2020届新高考数学模拟仿真卷 第1卷

2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考仿真模拟数学试题（全国Ⅰ卷）——文科（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{y |x +y ＝1，x ∈R }，N ＝{y |x ﹣y ＝1，x ∈R }，则M ∩N ＝（ ） A ．（1，0）B ．{（1，0）}C ．{0}D ．R2．若复数z 满足（1+i ）z ＝|√3−i |，则z ＝（ ） A ．√2iB ．−√2iC ．1﹣iD ．√2−√2i3．对任意实数x ，y ，定义运算x ⊗y ={x ，x −y ≤0y ，x −y ＞0，设a =ln24，b =ln39，c =ln416，则（b ⊗c ）⊗a 的值是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．不能确定4．已知x ，y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，则y =b ^x +a ^过定点（ ）x 0 1 3 4 y2.2 4.3 4.8 6.7A ．（1.5，4）B ．（2，4.5）C ．（1.5，4.5）D ．（2，4）5．函数y =x 2e |x|+1（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过n 天，该木锤剩余的长度为a n （尺），则a n 与n 的关系为（ ） A ．a n =12nB ．a n ＝1−12nC ．a n =1nD ．a n ＝1−1n7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（x ，y ），若（a →+b →）⊥c →，则b →在c →上的投影为（ ） A ．±√102B ．±√105C ．−√102D ．−√1058．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．n ＜5B ．n ＜6C ．n ≤6D ．n ＜99．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．18D ．1310．已知三棱锥A ﹣BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD =√2，BC ＝1，CD =√3，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π3B ．8π3C ．8√2π3D ．36π11．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知关于x 的方程[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f （x ）＝x 2e x时，实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B ．（4e +e 24，+∞）C．（8e，2）D．（2，4e+e24）第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。

2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 23=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．D E AD 若，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m ）A B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D8．已知A 3,2P y 8x =上任意一点，点是圆(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4i T i =为转动i 11223344112341234论正确的是A BC D11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体中，点E F 、分别为棱点O 为上底面的中心，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A 2B 5C 5D 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．14X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.16AB ⊥的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()1*12N n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n nc n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n()*N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长.20．（本小题满分12分）已知,,,A x y B x y 是抛物线:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4l y =与y M 两点所在的直线方程为，且直线:4l y =恰好平AFB ∠.（2AB 与x 轴交于点P ，与y ，且124py y =，是否存在直线AB ，使得AB .21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-. （1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在00成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，y ⎧⎪⎨=⎪（t 为参数），曲线的参数方程为2sin y θ⎧⎨=⎩，x 曲线的极坐标方（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2，A ，B 两点，求23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（I 的解集；（II 118a b b c c a++≥+++一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--【答案】D【解析】因为2,1,0,1,2A =-- ,0B x x =≤，所以2,1,0AB =-- .故选D.2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 2【答案】A【解析】()()21222255a i a az i i i i ++-===+++-是纯虚数210520a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪，解得：2a =-本题正确选项：A3=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于01112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()22,23f e f e e e ==--，()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()1001000101f ee=>-，排除D 选项.故选A. 5．D E AD 若λ，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA μμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪E AD 中点， 所以32=，32μ--=，解得,26λμ==- ，3λμ+=-.故选B. 6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+【答案】B【解析】 ,a a a += ,2()a a a a -=-, 则1211n n a a a a +-=- ,数列11a a ⎧⎫-⎨⎬是首项为2，公比为2的等比数列， 1222n n a a --=⨯= ，利用叠加法，21()()......()122.......2n a a a a a a a -+-+-++-=++++ ， 1212121n a -==-- ，则21n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D 【答案】D【解析】由题意得362k T ⎛⎫-=+ ⎪得21T k =+，故42k Tω==+，因为06ω<<，k N ∈，由2sin 2f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ϕπ+=+，因为2ϕ<，故6ϕ=，所以()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2666x -≤+≤，令26t x =+，则由题意得2sin 0t m -=,t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12=-或222-<≤，解得21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知A 3,2P y 8x =(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线8y x =的焦点2,0F ，准线l ：2x =-，圆(2)1x y -+=的圆心为2,0F ，半径1r =，P PB B∴当4，故选B．