十年高考真题分类汇编2010-2019数学专题09不等式Word版含解析

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题09不等式1.(2019·全国1·理T4文T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12（√5-12≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm【答案】B【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则26x≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B. 2.(2019·全国2·理T6)若a>b,则( ) A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a 3-b 3>0 D.|a|>|b|【答案】C【解析】取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A;∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除B;∵y=x 3是增函数,a>b,∴a 3>b 3,故C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.3.(2019·天津·理T2文T2)设变量x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -y +2≥0,x ≥-1,y ≥-1,则目标函数z=-4x+y 的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C【解析】由{x =-1,x -y +2=0,得A(-1,1).∴z max =-4×(-1)+1=5.故选C.4.(2019·浙江·T3)若实数x,y 满足约束条件{x -3y +4≥0,3x -y -4≤0,x +y ≥0,则z=3x+2y 的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y 经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y 取得最大值z max =3×2+2×2=10.5.(2018·天津·理T2文T2)设变量x,y 满足约束条件{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为 ( )A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】作出不等式组{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.由{x +y =5,-x +y =1,解得点A 的坐标为(2,3). 由z=3x+5y,得y=-35x+z 5.由图可知,当直线y=-35x+z 5过点A 时,z 5最大,即z 最大.所以z 的最大值z max =3×2+5×3=21. 6.(2018·北京·理T8文T8)设集合A={(x,y)|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则( ) A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤ 时,(2,1)∉A【答案】D【解析】若(2,1)∈A,则有{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,化简得{a >32,a ≥0.即a>32. 所以当且仅当a≤32时,(2,1)∉A,故选D.7.(2017·全国2·理T5文T7)设x,y 满足约束条件{2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9 【答案】A【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y 的几何意义,可得z 在点B(-6,-3)处取得最小值,即z min =-12-3=-15,故选A.8.(2017·全国3·文T5)设x,y 满足约束条件 {3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z=x-y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.9.(2017·全国1·文T7)设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故z max=3+0=3.10.(2016·北京·理T2)若x,y满足{2x-y≤0,x+y≤3,x≥0,则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.由{2x -y =0,x +y =3,可得P 点坐标为(1,2),故z max =2×1+2=4. 11.(2016·天津·理T2)设变量x,y 满足约束条件{x -y +2≥0,2x +3y -6≥0,3x +2y -9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为 ( )A.-4B.6C.10D.17【答案】B【解析】如图,作出变量x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC 及其内部,点A,B,C 的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y 变形为y=-25x+z5,可知当y=-25x+z5经过点B 时,z 取最小值6.故选B.12.(2016·山东·理T4文T4)若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 【答案】C【解析】如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x 2+y 2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.13.(2016·浙江·理T3)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域{x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )A.2√2B.4C.3√2D.6【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形.又D(2,-2),C(-1,1),所以14.(2016·浙江·文T4)若平面区域{x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.3√55B.√2 C.3√22D.√5【答案】B【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. ∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直.∴两平行线间的最短距离是AB的长度.由{x +y -3=0,x -2y +3=0,得A(1,2), 由{x +y -3=0,2x -y -3=0,得B(2,1). ∴|AB|=√(1-2)2+(2-1)2=√2,故选B.15.(2015·浙江·文T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 【答案】B【解析】不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6, 选项A,ax+by+cz=4+10+18=32; 选项B,az+by+cx=12+10+6=28; 选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29; 选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.16.(2015·陕西·理T9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab ),q=f (a+b2),r=12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q【答案】B【解析】因为0<a<b,所以a+b2>√ab . 又因为f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递增, 所以f (a+b2)>f(√ab ),即p<q.而r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b) =12ln(ab)=ln √ab , 所以r=p,故p=r<q.选B.17.(2015·福建·理T5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】∵直线x a +y b =1过点(1,1),∴1a +1b =1.又a,b 均大于0,∴a+b=(a+b)(1a +1b )=1+1+b a +a b ≥2+2√b a ·ab =2+2=4.故选C.18.(2015·湖南·文T7)若实数a,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2B.2C.2√2D.4【答案】C【解析】由已知1a+2b=√ab ,可知a,b 同号,且均大于0. 由√ab =1a+2b≥2√2ab ,得ab≥2√2.即当且仅当1a =2b ,即b=2a 时等号成立,故选C.19.(2015·重庆·文T10)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.-3B.1C. 43D.3【答案】B【解析】如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m ≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC. 由{x +y -2=0,x +2y -2=0,解得{x =2,y =0,则A(2,0).由{x +y -2=0,x -y +2m =0,解得{x =1-m ,y =1+m ,则B(1-m,1+m). 同理C (2-4m3,2+2m3),M(-2m,0).因为S △ABC =S △ABM -S △ACM =12·(2+2m)·[(1+m )-2+2m3]=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).20.(2015·山东·理T6)已知x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-3【答案】B【解析】由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示. 线性目标函数z=ax+y, 即y=-ax+z. 设直线l 0:ax+y=0.当-a ≥1,即a ≤-1时,l 0过O(0,0)时,z 取得最大值,z max =0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a ≤0时,l 0过B(1,1)时,z 取得最大值,z max =a+1=4,∴a=3(舍去); 当-1<-a<0时,即0<a<1时,l 0过B(1,1)时,z 取得最大值,z max =2a+1=4,∴a=32(舍去); 当-a ≤-1,即a ≥1时,l 0过A(2,0)时,z 取得最大值,z max =2a+0=4,∴a=2. 综上,a=2符合题意.21.(2015·福建·文T10)变量x,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -2y +2≥0,mx -y ≤0,若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】作出可行域,如图所示.作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2), 由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.22.(2015·陕西·理T10文T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,获利z 元.则由题意知{3x +2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值. 由{3x +2y =12,x +2y =8,解得{x =2,y =3.得点B(2,3).故利润函数的最大值为z max =3×2+4×3=18(万元).故选D.23.(2014·全国1·理T9)不等式组{x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D,有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y ≥-2,p 2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2, p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1, 其中的真命题是( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 1,p 4 D.p 1,p 3【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分所示.作直线l 0:y=-12x,平移l 0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y)min =0.故p 1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p 2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.24.(2014·全国1·文T11)设x,y 满足约束条件{x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-3【答案】B【解析】当a=0时显然不满足题意.当a ≥1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1a x+1a z,因此当直线y=-1a x+1a z 经过可行域中的A (a -12,a+12)时,z 取最小值,于是a -12+a·a+12=7,解得a=3(a=-5舍去);当0<a<1时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),显然直线y=-1a x+1a z 在y 轴上的截距没有最小值,不合题意;当a<0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分), 又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,显然直线y=-1ax+1az 在y 轴上的截距没有最大值,即z 没有最小值,不合题意.综上,a 的值为3,故选B.25.(2014·北京·理T6)若x,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( )A.2B.-2C.12D.-12【答案】D【解析】如图,作出{x +y -2≥0,y ≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时,对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z 的几何意义为,目标图(3)函数对应直线x-y+z=0在x 轴上的截距的相反数,故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.26.