求出直线QR 过定点()02M -，后，利用1212PM x x ⋅-表达出PQR S ，再根据基本不等式求出面积的最大值.。

高中数学数形结合思想经典例题（含解析）高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<1<="" bdsfid="103" p="">9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝?－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝?|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝?3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<－5<="" bdsfid="173" p=""><－5<="" bdsfid="175" p="">6.<－5<="" bdsfid="177" p="">又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.<－5<="" bdsfid="179" p="">不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<="" )＝ln|x="" 3．函数f=""<－5<="" bdsfid="182" p=""><－5<="" bdsfid="184" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="186" p="">【解析】因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排除B ，选A.<－5<="" bdsfid="188" p="">4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）<－5<="" bdsfid="190" p="">x <0的解集为( )<－5<="" bdsfid="192" p="">A ．(－2，0)∩(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="194" p="">B ．(－∞，－2)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="196" p="">C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="198" p="">D ．(－2，0)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="200" p="">【答案】 D<－5<="" bdsfid="202" p="">【解析】由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）<－5<="" bdsfid="204" p="">x <0.若x >0，则需<－5<="" bdsfid="206" p="">有f (x )<0，结合图象可知00，结合图象可知<－5<="" bdsfid="209" p="">－2<0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．<="" bdsfid="210" p=""><－5<="" bdsfid="212" p="">5．实数x ，y 满足不等式组<－5<="" bdsfid="214" p="">?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )<－5<="" bdsfid="216" p="">A.215<－5<="" bdsfid="218" p="">5<－5<="" bdsfid="220" p="">B ．21<－5<="" bdsfid="222" p="">C ．20<－5<="" bdsfid="224" p="">D ．25<－5<="" bdsfid="226" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="228" p="">【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4| <－5<="" bdsfid="230" p="">5<－5<="" bdsfid="232" p="">·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．<－5<="" bdsfid="234" p="">由?<－5<="" bdsfid="236" p="">x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max<－5<="" bdsfid="238" p="">＝21.<－5<="" bdsfid="240" p="">6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)<－5<="" bdsfid="242" p="">B ．(1<－5<="" bdsfid="244" p="">2，1)<－5<="" bdsfid="246" p="">C ．(1，2)<－5<="" bdsfid="248" p="">D ．(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="250" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="252" p="">【解析】在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1<－5<="" bdsfid="254" p="">2<－5<="" bdsfid="256" p=""><1.<="" bdsfid="257" p=""> <－5<="" bdsfid="259" p=""><－5<="" bdsfid="261" p="">7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y<－5<="" bdsfid="263" p="">x ＋y 的最小值为( )<－5<="" bdsfid="265" p="">A.53 B ．2 C.35<－5<="" bdsfid="267" p="">D.12<－5<="" bdsfid="269" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="271" p="">【解析】依题意，得实数x ，y 满足<－5<="" bdsfid="273" p="">?x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴<－5<="" bdsfid="275" p="">影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋y<－5<="" bdsfid="277" p="">x 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[5<－5<="" bdsfid="279" p="">3，2]，故<－5<="" bdsfid="281" p="">选A.<－5<="" bdsfid="283" p="">8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<="" p="" 【答案】=""><－5<="" bdsfid="286" p="">【解析】本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于<－5<="" bdsfid="288" p="">(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<="" )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x="" 1x="" 1＜x="" 2 <－5<="" bdsfid="291" p=""><－5<="" bdsfid="293" p="">A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="295" p="">B.f （x 1）x 1＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="297" p="">x 2<－5<="" bdsfid="299" p="">C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="301" p="">D ．不能确定<－5<="" bdsfid="303" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="305" p="">【解析】如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝<－5<="" bdsfid="307" p="">f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0<－5<="" bdsfid="309" p="">＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="311" p="">x 2，由于0＜x 1<－5<="" bdsfid="313" p="">＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）<－5<="" bdsfid="315" p="">x 2<－5<="" bdsfid="317" p="">，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组<－5<="" bdsfid="319" p="">?2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 <－5<="" bdsfid="321" p="">＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4<－5<="" bdsfid="323" p="">3)<－5<="" bdsfid="325" p="">B ．(－∞，1<－5<="" bdsfid="327" p="">3)<－5<="" bdsfid="329" p="">C ．(－∞，－2<－5<="" bdsfid="331" p="">3)<－5<="" bdsfid="333" p="">D ．(－∞，－5<－5<="" bdsfid="335" p="">3<－5<="" bdsfid="337" p="">)<－5<="" bdsfid="339" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="341" p="">【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．<－5<="" bdsfid="343" p="">要使可行域内包含y ＝1<－5<="" bdsfid="345" p="">2<－5<="" bdsfid="347" p="">x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝<－5<="" bdsfid="349" p="">12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23<－5<="" bdsfid="351" p="">. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269<－5<="" bdsfid="353" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="355" p="">【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →<－5<="" bdsfid="357" p="">＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，4<－5<="" bdsfid="359" p="">3)，所以AE →＝(23，<－5<="" bdsfid="361" p="">23)，AF →＝(13，4<－5<="" bdsfid="363" p="">3)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109<－5<="" bdsfid="365" p="">. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 <－5<="" bdsfid="367" p="">5成立，则实数a<－5<="" bdsfid="369" p="">的值为( ) A.15 B.2<－5<="" bdsfid="371" p="">5 C.12<－5<="" bdsfid="373" p="">D ．