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A,B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D,C有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4T i =为转动i 论正确的是A B C 1234 D 1234 【答案】A【解析】根据题意可知：>0,1234,1234A11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a＝219，则I（a）＝129，D（a）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）−I（a）= 972−279=693，不满足题意．B，如果输出的值为693，则a=693,，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）−I（a）=963−369=594，不满足题意．C，如果输出的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）−I（a）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体中，E F 、O 其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A2B 5C5D 6【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH -FCG 为，设M 点为的任一点，过M 点作底面1111的垂线，垂足为N ，连接,则即为与平面所成的角，所以=α，因为sinα=A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为=A M AH5故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．2-【解析】因为()()()()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，f a f a 2∴+-=，且f a 4=，则f a 2-=-.故答案为-214X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+a =． 【答案】12X =结合题意有：2,12a =⇒=.故答案为1．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】c,0F c，又0,B b，所以，以x y a+=，因为0PA PA⋅=所以BF，所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>，故4223102e ee⎧-+<⎨>，2故填.16AB⊥的表面积为______AB⊥1，11．414ππ⨯=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()*12N n n S a n ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n n c n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n ()*N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()12n n S a n N +⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，1112n n S a --⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，111n n n n n a S S a a --⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为221a a =+，2,1b a b b =∴=+2n ≥,，可得,即12a =. 又,∴数列n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1112b n n a =+-⋅==，2n na ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1121n n n n c n n n n +=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()11211221212121n n n n ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 223121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦1212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭, 可得5n <因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】X 0，1，2，3，4，5，6，()01010100P X ==⨯=，()1210525P X ==⨯⨯=，()225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()32210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()5251025P X ==⨯⨯=，()61010100P X ==⨯=， X（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱ABCD AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长. A ，又因为分别为和的中点，得1,,1,(1,2,1)MN ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得0,,0MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=（Ⅱ），设(,,)n x y z =为平面的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即{20x =1z =1(0,1,1)n =， 设(,,)n x y z =则210{0n AB n AC ⋅=⋅=，又(0,1,2)AB =，得{，1z =可得(0,2,1)n =-， 1212n n =-⋅31010= 所以二面角11D AC B --的正弦值为10 （Ⅲ）依题意，可设A E A B λ=(1,2,1)NE λ=-+， 又2(1)NE n==⋅-430λλ+-=又因为所以线段20．（本小题满分12分）已知,,,A x yB x y是抛物线:20C x py p=>上不同两点.（1）设直线:4l y=与y M两点所在的直线方程为，且直线:4l y=恰好平AFB∠.（2AB与x轴交于点P，与y，且124py y=，是否存在直线AB，使得AB.【解析】（1）设()()1122A x,y,B x,y,M0,4⎛⎫⎪，由x2{1pyy x==-y x2px2p0-+=，则124p80{x x2x x2ppp∆=->+==，∵直线y4=平分AFB∠，∴，∴12y y440x x--+=，即：1212x1x1x xp44210x x4x x----+⎛⎫+=-+=⎪，∴x8y=．（2ABAB，由2{x 2py =，得x 2pkx 2pb 0--=， ∴124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb ∆=+>+==-， ∴()222121222pb x x y y ?b -===，∵12p y y 4=， ∴2p b 4=， ∵b 0>， ∴b 2=． AB y kx 2=+． ABAA x ⊥BB x ⊥∵1212y y k x x p 2pk p +=++=+，12p y y 4=， 4k 2=±， AB AB y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-.（1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f x 的定义域为()()()10,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数10y x ax =++≥， ①当40a ∆=-≤10x ax ++≥. ()10x ax f x x ++∴=≥'在0,+∞恒成立.f x ∴在0,+∞为增函数；由0f x >，2222f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数， ()10x ax f x x++=>'在0,+∞恒成立， f x ∴在0,+∞为增函数。