(2014·重庆·文T9)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( ) A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3【答案】D【解析】由log 4(3a+4b)=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b)=12log 2(ab),所以3a+4b=ab,即3b +4a=1.所以a+b=(a+b)(3b +4a )=3a b +4b a +7≥4√3+7,当且仅当3a b =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D.27.(2014·福建·文T9)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 【答案】C【解析】设容器的底长x m,宽y m,则xy=4. 所以y=4x,则总造价为f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x +20x =20(x +4x )+80,x ∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2√x ·4x +80=160, 当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立, 所以最低总造价是160元.故选C.28.(2014·四川·理T4)若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.ac >bdB.a c <bdC.a d >bcD.a d <bc【答案】D【解析】∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<1-c <1-d , 即1-d>1-c >0.又∵a>b>0,∴a -d>b -c .∴ad<bc.29.(2014·大纲全国·文T3)不等式组{x (x +2)>0,|x |<1的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1} 【答案】C【解析】由{x (x +2)>0,|x |<1,得{x <-2或x >0,-1<x <1,所以0<x<1.因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.30.(2014·浙江·文T7)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c ≤3 B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c>9【答案】C【解析】由于f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c. 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7,由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c, 整理得5a-b=19,由{3a -b =7,5a -b =19,解得{a =6,b =11.于是f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6, 又因为0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3, 因此0<c-6≤3,解得6<c ≤9,故选C.31.(2014·全国2·理T9)设x,y 满足约束条件{x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0,则z=2x-y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.2【答案】B【解析】线性目标函数z=2x-y 满足的可行域如图所示.将直线l 0:y=2x 平行移动,当直线l 0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z 在y 轴上的截距最小,也就是z 取最大值,此时z max =2×5-2=8.32.(2014·全国2·文T9)设x,y 满足约束条件{x +y -1≥0,x -y -1≤0,x -3y +3≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.8B.7C.2D.1 【答案】B【解析】画出可行域如图所示, 作直线l 0:y=-12x,平移直线l 0,当直线过点A(3,2)时,使得z 最大,此时,z max =3+2×2=7.故选B.33.(2013·重庆·文T7)关于x 的不等式x 2-2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a=( ) A.52 B.72C.154D.152【答案】A【解析】∵由x 2-2ax-8a 2<0(a>0), 得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a, ∴x 1=-2a,x 2=4a.∵x 2-x 1=4a-(-2a)=6a=15, ∴a=156=52.故选A.34.(2013·全国2·文T3)设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-3【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分所示.由z=2x-3y,得y=23x-13z,作直线l 0:y=23x,平移直线l 0,数形结合知直线过点C(3,4)时,z 取最小值,z min =2×3-3×4=-6.35.(2013·全国2·理T9)已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】由题意作出{x ≥1,x +y ≤3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1), 结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.36.(2013·湖北·文T9)某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 【答案】C【解析】设需A,B 型车分别为x,y 辆(x,y ∈N),则x,y 需满足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z,则z=1 600x+2400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36 800,故选C.37.(2012·全国·文T5)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1-√3,2) B.(0,2) C.(√3-1,2) D.(0,1+√3)【答案】A【解析】由顶点C 在第一象限且与A,B 构成正三角形可求得点C 坐标为(1+√3,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z 过点C 时z 取到最小值,此时z min =1-√3,当y=x+z 过点B 时z 取到最大值,此时z max =2,综合可知z 的取值范围为(1-√3,2).38.(2010·全国·文T11)已知▱ABCD 的三个顶点为A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在▱ABCD 的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20) 【答案】B【解析】画出可行域及直线y=25x,当直线y=2x5−z5经过点(3,4)时,z 最小,z min =-14,当直线y=2x5−z5经过点(0,-4)时,z 最大,z max =20,因此z 的取值范围是(-14,20).39.(2019·天津·文T10)设x ∈R,使不等式3x 2+x-2<0成立的x 的取值范围为_____________. 【答案】（-1,23）【解析】由3x 2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.解得-1<x<23.满足题意的x 的取值范围是（-1,23）.40.(2019·天津·文T13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为_____________.【答案】92【解析】(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy =2+5xy. ∵x+2y=4,∴4≥2√2xy , ∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy ≥2+52=92.41.(2019·天津·理T13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为____________.【答案】4√3 【解析】√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy=4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.42.(2019·全国2·文T13)若变量x,y 满足约束条件{2x +3y -6≥0,x +y -3≤0,y -2≤0,则z=3x-y 的最大值是 .【答案】9【解析】画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y 表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z 取得最大值9.43.(2018·天津·理T13文T13)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b 的最小值为_____________.【答案】14【解析】∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a +18b =2a +2-3b≥2√2a ·2-3b=2√2a -3b =2√2-6=2×2-3=14,当且仅当{a =-3b ,a -3b +6=0,即{a =-3,b =1时等号成立.44.(2018·江苏·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c 的最小值为 . 【答案】9【解析】由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得12acsin 120°=12a×1×sin 60°+12c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,1a +1c =1.因此4a+c=(4a+c)(1a +1c )=5+ca +4ac ≥5+2√ca ·4ac =9, 当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c 的最小值为9.45.(2018·全国1·理T13文T14)若x,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y 的最大值为 .【答案】6【解析】作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z, 作直线y=-32x 并向上平移,显然l 过点B(2,0)时,z 取最大值,z max =3×2+0=6.46.(2018·全国2·理T14文T14)若x,y 满足约束条件{x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,x -5≤0.则z=x+y 的最大值为 .【答案】9【解析】由题意,作出可行域如图.要使z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max =9.47.(2018·全国3·文T15)若变量x,y 满足约束条件 {2x +y +3≥0,x -2y +4≥0,x -2≤0,则z=x+13y 的最大值是 .【答案】3【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示. 又z=x+13y ⇒y=-3x+3z,∴当过点B(2,3)时,z max =2+13×3=3.48.(2018·北京·理T12文T13)若x,y 满足x+1≤y ≤2x,则2y-x 的最小值是 . 【答案】3【解析】由条件得{x +1≤y ,y ≤2x ,x +1≤2x ,即{x +1≤y ,y ≤2x ,x ≥1.作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示. 由{x +1=y ,y =2x ,得A(1,2). 令z=2y-x,即y=12x+12z.平移直线y=12x,当直线过A(1,2)时,12z 最小, ∴z min =2×2-1=3.49.(2018·浙江·T12)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .【答案】-2 8【解析】画出可行域,如图阴影部分所示. 由z=x+3y,可知y=-13x+z 3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值. 由{y =x ,2x +y =6,得{x =2,y =2,即B(2,2),此时z 最大=2+3×2=8,由{2x +y =6,x +y =2,得{x =4,y =-2,即C(4,-2),此时z 最小=4+3×(-2)=-2.50.(2017·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z=3x-4y 的最小值为 .【答案】-1【解析】画出不等式组表示的可行域,如图,由z=3x-4y,得y=34x-14z,平移直线y=34x,易知经过A(1,1)时,z 有最小值,z min =3×1-4×1=-1.51.(2017·全国1·理T14)设x,y 满足约束条件 {x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .【答案】-5【解析】不等式组{x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0表示的平面区域如图所示.由z=3x-2y,得y=32x-z 2.数形结合知当直线y=32x-z2过图中 点A 时,纵截距最大.由{2x +y =-1,x +2y =1,解得A 点坐标为(-1,1), 此时z 取得最小值为3×(-1)-2×1=-5.52.(2017·江苏·T10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x ×6=4(x +900x )≥4×2√900=240,当且仅当x=900x ,即x=30时等号成立.53.(2017·天津·理T12文T13)若a,b ∈R,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.【答案】4【解析】∵a,b ∈R,且ab>0,∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥4, 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=√22,b 2=√24时取等号. 54.