期中复习圆

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线AC：y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与X轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线a绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线a也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度；（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O1，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA．EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由若点D 的横坐标为27-,点I △AOB 内心,IE ⊥AB 于点E,当过OD 两点的圆发生大小变化时,其结论AE-BE 的值是否发生变化?若不变说明理由,若变化求出取值范围3．已知：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB ．（1）求证：AC 平分∠DAB ．（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径．4. ．（1）已知：如图1，ABC ∆是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PC =（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）5. 问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．6 .如果关于x 的一元二次方程有两个不相等实根，k 为正整数图2 图3图1 图3图2图1A D C B A B C D D C B A1)求k的值2)此方程的两个整数根，（）时，设A（x1,0），B(x2,0)以AB为直径画圆与有公共点时，求b的取值范围3)在（2）的条件下，设D（0，x1），点E是线段DB的动点，当△BOD绕原点o旋转360°过程中，点E的对应点F，则线段CF的最大值是____________最小值是________7. 在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A坐标是(0,4),点B在第一象限,点P 是x轴上一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针旋转.1.如图,当点P，且旋转到边AO与AB重合，得到△ABD时，求此时DP的长及点D坐标.2.是否存在点P使得△POD面积等于若存在，求出符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由.8. 已知a 是一元二次方程012012x 2=+-x 的一个根，求代数式120122011a 22++-a a 的值?9. 化简并求值a a a -+--+22212a 1-a a 2a -1 其中a=321+10.已知关于x 的方程 03)2(x 2=-+-+k x k⑴求证：方程总有两个实数根⑵设)0,(),0,(21x B x A ，其中 21,x x 为方程的两个实数根，且 21x x ≠ ，且 k<4 ，AB 为直径在x 轴上方画半圆，当直线l ：k x y +=33与半圆有公共点时，求k 的取值范围11.已知点B (2,0) ，以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A , y 轴的负半轴于点D ，连接BD 交 圆O 于点E ⑵ 线段DE 的长⑵若C (0,2) ,P(a ，25) ，且满足 ∠APB=∠ACB ，求a 的值已知△ADC为等腰直角三角形，AC=82△ABC为含30°的直角三角形，求三角形BCD面积？。

中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。

五年级上册数学期中复习教案一、教学目标：1. 知识点梳理：通过复习，使学生对五年级上册数学知识点进行梳理，加深对知识点的理解和记忆。

2. 提高解题能力：通过复习题目练习，提高学生的解题速度和准确性。

二、教学内容：1. 第一单元：小数乘法与除法复习内容：小数乘除法的计算方法及应用。

2. 第二单元：多边形与圆复习内容：多边形的面积计算，圆的周长与面积计算。

3. 第三单元：计量单位与统计复习内容：常用计量单位及换算，统计图表的绘制。

4. 第四单元：分数四则混合运算复习内容：分数四则混合运算的顺序及计算方法。

5. 第五单元：几何图形复习内容：平面图形的认识，三角形、四边形的性质及分类。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：对五年级上册数学知识点进行系统复习，查漏补缺。

2. 教学难点：解决实际问题，灵活运用所学知识。

四、教学方法：1. 讲解法：对知识点进行讲解，帮助学生理解。

2. 练习法：通过练习题目，巩固知识点。

3. 讨论法：组织学生进行小组讨论，共同解决问题。

五、教学安排：1. 课时：共5课时。

2. 教学过程：第一课时：复习第一单元小数乘法与除法。

第二课时：复习第二单元多边形与圆。

第三课时：复习第三单元计量单位与统计。

第四课时：复习第四单元分数四则混合运算。

第五课时：复习第五单元几何图形。

3. 课后作业：布置适量课后练习，巩固复习内容。

六、教学策略：1. 创设情境：通过生活实例，引导学生理解数学知识在实际生活中的应用。

2. 启发思考：提出问题，引导学生思考，激发学习兴趣。

3. 互动教学：鼓励学生提问，教师解答，增强课堂互动。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习成果：对学生的课后练习进行评价，了解学生对复习内容的掌握程度。

3. 期末考试：通过期末考试，全面评估学生的复习效果。

八、教学资源：1. 教材：五年级上册数学教材。

2. 教辅资料：相关数学练习题及解析。

2024年安徽省合肥市数学小学六年级上学期期中复习试题(答案在后面)一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、一个长方形的长是8厘米，宽是长的一半，这个长方形的面积是多少平方厘米？选项：A、16B、32C、24D、402、小华有一些相同大小的正方体，他按照每行4个，每列5个的方式排列，一共可以排成多少行？选项：A、5B、4C、3D、23、题目：一个长方形的长是12厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。

选项：A. 55平方厘米B. 60平方厘米C. 56平方厘米D. 61平方厘米4、题目：一个梯形的上底是10厘米，下底是20厘米，高是8厘米，求这个梯形的面积。

选项：A. 120平方厘米B. 160平方厘米C. 80平方厘米D. 140平方厘米5、下列哪一项表示的是一个合数？A. 23B. 29C. 31D. 516、如果一个三角形的三个内角分别是30°, 60°, 和90°，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、1个圆的半径是r，则这个圆的直径是______ 。

2、一个长方形的长是6cm，宽是4cm，那么这个长方形的面积是 ______ 平方厘米。

3、一个长方形花坛的长是宽的2倍。

如果它的周长是36米，那么这个长方形花坛的面积是 ______ 平方米。

4、小明有50元钱，他买了一些笔记本，每个笔记本的价格是8元，最后他还剩下2元。

请问小明买了 ______ 个笔记本。

5、小明买了3个苹果和2个香蕉，一共花了10元。

已知苹果的单价是每千克5元，香蕉的单价是每千克4元，那么小明买苹果的总价是 ____ 元。

6、一个长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，那么这个长方体的体积是 ____ 立方厘米。

三、计算题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1、（1）计算：(34+56)（2）计算：(2×5.5−1.5×2)（3）计算：(12.4÷1.2+1.2×2.1) 2、（1）计算：(7.5−3.2+4.8)（2）计算：(910×8−35×6)（3）计算：(0.6×0.8×5)3、（1）计算：(58+34)（2）一个长方形的长是(a)厘米，宽是(b)厘米，计算这个长方形的面积。

一年级下册数学期中复习题及期中测试卷第一单元认识图形1.认识和会画（正方形）（长方形）（三角形）（平行四边形）（圆形）2.七巧板是由1个正方形、1个平行四边形、5个三角形组成的。

3.缺了几块砖的方法（1）根据砖的排列规律用画一画来解决。

（2）不动手、不动笔，看着第一层就知道第三、五层缺了几块砖，看着第二层就知道第四、六层缺了几块砖。

（3）先数一层有几块砖，每一层都是一样长的，算出每层缺了几块砖。

缺了（8 ）块4.沿虚线折一折，它变成正方体。

其中①号面与( )号面相对。

方法：中间隔一个①对③，②对⑥，④对⑤第二单元20以内的退位减法1.计算方法11-9=□方法一：破十法11-9=2先算：10-9=1，再算：1+1=2方法二：想加法算减法11-9=2因为：9+2=11，所以：11-9=2方法三：连减法11-9=211-1-1-1-1-1-1-1-1-1=22.解决问题（1）选择有效信息，排除干扰信息。

解决问题需要两个条件和一个问题。

例：小明家有14只鸡和5只鸭。

公鸡有6只，母鸡有几只？分析：两个条件是14只鸡和公鸡有6只。

问题是母鸡有几只？干扰信息：5只鸭。

14-6=8（只）口答：母鸡有8只。

（2）求一个数比另一个数多几或求一个数比另一个数少几？（减法）例1：小华有12个苹果，小芳有7个苹果，小华比小芳多几个？12-7=5（个）口答：小华比小芳多5个。