2020年新高考数学第一次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为二、多项选择题（共4小题）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]三、填空题（共4小题）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R【分析】可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．解：B＝{x|x＞0}，A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}，A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．3．设x∈R，则“2x＞8”是“|x|＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由2x＞8得x＞3，由“|x|＞3”得x＞3或x＜﹣3，即“2x＞8”是“|x|＞3”的充分不必要条件，故选：A．4．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【分析】作差比较可得．解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%• 1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%• 1.5x﹣32%•x）÷32%•x＝，故选项B不正确；由8%• 1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；由28%• 1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．故选：D．5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，），|OP|＝1，∴sinα＝，cosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝，故选：B．6．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】用对立事件解决，设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，A，B互为对立事件，B包含一个基本事件，代入概率公式即可．解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中．设A＝{小张和小王至多1人被抽中}，B＝{小张和小王都被抽中}，则B包含1个基本事件，∴p（A）＝1﹣p（B）＝1﹣＝．故选：D．7．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB的面积等于，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积转化求解即可．解：抛物线y2＝8x的准线：x＝﹣2，双曲线的两条渐近线y ＝x，抛物线y2＝8x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，可得|AB|＝，△FAB的面积等于，F为抛物线的焦点（2，0）可得：＝8，可得b＝，所以b2＝3a2＝c2﹣a2，可得e＝＝2．故选：C．8．设函数则下列结论中正确的是（）A．对任意实数a，函数f（x）的最小值为B．对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是C．当且仅当时，函数f（x）的最小值为D．当且仅当时，函数f（x）的最小值为【分析】运用指数函数的值域，以及二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求结论．解：当x≤a时，f（x）＝e x∈（0，e a]，当x＞a时，f（x）＝x2﹣x+a＝（x﹣）2+a﹣，要使f（x）取得最小值a﹣，即为x＝处取得，从而a＜，又当x≤a时，f（x）∈（0，e a]，可得a﹣≤0，可得a≤，故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是（）A．若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC．若n⊥α，m∥α，则n⊥mD．若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β【分析】利用直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，判断选项的正误即可．解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在①中，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，①是真命题；α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故错误；在②中，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β，或α与β相交或平行，故②错误；在③中n⊥α，m∥α，则n⊥m，故③是真命题；在④中，α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β，也可能n⊂β，故④错误．故选：AC．10．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ+3μ，则（）A．P为线段OC的中点时，μ＝B．P为线段OC的中点时，μ＝C．无论μ取何值，恒有λ＝D．存在μ∈R，λ＝【分析】运用向量的加法表示；再应用平面向量基本定理得λ和μ．解：＝+＝+λ＝+λ（）＝（1﹣λ）+λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为OC中点时，则＝，则1﹣λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误；故选：AC．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最大值B．S15是最大值C．S29＝0D．S1是最小值【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，∴d＜0，11a1+55d＝18a1+d，化为：a1+14d＝0＝a15．∴S29＝29a15＝0．S14，S15都是最大值．故选：BC．12．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，由三角函数图象的性质得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当x时，2x∈[，]，函数g（x）值域为[﹣，2]，得解解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）＝x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，则实数a＝﹣1．【分析】求出原函数的导函数，再由f′（1）＝2列式求解a值．解：∵函数f（x）＝x﹣alnx的导数为f′（x）＝1﹣，∴在点（1，1）处的切线斜率为f′（1）＝1﹣a，又∵在点（1，1）处的切线方程为y＝2x﹣1，∴1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故答案为：﹣1．14．数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），则a10＝3+ln10．【分析】通过数列的递推关系式，利用累积法，结合对数运算法则，转化求解即可．解：数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝a n+ln（1+），a2＝a1+ln（1+1），a3＝a2+ln（1+），a4＝a3+ln（1+），…a10＝a9+ln（1+），累积可得a10＝a1+ln2+ln+ln+…+ln＝3+ln10．故答案为：3+ln10．15．已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为【分析】设正四棱柱的高为h，结合过正四棱柱的圆锥的轴截面，根据三角形相似得到正四棱柱底面边长和高的关系，用h表示出正四棱柱的体积，求最值即可．解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为h，底面边长为a，则O，O1分别为AC，A1C1的中点，所以A1C1＝，EF＝2，△SA1C1∽△AEF，所以，即，所以a＝，（0＜h＜2）所以正四棱柱的体积V＝a2h＝＝，令V'＝＝（h﹣2）（3h﹣2）＝0，得h＝，或者h＝2（舍）．当时，V'＞0，当时，V'＜0，所以当时，V（h）单调递增，当时，V（h）单调递减，故当h＝时，V有最大值，此时a＝＝．故填：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为﹣2．