(2017·山东·文T12)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 【答案】8【解析】∵直线x a +y b =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a +2b )=4+(ba +4ab )≥4+2√ba ·4ab =8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.55.(2016·全国3·理T13)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为______________.【答案】32【解析】作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.因为z=x+y,所以y=-x+z.作直线y=-x 并平移,由图知,当直线经过点A (1,12)时,直线在y 轴上的截距最大,即z 取得最大值. 故z max =1+12=32.56.(2016·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件 {x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z=x-2y 的最小值为 .【答案】-5【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. 由z=x-2y,得y=12x-12z,故当直线y=12x-12z 过点A 时,-12z 最大,z 最小. 由{x -y +1=0,x =3,得A(3,4), 所以z 的最小值为3-2×4=-5.57.(2016·全国3·文T13)设x,y 满足约束条件 {2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x ≤1,则z=2x+3y-5的最小值为 .【答案】-10【解析】满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).∵z=2x+3y-5,∴y=-2x3+5+z3. 作直线y=-23x,并在可行域内移动, 当直线经过点B 时,直线在y 轴上的 截距最小,即z 最小.故z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10.58.(2016·全国1·理T16文T16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000【解析】设生产产品A x 件,生产产品B y 件, 由题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N .目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示), 作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z 取最大值, 由{5x +3y =600,10x +3y =900,解得{x =60,y =100,所以z max =2 100×60+900×100=216 000.59.(2015·全国2·理T14)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为_______________.【答案】32【解析】由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x -2y =0,x +2y -2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.60.(2015·全国2·文T14)若x,y 满足约束条件{x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z=2x+y 的最大值为 .【答案】8【解析】如图所示,可行域为阴影部分.由可行域可知,目标函数z=2x+y 过点B 取得最大值.联立{x +y -5=0,x -2y +1=0,解得{x =3,y =2,则B(3,2),故z max =6+2=8.61.(2015·全国1·文T15)若x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .【答案】4【解析】画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 {x -2y +1=0,x +y -2=0解得{x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1). 由z=3x+y,得y=-3x+z. 作出直线l 0:y=-3x,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大.所以z max =3×1+1=4.62.(2015·重庆·文T14)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为________________. 【答案】3√2【解析】因为a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y ,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y)=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 63.(2015·江苏·理T7)不等式2x 2-x<4的解集为 .【答案】{x|-1<x<2}(或(-1,2))【解析】2x 2-x<4,即2x2-x<22,所以x 2-x<2,即x 2-x-2<0,解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2)).64.(2015·广东·文T11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 【答案】(-4,1)【解析】不等式可化为x 2+3x-4<0,解得-4<x<1.65.(2015·全国1·理T15)若x,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .【答案】3【解析】画出约束条件对应的平面区域(如图),点A 为(1,3),要使y x 最大,则y -0x -0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,(yx )max=3-01-0=3.66.(2014·安徽·文T13)不等式组{x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为 .【答案】4【解析】画出可行域,如图阴影区域△ABC(包括边界),易得B(2,0),C(0,2),D(4,0),由{x +3y -2=0,x +2y -4=0,解得A(8,-2), ∴S △ABC =S △CBD +S △ABD =12×2×2+12×2×2=4.67.(2014·江苏·理T10)已知函数f(x)=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】-√22<m<0 【解析】根据题意,得{f (m )=m 2+m 2-1<0,f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,∴{m 2<12,2m 2+3m <0.∴{-√22<m <√22,-32<m <0.解得-√22<m<0.68.(2014·湖南·文T13)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集 为{x |-53<x <13},则a= . 【答案】-3【解析】由|ax-2|<3,得-1<ax<5.若a≥0,显然不符合题意,当a<0时,解得5a <x<-1a ,故-1a =13,5a =-53,解得a=-3. 69.(2013·广东·理T9)不等式x 2+x-2<0的解集为 . 【答案】{x|-2<x<1}【解析】x 2+x-2<0即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集为{x|-2<x<1}.70.(2013·全国1·文T14)设x,y 满足约束条件 {1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为 .【答案】3【解析】画出可行域如图所示.画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z 取最大值,且最大 值为z=2×3-3=3.71.(2012·全国·理T14)设x,y 满足约束条件{x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z=x-2y 的取值范围为 .【答案】[-3,3]【解析】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x-2y=0,在可行域内平移知过点A 时,z=x-2y 取得最大值,过点B 时,z=x-2y 取得最小值.由{x -y +1=0,x +y -3=0,得B 点坐标为(1,2), 由{y =0,x +y -3=0,得A 点坐标为(3,0). ∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3. ∴z ∈[-3,3].72.(2011·全国·文T14)若变量x,y 满足约束条件{3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z=x+2y 的最小值为 .【答案】-6【解析】由约束条件作出可行域如图所示,知z=x+2y 在点A 处取得最小值.由{2x +y =3,x -y =9,解得{x =4,y =-5.∴z min =4-10=-6.。

专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2014 线性规划2014年新课标1理科09填空题2018 线性规划2018年新课标1理科13填空题2017 线性规划2017年新课标1理科14填空题2016 线性规划2016年新课标1理科16填空题2015 线性规划2015年新课标1理科15填空题2012 线性规划2012年新课标1理科14填空题2011 线性规划2011年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2014年新课标1理科09】不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（，y）∈D，+2y≥﹣2 p2：∃（，y）∈D，+2y≥2p3：∀（，y）∈D，+2y≤3p4：∃（，y）∈D，+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p32．【2018年新课标1理科13】若，y满足约束条件，则＝3+2y的最大值为．3．【2017年新课标1理科14】设，y满足约束条件，则＝3﹣2y的最小值为．4．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5g ，乙材料1g ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5g ，乙材料0.3g ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150g ，乙材料90g ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216000 元． 5．【2015年新课标1理科15】若，y 满足约束条件．则的最大值为 ．6．【2012年新课标1理科14】设，y 满足约束条件：；则＝﹣2y 的取值范围为 ．7．【2011年新课标1理科13】若变量，y 满足约束条件，则＝+2y 的最小值为 ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设为向量OB uuu v 在向量OA u u u v 方向上的投影，则的取值范围为（ ）A．⎣⎦ B．⎣⎦ C ．[]2,18D ．[]4,183．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．34．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+D ．m n m n mn +>->7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．68．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ） A ．（4，+∞）B．[3)++∞C ．[6，+∞）D．(4,3+10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ）A ．32B ．83C ．114D ．不存在11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ） A ．322+ B ．32+C ．222+D ．312．若实数满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4 13．已知，则取到最小值时（ ） A ．B ．C ．D ． 14．已知函数，若，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A ．B ．C ．4D ．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．18．若关于的不等式上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a 的值是（ ） A ．- B ． C ．2 D ．520．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<<B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<21．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．22．已知实数,x y 满足约束条件2020x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实数a 的值是______23．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．24．若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.25．点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 26．已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3xz y =-+的最大值为_____27．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．28．设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12,则23a b+的最小值为______．29．若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC ∆，则ab 最小值为_______．。