1 【答案】 A<－5<="" bdsfid="375" p="">【解析】(x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．<－5<="" bdsfid="377" p="">因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2<－5<="" bdsfid="379" p="">x<－5<="" bdsfid="381" p="">＝2，解得x ＝1.<－5<="" bdsfid="383" p="">从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为<－5<="" bdsfid="385" p="">222＋（－1）2<－5<="" bdsfid="387" p="">＝25<－5<="" bdsfid="389" p="">5，如图所示．<－5<="" bdsfid="391" p=""><－5<="" bdsfid="393" p="">故|PQ |的最小值为25<－5<="" bdsfid="395" p="">5<－5<="" bdsfid="397" p="">，<－5<="" bdsfid="399" p="">即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝4<－5<="" bdsfid="401" p="">5，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以<－5<="" bdsfid="403" p="">2a －0a －1<－5<="" bdsfid="405" p="">×2＝－1，解得a ＝1<－5<="" bdsfid="407" p="">5.<－5<="" bdsfid="409" p="">13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="411" p="">，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2<－5<="" bdsfid="413" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="415" p="">【解析】利用FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="417" p="">转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴<－5<="" bdsfid="419" p="">|PQ||PF|＝3<－5<="" bdsfid="421" p="">4<－5<="" bdsfid="423" p="">.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴<－5<="" bdsfid="425" p="">|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝3<－5<="" bdsfid="427" p="">4<－5<="" bdsfid="429" p="">.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.<－5<="" bdsfid="431" p="">14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于3<－5<="" bdsfid="433" p="">4，抛物线E ：y 2＝<－5<="" bdsfid="435" p="">2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：<－5<="" bdsfid="437" p="">x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4<－5<="" bdsfid="439" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="441" p="">【解析】 x 2<－5<="" bdsfid="443" p="">a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为<－5<="" bdsfid="445" p="">x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝<－5<="" bdsfid="447" p="">|a|12＋4a 2＝34<－5<="" bdsfid="449" p="">，解得a ＝<－5<="" bdsfid="451" p="">3<－5<="" bdsfid="453" p="">2或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 2<－5<="" bdsfid="455" p="">3<－5<="" bdsfid="457" p="">－4y 2＝1.因为c ＝<－5<="" bdsfid="459" p="">34＋14<－5<="" bdsfid="461" p="">＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于<－5<="" bdsfid="463" p="">点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|<－5<="" bdsfid="465" p="">（－3）2＋42＝10<－5<="" bdsfid="467" p="">5＝2，即距离之和的最小值为2，选B.<－5<="" bdsfid="469" p="">二、填空题<－5<="" bdsfid="471" p="">15．已知函数y ＝|x 2－1|<－5<="" bdsfid="473" p="">x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是<－5<="" bdsfid="475" p="">__________．<－5<="" bdsfid="477" p="">【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】根据绝对值的意义，<－5<="" bdsfid="479" p="">y ＝|x 2－1|x －1＝<－5<="" bdsfid="481" p="">x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.<－5<="" bdsfid="483" p=""><－5<="" bdsfid="485" p="">在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<1或1<4时有两个交点．<="" bdsfid="486" p=""><－5<="" bdsfid="488" p=""><－5<="" bdsfid="490" p="">16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3)<－5<="" bdsfid="492" p="">【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．<－5<="" bdsfid="494" p="">17．已知变量x ，y 满足约束条件<－5<="" bdsfid="496" p="">?x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值<－5<="" bdsfid="498" p="">为________．【答案】－2<－5<="" bdsfid="500" p="">【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1<－5<="" bdsfid="502" p="">x ＋1<－5<="" bdsfid="504" p="">＝<－5<="" bdsfid="506" p="">y －（－1）<－5<="" bdsfid="508" p="">x －（－1）<－5<="" bdsfid="510" p="">，则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．<－5<="" bdsfid="512" p=""><－5<="" bdsfid="514" p="">18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．【答案】 14<－5<="" bdsfid="516" p="">【解析】如图所示，圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝1，抛物线的焦点F (2，0)，准线x ＝－2.<－5<="" bdsfid="518" p=""><－5<="" bdsfid="520" p="">由y ＝x －2，y 2＝8x ，<－5<="" bdsfid="522" p="">得x 2－12x ＋4＝0，设直线与抛物线交于A (x A ，y A )，D (x D ，y D )，则x A ＋x D ＝12. |AB |＋|CD |＝(|AF |－|BF |)＋(|DF |－|CF |)＝(|AF |－1)＋(|DF |－1)＝|AF |＋|DF |－2，由抛物线的定义得|AF |＝x A ＋2，|DF |＝x D ＋2，故|AB |＋|CD |＝(|AF |＋|DF |)－2＝x A ＋x D ＋2＝14.<－5<="" bdsfid="524" p="">19．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="526" p="">－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．<－5<="" bdsfid="528" p="">【答案】 [－2，0]<－5<="" bdsfid="530" p="">【解析】画出函数|f (x )|的图象，数形结合求解．<－5<="" bdsfid="532" p=""><－5<="" bdsfid="534" p="">作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，<－5<="" bdsfid="536" p="">其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2. ∴a 的取值范围是[－2，0]．<－5<="" bdsfid="538" p="">20．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="540" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="542" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b<－5<="" bdsfid="544" p="">有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (3，＋∞)<－5<="" bdsfid="546" p="">【解析】 f (x )＝?<－5<="" bdsfid="548" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="550" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，<－5<="" bdsfid="552" p="">其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x<－5<="" bdsfid="554" p="">＝m 的交点为Q (m ，m )．①当m>0，<－5<="" bdsfid="556" p="">4m －m 2≥m ，<－5<="" bdsfid="558" p="">即0<="" bdsfid="559" p="" ≤3时，函数f=""><－5<="" bdsfid="561" p="">直线y ＝b 与函数f (x ) 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当?<－5<="" bdsfid="563" p="">4m －m 2<=""><－5<="" bdsfid="566" p="">m>0，即<－5<="" bdsfid="568" p="">m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<－5<="" bdsfid="571" p=""><－5<="" bdsfid="573" p="">。