例2：小华有12个苹果，小芳有7个苹果，小芳比小华少几个？12-7=5（个）口答：小芳比小华少5个。

第三单元分类与整理（要求：会填和画表格，自己能给出分类标准，进行分类。

）分类的标准一致，分类的结果就一致。

分类的标准不同，分类的结果就不同。

1.按大人和孩子分2.按男女分3.说一说你知道了什么信息？4.你能提出什么数学问题？并解答。

第四单元100以内数的认识1、45、46、47、（48）、（49）、（50）、（51）、（52）10、20、30、（40 ）、（ 50 ）、（60 ）、（ 70 ）、（ 80 ）三十五接着数5个数是（ 36 ）、（ 37 ）、（38 ）、（39 ）、（ 40 ）2、10个一（ 10 ），10个十（100 ）；我是由8个一和3个十组成（38 ），我是由5个十和8个一组成（58 ）；我是79，我的前面是（78 ），后面是（ 80）；我是85，比我少3是（ 82 ）。

20232024学年苏科版九年级上册册章节知识讲练专题2.5 对称图形—圆（章节复习+能力强化卷）知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1) 旋转一周，另一个端点A所形成的，叫做圆.(2)圆是 .细节剖析：①圆心确定，半径确定；确定一个圆应先确定，再确定，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是图形，对称中心是在中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是，经过圆心的任一直线都是它的 .(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径这条弦，并且平分②平分弦(不是直径)的直径于弦，并且平分弦所对的 .③弦的过圆心，且平分弦对的④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧 .细节剖析：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的、平分弦所对的在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个，对称轴是 .(2)相交两圆的连心线，相切两圆的连心线经过4．与圆有关的角(1)圆心角： 叫圆心角. 圆心角的性质： . (2)圆周角：顶点在 ， 叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于② 所对的圆周角相等；在 中，相等的圆周角所对的弧相等.③ 所对的弦为直径； 所对的圆周角为直角. ④如果 ，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的 .细节剖析：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在 ；②角的两边都和圆 (2)圆周角定理成立的前提条件是在 中.知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.细节剖析：和 是相对应的，即知道 就可以确定 ；知道 也可以确定 .2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：① 是圆的切线.②是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过③经过切点作切线的垂线经过(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条，它们的切线长，这两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是 .细节剖析：(1) 任何一个三角形都一个内切圆，但任意一个圆都有个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1) 叫圆的内接四边形，圆内接四边形，外角等于 .(2) 叫圆外切四边形，圆外切四边形相等.知识点04：圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为 .圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 .细节剖析：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系： .一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•化州市模拟）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC ＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（）A．30°B．25°C．10°D．20°2．（2分）（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3．（2分）（2022秋•南山区校级期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB＝60°，则△PAB的周长为（）A．B．C．6 D．34．（2分）（2022秋•桃城区校级期末）如图，△ABC的边AC经过⊙O的圆心O，BC与⊙O相切于B，D是⊙O上的一点，连接AD，BD，若∠C＝50°，则∠ADB的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2分）（2023•邯郸模拟）如图，有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的面积为（）A．B．C．D．6．（2分）（2023春•卫滨区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，以边BC为直径作一个半圆，则半圆（阴影部分）的面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π7．（2分）（2023•兴宁市二模）如图所示，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CD⊥AB，垂足为点G，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为30°的角的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（）A．3 B．9 C．D．189．（2分）（2023春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为（）A．2B．4 C．3 D．510．（2分）（2023春•洪山区月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，连接IA，IB，IC，CI的延长线交⊙O于点D，若IC＝，IA＝IB，则ID的长为（）A．B．3 C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是°．12．（2分）（2023•九龙坡区模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD右侧以CD为边作等边△CDE，再以点E 为圆心，以EC为半径作弧CD，则图中阴影部分的面积等于．13．（2分）（2022秋•宝山区期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．14．（2分）（2023•绥化模拟）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝．15．（2分）（2022秋•兴城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，按以下步骤作图：以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点P，过点P作PM⊥BC，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，PM和CN相交于点O，连接BO并延长，交AC于点Q，连接PQ，若AC＝6，则PQ＝．16．（2分）（2023春•北仑区校级月考）摩天轮是游乐园里非常受欢迎的项目之一，如示意图，等腰三角形的底边AB与⊙O相切于点E，腰OA，OB分别与⊙O交于点C，D，此时点C，D恰好是OA，OB的中点．若⊙O的半径为48m，则扇形COD的面积为m2（结果保留π）．17．（2分）（2023春•朝阳区校级月考）边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结AB．则以AO为半径的⊙A与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为.18．（2分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD ＝6，则⊙O的半径为．19．（2分）（2023•广西模拟）已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．20．（2分）（2023•金牛区模拟）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，点E是线段DC上一个动点，分别以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI，连接GI，过点B作直线GI的垂线，垂足是J，连接AJ，求点E运动过程中，线段AJ的最大值是．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．（1）求⊙O的半径长；（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．22．（6分）（2023春•江岸区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求阴影部分的面积．23．（8分）（2023•镜湖区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A 作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：∠EAC＝∠ADC（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．24．（8分）（2023春•蓬安县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．25．（8分）（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝5，∠E＝30°，求⊙O的半径．26．（8分）（2022秋•河口区校级期末）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求劣弧BC所在扇形的面积．27．（8分）（2023•襄城区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，BE＝3，求图中阴影部分的面积．28．（8分）（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC 于点E，交BA延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若CE＝，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．。

六年级数学上册期中复习总结（4篇）六年级数学上册期中复习总结（4篇）复习总结应该注重把握考试重点和难点，重点突破。

复习总结应该注重细节的处理，避免因为细节失分。

下面就让小编给大家带来六年级数学上册期中复习总结，希望大家喜欢!六年级数学上册期中复习总结篇1第一单元圆概念总结1.圆的定义：平面上的一种曲线图形。

2.将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

圆心一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等.3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

半径一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径一般用字母d表示。

6.在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

8.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

用字母表示为：d=2r r =1/2d 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×29.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。

圆周率是一个无限不循环小数。

在计算时，取π3.14。

世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

11.圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 圆周长=π×直径圆周长=π×半径×212、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

13.把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母(πr)表示，宽相当于圆的半径，用字母(r)表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r。

圆的面积公式：S=πr2。

14.圆的面积公式：S=πr2 或者S=π(d2)2 或者S=π(Cp 2)215.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。

圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。

知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。

我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是 ：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。

知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（ ）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。

12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。

故选：D。

2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。

六上期中复习——圆的专题知识一、圆的基本知识、相关公式及常用数字计算常用名称：半径（r）、直径（d）、周长（C）、面积（S）1、半径、直径公式：d = 2 ×r ，半径r = d÷22、半径、周长公式：C = 2×π×r（直径C = π×d）r = C÷π÷2， d = C÷π3、半径、面积公式：S =π×r2（或π×r×r）4、半径、半圆周长公式：C半圆=π×r + 2×r=（π+ 2）×r=5.14×r半圆弧长的公式：C半圆弧= 2×π×r÷2 =π×r思路：已知半径，就直接利用公式求解；已知其他的，那么，无论求直径、周长、面积，都先求出半径，进而再根据对应的公式求解！3.14×1=3.14 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.73.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.43.14×22=3.14×4=12.56 3.14×32=3.14×9=28.263.14×42=3.14×16=50.24 3.14×52=3.14×25=78.53.14×62=3.14×36=113.04 3.14×72=3.14×49=153.863.14×82=3.14×64=200.96 3.14×92=3.14×81=254.34二、圆相关的基本知识应用（15分钟）半径、直径公式：d = 2 ×r 或r = d÷21、圆规：圆规两脚之间的距离即为半径，即圆心到圆的距离为半径例1、圆规两脚之间的距离是5厘米，用它画成的圆的直径是（）厘米。

北京市海淀区-九年级（上）期中数学复习试卷（圆）（解析版）一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．13．（秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．14．（秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．15．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．16．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．-学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．故答案为：2．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=50°，∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，∴∠A=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．【考点】圆周角定理．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∠B=∠C=15°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣15°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．【考点】切线的性质．【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，∴点P在圆外．故选C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，==3π．∴S扇形故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数【解答】解：∵∠BOD=138°，∴∠A=∠BOD=69°，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故答案为：69°．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．【考点】点与圆的位置关系．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP垂直平分线段AB，得证．【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，PO为∠APB的平分线，∴PO⊥AB，C为AB的中点，则OP垂直平分线段AB．【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线．【解答】证明：连接OF，CF．∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB ∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM ⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．。

五年级上册数学期中复习教案一、教学目标：1. 知识与技能：通过复习，使学生掌握五年级上册数学的基本知识点，提高学生的数学运用能力。

2. 过程与方法：引导学生运用归纳、总结的方法对所学知识进行复习，培养学生自主学习的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的魅力。