专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2014 线性规划2014年新课标1理科09填空题2018 线性规划2018年新课标1理科13填空题2017 线性规划2017年新课标1理科14填空题2016 线性规划2016年新课标1理科16填空题2015 线性规划2015年新课标1理科15填空题2012 线性规划2012年新课标1理科14填空题2011 线性规划2011年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2014年新课标1理科09】不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（，y）∈D，+2y≥﹣2 p2：∃（，y）∈D，+2y≥2p3：∀（，y）∈D，+2y≤3p4：∃（，y）∈D，+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p32．【2018年新课标1理科13】若，y满足约束条件，则＝3+2y的最大值为．3．【2017年新课标1理科14】设，y满足约束条件，则＝3﹣2y的最小值为．4．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5g ，乙材料1g ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5g ，乙材料0.3g ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150g ，乙材料90g ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216000 元． 5．【2015年新课标1理科15】若，y 满足约束条件．则的最大值为 ．6．【2012年新课标1理科14】设，y 满足约束条件：；则＝﹣2y 的取值范围为 ．7．【2011年新课标1理科13】若变量，y 满足约束条件，则＝+2y 的最小值为 ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设为向量OB uuu v 在向量OA u u u v 方向上的投影，则的取值范围为（ ）A．⎣⎦ B．⎣⎦ C ．[]2,18D ．[]4,183．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．34．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+D ．m n m n mn +>->7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．68．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ） A ．（4，+∞）B．[3)++∞C ．[6，+∞）D．(4,3+10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ）A ．32B ．83C ．114D ．不存在11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ） A ．322+ B ．32+C ．222+D ．312．若实数满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4 13．已知，则取到最小值时（ ） A ．B ．C ．D ． 14．已知函数，若，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A ．B ．C ．4D ．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．18．若关于的不等式上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a 的值是（ ） A ．- B ． C ．2 D ．520．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<<B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<21．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．22．已知实数,x y 满足约束条件2020x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实数a 的值是______23．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．24．若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.25．点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 26．已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3xz y =-+的最大值为_____27．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．28．设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12,则23a b+的最小值为______．29．若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC ∆，则ab 最小值为_______．。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。

专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分 2019年1.解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.解析 （1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 3.解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +…，解得3a -„或1a -…．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x等价于|||2|4++-≥x a x．而|||2||2|++-+≥x a x a，且当2=x时等号成立．故()1≤f x等价于|2|4+≥a．由|2|4+≥a可得6-≤a或2≥a，所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()fx 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <， 113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52+．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5＜a ≤3．综上，a）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．专题十五 不等式选讲第三十五讲 不等式选讲2019年1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．3.(2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11ab a b+=．(Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．。

河北省对口招生高考数学历年真题（2010-2019）目录✧..2019年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (1)✧..2019年河北省对口招生考试数学参考答案 (4)✧..2018年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (7)✧..2018年河北省对口招生考试数学参考答案 (12)✧..2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (13)✧..2017年河北省对口招生考试数学参考答案 (18)✧..2016年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (23)✧..2016年河北省对口招生考试数学参考答案 (28)✧..2015年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (29)✧..2015年河北省对口招生考试数学参考答案 (34)✧..2014年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (36)✧..2014年河北省对口招生考试数学参考答案 (41)✧..2013年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (42)✧..2013年河北省对口招生考试数学参考答案 (47)✧..2012年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (50)✧..2012年河北省对口招生考试数学参考答案 (54)✧..2011年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (55)✧..2011年河北省对口招生考试数学参考答案 (59)✧..2010年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题 (63)✧..2010年河北省对口招生考试数学参考答案 (67)2019年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题一、选择题(每题3分，共45分)1.设集合A={b,c,d}，则集合A 的子集共有（）A.5个B.6个C.7个D.8个2.若22b a <，则下列不等式成立的是（）A.ba < B.ba 22< C.0)(log 222<-a b D.||||b a <3.在ABC ∆中，“sinA=sinB ”是“A=B ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.已知一次函数b kx y +=关于原点对称，则二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 一定是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇偶性和c 有关5.函数|cos sin |x x y =的最小正周期为（）A.2π B.πC.π2D.π46.设向量b a x b a ∥且),1,(),2,4(==,则x=（）A.2B.3C.4D.57二次函数b ax x y ++=2图像的顶点坐标为(-3,1),则b a ,的值为（）A.10,6=-=b a B.10,6-=-=b a C.10,6==b a D.10,6-==b a 8.在等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，===642,8,0a S S 则若（）A.5B.7C.9D.169.在等比数列}{n a 中，=+=⋅>1047498log log ,161.0a a a a a n 则若（）A.-2 B.-1 C.0 D.210.下列四组函数中，图像相同的是（）A.x x y x y 220cos sin +==和B.xy x y lg 10==和C.xy x y 222log 2log ==和 D.)2cos(sin x y x y -==π和11.过点A(1,2)且与直线012=-+y x 平行的直线方程为（）A.042=-+y x B.052=-+y x C.02=-y x D.032=++y x 12.北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（）A.12种B.15种C.20种D.30种13.二项式于的展开式中，常数项等122)12(x x -（）A.84122⋅C B.84122⋅-C C.66122⋅C D.66122⋅-C 14.在正方体1111D C B A ABCD -中，棱C D D A 11与所成的角为（）A.6π B.4π C.3π D.32π15.已知双曲线方程为192522=-y x ，则其渐近线方程为（）A.x y 45±=B.xy 35±= C.xy 54±= D.xy 53±=二、填空题(每题2分，共30分)16.已知函数3)(3++=bx ax x f 满足=-=)1(,6)1(f f 则.17.函数|3|lg 37121)(2-++-=x x x x f 的定义域为.18.计算：=-+++|3|281log 45tan2log 31e e π.19.若不等式02<-+b ax x 的解集为(1,2),则)(log 6ab =.20.数列1，22241-3121，，-的通项公式为.21.若|b |3b a 4b a 4|a |→→→→→→==⋅=，则，，，π=.22.已知ααααα2cos 137cos sin 1317cos sin ，则，=-=+=.23.已知以21F F ，为焦点的椭圆1361622=+y x 交x 轴正半轴于点A ，则21F AF ∆的面积为.24.已知99.0log 10099.010099.0100===c b a ，，，则c b a ，，按由小到大的顺序排列为.25.在正方体1111D C B A ABCD -中，与AB 为异面直线的棱共有条.26.某学校参加2019北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有种.27.已知αβαβαβαβα2sin 81)sin()cos()cos()sin(，则=-++-+=.28.设，，，，)sin 11()1cos 1(A n A m +-=+=→→其中∠A 为ABC ∆的内角.→→⊥n m 若，则∠A=.29.不等式x x 5log )6(log 222>+的解集为.30.一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球的概率为.三、解答题(7个小题，共45分)31.(5分)设集合R B A m x x B x x x A =≥+=>--= ，若，}1|{}012|{2，求m 的取值范围.32.(6分)某广告公司计划设计一块周长为16米的矩形广告牌，设计费为每平方米500元.设该矩形一条边长为x 米，面积为y 平方米.（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）问矩形广告牌长和宽各为多少米时，设计费最多，最多费用为多少元？33.(8分)若数列}{n a 是公差为23的等差数列，且前5项和155=S .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n a n e b =，求证}{n b 为等比数列并指出公比q ；（3）求数列}{n b 的前5项之积.34.(6分)函数x x y 2sin )23sin(+-=π（1）求该函数的最小正周期；（2）当x 为何值时，函数取最小值，最小值为多少？35.(6分)过抛物线x y 42=的焦点，且斜率为2的直线l 交抛物线于A ，B 两点.（1）求直线l 的方程；（2）求线段AB 的长度.36.(7分)如图所示，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，|PD|=2，平面PBC 与底面ABCD所成角为45°，M 为PC 中点.(1)求DM 的长度；(2)求证：平面BDM ⊥平面PBC.37.(7分)一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为ξ,(1)求)2(=ξP ；(2)求ξ的概率分布.P DMCAB2019年河北省对口招生考试数学参考答案一、选择题题号123456789101112131415答案DDCBAACCADBDACD二、填空题16.017.),3()3,(+∞-∞ 18.019.120.21)1(n a n n +-=21.222.169119-23.5824.ba c <<25.426.3027.8128.4π29.),3()2,0(+∞ 30.76三、解答题31．