海淀区第三高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）3． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 4． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3C．D ．±35． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）6． 若实数x ，y满足，则（x ﹣3）2+y 2的最小值是（ ）A．B ．8C ．20D ．27． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8． 设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008）的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不确定9． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ） A ．3B．C ．±D ．以上皆非10．已知x ＞0，y ＞0，+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，] B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，] D ．（﹣∞，]11．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________12．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要二、填空题13．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．15．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．17．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．18．i 是虚数单位，化简：= ．三、解答题19．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p （x ）件与月份x 的近似关系是且x ≤12），该商品的进价q （x ）元与月份x 的近似关系是q （x ）=150+2x ，（x ∈N*且x ≤12）． （1）写出今年第x 月的需求量f （x ）件与月份x 的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？20．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．21．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；1（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．22．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．23．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．24．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>．海淀区第三高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】A【解析】解： ==1+i ，其对应的点为（1，1），故选：A ．2． 【答案】C 【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，∵=0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆． 又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．∴e 2=＜，∴0＜e ＜．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．3． 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为{}4,2.考点：复合函数求值． 4． 【答案】B【解析】解：角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=， 可得，（m ＞0）解得m=3． 故选：B ．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．5． 【答案】C【解析】解：设C （x ，y ，z ），∵点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C ，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C（4，﹣3，1）．故选：C．6．【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离d min=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．7．【答案】B【解析】解：若f（x）的图象关于x=对称，则2×+θ=+kπ，解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．8．【答案】B【解析】解：∵f（1988）=asin（1988π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asin α+bcos β=﹣1，故f （2008）=asin （2008π+α）+bcos （2008π+β）+4=asin α+bcos β+4=﹣1+4=3，故选：B ．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．9． 【答案】C【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，又数列{a n }是等比数列，则a62=a 3a 9=3，即a 6=±．故选C10．【答案】D【解析】解：x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，所以（x+y ）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m ﹣1≤16，解得m；故m 的取值范围是（﹣]；故选D ．11．【答案】B 【解析】考点：球与几何体 12．【答案】B 【解析】试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.二、填空题13．【答案】 20 ．【解析】解：（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；又（x2+）6的展开式中，通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；所以展开式中x3的系数是=20．故答案为：20．14．【答案】50π【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．15．【答案】．【解析】解：由方程组解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx=﹣（﹣4）=故答案为：【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．16．【答案】3+．【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+．故答案为：3+．17．【答案】[，﹣1]．【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；∵AF⊥BF，∴=0，即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，cos 2α==2﹣，故cos α=，而|AF|=，|AB|==2c ，而sin θ===，∵θ∈[，]，∴sin θ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e ≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．18．【答案】 ﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）当x=1时，f （1）=p （1）=37.当2≤x≤12时，且x≤12）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元.【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．20．【答案】【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，，∴，，∴，．（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，∴，∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，∴最高点为，最低点为，∴，，∴，又0≤θ≤π，∴．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．22．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．…（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，得，令z=1，得=（t，﹣t，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，…即=，解得t2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点∴BC⊥AC …又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…而AA1∩AC=A∴BC⊥平面A1AC …（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，∵D为AC的中点∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且∴DE∥A1O1，DE=A1O1∴A1DEO1为平行四边形…∴A1D∥EO1…而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC∴A1D∥平面O1BC …【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．24．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】试题解析： （1）()2af'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；（2）22626()6ln '()21x x f x x x x f x x x x--=--⇒=--=，因为函数()f x 的定义域为0x >，令(23)(2)3'()02x x f x x x +-==⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，（3）当1a =时，函数2()ln f x x bx x =+-，21111()ln 0f x x bx x =+-=，22222()ln 0f x x bx x =+-=，两式相减可得22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，所以12120121212ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+ 212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设211xt x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，∴2222214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，∴()0h t >，又2110x x >-，所以0'()0f x >． 考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