二、教学内容：1. 第一章：数的认识与运算（1）复习万以内的整数、小数和分数的加减法、乘除法运算。

（2）掌握四则混合运算的顺序，提高学生的运算速度和准确性。

2. 第二章：几何图形（1）复习长方形、正方形、三角形、圆的性质和分类。

（2）掌握图形的周长、面积的计算方法，培养学生的空间观念。

3. 第三章：统计与概率（1）复习统计图表的种类及特点，学会选择合适的统计图表表示数据。

（2）了解概率的基本概念，学会运用概率知识解决实际问题。

4. 第四章：量的计量（1）复习长度、面积、体积、质量、时间等计量单位及换算。

（2）学会根据实际情况选择合适的计量单位，提高学生的计量能力。

5. 第五章：应用题（1）复习不同类型的应用题，掌握解题的基本步骤和方法。

（2）提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维。

三、教学方法：1. 采用归纳总结法，引导学生对所学知识进行梳理和复习。

2. 运用实例讲解，让学生在实际问题中运用所学知识。

3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

4. 进行适量练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生的掌握程度。

3. 期中考试：定期进行期中考试，对学生的学习成果进行全面评估。

五、教学课时：本教案共需20课时，每课时40分钟。

具体分配如下：1. 第一章：数的认识与运算（5课时）2. 第二章：几何图形（5课时）3. 第三章：统计与概率（3课时）4. 第四章：量的计量（3课时）5. 第五章：应用题（4课时）注意：教师可根据实际情况调整课时分配，确保教学内容的完整性。