解：}34|{}012|{2-<>=>--=x x x x x x A 或}1|{}1|{m x x m x x B -≥=≥+=因为R B A = 所以431≥-≤-m m 即所以m 的取值范围为),4[+∞.32.解：矩形的另一边长为)(82216米x x-=-则x x x x y 8)8(2+-=-=(0<x<8)(2)16)4(822+--=+-=x x x y 当x=4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米此时广告费为)(800016500元=⨯所以当广告牌长和宽都为4米时矩形面积最大，设计费用最多，最多费用为8000元.33.解:(1)由已知23,155==d S 得1552)(53515==+=a a a S 解得33=a所以232323)3(3)3(3-=⋅-+=-+=n n d n a a n (2)由)2323(-==n a n eeb n所以n eb 231=+所以23a 111e e e ee b b d a a a n n n n n n ====-+++,又101==e b 所以}{n b 为以1为首项23e 为公比的等比数列.(3)由题意可得155)13(235354321)(e eb b b b b b ===⋅⋅⋅⋅-，所以}{n b 的前5项积为15e .34.解：x x x x x y 2sin 2sin 3cos 2cos 3sin 2sin )23sin(+-=+-=πππ=)32sin(2cos 232sin 21π+=+x x x 所以函数的最小正周期为ππ==22T (2)当1-)(125)(2232小值为时，函数有最小值，最即Z k k x Z k k x ∈-=∈-=+πππππ.35.解：(1)由抛物线方程x y 42=得焦点F(1,0),又直线l 的斜率为2，所以直线方程为022)1(2=---=y x x y 即.(2).设抛物线与直线的交点坐标为),(),,(2211y x B y x A 联立两方程得01322422=+-⎩⎨⎧-==x x x y xy 整理得由韦达定理得1,32121==+x x x x 由弦长公式得549414)(1||212212=-+=-++=x x x x k AB 36.解：(1)因为PD ⊥平面ABCD 所以PD ⊥BC又因为ABCD 为矩形，得BC ⊥CD 所以BC ⊥平面PCD 所以BC ⊥PC所以∠PCD 为平面PBC 与平面ABCD 所成角即∠PCD=45°从而△PDC 为等腰直角三角形在RT ∆PDC 中||||45sin PC PD =︒得2245sin ||||=︒=PD PC 又M 为PC 的中点，则DM ⊥PC所以在2||21||==∆PC DM DMC RT 中，(2)证明：由(1)可知BC ⊥平面PCD 所以BC ⊥DM由（1）可知DM ⊥PC ，且BC PC=C,所以DM ⊥平面PBC又DM ⊆平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面PBC37.解：(1)能被3整除的只有3和6，则在一次抛掷中出现的概率为31，从而出现不能被3整除的点的概率为32所以9232()31(223=⨯⨯=C P (2)ξ的可能取值为0,1,2,3且278)32()31()0(3003=⨯⨯==C P ξ94)32(31()1(2113=⨯⨯==C P ξ9232()31()2(1223=⨯⨯==C P ξ271)32()31()3(0333=⨯⨯==C P ξ所以ξ的概率分布为ξ0123P27894922712018年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1、设集合M={0,1,2,3,4}，N={xl0<x ≤3},则N M ⋂＝()Ａ｛１,２｝Ｂ｛０,１,２｝Ｃ｛１,２,３｝Ｄ｛０,１,２,３｝２、若a,b,c 为实数，且a>b,则()A a-c>b-cB a 2>b 2C ac>bcD ac 2>bc 23、2>x 是x>2的()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是()A xy 31=B 22x y =C 3x y -=D xy 1=5、函数42sin(π-=x y 的图像可以有函数x y 2sin =的图像如何得到()A 向左平移4π个单位B 向右平移4π个单位C 向左平移8π个单位D 向右平移8π个单位6、已知),,3(),2,1(m b a =-=b a b a -=+则m=()A -23B23C 6D -67、下列函数中，周期为π的偶函数是()A xy sin =B xy 2sin =C xy sin =D 2cosx y =8、在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=12,a 2+a 3+a 4=18,则a 3+a 4+a 5=()A 22B 24C 26D 309、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 2=10，S 4=40，则S 6=()A 50B 70C 90D 13010、下列各组函数中，表示同一个函数的是()A x y =与2x y =B x y =与33x y =C x y =与2x y =D 2x y =与33x y =11、过圆2522=+y x 上一点（3,4）的切线方程为()A 3x+4y-25=0B 3x+4y+25=0C 3x-4y-25=0D 3x-4y+25=012、某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组两名队员，分配方案共有()Ａ２种Ｂ３种Ｃ６种Ｄ１２种13、设（２x-1）2018=a 0+a 1x+a 2x 2+……….+a 2018x 2018,则a 0+a 1+a 2+…….+a 2018=()A 0B 1C -1D 22018-114、已知平面上三点A （1，-2），B （3,0），C （4,3），则点B 关于AC 中点是对称点的坐标是()A （1,4）B （5,6）C （-1，-4）D （2,1）15、下列命题中正确的是()（1）平行于同一直线的两条直线平行（2）平行于同一平面的两条直线平行（3）平行于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行Ａ（１）（２）Ｂ（１）（３）Ｃ（１）（４）Ｄ（２）（４）二、填空题（共１５小题。

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06单选题2016空间向量在立体几何中的应用2016年新课标1理科11单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)A．8πB．4πC．2πD．π【解答】解：如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长,交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA,AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D．2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（)A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选:B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6．故选：A．4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2×(2+4）＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选：B．5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是,则它的表面积是( ）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得:,R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n,可知：n∥CD1，m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴1。

2010-2019北京高考数学（文）真题分类汇编 不等式综合应用2019年1.（2019天津文13）设，，，则的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[-4．（2015福建）若直线过点，则的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（2015湖南）若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为 AB ．2C ．D ．46．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+0x >0y >24x y +=(1)(21)x y xy++1(0,0)x ya b a b+=>>(1,1)a b +7．（2013福建）若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为A ．0B ．1C ．D ．3 9．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为 A ．0 B ．C ．2D ．10．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A．B ．C ．5D ．611．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v <<．v C <v <D ．v =12．（2012湖南）已知两条直线:y m =和:y =(0m >)，与函数的图像从左至右相交于点,A B ，与函数的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，的最小值为A ． B.13．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<<<B ．2a ba b +<<< C ．2a b a b +<<<D 2a b a b +<<< 14．（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是122=+yx y x +]2,0[]0,2[-),2[+∞-]2,(--∞,,x y z 22340x xy y z -+-=xyz212x y z +-94z y x ,,04322=-+-z y xy x zxy2x y z +-98942452852a b +2a b+1l 2l 821m +1l 2log y x =2l 2log y x =baA ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +>D ．2b aa b+≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（2017天津）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为．18．（2017山东）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________．21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是． 22．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．23．（2015重庆）设,0a b >，5a b +=________．24．(2015山东)定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．25．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__；26．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为．27．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为．28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时． 29．（2013天津）设a + b = 2，b >0，则当a = 时，取得最小值. 30．（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 31．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____．32．（2011湖南）设，则的最小值为． 33．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤≤；③222a b +≥；④333a b +≥；⑤112a b+≥．1||2||a a b+,x y R ∈222211()(4)x y y x++2010-2019北京高考数学（文）真题分类汇编专题七不等式综合应用参考答案2019年1.解析，，， 而. 由基本不等式有（当且仅当时，即，时，等号成立）. 所以，，所以的最小值为. 2010-2018年1．D 【解析】解法一点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 0x >0y >24x y +=()()1212212552x y xy x y xy xyxyxyxy++++++===+42x y =+…02xy <<22x y ==2x =1y =552xy …5592222xy ++=…()()121x y xy++92而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-时，令0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ； 选A ．4．C 【解析】解法一∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=，所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2．又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号)．解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=，所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号)． 5．C【解析】解法一由已知122b aa b ab++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二由题意知0,0a b >>12a b =+≥ab ≥ 6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b+= (0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b+++≥． 当且仅当43b aa b=时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即， 所以，当且仅当，即时取等号．yx y x 222221⋅≥+=222-+≤y x 2-≤+y x yx 22=y x =8．