南康区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 2． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（e ﹣1，1）C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ）4． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5． 若集合A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|1＜x ＜3} C ．{x|1＜x ＜2} D ．{x|x ＞1} 6． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥性别是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．3B ．4C ．D ．137． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交 C ．直线与平面平行D ．直线与平面最多只有一个公共点8． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．9． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞eD ．a ＜e10．已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y+7=0相交于A ，B 两点，且•=4，则实数a的值为（ ）A ．或﹣B ．或3C ．或5D ．3或511．已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．412．如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f （x ）的图象的一个对称中心是（ ）A ．（﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（，0）D ．（，0）二、填空题13．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 14．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．15．已知（1+x+x 2）（x）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．16在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升．17．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=．18．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=．三、解答题19．计算：（1）8+（﹣）0﹣；（2）lg25+lg2﹣log29×log32．20．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f （x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．22．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2． （Ⅰ）求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =（n ∈N *），求证：b 1+b 2+…+b n ＜．23．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.（I ）若12a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.24．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V （单位：m 3），侧面积为S （单位：m 2）．（Ⅰ）分别求V 与S 关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S 的最大值； （Ⅲ）求θ的值，使体积V 最大．南康区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为{}4,2.考点：复合函数求值． 2． 【答案】D【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 3． 【答案】 D【解析】解：由题意知：f （x ）﹣lnx 为常数，令f （x ）﹣lnx=k （常数），则f （x ）=lnx+k ． 由f[f （x ）﹣lnx]=e+1，得f （k ）=e+1，又f （k ）=lnk+k=e+1， 所以f （x ）=lnx+e ，f ′（x ）=，x ＞0．∴f （x ）﹣f ′（x ）=lnx ﹣+e ，令g （x ）=lnx ﹣+﹣e=lnx ﹣，x ∈（0，+∞）可判断：g （x ）=lnx ﹣，x ∈（0，+∞）上单调递增，g （1）=﹣1，g （e ）=1﹣＞0， ∴x 0∈（1，e ），g （x 0）=0，∴x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（1，e ） 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．4． 【答案】B 【解析】考点：空间直线与平面的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．5． 【答案】A【解析】解：∵A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}， ∴A ∩B={x|2＜x ＜3}， 故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6． 【答案】D【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4）， 解得=13．故选：D ．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．7． 【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交， ∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点． 故选D ．8． 【答案】D【解析】{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.9． 【答案】C【解析】解：由积分运算法则，得=lnx=lne ﹣ln1=1因此，不等式即即a ＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．10．【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4∴cos∠ACB=，∴∠ACB=60°∴圆心到直线的距离为，∴=，∴a=或5．故选：C．11．【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．12．【答案】B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），故选：B ．【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．二、填空题13．【答案】1－1，3] 【解析】试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．14．【答案】 ．【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，∴，解得b=1，a=2．∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．【答案】 5 ．【解析】二项式定理． 【专题】计算题．【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x ）n （n ∈N +）的展开式中无常数项、x ﹣1项、x ﹣2项，利用（x）n （n ∈N +）的通项公式讨论即可．【解答】解：设（x ）n（n ∈N +）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n ﹣r x ﹣3r =x n ﹣4r ，2≤n ≤8，当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．16．【答案】8升．【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．17．【答案】0或1．【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解或t2﹣t+1=0②，②无解或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．故答案为0或1．【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．18．【答案】{2，3，4}．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）8+（﹣）0﹣=2﹣1+1﹣（3﹣e）=e﹣．（2）lg25+lg2﹣log29×log32===1﹣2=﹣1．…（6分）【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．21．【答案】【解析】解：（1），令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f （x）→﹣∞∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）即f（x）有2个零点；②当，即a=1时，f（x）有1个零点；③当，即a＞1时f（x）没有零点；（2）由得（0＜x1＜x2），=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0即，又，∴f'（x0）=＜0．【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．22．【答案】【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，令n=1，得，即a1=1，又4S n+1=（a n+1+1）2，∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，则b1+b2+…+b n===．23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．请24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin =，θ∈（0，），即θ=时，木梁的侧面积s 最大．所以θ=时，木梁的侧面积s 最大为40m 2． （Ⅲ）V ′（θ）=10（2cos 2θ+cos θ﹣1）=10（2cos θ﹣1）（cos θ+1）令V ′（θ）=0，得cos θ=，或cos θ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cos θ＜1，V ′（θ）＞0，V （θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cos θ＜，V ′（θ）＞0，V （θ）为减函数．∴当θ=时，体积V 最大．。