专题十圆的综合问题一、非动态问题例题1如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作EF AC ⊥于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD ．(1)求证：EF 是O 的切线．(2)求证：FBD FDA △△∽．(3)若4DF =，2BF =，求O 的半径长．练习题1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ．(1)如图①，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若∠ABC ＝66°，求∠ACM ；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE ＝EC ；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA ＝34，求S △ADE ：S △ACM 的值．2．如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH ．(1)求证：MH 为O 的切线．(2)若32MH =，34AC BC =，求O 的半径．(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A 、B 作O 的切线，两切线交于点D ，AD 与O 相切于点N ，过N 点作NQ BC ⊥，垂足为E ，且交O 于Q 点，求线段AO 、CN 、NQ 的长度．3．如图，点P 在y 轴的正半轴上，P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和P 于E 、F 两点，连接AC 、FC ，AC 与BD 相交于点G ．(1)求证：ACF ADB =∠∠；(2)求证：CF DF =；(3)DBC ∠=______°；(4)若3OB =，6OA =，则△GDC 的面积为______．4．如图，四边形ABCD 内接于半圆O ，BC 是半圆O 的直径，CE 是半圆O 的切线，CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，14DE BC =，OE 与CD 相交于点F ，连接BF 并延长交AE 的延长线于点G ，连接CG ．(1)求证：AD BC ∥．(2)探究OF 与BF 的数量关系．(3)求tan GBC ∠的值．5．【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在O 中，AB 是弦，OP AB ⊥，垂足为P ，则OP 的长是弦AB 的弦心距．(1)若O 的半径为5，OP 的长为AB 的长为______．(2)若O 的半径确定，下列关于AB 的长随着OP 的长的变化而变化的结论：①AB 的长随着OP 的长的增大而增大；②AB 的长随着OP 的长的增大而减小；③AB 的长与OP 的长无关．其中所有正确结论的序号是______．(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．(4)已知如图②给定的线段EF 和O ，点Q 是O 内一定点．过点Q 作弦AB ，满足AB EF =，请问这样的弦可以作______条．6．已知O 为ACD ∆的外接圆，AD CD =．(1)如图1，延长AD 至点B ，使BD AD =，连接CB ．①求证：ABC ∆为直角三角形；②若O 的半径为4，5AD =，求BC 的值；(2)如图2，若90ADC ∠=︒，E 为O 上的一点，且点D ，E 位于AC 两侧，作ADE ∆关于AD 对称的图形ADQ ∆，连接QC ，试猜想QA ，QC ，QD 三者之间的数量关系并给予证明．7．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC 和△DEF 中，若∠A +∠E ＝∠B +∠D ＝90°，且AB ＝DE ，则△ABC 和△DEF 是余等三角形．(1)图2，等腰直角△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），则图中△________和△________是余等三角形，并求证：AD 2+BD 2＝2CD 2．(2)图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为5，且AD 2+BC 2＝100，①求证：△ABC 和△ADC 是余等三角形．②图4，连接BD 交AC 于点I ，连接OI ，E 为AI 上一点，连接EO 并延长交BI 于点F ，若∠ADB ＝67.5°，IE ＝IF ，设OI ＝x ，S △y 关于x 的函数关系式．8．如图1，在等腰ABC 中，AB AC ==120BAC ∠=︒，点D 是线段BC 上一点，以DC 为直径作O ，O 经过点A ．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)如图2，过点A 作AE BC ⊥垂足为E ，点F 是O 上任意一点，连结EF ．①如图2，当点F 是DC 的中点时，求EF BF的值；②如图3，当点F 是O 上的任意一点时，EF BF 的值是否发生变化？请说明理由．(3)在（2）的基础上，若射线BF 与O 的另一交点G ，连结EG ，当90GEF ∠=︒时，直接写出EF EG -的值．9．【证明体验】（1）如图1，过圆上一点A 作O 切线AD ，AC 是弦（不是直径），若AB 是直径，连接BC ，求证：DAC ABC ∠=∠；（2）如图2，若AB 不是直径，DAC ∠______ABC ∠（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如图3，（1）、（2）的结论是否成立，说明理由；【归纳结论】（4）由以上证明可知：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的______；【结论应用】（5）如图4，ABC 内接圆于O ，弦BE AB ⊥，交AC 于F ，过点A 作O 的切线AD ，交EB 的延长线于点D ．若6AD =，2sin 3ACB ∠=，求线段BE 的长．10．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形(1)如图①，半圆O的直径为BC，OA⊥OB，点E在过点A的切线上，且BE=BA，点D 是AC 上的动点（不在点A、C上），求证：四边形AEBD为准平行四边形．(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，∠B≠∠D，若⊙O的半径为5，AB=AD，则①准平行四边形ABCD的面积S是线段AC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；②准平行四边形ABCD的面积S有最大值吗？如果有求出最大值，如果没有，说明理由．二、动点问题例题2（2021·浙江温州·三模）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆内，点C在圆上，CD⊥半径OA于点E，延长AD交⊙O于F点，连结BF．当点M从点C匀速运动到点D 时，点N恰好从点B匀速运动到点A，且M，N同时到达点E．(1)请判断四边形ACBF 的形状，并说明理由．(2)连结AM 并延长交⊙O 于点G ，连结OG ，DN ．记CM ＝x ，AN ＝y ，已知y ＝12．①求出AE 和BF 的长度．②当M 从C 到E 的运动过程中，若直线OG 与四边形BFDN 的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x 的值．练习题1．（2021·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，E 是线段AB 上的一个动点，经过A ，D ，E 三点的⊙O 交线段AC 于点K ，交线段CD 于点H ，连接DE 交线段AC 于点F ．(1)求证：AE ＝DH ；(2)连接DK ，当DE 平分∠ADK 时，求线段DE 的长；(3)连接HK ，KE ，在点E 的运动过程中，当线段DH ，HK ，KE 中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE 的长．2．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）已知，在半圆O 中，直径AB =6，点C ，D 在半圆AB 上运动，（点C ，D 可以与A ，B 两点重合），弦CD =3．(1)如图1，当∠DAB=∠CBA 时，求证：△CAB ≌△DBA ；(2)如图2，若∠DAB =15°时，求图中阴影部分（弦AD 、直径AB 、弧BD 围成的图形）的面积；(3)如图3，取CD 的中点M ，点C 从点A 开始运动到点D 与点B 重合时结束，在整个运动过程中：①点M 到AB 的距离的最小值是___________；②直接写出点M 的运动路径长___________．3．（2022·湖南长沙·九年级期中）已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧 AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ．①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．4．（2022·广东·深圳中学一模）（1）【基础巩固】如图1，△ABC 内接于⊙O ，若∠C ＝60°，弦AB =r ＝______；（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，点B 为弧AC 上一动点（不与点A ，点C 重合）求证：AB ＋BC ＝BD（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条道路劣弧 CD围成，已知CM DM =千米，∠DMC ＝60°， CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在 CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．5．（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）在矩形ABCD 中，5AB cm =，BC 10cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点时就停止移动，设两点移动的时间为t 秒，解答下列问题：(1)如图1，当t 为几秒时，PBQ △的面积等于24cm ？(2)如图2，以Q 为圆心，PQ 为半径作Q ．在运动过程中，是否存在这样的t 值，使Q 正好与四边形DPQC 的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东深圳·一模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ∠，连接AB ，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若1tan3CAB ∠=，且B 是CE 的中点，O ，求DE 的长．(3)P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ⊥于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP +的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．7．（2021·四川德阳·二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，OE ⊥AB 于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若点F 是OA 的中点，OE ＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE ＋PF 取最小值时，直接写出BP 的长．8．（2022·湖南永州·一模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于D ，过D 点作O 的切线DE 交AC 于E ．(1)求证：DE AC ⊥；(2)若10AB =，3cos 5ABC ∠=，求DE 的长；(3)在（2）的条件下,若P 为线段BD 上一动点，过P 点作BC 的垂线交AB 于N ，交CA 的延长线于M ，求证：PN PM +是定值，并求出定值是多少？9．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校一模）[问题提出](1)如图1，已知线段AB ＝4，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是________；[问题探究](2)如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决](3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝BC＝120米，∠ACB ＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分 BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．10．（2021·江苏南京·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC＝6，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．(1)【操作与发现】当E运动到AE CD⊥处，利用直尺与圆规作出点E与F．（保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，证明AF ABAE AD=．(3)【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证AF AB AE AD=．(4)【延伸与应用】点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值______．三、动圆问题例题3（2021·山东威海·一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，点O 在射线AC 上（点O 不与点A 重合），过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，以点O 为圆心，OD 为半径画半圆O ，分别交射线AC 于E ，F 两点，设OD =x ．