B 【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥-=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy有最小值1， 将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C. 10．C 【解析】35x y xy +=，， . 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++ ∵a b <,∴2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<选A. 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =(0m >)，图像如下图，135y x+=113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=821m +2log y x =由= m ，得，=，得. 依照题意得.，13．B 【解】（方法一）已知a b <2a b+<，比较a 22()0a a a b -=-<，所以a <22()0b b b a -=->b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<， 综上可得2a ba b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<． 14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ， ∵0ab >，∴0b a >，0ba>，∴2b a a b +=≥，D 正确． 15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-， 所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b-=，即1b =时等号成立． 2log x 122,2m mx x -==2log x 821m +821821342,2m m x x +-+==8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==814111*********2m m m m +=++-≥-=++min ()ba ∴=16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥．综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥， 当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号.18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥． 当且仅当4b aa b=，即4b =，2a =时等号成立． 19．30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立． 20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题，由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <， 因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤，600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=900x x=30x =()123,1233->->--+-=->-所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立． ③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，如图由250x y -+≤可知，P 在MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P点横坐标的取值范围为[-．23．24a b =+++92+≤9418a b =+++=，当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时等号成立．24【解析】由新定义运算知，，因为，x2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy--⊗==00x y >>，所以，时，．250a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得33a -≤≤，故a 的最大值为3． 26．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥． 27．－2【解析】设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=，所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ，当2a b +取得最大值时，t = 代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v =时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．22222242(2)222x y y x x y x y y x xy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=x =(2)x y y x ⊗+⊗29．－2【解析】∵=当且仅当，即时取等号 故取得最小值时，． 30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x=+≥=，当且仅当4ax x =，即3x ==，解得36a =． 31．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤， ∴24()3x y +≤，3x y +≤．32．9【解析】由柯西不等式可知．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．1||2||a a b +||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥||,04||b a a a b=<2,4a b =-=1||2||a a b+2a =-2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲（含解析）1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+ca abc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x≤-1, 2x,-1 縰 1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为x x(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a,所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2x +4,x ≤-1,2,-1 縰≤2,-2x +6,x 2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x ,x -12,x +2,-12≤x 1,3x ,x ≥1.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+172.所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=-3,x -1,2x-1,-1≤x≤2, 3,x 2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b )24(a+b)=2+3(a+b )34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在题图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)=x -4,x ≤-1,3x -2,-1 縰≤32,-x +4,x 32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为x x 13或x 5.所以|f(x)|>1的解集为x x 13或1 縰 3或x 5.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类讨论)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=x+x+为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f(x)=-2x,x≤-12, 1,-12 縰 12, 2x,x≥12.当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x 縰 2.(2)由题设可得f(x)=x -1-2a ,x -1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x .所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞).14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则a +b c +d ;(2)a +b c +d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解析】证明(1)因为(a +b )2=a+b+2ab ,(c +d )2=c+d+2cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd 得(a +b )2>(c +d )2.因此a +b c +d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a +b c +d .②若a +b c +d ,则(a +b )2>(c +d )2,即a+b+2ab >c+d+2cd .因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a +b c +d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b,证明:(1)a+b≥2;(2)a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.【解析】证明由a+b=1a +1b =a+b ab ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab =2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由ab=1a+1b≥ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥2a3b3≥42,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=x+a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=x+x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)=3+当a>3时,f(3)=a+1a,由f(3)<5,得当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5,得1+52<a≤3.综上,a18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.【解析】(1)解f(x)=3x-3,x∈[1,+∞),1-x,x∈(-∞,1),当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=x0≤x≤(2)证明由g(x)=16x2-8x+1≤4,得16x≤4,解得-14≤x≤34.因此N=x-14≤x≤故M∩N=x0≤x≤当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14−x≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈-a2a的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x 12,-x-2,12≤x≤1,3x-6,x 1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈-a2f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈-a2故-a2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是-120.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤13;(2)a2b+b2c+c2a≥1.【解析】证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.【解析】(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2, 1,2 縰 3, 2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a 的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组x ≥a ,x -a +3x ≤0或x ≤a ,a -x +3x ≤0,即x ≥a ,x ≤a 4或x ≤a ,x ≤-a 2.因为a>0,所以不等式组的解集为x x ≤由题设可得-a 2=-1,故a=2.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.【解析】(1)由于f(x)=-2x +5,x 2,2x -3,x ≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)(图象应用)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a+∞.。