【分析】利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA 边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD 上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤）17．在△ABC中，3sin A＝2sin B ，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C ＝的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a＝2b，结合b﹣a＝1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C ＝，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．解：（1）∵，∴cos2C ＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C ＝，∴由余弦定理可得：c ＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计/mm件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E （Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E（Z）．解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝P（62.8＜X≤67.2）＝0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝P（60.6＜X≤69.4）＝0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝P（58.4＜X≤71.6）＝0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）＝2×＝；…（ⅱ）由题意可知Z的分布列为Z012P故E（Z）＝0×+1×+2×＝．…19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【分析】（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即，解得a1．利用通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．解：（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），………两式相减得………所以………………………所以．…………………………………20．如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF 沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣MF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF＝E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF＝FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN＝M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（﹣2，2，0），M（﹣1，1，1），∴＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（2，﹣1，0），设面EMF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量＝（1，2，1），设二面角E﹣MF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣MF﹣C的余弦值为．21．如图，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知不经过点A的直线l：y＝kx+m（k≠0，m∈R）交椭圆于P，Q两点，线段PQ 的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，求证：直线l过定点．【分析】（1）由离心率和三角形OAB的面积及a，b，c之间的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．（2）设P，Q的坐标，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，可得以PQ为直径的圆过A点，即所以＝0，求得k，m的关系进而切线直线l的方程，可得过的定点的坐标，将过的A点舍弃．解：（1）有题意可得＝，＝1，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）证明：由（1）可得A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与椭圆联立可得：，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝+2m＝，因为线段PQ的中点为M，若|PQ|＝2|AM|，所以可得以PQ为直径的圆过A点所以＝0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，可得x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，即4（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，可得12k2+16km+5m2＝0，解得：k＝﹣，k＝﹣m，所以直线为：y＝﹣m（x﹣2），或y＝﹣（x﹣），所以直线l过定点（2，0）或（，0），而直线不过A点，所以直线l过（，0）．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值范围．（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx ﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴．令g（x）＝xe x﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+1）e x﹣1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．证明：（2）由（1）知﹣a＝0，即a＝．∴lna＝lnx0+x0﹣1，f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）．由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即e x﹣1≥x，∴，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，∴f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）≥•2（1﹣x0）＝2（﹣），∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．。

2020年高考数学仿真卷01（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}{2,1,0=A ，}{11<<-=x x B ，则=⋂B A ______．2.已知复数z 1＝1－2i ，z 2＝a ＋2i （其中i 为虚数单位，a ∈R ）．若z 1z 2是纯虚数，则a 的值为______．3.如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______.4.函数)67lg(2x x y -+=的定义域是_______.5.若一组样本数据6，7，x ，8，9,10的平均数为8，则该组样本数据的方差为 .6.从1,3,5,7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为_________.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与准线的一个交点坐标为(13) ，，则双曲线的焦距为 . 8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ．9.3，母线与底面所成角为3π，则圆锥的表面积是_______． 10.函数223)1(x x x y +-=的最大值是______.11.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．12.,10=AB 若平面上点P 满足对于任意R t ∈,3≥-AB AP 则•的最小值为______.13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.14．