(1)如图1，当点O 为AC 边的中点时，则x =；(2)如图2，当点O 与点C 重合时，连接DF ，求弦DF 的长；(3)若半圆O 与BC 无交点，则x 的取值范围是．练习题1．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 落在x 轴上，点B 的坐标为()1,0-，3AB =，6BC =，边AD 与y 轴交于点E ．(1)直接写出点A 、C 、D 的坐标；(2)在x 轴上取点()3,0F ，直线()0y kx b k =+≠经过点E ，与x 轴交于点M ，连接EF ．①当15MEF ∠=︒时，求直线()0y kx b k =+≠的函数表达式；②当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边所在直线相切时，求点M 的坐标．9．（2021·江苏镇江·一模）如图1，ABC 中，5AB =，AC =7BC =，半径为r 的O 经过点A 且与BC 相切，切点M 在线段BC 上（包含点M 与点B 、C 重合的情况）．(1)半径r 的最小值等于__________．(2)设BM =x ，求半径r 关于x 的函数表达式；(3)当BM =1时，请在图2中作点M 及满足条件的O ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）10．（2022·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，且∠ABE ＝∠CBF ，延长BE 交CD 的延长线于点G ，H 为BG 中点，连结CH 分别交BF ，AD 于点M ，N ．(1)求证：BF CH ⊥．(2)当FG ＝9时．①求tan FBG ∠的值．②在线段CH 上取点P ，以E 为圆心，EP 为半径作E （如图），当E 与四边形ABMN 某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP 的长．11．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图：已知线段5AM =，射线AS 垂直于AM ，点N 在射线AS 上，设AN n =，点P 在经过点N 且平行于AM 的直线上运动，PAM ∠的平分线交直线NP 于点Q ，过点Q 作QB AP ∥，交线段AM 于点B ，连接PB 交AQ 于点C ，以Q 为圆心，QC 为半径作圆．(1)求证：PB 与Q 相切；(2)已知Q 的半径为3，当AM 所求直线与Q 相切时，求n 的值及PA 的长；(3)当2n 时，若Q 与线段AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是______．四、圆的图形变换问题例题4平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B ？（2）在OQ 旋转过程中．简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值：（3）如图，当点P 恰好落在BC 边上时．求α及S 阴影．拓展如图．当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x （x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．练习题1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O 的半径．2．如图，已知AB 为O 的直径，CD 为弦．CD =AB 与CD 交于点E ，将CD沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长BA 至P ，使AP OA =，连接PC ．(1)求O 的半径；(2)求证：PC 是O 的切线；(3)点N 为 ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点M ，连接MN 交AB 于点G ．交 BC 于点F的值．（F与B、C不重合）．求NG NF3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．(1)思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；(2)探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．①在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．4．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．点A点的左上方，且tan∠AOB(1)S扇形AOB＝；(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为；(3)在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°），①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．5．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．(1)AG ＝；(2)如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O 的对应点为O ′，点F 的对应点为F ′，设M 为半圆O ′上一点．①当点F ′落在AD 边上时，求点M 与线段BC 之间的最短距离；②当半圆O ′交BC 于P ，R 两点时，若PR 的长为53π，求此时半圆O ′与正方形ABCD 重叠部分的面积；③当半圆O ′与正方形ABCD 的边相切时，设切点为N ，直接写出tan ∠END 的值．6．如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M ，将弧CD 沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP =OA ，链接PC ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点G 为弧ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ，交弧BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE ▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．7．如图，在ABE △中，BE AE >，延长BE 到点D ，使DE BE =，延长AE 到点C ，使CE AE =．以点E 为圆心，分别以BE 、AE 为半径作大小两个半圆，连结CD ．（1）求证：AB CD =；（2）设小半圆与BD 相交于点M ，24BE AE ==．①当ABE S 取得最大值时，求其最大值以及CD 的长；②当AB 恰好与小半圆相切时，求弧AM 的长．8．在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP ' ．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与 AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．②求AP 的长．（2）如图2，BO '与 AB 相交于点D ，若点D 为 AB 的中点，且//PD OB ，求 AB 的长．9．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，AB m =（4m >），点P 是DC 上一点（不与点D ，C 重合），连接AP ，APQ 与APD △关于AP 对称，PM 是过点A ，P ，Q 的半圆O 的切线，且PM 交射线AB 于点M ．（1）当AP PM =时，半圆O 与AB 所围成的封闭图形的面积为___________；（2）当Q 在矩形ABCD 内部时，①判断PAQ ∠与AMP ∠是否相等，并说明理由；②若3tan 4PAQ ∠=，求AM 的长；（3）当14DP DC =时，若点Q 落在矩形ABCD 的对称轴上，求m 的值及此时半圆O 落在矩形ABCD 内部的弧长．10．如图1，在正方形ABCD 中，10AB =，点O 、E 在边CD 上，且2CE =，3DO =，以点O 为圆心，OE 为半径在其左侧作半圆O ，分别交AD 于点G ，交CD 延长线于点F ．（1）AG =________．（2）如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转()0180αα︒<<︒，点O 的对应点为O '，点F 对应点为F '，当半圆O '交BC 于P 、R 两点时，若弧PR 的长为5π3，求此时半圆O '与正方形ABCD 重叠部分的面积．（3）当半圆O '与正方形ABCD 相切时，设切点为N ，直接写出tan END ∠的值．11．如图⊙O 中直径AB ＝2，点E 是AB 的中点，点C 是AE 上的一个动点，将CB 沿线段BC 折叠交AB 于点D ．（1）如图1，当∠ABC ＝20°时，求此时 AC 的长．（2）如图2，连结AC ，当点D 与点О重合时，求此时AC 的长．（3）设AC ＝x ，DO ＝y ，请直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的大小．（2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）．（3）若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在直线上时，直接写出PB 旋转到PQ 时点B 经过的路径的长（结果保留π）．13．如图1，四边形ABCD 是正方形，且AB ＝8，点O 与B 重合，以O 为圆心，作半径长为5的半圆O ，交BC 于E ，交AB 于F ，交AB 延长线于G 点，M 是半圆O 上任一点；发现：AM 的最大值为，S 阴影＝．如图2，将半圆O 绕点F 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．思考：（1）若点C 落在半圆O 的直径GF 上，求圆心O 到AB 的距离；（2）若α＝90°，求半圆O 落在正方形内部的弧长；探究：在旋转过程中，若半圆O 与正方形的边相切，求点A 到切点的距离．【注：sin37°＝35，sin53°＝45，tan37°＝34】14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，O 是AD 的中点，以O 为圆心，在AD 的下方作半径为3的半圆O ，交AD 于点E ，F ．（1）思考：连接BD ，交半圆O 于点G 、H ，求GH 的长；（2）探究：将线段AP 连带半圆O 绕点A 顺时针旋转，得到半圆O '，设其直径为E F ''，旋转角为α（0180α<<︒）；①设F '到直线AD 的距离为m ，当72m >时，求α的取值范围．②若半圆O '与线段AB 相切，或半圆O '与线段BC 相切，设切点为R ，直接写出 F R '的长．（3sin 494︒=，3cos 414︒=，3tan 374︒=，结果保留π）15．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，O 是AC 的中点，以点O 为圆心在AC 的右侧作半径为3的半圆O ，分别交AC 于点D 、E ，交AB 于点G 、F ．思考：连接OF ，若OF AC ⊥，求AF 的长度；探究：如图2，将线段CD 连同半圆O 绕点C 旋转．（1）在旋转过程中，求点O 到距离的最小值；（2）若半圆O 与Rt ABC 的直角边相切，设切点为K ，连接AK ，求AK 的长．16．如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，30BAC ∠=︒，点O 为对角线AC 上的动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心在AC 下方作半径为2的半圆O ，交AC 于点E 、F ．（1）当半圆O 过点A 时，求半圆O 被AB 边所截得的弓形的面积；（2）若M 为 EF的中点，在半圆O 移动的过程中，求BM 的最小值；（3）当半圆O 与矩形ABCD 的边相切时，求AE 的长．17．如图1，扇形OAB 的半径为4，∠AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是 AB 上一动点．（1）连接AQ 、BQ 、PQ ，则∠AQB 的度数为；（2）当P 是OB 中点，且PQ ∥OA 时，求 AQ的长；（3）如图2，将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的 QB'恰好与半径OA 相切于点C ．若OP ＝3，求点O 到折痕PQ 的距离．18．如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，以MN 为直径的半圆O 按如图所示位置摆放，点M 与点A 重合，点N 在边AC 的中点处，点N 从现在的位置出发沿AC CB -方向以每秒2个单位长度的速度运动，点M 随之沿AC CB -下滑，并带动半圆O 在平面内滑动，设运动时间为t 秒（0t ≥），点N 运动到点B 处停止，点P 为半圆中点．（1）如图2，当点M 与点A 重合时，连接OP 交边AB 于E ，则EP 为____________；（2）如图3，当半圆的圆心O 落在了Rt ABC ∆的斜边AB 的中线时，求此时的t ，并求出此时CMN ∆的面积；（3）在整个运动的过程中，当半圆与边AB 有两个公共点时，求出t 的取值范围；（4）请直接写出在整个运动过程中点P 的运动路径长．19．如图1，矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，以AD 为直径在矩形ABCD 内作半圆O ．（1）若点M 是半圆O 上一点，则点M 到BC 的最小距离为________；（2）如图2，保持矩形ABCD 固定不动，将半圆O 绕点A 顺时针旋转α()090α︒<<︒度，得到半圆O'，则当半圆O'与BC相切时，求旋转角α的度数；AD'与边BC有交点时，求tanα的取值范围．（3）在旋转过程中，当20．如图，半圆O的直径4AB=，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现 AP的长与 QB的长之和为定值l，求l；思考点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________．探究当半圆M与AB相切时，求 AP的长．（注：结果保留π，cos35= ，cos55=。