巧用“数形结合”，妙解小学数学习题“数形结合”是经典的数学思想方法之一，在整个数学思想体系中占有重要地位。

从儿童思维特点来看，小学生的思维是从形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有形象性。

因此，培养学生的形象思维能力，既是儿童本身的需要，又是他们学习抽象数学知识的需要。

“数形结合”是小学数学教育中运用最多，也是最有效的一种数学思想。

一、把数学直观化，帮助学生形成概念数和形关系非常密切，在教学过程中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

“小数的意义”这部分内容可以这样来处理的：借助课件直观形象的优势，让学生在想象、类推中理解“小数的意义”。

在教学 1/10 米=0.1 米时，特意设计一个放大的直尺图，让学生在上面找某一个长度的线段。

教学过程如下：第一步：让学生在图上任意找一个0.1 米。

这一步让学生知道0.1 米是指十份当中的任何一份，而不是单指0--1之间的那一份。

第二步：让学生在图上找任意小数，比如0.3米并说一说你是怎样找出 0．3 米的？引导提问：0.3 米是几分之几米？0.3 米里面有几个0.1米？第三步：在米尺上找出7个0.1米，想一想用小数表示是多少米？用分数表示又是多少米？……让学生在“找”“说”的活动中，把0．1米的实际表象深深印在脑海里，同时也感悟到一位小数都是由几个0.1 组成的，1米里面有10个0.1 米。

0.1是一位小数的计数单位。

第四步：为了防止放大图给学生的误导，在出示课件后安排了让学生在直尺上找 1厘米、1毫米的活动。

让他们在头脑中建立1厘米、1毫米正确的表象。

“学生在直尺上找0.1米” 时思维非常活跃，欣喜地发现：把1米平均分成 10 份，0.1 米不仅仅是指0—1 之间的长度，8 - 9 之间的长度是1米的 1 / 10也是0.1 米。

“ 不同的位置为什么表示的长度都是0.1 米？” 经过观察、比较、讨论学生明白了：原来它们都是指十份当中的任何一份。