设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 2cos a B b A =，3cos A =． （1）求角B 的值； （2）若6a =，求△ABC 的面积．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点()61 ，，其离心率等于22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ，求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r 为定值.AB CFE D（第16题）AOBPQMN（第18题）18．（本小题满分16分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数x xnmx x f ln )(--=，R n m ∈,. （1）若函数)(x f 在（2，f （2））处的切线与x -y=0平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数)(x f 在区间[]+∞,1上的最大值；（3）若1=n 时，函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<）,求证：221>+x x .20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数.(1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）将4名大学生随机安排到A ，B ，C ，D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．23．（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．{}n a 11n n a At Bn -=++,,A B t 1t >n N *∈()()()()1022020122022111xx b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅0,1A B ==1021n nn a b=∑1,0A B ==()1011212222n nn n ab =-=-∑t。

2020届新高考数学模拟试题（1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．35． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．106． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )AB． C ．18 D ．27二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A．e B ．2e = C．b = D．b =11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届新高考数学模拟试题（1）答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]【解析】[0A =，1]，(0B =，1]；(0A B ∴=，1]．【答案】C ．2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +【解析】由12i i a bi i +-=+-，得(1)(2)12(2)(2)55i i i i a bi i i ++-=-=+-+，∴1525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1255a bi i -=+． 【答案】B ．3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 【解析】命题为全称命题，则命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定是：0[2x ∃∈，)+∞，204x <，4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】2(4,2)a b +=，//(2)c a b +，240m ∴-=，2m ∴=．【答案】C ．5． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．10【解析】由二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式的通项1r n rr nT C x -+=得： 令3n r -=，得3r n =-，所以3310n nn C C -==，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =， 【答案】C ．6． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】0.2log 21a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>，a b c ∴<<． 【答案】A ．7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．8． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )A B ． C ．18 D ．27【解析】用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件， 球形铁质原材料的半径3R =，设正三棱柱的高为2h ，底面的边长为x ，则底面外接圆半径23r ==，h =∴该零配件体积：221sin 602923x V x =︒-=，设6493x y x =-，则35362y x x '=-，由0y '=，得x =∴当x =49(32)27maxV =-=．【答案】D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位【解析】从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，是系统抽样，故A 错误；5月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，故B 错误； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C 正确； 在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时， 预报变量ˆy增加0.1个单位，故D 正确． 【答案】CD ．10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A ．eB ．2e =C ．b =D ．b =【解析】由双曲线定义可知：122||||||2PF PF PF a -==，1||4PF a ∴=，由12sin F PF ∠，可得121cos 4F PF ∠=±，在△12PF F 中，由余弦定理可得：222416412244a a c a a +-=±⨯⨯，解得：224c a =或226c a =，2ce a∴==．2c a ∴=或c =又222c a b =+，b ∴或b =【答案】ABCD ．11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【解析】1()x x f x e e =-在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误；1()xx g x e e=+为偶函数，易知其在(,0)-∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 【答案】ABC ．12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【解析】:A F ，M 分别是AD ，CD 的中点， 11////FM AC AC ∴，故A 正确；B ：由平面几何得BM CF ⊥，又1BMC C ⊥，BM ∴⊥平面1CC F ，故B 正确；:C BF 与平面11CC D D 有交点，∴不存在点E ，使平面//BEF 平面11CC D D ，故C 错误；D ：三棱锥B CEF -以面BCF 为底，则高是定值，∴三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确．【答案】ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．【解析】由于tan 3α=，所以22tan 3sin 21tan 5ααα==+，1tan 4tan()241tan 2πααα++===---所以3sin 235210tan()4απα==--+． 【答案】310-14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）． 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将5名同学分成3组，要求甲乙在同一组，需要将其他三人分为1、2的两组即可，有133C =种分组方法；②，将分好的三组对应三个路口，有336A =种情况，则有3618⨯=种安排方法； 【答案】18．