高二数学上册期中知识点复习(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高二数学复习考点知识与题型专题讲解2.5.2 圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个2个1个0个【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:210()C x y x my m +-++=∈R 的面积被直线210x y ++=平分，圆222:(2)(3)25C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:()()4C x a y b -+-=（a ，b 为常数）与222:20C x y x +-=．若圆心1C 与圆心2C 关于直线0x y -=对称，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．内切D ．相离3．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）圆222830x y x y +++-=与圆()()22225x y -+-=的位置关系为（）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离题型二：求圆的交点坐标4．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0，x 2+y 2﹣4y ﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0B ．x 2+y 2+6x +2y ﹣3＝0C ．x 2+y 2﹣6x ﹣2y ﹣3＝0D ．x 2+y 2+6x ﹣2y ﹣3＝05．（2021·江苏·高二专题练习）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（ ） A ．0B ．85C ．2D ．1856．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））设点(1,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足2||||PA PB =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：22((3)4x y +-=，1C 与2C 交于点,M N ，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则MN MQ ⋅=（ ）A ．4B ．C ．2D题型三：圆与圆的位置关系求参数范围7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]8．（2022·全国·高二课时练习）若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．(]0,19．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆1O ：2216x y +=和圆2O ：22268240x y mx my m +--+=有且仅有4条公切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()1,1-C ．()(),23,-∞-⋃+∞D ．()2,3- 题型四：圆与圆的位置求圆的方程10．（2022·全国·高二单元测试）若圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(,)C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y ---=11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于A ．14B ．34C ．14或45D ．34或1412．（2019·安徽马鞍山·高二期中）已知半径为1的动圆与圆C ：()()225316x y +++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．()()225325x y +++=B ．()()225325x y -+-=或()()22539x y -+-= C ．()()22539x y -+-=D ．()()225325x y +++=或()()22539x y +++=题型五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）13．（2022·全国·高二专题练习）已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（ ）A1B ．1C ．12+D 1 14．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．15．（2021·广东·人大附中深圳学校高二期中）若圆221:4C x y +=与圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为=a （ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5题型六：圆的共切线问题16．（2022·全国·高二专题练习）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列不是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ） A ．0y =B ．430x y -=C ．20x y -=D ．20x y +17．（2022·江苏·高二课时练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．1B．18．（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：222660x y x y ++-+=与圆2C ：224240x y x y +-++=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条题型七：圆与圆位置关系的综合类问题19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知圆C ：22240x y x y m +--+=．(1)若圆C 与圆D ：22(2)(2)1x y +++=有三条外公切线，求m 的值；(2)若圆C 与直线20x y +-=交于两点M ，N ，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值．20．（2022·全国·高二单元测试）已知圆1C ：²²4230x y x y +---=，圆2:?²20C x y x m +-+=，其中51m -<<.（1）若1m =-，判断圆1C 与2C 的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，且圆2C 的圆心到直线l 的距离为2，求直线l 的方程以及公共弦长21．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线0x n +=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．【双基达标】一、单选题22．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2019·江西省大余县新城中学高二阶段练习）圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．3624．（2022·全国·高二课时练习）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=，圆2O 的圆心为()21,7O ．(1)若圆2O 与圆1O 外切，求圆2O 的方程；(2)若圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =2O 的方程．25．（2022·全国·）已知圆1C 与y 轴相切于点(03)，，圆心在经过点(21)，与点(23)--，的直线l 上． (1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆222:6350C x y x y +--+=相交于M ，N 两点，求两圆的公共弦长．【高分突破】一：单选题26．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）以下四个命表述正确的是（ ）个①若点()1,2A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆外 ②圆C ：2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 ③圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +--+=恰有三条公切线④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的线方程为：260x y ++= A ．1B ．2C ．3D ．427．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．928．（2017·江西南昌·高二阶段练习（文））与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．（2022·全国·高二课时练习）已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t 的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,330．（2022·全国·高二）已知半径为1的动圆与圆()()225716x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．()()225725x y -++=B ．()()225717x y -+-=或()()225715x y -++=C ．()()22579x y -+-=D ．()()225725x y -++=或()()22579x y -++=二、多选题31．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知圆()()221:1311C x y -+-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，则下列说法正确的是（ ）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆C 1始终有两个交点32．（2022·全国·高二专题练习）圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1+ 33．（2022·江苏·高二单元测试）设有一组圆()()()22:4R k C x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（ ）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点（3，0） C ．存在定直线始终与圆k C 相切D ．若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1，则k ⎛∈⋃ ⎝⎭⎝⎭34．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A ．AB 的最小值为．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-35．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆1O ：225x y +=和圆2O ：22(4)13x y -+=相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，则（ ） A ．||4AB =B ．过2O 作圆1O 的切线，切线长为C ．过点A 且与圆2O 相切的直线方程为3210x y -+=D ．圆1O 的弦AC 交圆2O 于点D ，D 为AC 的中点，则AC 的斜率为7236．（2022·广东·高二阶段练习）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种 B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上37．（2022·河北石家庄·高二期末）设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB = ）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-38．（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点(A 作圆221:4C x y +=的切线l ，P是圆222:40C x y x +-=上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．切线l 40y -+=B ．圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为1x = C ．点P 到直线l 的距离的最小值为1D ．点O 为坐标原点，则AO OP ⋅的最大值为4 三、填空题39．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）设两圆22110C x y +-=：与圆222240C x y x y +-+=：的公共弦所在的直线方程为_______40．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆O ：224x y +=，C ：22224510x ax y ay a -+-+-=，当两圆相交时，实数a 的取值范围是______.41．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．42．（2022·全国·高二课时练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______．43．（2022·北京房山·高二期末）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为22x y ay ++=0a >，则关于这条曲线的下列说法： ①曲线关于x 轴对称；②当1a =时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）； ③a 越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； ④与圆()222x a y a ++=始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是___________.四、解答题44．（2022·全国·高二单元测试）已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:40l kx y k --=，当k =l 与圆O 恰好相切． (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 上存在距离为2的两点M ，N ，在圆O 上存在一点P ，使得0PM PN ⋅=，求实数k 的取值范围．45．（2022·江苏·高二阶段练习）已知圆22:(1)4C x y -+=. (1)若直线l 经过点(1,3)A -，且与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若圆2221:2280C x y mx y m +--+-=与圆C 相切，求实数m 的值.46．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆()()22:10C x y a a ++=>，定点()(),0,0,A m B n ，其中,m n 为正实数，(1)当9a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立（O 为坐标原点），求实数,m λ的值；(2)当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围47．（2022·江苏·高二课时练习）若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．48．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆()22:24M x y -+=，点()()1,R P t t -∈.(1)若1t =，半径为1的圆N 过点P ，且与圆M 相外切，求圆N 的方程；(2)若过点P 的两条直线被圆M 截得的弦长均为且与y 轴分别交于点S 、T ，34ST =，求t .49．（2022·广东揭阳·高二期末）过点()3,1P 作圆()22:11C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ；(1)求直线AB 的方程；(2)若M 为圆上的一点，求MAB △面积的最大值．【答案详解】1．B【分析】由圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，可得圆心在直线上，求出m ，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆1C 与圆2C 的位置关系．【详解】因为圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，所以圆1C 的圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上，所以12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，所以圆1C 的圆心为(1,1)-，半径为1．因为圆2C 的圆心为(2,3)-，半径为5，所以125C C ==， 故125151C C -<<+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交． 故选：B ． 2．B【分析】由对称求出,a b ，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系．【详解】222:(1)1C x y -+=，2(1,0)C ，半径为1r =，2(1,0)C 关于直线0x y -=的对称点为(0,1)，即(,)1C 01，所以0,1a b ==，圆1C 半径为2R =，12C C =13R r R r -=<<=+，所以两圆相交． 故选：B ． 3．A【分析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可. 【详解】由22222830(1)(4)20x y x y x y +++-=⇒+++=，该圆的圆心为(1,4)--，半径为圆()()22225x y -+-=的圆心为(2,2)= 所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切， 故选：A 4．A【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【详解】由2222430,430x y x x y y +--=+--=解得两圆交点为M ⎝⎭与N ⎝⎭因为1MN k =，所以线段MN 的垂直平分线斜率21k =-；MN 中点P 坐标为（1，1） 所以垂直平分线为y ＝﹣x +2 由240y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得x ＝3，y ＝﹣1，所以圆心O 点坐标为（3，﹣1）所以r 所以所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝13即：x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0 故选：A 5．C【解析】求出过AB 两点的垂直平分线方程，再联立直线40x y --=，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+， 联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C【点睛】本题考查线段垂直平分线方程的求解，点到直线距离公式的应用，属于中档题 6．C【分析】由题意先求动点P 的轨迹1C 的方程,联立1C 和2C 求出M,N 的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得MN MQ ⋅.【详解】设点P(,x y ),由()()A 1,0,B 4,0,2PA PB =可得()()2222214x y x y -+-+化简得动点P 的轨迹1C 的方程为:224x y +=,联立(()22224334x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得:()()M 3,1,N 0,2-,如图所示,有平面几何知识可得:()1cos 2MQ QMN MN ∠=,向量数量积的运算规则可得:()1cos 2MN MQ MN MQ QMN MN MN ⋅=⋅∠=⋅()(()22211021222MN ⎡⎤==+-=⎢⎥⎣⎦. 