2010-2019历年高考数学《不等式综合应用》真题汇总含解析专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用2019年1.（2019天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- 4．（2015福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．（2015湖南）若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为 AB ．2C ．D ．46．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 7．（2013福建）若122=+yx ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞8．（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．3 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为A ．0B ．98 C ．2 D ．9410．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245 B ．285C ．5D ．6 11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则 A ．a v ab <<B ．v abC ab <v <2a b + D ．v =2a b+12．（2012湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为 A ．2 B.82 C.384 D. 34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ．2a b a ab b +<<< D 2a bab a b +<<<14．（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥ C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 ． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（2017天津）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．18．（2017山东）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ． 20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________． 21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．22．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．23．（2015重庆）设,0a b >，5a b +=________．24．(2015山东)定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为 ．25．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__； 26．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ． 27．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 ． 28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++． （Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时． 29．（2013天津）设a + b = 2，b >0， 则当a = 时， 1||2||a a b+取得最小值. 30．（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 31．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____． 32．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为 ． 33．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤；； ③222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥． 答案部分 2019年1.解析0x >，0y >，24x y +=，而()()1212212552x y xy x y xy xy xy xyxy ++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<（当且仅当22x y ==时，即2x =，1y =时，等号成立）.所以552xy…，5592222xy ++=…，所以()()121x y xy++的最小值为92.2010-2018年1．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x +=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．4．C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2．又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号)．解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b +=，所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号)．5．C 【解析】解法一由已知122b aa b ab ++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>，∴12a b =+≥ab ≥6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b += (0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b +++≥． 当且仅当43b aa b =时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 8．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y yx =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B.9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xy xy xy xy +=-≥=-=，当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy 有最小值1，将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.10．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x +=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S，则22211S ab v S S a b a ba b===<=+++∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x=图像如下图，由2log x= m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mm m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ，min()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab ，因为22)()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<，综上可得2a b a ab b +<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4ab =，52a b +=，所以2a ba ab b+<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时222a b ab +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b ab +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >，∴0b a >，0ba >，∴22b a b a a b a b +⋅=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立．16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥． 综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号. 18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥．当且仅当4b a a b =，即4b =，2a =时等号成立． 19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立．20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题，由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <，因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去）②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则 |4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞． 22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN 上，由2225050x yx y-+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M，(5,5)N--，所以P点横坐标的取值范围为[-．23．【解析】24a b=+++92+≤9418a b=+++=．当且仅当13a b+=+且5a b+=，即73,22a b==时等号成立．24．【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为00x y>>，，所以，22222242(2)222x y y x x yx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当x=时，(2)x y y x⊗+⊗．25．【解析】由0a b c++=得，a b c=--，则2222()2a b c b c bc=--=++()2222222b c b c b c+++=+≤，又2221a b c++=，所以232a≤，解得a，故a的最大值为．26．－1【解析】设|2|a b+最大，则必须,a b同号，因为22224463()2a ba b ab c ab c+++=++≤，故有2(2)4a b c+≤，22()2a bc+≥，当且仅当2a b=时取等号，此时2c b=，所以124a b c++=2244114()112b b b+=+--≥．27．－2【解析】设2a b t+=，则2a t b=-，因为224240a ab b c-+-=，所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ，当2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c =222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立．28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v ==⨯++，当且仅当11v = 时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v ==⨯++，当且仅当10v =时等号成立． 20001900100-=．29．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b +取得最小值时，2a =-．30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=， 当且仅当4a x x =，即3x ==，解得36a =．31．【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤，∴24()3x y +≤，3x y +≤． 32．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab ++==≥，命题⑤正确．。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T 10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =ann .(1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n2,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{an 2n }的前n 项和. 49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{a n n }是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n . 51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{12n -12n+1}的前n 项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13.(1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-an 2;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。

历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|x}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴A∩B＝{x|2＜x或x＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1，2，3，4，x＝4时，y＝1，2，3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{x∈R||x|≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{x∈R||x|≤2，}＝{x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C. 3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =（ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3)D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]UA =-∞，所以()U A B =(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2yx 有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1}D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1RM x x =≤-或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B =( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-.故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R（ ） A ．{}1,0- B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x1|2R C Bx x即(){1,0}R A C B故选A 。