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 1(2，0) ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．【解析】由抛物线2:2C y x =，得22p =，1p =，则122p =，∴抛物线的焦点1(2F ，0)．过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得||||||||AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，有19(||||)||22AM BN PK +==，||||9AF BF ∴+=，【答案】1(,0)2，9．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为． 【解析】如图，由于90BAC ∠=︒，连接上下底面外心PQ ，O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，则球的半径为OB ，球O 的表面积为28π，OB ∴=由题意，14BB =，90BAC ∠=︒，所以BC ==， 所以3AC =，则ABC ∆的面积为12S AB AC =⨯⨯=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）设公比为q ，则213q q ++=，解得1q =或2q =-，所以1n a =或1(2)n n a -=-． （2）依题意可得1n b n =-，所以121111(1)1n n b b n n n n ++==-++， 所以11111111223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．【解析】（1）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点， 根据面积相等，11sin sin 22AB AD BAD AC AD CAD ∠=∠，故32AC AB ==， （2）2BAD DAC ∠=∠，得sin sin22sin cos BAD DAC DAC DAC ∠=∠=∠∠， 所以3cos 4DAC ∠=，所以21cos 2cos 18BAD DAC ∠=∠-=，在三角形ABD 中，2214228BD AD AD=+-， 2239234CD AD AD=+-，由BD CD =，上式化简得54AD =，故54AD =．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．【解析】（1）证明：取PA 中点N ，连结QN ，BN ， Q ，N 是PD ，PA 的中点，//QN AD ∴，且12QN AD =， PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，12PA AD ∴=，12BC AD ∴=，QN BC ∴=，又//AD BC ，//QN BC ∴，BCQN ∴为平行四边形， //BN CQ ∴，又BN ⊂平面PAB ，且CQ ⊂/平面PAB ，//CQ ∴平面PAB ．（2）解：取AD 中点M ，连结BM ，取AM 的中点O ，连结BO ，PO ，设2PA =， 由（1）得2PA AM PM ===，APM ∴∆为等边三角形，PO AM ∴⊥，同理，BO AM ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，C 2，0)，(0P ，0，(0Q ，32，(3,3,0)AC =，(0AQ =，52，设平面ACQ 的法向量(m x =，y ，)z ，则330502m ACx y m AQ y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(3m =，5)， 平面PAQ 的法向量(1n =，0，0)，337cos ,||||37m n m n m n ∴<>==，由图得二面角P AQ C --的平面角为钝角，∴二面角P AQ C --的余弦值为．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-【解析】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∴51()()(3)(1)(1)00010316i i i x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，，==∴相关系数5()()90.951052ii xx y y r --===∑． 0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）51521()()6ˆ0.320()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑．ˆˆ450.3 2.5ay bx =-=-⨯=． ∴回归方程为ˆ0.3 2.5yx =+．当12x =时，ˆ0.212 2.5 6.1y =⨯+=， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||2PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值． 【解析】（1）由题知，点(P c ， 则有222212c a +=，又22222a b c c =+=+， 解得28a =，26c =，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由||OM =可得||AB =此时1||||32AOB S OM AB ∆== 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)8480k x ktx t +++-=． ∴122814kt x x k -+=+，21224814t x x k -=+，从而224(,)1414kt tM k k -++，已知||OM =22222(14)116k t k+=+． 2222222221212222284816(82)||(1)[()4](1)[()4](1)1414(14)kt t k t AB k x x x x k k k k k ---+=++-=+-⨯=++++． 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，22222222116(82)(1)4(14)1AOBk t t S k k k ∆-+=+++． 将22222(14)116k t k +=+代入化简得22222192(41)(116)AOB k k S k ∆+=+．令2116k p +=，则2222222112(1)(1)192(41)11443[3()]4(116)33AOB p p k k S k p p ∆--++===--++，当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2． 22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）当1a =时，21()23(0)2f x x lnx x x =+->． 所以2232(2)(1)()3x x x x f x x x x x-+--'=+-==，令()0f x '，则01x <或2x ，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0，1]和[2，)+∞，单调递减区间为(1,2)；（2）假设存在实数a ，满足题设． 因为函数323414()()22929g x f x ax x x alnx x x =++=+-+，所以224()23a g x x x x '=+-+， 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-+∈+∞， 即3243660x x x a +-+，32436(0,)6x x x x a +-∈+∞⇔-，(0,)x ∈+∞， 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当1(0,)2x ∈时，()0h x '<，()h x 在1(0,)2上单调递减， 当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在1(,)2+∞上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17()224h =-， 所以存在724a使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增关注《品数学》，获取更多精品资料。