故选:C.【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题. 7．D【分析】设P 的坐标为(),x y ，由2PA PB =可得P 的轨迹为()2224x y -+=，又因为点P在圆C 上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为(),x y ，因为2PA PB =，()2,0A -，()10B ,，=()2224x y -+=，又因为点P 在圆()()()22:140C x y m m ++-=>上， 所以圆()2224x y -+=与圆C 有公共点，22≤且0m >， 解得949m ≤≤， 故选：D ． 8．A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆1C 的圆心坐标为（0，1），半径为r ，其关于直线y ＝x 的对称圆3C 的方程为()2221x y r -+=，根据题意，圆3C 与圆2C 有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆()()222:211C x y -+-=，所以圆3C 与圆2C 的圆心距为23||C C =以只需11r r -+，解得1r ⎤∈⎦．故B ，C ，D 错误.故选：A. 9．A【分析】根据题意圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，分别求圆心和半径代入计算． 【详解】圆1O ：2216x y +=的圆心()10,0O ，半径14r =，圆2O ：22268240x y mx my m +--+=的圆心()23,4O m m ，半径1r m =根据题意可得，圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，即54m m >+ ∴,11,m故选：A ． 10．C【分析】由圆与圆的对称性可得a ，再利用几何关系，求点P 的轨迹方程.【详解】由圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线1y x =-上，可得2a =，即点C 的坐标为(2,2)-，所以圆P 的圆心的轨迹方程为222(2)(2)x y x ++-=，整理得24480y x y +-+=. 故选：C. 11．D【分析】先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a 的方程，即可解得a 的值.【详解】设圆1C ､圆2C 的半径分别为1r ､2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=，圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-. 由两圆相切得，1212C C r r =+或1212C C r r =-，∵125C C =，∴215r +=或22154r r -=⇒=或26=r 或24r =-(舍去). 因此，5016a -= 解得a =34 或5036a -= 解得14a = 故选:D.【点睛】本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程. 12．D【分析】根据动圆与圆C 相内切、相外切分类讨论进行求解即可.【详解】设动圆圆心为O ，圆C ：()()225316x y +++=的圆心坐标为：(5,3)C --，半径为4.动圆与圆C 相内切时，413OC =-=，所以动圆圆心的轨迹方程()()22539x y +++=； 动圆与圆C 相外切时，415OC =+=，所以动圆圆心的轨迹方程()()225325x y +++=. 故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的相切关系，考查了圆的定义，考查了圆的标准方程，属于基础题. 13．A【分析】判断圆1C 与2C 的位置并求出直线AB 方程，再求圆心C 到直线AB 距离即可计算作答.【详解】圆221:(2)(1)5C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径1r =222:(1)5C x y +-=的圆心2(0,1)C ，半径2r =，12||C C =121212||||||r r C C r r -<<+，即圆1C 与2C 相交，直线AB 方程为：10x y --=，圆()()22:331C x y ++-=的圆心(3,3)C -，半径1r =，点C 到直线AB 距离的距离2d ==，所以圆C 上的动点P 到直线AB 1. 故选：A 14．A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3，所以12C C =由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ，所以PQ ==，所以四边形12PC QC 的面积为1211322C C PQ ⨯⨯==. 故选：A15．A【分析】先求得公共弦所在直线方程，代入224x y +=，运算即得解【详解】由题意，圆221:4C x y +=的圆心11(0,0),2C r =；圆()222222:2600()6C x y ay a x y a a ++-=>⇔++=+，圆心22(0,),C a r -设圆心距为12C C d ，故12C C d a =由于两圆相交，故122112C C r r d r r -<<+2a <，解得12a >两圆方程作差得公共弦所在直线方程为1y a =，代入224x y +=，解得x == 解得1a =（负根舍去），满足12a > 故选：A 16．D【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【详解】由题意，圆()()22:211M x y -+-=的圆心坐标为()2,1M ，半径为11r =圆()()22:211N x y +++=的圆心坐标为()2,1N --，半径为21r =如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线:l y kx =22111k k -=+，解得0k =或43k =， 另两条切线与直线MN 平行且相距为1，又由1:2MN l y x =，设切线1:2l y x b =+1114b=+，解得5b = 结合选项，可得D 不正确. 故选：D 17．C【分析】设直线l 交x 轴于点M ，推导出1C 为2MC 的中点，A 为BM 的中点，利用勾股定理可求得AB .【详解】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ， 则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==，由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出A 为M B 的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 18．A【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系即可作答. 【详解】圆1C ：22(1)(3)4x y ++-=的圆心1(1,3)C -，半径12r =， 圆2C ：22(2)(1)1x y -++=的圆心2(2,1)C -，半径21r =，2212||(12)[3(1)]5C C =--+--，显然1212||C C r r >+，即圆1C 与圆2C 外离，所以两圆的公切线的条数是4. 故选：A19．(1)11m =- (2)2m =【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则OM ON ⊥等价于12120x x y y +=，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于m 的等式，即可求解m 的值 (1)由2222240(1)(2)5x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，知圆C 的圆心(1,2)C由圆D ：22(2)(2)1x y +++=，有圆心()2,2D --，半径为1，依题意有圆C 与圆D 相外切，故||1511CD m ==⇒=-； (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，有112x y =-，222x y =-， 由OM ON ⊥，有()()121212120220x x y y y y y y +=⇒--+=， 整理得12122y y y y +=+………①由2222402602x y x y m y y m x y⎧+--+=⇒-+=⎨=-⎩，3680m ∆=->得：92m <，易知1y ，2y 是方程的根，故有123y y +=，122m y y =代入①，得3222mm =+⇒=，满足要求，故2m =20．（1）两圆内切，10x y ++=；（2）直线l 的方程为0x y +=【分析】（1）由1m =-，分别得到圆1C 和圆2C 的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；（2）先得到两圆公共弦所在直线l 的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当1m =-时，圆1C 的圆心()12,1C ，半径1r =圆2C 的圆心()21,0C ，半径2r圆心距1212C C r r ==-，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：10x y ++=； （2）两圆公共弦所在直线l 的方程为：2230x y m +++=，圆2C 的圆心()21,0C 到直线l 2=， 于是52m +=，3m =-或7(-舍)， 所以直线l 的方程为0x y +=；因为圆2C 半径22r =，弦心距d ==21．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【分析】（1）由公切线条数知两圆外切，从而可得m 值；（2）求出圆2C 圆心坐标和半径，求得圆心到直线的距离，用勾股定理求得圆心到直线的距离从而得参数值．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径2r因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即31=12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线0x n +=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线0x n ++=的距离d ===，解得1n =-或7n =-． 【点睛】结论点睛：本题实质考查圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与公切线条数： 两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，公切线有4条；外切d R r ⇔=+，公切线有3条；相交R r d R r ⇔-<<+，公切线有2条；内切d R r ⇔=-，公切线有1条；内含d R r ⇔<-，无公切线． 22．C【详解】由题意，得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=，则两圆的圆心距523d =+，即两圆外切，所以两圆有3条公切线；故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线. 23．C【分析】两圆外切时，有三条公切线．【详解】圆1C 标准方程为22(2)1x y -+=， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，116a =． 故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线． 24．(1)()()221716x y -+-=(2)()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=．【分析】（1）根据圆与圆的位置关系，求出圆2O 的半径即可写出圆2O 的方程； （2）由两圆的圆心距确定圆心到公共弦的的距离公式，从而求出圆2O 的半径即可求解. （1）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=， 则圆心坐标为()2,3-，半径为1． 圆2O 的圆心()21,7O ，5=． 由圆2O 与圆1O 外切， 则所求圆2O 的半径为4，所以圆2O 的方程()()221716x y -+-=． （2）圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =所以圆1O 到AB 110=.5=，当圆2O 到AB 的距离为14951010-=时，2O 5=， 所以圆2O 的方程为()()221725x y -+-=．当圆2O 到AB 的距离为15151010+=时，圆2O = 所以圆2O 的方程为()()221727x y -+-=．综上所述，圆2O 的方程为()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=． 25．(1)()()224316x y -+-=(2)【分析】(1)利用两点求出直线方程l ，利用圆心在l 上又在3y =求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆1C 的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心1C 到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长． （1）经过点(21)，与点(23)--，的直线l 的方程为123122y x --=----，即1y x =-， 因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，所以圆心在直线3y =上，联立31y y x =⎧⎨=-⎩解得43x y =⎧⎨=⎩可得圆心坐标为(43)，， 又因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，故圆1C 的半径为4， 故圆1C 的方程为()()224316x y -+-=． （2）圆1C 的方程为()()224316x y -+-=，即228690x y x y +--+=，圆222:6350C x y x y +--+=，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2340x y +-=，圆1C 的圆心(43)，到直线2340x y +-=的距离d ==所以两圆的公共弦长为= 26．A【分析】①将点()1,2A 代入圆可判断；②将圆化为标准方程，得出圆心，利用点到直线距离公式可得；③求出两圆圆心和半径，判断位置关系可得；④两圆方程相减即可求出. 【详解】①点()1,2A 代入圆可得2212214210++⨯-⨯+=，所以点A 在圆上，故①错误； ②由2228130+--+=x y x y 可得()()22144x y -+-=，则圆心为()1,4，由点到直线的距离公式可得圆心到线4330x y -+=1=，故②错误；③圆1C 化为()2211x y ++=，圆心为()11,0C -，半径11r =，圆2C 化为()()222416x y -+-=，圆心为()22,4C ，半径24r =，则圆心距12125C C r r ==+，故两圆外切，公切线有3条，故③正确；④两圆方程相减可得260x y -+=，故公共弦所在方程为260x y -+=，故④错误，综上，正确的有1个. 故选：A. 27．D【解析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r =-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立， 因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r . （1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.【分析】根据两圆的位置关系判断.【详解】解：圆1C 的标准方程：22(1)(3)36x y ++-=，圆心()11,3C -，半径16r =， 圆2C 的标准方程：22(2)(1)1x y -++=，圆心()22,1C -，21r =，因为圆心距12125C C r r ===-，所以两圆内切，所以与两圆都相切的直线有1条. 故选：A 29．D【分析】求出P 的轨迹方程，结合点P 为两圆交点且2CM，列出不等式，求出t 的取值范围.【详解】由题意得P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉A ，B 两点）．又因为点P 在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM ，所以121t t -≤≤+，所以13t ≤≤．故选：D ． 30．D【分析】设动圆圆心为(),x y ，两半径相加，内切两半径相减，即可求解【详解】设动圆圆心为(),x y 41=+，∴()()225725x y -++=；41=-，∴()()22579x y -++=．31．BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C =>>B 正确； 对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD 32．ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB =C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD. 33．ACD【分析】对于A ，考查圆心k C 的横纵坐标关系即可判断；对于B ，把3x =，0y =代入圆k C 方程，由关于k 的方程根的情况作出判断；对于C ，判断圆心k C 到直线0x y -±=距离与半径的关系即可； 对于D ，圆k C 与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．【详解】解：根据题意，圆22:()()4(R)k C x k y k k -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2， 依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确； 对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=， 化简得22650k k -+=，364040∆=-=-<，方程无解， 所以不存在圆k C 经过点()3,0，B 错误；对于C ，存在直线y x =±，即0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =， 这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1， 问题转化为圆221x y +=与圆k C 有两个交点，，则有1|3k <<，解可得：k <k <，D 正确．故选：ACD ． 34．ACD【分析】判断出直线l 过定点()1,1D ，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线():11l y k x =-+过点()1,1D ，圆()()22:2216C x y -++=，即224480x y x y +-+-=①， 圆心为()2,2C -，半径为4r =，由于()()22121216-++<，所以D 在圆C 内.CD =所以min AB =AB CD ⊥，所以A 选项正确.若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过,C D 两点，斜率为21321--=--，所以B 选项错误. 设22ACB CAB θ∠=∠=，则π2π,4θθθθ++==，此时三角形ABC 是等腰直角三角形，C 到直线AB 的距离为42==解得1k =或17k =-，所以C 选项正确.对于D 选项，若,,,A B C O 四点共圆，设此圆为圆E ，圆E 的圆心为(),E a b ，,O C 的中点为()1,1-，1OC k =-，所以OC 的垂直平分线为:11,2l y x y x +=-=-，则2b a =-②， 圆E 的方程为()()2222x a y b a b -+-=+， 整理得22220x y ax by +--=③， 直线AB 是圆C 和圆E 的交线，由①-③并整理得()():422480AB a x b y --++=，将()1,1D 代入上式得()()422480a b --++=，40a b +-=④， 由②④解得3,1a b ==， 所以直线AB 即直线l 的斜率为42212463a b --==-+，D 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 35．ACD【分析】根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，由22225(4)13x y x y ⎧+=⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=±⎩，则(1,2),(1,2)A B -，圆1O 的圆心1(0,0)O ，半径1r =2O 的圆心2(4,0)O ，半径2r||4AB =，A 正确；。