专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2014 线性规划2014年新课标1理科09填空题2018 线性规划2018年新课标1理科13填空题2017 线性规划2017年新课标1理科14填空题2016 线性规划2016年新课标1理科16填空题2015 线性规划2015年新课标1理科15填空题2012 线性规划2012年新课标1理科14填空题2011 线性规划2011年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2014年新课标1理科09】不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（，y）∈D，+2y≥﹣2 p2：∃（，y）∈D，+2y≥2p3：∀（，y）∈D，+2y≤3p4：∃（，y）∈D，+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线+y＝1与﹣2y＝4相交的上部角型区域，p1：区域D在+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（，y）∈D，+2y≥﹣2成立；p2：在直线+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（，y）∈D，+2y≥2，故p2：∃（，y）∈D，+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线+2y＝3的上方，因此p3：∀（，y）∈D，+2y≤3错误；p4：+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（，y）∈D，+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．2．【2018年新课标1理科13】若，y满足约束条件，则＝3+2y的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由＝3+2y得y，平移直线y，由图象知当直线y经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时最大，最大值为＝3×2＝6，故答案为：63．【2017年新课标1理科14】设，y满足约束条件，则＝3﹣2y的最小值为．【解答】解：由，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴＝3﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．4．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5g，乙材料1g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5g，乙材料0.3g，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150g，乙材料90g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是件和y件，获利为元．由题意，得，＝2100+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数＝2100+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．5．【2015年新课标1理科15】若，y满足约束条件．则的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），OA3，即的最大值为3．故答案为：3．6．【2012年新课标1理科14】设，y满足约束条件：；则＝﹣2y的取值范围为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由＝﹣2y可得，y，则表示直线﹣2y﹣＝0在y轴上的截距，截距越大，越小结合函数的图形可知，当直线﹣2y﹣＝0平移到B时，截距最大，最小；当直线﹣2y﹣＝0平移到A时，截距最小，最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴ma＝3，min＝﹣3则＝﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]7．【2011年新课标1理科13】若变量，y满足约束条件，则＝+2y的最小值为．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数＝+2y，变化为y，当直线沿着y轴向上移动时，的值随着增大，当直线过A点时，取到最小值，由y＝﹣9与2+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yx x y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设为向量OB uuu v 在向量OA u u u v 方向上的投影，则的取值范围为（ ）A．⎣⎦ B．⎣⎦C ．[]2,18D ．[]4,18【答案】A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：则(),OB x y =u u u v ， ()2,2OA =u u u v，则OB uuu v 在向量OA u u u v 方向上的投影为||cos ||5OA O B z OA B O θ⋅===u u u v u u u vu u u v u u u v ， 设2u x y =+，则2y x u =-+，平移直线2y x u =-+，由图象知当直线2y x u =-+经过点()02,B 时直线的截距最小， 此时2u =，当直线2y x u =-+经过D 时，直线2y x u =-+的截距最大，由23603260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得66x y =⎧⎨=⎩，即()6,6D ，此时12618u =+=．即218u ≤≤，则55z 剟，即25185z剟， 即的取值范围是25185,⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A ．3．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：由＝﹣2+y ，得y ＝2+，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y ＝2+，由平移可知当直线y ＝2+，经过点A 时，直线y ＝2+的截距最大，此时取得最大值，由1260x x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A ．将A 的坐标代入＝﹣2+y ，得＝2，即目标函数＝﹣2+y 的最大值为2． 故选：C ．4．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k ＃20=20(1)AC k -=--Q[]0,2k ∴∈.故选B5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=. 综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .6．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+ D ．m n m n mn +>->【答案】B 【解析】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=， 所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log0.30n m -=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>， 所以110n m->>，即可得0>+n m ， 因为()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+， 所以m n m n mn ->+>， 故选B.7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．6【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122zy x =-+，由图象可知当直线经过点A ， 直线的截距最大，此时最大，此时6z =， 故选：D ．8．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】0x ∀>Q 时，12x x+≥， “0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤， 而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =， 所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （）＝|ln （﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b＝11a -+1，∴a+2b＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a +1取等号，∴a+2b 的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）， 因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a12，则q m+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… .当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ） A ．322+ B ．32+C ．222+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=， 则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n mm n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为322+，故选A.12．若实数满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】B 【解析】 由题得(当且仅当=y=-1时取等)所以，所以+y ≤-2.所以+y 的最大值为-2. 故选：B 13．已知，则取到最小值时（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由，可得.所以，当时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.14．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A．B．C．4 D．【答案】D【解析】设M（m，0），N（n，n），（m，n＞0）．∵，∴，∴，当且仅当时取等号．可得：则∴的最大值是．故选：D．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】当m＞0时，∵0⇔0，令f（）＝m2﹣（3+3m）+2m+4＝0的两根为1，2，且1＜2，则0，且1+2，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜1＜2＜2，所以不等式的解集为（1，1]∪（2，2]，∴l＝1﹣1+2﹣2＝1+2﹣3＝3，故选：B．17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上，的取值范围为：.故选D18．若关于的不等式上恒成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】解：关于的不等式上恒成立，等价于，当时，成立，当时，，即，因为恒成立，所以，故选：A．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是（）A．-B．C．2D．5【答案】C【解析】由题意，，因为的解集为,所以，且，则，的极小值为，解得，故答案为C.20．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<< B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<【答案】B 【解析】由题意，可知不等式()()1x a x a -+<e 对任意实数x 都成立， 又由()()()(1)x a x a x a x a -+=---e ， 即2210x x a a --++>对任意实数x 都成立，所以214(1)0a a ∆=--++<，即24430a a --<，解得1322a -<<， 故选B 。

2010-2019“十年高考”数学真题不等式选讲专题（附详细答案解析）1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.（2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----.所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3)≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.3.（2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．4.（2018全国卷Ⅰ）[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立，等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．5.（2018全国卷Ⅱ）[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．（1）当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；（2）若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】（1）当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．（2）()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由42≥+a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．6.（2018全国卷Ⅲ）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．7.（2018江苏）[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．8.（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．9.（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．10.（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】（1）()22113123>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x ,,x ,x f ，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤.当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．。