2020年高考数学仿真卷01（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}{2,1,0=A ，}{11<<-=x x B ，则=⋂B A ______． 【答案】{0}【解析】由交集的定义可知{0}.2.已知复数z 1＝1－2i ，z 2＝a ＋2i （其中i 为虚数单位，a ∈R ）．若z 1z 2是纯虚数，则a 的值为______． 【答案】-4【解析】(1－2i)(a ＋2i)=a+4+(2-2a )i,因为z 1z 2是纯虚数，所以a=-4. 3. 如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______. 【答案】8【解析】按照程序框图运行程序，输入i=1，S=0 i=1不是偶数，则S=1，i=2<4，循环 i=2是偶数，则i=1，S=5，i=3<4，循环 i=3不是偶数，则S=8，i=4≥4，输出结果：S=8. 4.函数)67lg(2x x y -+=的定义域是_______. 【答案】（-1，7）【解析】由对数的意义知：7+6x -x 2>0,得x 2-6x -7<0知-1<x<7.5.若一组样本数据6，7，x ，8，9,10的平均数为8，则该组样本数据的方差为 . 【答案】35第3题图【解析】由平均数的定义得x =8，故方差为s 2=61[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=35. 6.从1,3,5,7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为_________. 【答案】53【解析】利用枚举法可知：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数共有10种基本事件，其中和为奇数包含6种基本事件，故概率为53. 7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与准线的一个交点坐标为(13) ，，则双曲线的焦距为 . 【答案】4【解析】由题意知：点(13) ，代入x aby =得a b 3=，又12=c a ，联立解得c=2，故2c=4. 8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ． 【答案】127【解析】因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，所以4a 1+a 3＝2a 2，即q=2，所以S 7＝qq a --1)1(71=127.9.3，母线与底面所成角为3π，则圆锥的表面积是_______．【答案】3π【解析】Q 3，母线与底面所成角为3π，∴如图，设圆锥底面半径AO OB r ==，则母线长2l SA r ==，高3SO r =，213333V r r π∴==，解得1r =，2l SA ∴==，3SO =∴该圆锥的表面积为223S rl r πππππ=+=+=．10.函数223)1(x x x y +-=的最大值是______.【答案】41【解析】222111x x x x y +-•+=，令αtan =x ，则ααα2sin 412cos 2sin 21==y ，故41max=y . 11.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________． 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x ﹣1）（x +1）， f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，，函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U .12.,10=若平面上点P 满足对于任意R t ∈,3≥-则•的最小值为______.【答案】-16,3≥-所以P 到AB 的距离为3.设AB 的中点为O ，则[][]1610)2(41)()(412222-≥-=--+=•，故•的最小值为-16. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【解析】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=⨯+221tan 2tan 1tan ααα-+=+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 14．设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】（0，1）【解析】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩ 111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++ 121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈Q 且1y x x =+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A = （1）求角B 的值； （2）若a =△ABC 的面积．【解析】（1）在△ABC中，因为cos A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，………………2分由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．………………4分于是sintan1cosBBB==．又因为0πB<<，所以π4B=．………………6分（2）因为a=sin A=1）及正弦定理sin sina bA B==，………………8分所以b=又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+22==………………12分所以△ABC的面积为116sin22264S ab C++===.………………14分16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平面ABD；（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解析】（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，………………4分所以BD ∥EF ．因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………8分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．………………10分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．………………14分17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点()61 2，，其离心率等于22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ，求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r 为定值.【解析】(1）由题得223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，………………2分所以椭圆E 的方程为22142x y +=．………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ABCFED（第16题）AOBPQMN（第18题）直线MA 的方程为0042y y y x =+，代入椭圆得()2222000140822y y y x x +++-=，………………6分由()201204828y x y --=+得()20120288y x y --=+，012088y y y =+，………………10分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，，()22002200488488y y y y --=+=++．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．【解析】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系．则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． 故直线AQ 的方程为()6y x =--，………………4分由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+答：水上旅游线AB 的长为92．………………6分（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )． 若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，………………12分当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． 答：喷泉的水流不会洒到观光车上．………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数x xnmx x f ln )(--=，R n m ∈,. （1）若函数)(x f 在（2，f （2））处的切线与x -y=0平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数)(x f 在区间[]+∞,1上的最大值；（3）若1=n 时，函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<）,求证：221>+x x . 【解析】（1）122)2(,)(22=-='-='n f x x n x f ，得n=6.………………4分 （2）n x x f n x x f x xxn x f <>'><'>-='时，时，0)(;0)(),0()(2，所以当 )(1x f n 时，≤在[]+∞,1上单调减，故n m y -=max ；当)(1x f n 时，>在[]n ,1上单调增，在),(+∞n 上单调减故n m y ln 1max --=.………………8分（3）函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<），则0ln 1)(1111=--=x x mx x f ，0ln 1)(2222=--=x x mx x f ，可得2211ln 1ln 1x x x x m +=+=于是2112x x x x -=1212ln ln ln x x x x =-，令112>=x x t ，则11ln tx t t -=，tt t x ln 11-=，于是 )1(121+=+t x x x ，所以tt t t x x ln )ln 21(22221--=-+.………………12分 令t t t t h ln 21)(2--=，因为02)1()(22>-='t t t h ，所以)(t h 在),1(+∞上递增.又0)1()(,1=>>h t h t ，又 112>=x x t ，0ln >t ，又0ln ,1>>t t ，故221>+x x .………………16分 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．【解析】（1）设12531,,,,-k a a a a Λ的公差为d ，k a a a a 2642,,,Λ的公比为q ，则d a d d a a q q a a 41,1,291324+=+=+===由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧++=+=⇒⎩⎨⎧+=+=322421134439545q d q d a d a S a a a a a a S ，………………2分 所以⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-为偶数为奇数n n n a n n ,32,12．………………4分 （2）若)(12*∈-=N k k m ，则1221321232)12(11-+=⋅⇒+=⋅⋅---k k k k k ，因为132-⋅k 为正整数，所以122-k 为正整数， 即1112=⇒=-k k ，此时3320≠⋅，不成立，舍去．………………6分若)(2*∈=N k k m ，则1312=⇒=+k k ，2=m ，成立， 综上，2=m ．………………8分（3）若122-m m S S 为}{n a 中的一项，则122-m m S S为正整数， 因为)()(2242123112---+++++++=m m m a a a a a a S ΛΛ1313)13(22)121(211-+=--+-+=--m m m m m ，………………10分所以313)1(2321212212122≤-+--=+=----m m S a S S S m m m m m m ， 故若122-m mS S 为}{n a 中的某一项，只能为321,,a a a ．………………12分 ①若φ∈⇒=-+---m m m m 113)1(23212， ②2013213)1(2321212=⇒=-+⇒=-+----m m m m m m ， ③11313)1(232212=⇒=⇒=-+---m m m m m ，………………15分 综上，1=m 或2=m ．………………16分数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．【解析】由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2=M αα，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………2分 所以2a b ==，………………4分由方程22()402f λλλλ-==-=-．所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2．………………6分 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.【解析】(1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，………………2分圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.………………4分(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，………………8分 由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.………………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥． 【解析】因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，…………………3分又⋅++)(133221x x x x x x 2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭≥，…………………8分所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）将4名大学生随机安排到A ，B ，C ，D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）． 【解析】（1）将4人安排四个公司中，共有44＝256种不同放法．记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A ，事件A 共包含A 44=24个基本事件，所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率P （A ）=24256=332．…………………………4分（2）方法1：X 的可能取值为0，1，2，3，4，P （X ＝0）=3444=81256，P （X ＝1）=C 41×3344=2764， P （X ＝2）=C 42×3244=27128，P （X ＝3）=C 43×344=364，P （X ＝4）=C 444=1256．所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256…………………………………………………………8分 所以X 的数学期望为：E （X ）=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．………………10分23．（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值． 【解析】（1）比较可知； ………………2分{}n a 11n n a At Bn -=++,,A B t 1t >n N *∈()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅0,1A B ==1021n nn a b=∑1,0A B ==()1011212222n n nn ab =-=-∑t ()()()1010222211x x x ++=++=()()()24200121010101010111C C x C x C x ++++⋅⋅⋅++()()()22001220111b b x b x b x =+++++⋅⋅⋅++()210,1,2,,10nn b C n ==⋅⋅⋅而时,所以.………………4分设，也可以写成，相加得即，所以．………………6分（2）当时，，结合（1）中结论可知………………8分=，即因为关于t 的式子递增，所以关于t 的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解t=2，综上可知：t=2． ………………10分0,1A B ==111n n a At Bn n -=++=+()10101010210101011111nn nn nn n n n a bn C nC C =====+=+∑∑∑∑T =10012101010101010101210n n nCC C C C ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅∑T T =102101010101010210C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅102102T =⋅1052T =⋅10101010102101011152216143nnn nn n n a bnC C ====+=⋅+-=∑∑∑1,0A B ==1111n n n a At Bn t --=++=+10101012221010101111110(22)222(1)2n n nnn n n nnn n n n n n n ab a b b tC C =====--=-=+-∑∑∑∑∑101010101110111222[((1)1)21][(12)1](1)223122t t t t t +-+--+-=+-+--+=-101022(1)310t t t+--+=。