二年级上册数学期中复习计划教案第一章：数的认识复习教学目标：1. 复习1-100的数的认识，包括数数、数的读写、数的大小比较。

2. 培养学生的数感，提高他们对数的敏感度和理解能力。

教学内容：1. 数数：让学生通过数数的方式，巩固他们对1-100的认识。

2. 数的读写：复习数的读写规则，提高学生的正确读写能力。

3. 数的大小比较：通过比较练习，让学生掌握数的大小比较方法。

教学活动：1. 数数游戏：学生分组进行数数游戏，看哪组数得最快最准确。

2. 数的读写练习：学生互相练习读写数，老师进行指导和纠正。

3. 数的大小比较练习：学生进行数的大小比较练习，老师进行点评和指导。

作业布置：1. 数数练习：让学生回家后数数家庭成员，看谁数得最快最准确。

2. 数的读写练习：让学生回家后互相练习读写数，家长进行指导和签名。

教学评价：1. 通过数数游戏，观察学生的数数速度和准确性。

2. 通过数的读写练习，观察学生的读写准确性。

3. 通过数的大小比较练习，观察学生的比较能力。

第二章：数的运算复习教学目标：1. 复习1-100的加减法运算，包括加法、减法、加减混合运算。

2. 培养学生的运算能力，提高他们的运算速度和准确性。

教学内容：1. 加法运算：复习1-100的加法运算，让学生掌握加法的运算规则。

2. 减法运算：复习1-100的减法运算，让学生掌握减法的运算规则。

3. 加减混合运算：复习1-100的加减混合运算，让学生掌握加减混合的运算规则。

教学活动：1. 加法运算练习：学生进行1-100的加法运算练习，老师进行指导和纠正。

2. 减法运算练习：学生进行1-100的减法运算练习，老师进行指导和纠正。

3. 加减混合运算练习：学生进行1-100的加减混合运算练习，老师进行指导和纠正。

作业布置：1. 加法运算练习：让学生回家后进行1-100的加法运算练习，家长进行指导和签名。

2. 减法运算练习：让学生回家后进行1-100的减法运算练习，家长进行指导和签名。

人教版小学数学六年级下册期中复习判断题专练1．面积相等的两个圆，周长也一定相等。

( )2．真分数的倒数都大于1。

( )3．甲数除以乙数，等于甲数乘乙数的倒数。

( )4．5千克∶6千克的比值是56千克。

( )5．5千克铁钉用去15，又用去15千克，两次共用去25千克。

( )6．等体积等高的圆柱圆锥，圆锥的底面积是圆柱的3倍。

( ) 7．以今天为界，4月份过去的时间和没过的时间成反比例。

( ) 8．圆柱的侧面展开图一定是长方形或正方形。

( )9．一根长1米的绳子用去70%后，还剩下30%米。

( )10．浓度为30%的盐水，加入100克水、100克盐后浓度不变。

( )11．一袋食盐的包装袋上写着“净重250g±5g”，净重可能达到255g。

( )12．2比﹣2更接近于0。

( )13．在比例里，两内项的积除以两外项的积，商等于1。

( )14．圆柱体积是圆锥体积的3倍，这两者一定是等底等高。

( ) 15．等底等高的圆柱体、正方体、长方体的体积都相等。

( ) 16．一根电线，用去的米数与剩下的米数成反比例。

( )17．圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

( )18．甲数的25%等于乙数，甲数与乙数的比是1∶4。

( ) 19．圆柱的底面半径扩大了3倍，则体积扩大了9倍。

( )20．0既不是正数，也不是负数。

( )21．圆柱的侧面积一定,它的高和底面半径成反比例。

( )22．数对（5，6）和（6，5）表示的位置是一样的。

( )23．小明打开一个三位数的密码锁，最多需要1000次。

( ) 24．0比所有的负数都大，所以0是正数。

_____25．0是最小的正数。

( )26．“减少三成”与“打三折”表示的意义相同。

( )27．存入银行的钱越多，得到的利息就越多．_____．，还剩下20%t。

( )28．1t煤，用去了4529．圆柱的表面积等于底面周长乘以高。

( )30．如果两个圆柱体积相等,它们不一定是等底等高.( )31．圆柱的高与底面直径相等，它的侧面展开图是一个正方形。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！初三数学期中复习圆的知识点一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，的半径为，是的内接三角形，连接，，若和互补，则弦的长为A. B. C. D.2. 图示为的网格图，，，，，均在格点上，点是A. 的外心B. 的外心C. 的内心D. 的内心3. 下列命题中是真命题的有①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4. 已知，一元二次方程的两根分别是和的半径，当和相切时，的长度是A. B. C. 或 D.5. 如图，在扇形中，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上．当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为A. B. C. D.6. 如图，，且，半径，则下列结论不正确的是A. B.C. 的度数为D. 弦7. 如图，在中，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接、交于点，过点作于点，交于点，有下列结论：①；②是的切线；③；④．其中，成立的个数为A. B. C. D.8. 若正方形的边长为，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A. ，B. ，C. ，D. ，9. 如图，在矩形中，，，若以点为圆心，以为半径作，则下列各点中在外的是A. 点B. 点C. 点D. 点10. 如图，的直径，是上半圆（、除外）上任一点，的平分线交于，弦过、的中点、，则的长是A. B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为．12. 如图，的弦相交于点，若，则．13. 如图，半径为的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则图中阴影部分的面积是．14. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为．15. 如图，已知半圆的直径为，半径长为，点在上，，交半圆于点．那么与半圆相切，且与，相切的的半径长为．16. 如图，已知为的直径，点为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点，连接交于点（异于点），使，则．17. 如图，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在的上半圆运动（含，两点），连接，设．有以下结论：①当线段所在的直线与切时，；②当线段与只有一个公共点点时，的范围是；③当是等腰三角形时，；④当线段与有两个公共点、时，若，则．其中正确结论的编号是．18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，（），点在以为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最大值是．19. 如图，已知线段，点从点开始沿边向右运动，以为边向上作正，再以为边向右作正六边形，点恰好落在线段上，当与重合时运动结束，则正六边形的中心的运动路径长为，点与点的最短距离为．20. 如图，相距的两个点，在直线上，它们分别以和的速度在上同时向右平移，当点，分别平移到点，的位置时，半径为的与半径为的相切，则点平移到点的所用时间为．三、解答题（共10小题；共130分）(1)如图，用半径，的钢球测量口小内大的内孔的直径．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为，，则内孔直径的大小为．(2)如图，在矩形内，已知与互相外切，且与边，相切，与边，相切．若，，与的半径分别为，．求的值．(3)如图，某市民广场是半径为米，圆心角为的扇形，广场中两个活动场所是圆心在，上，且与扇形内切的半圆，，其余为花圃．若这两个半圆相外切，试计算当两半圆半径之和为米时活动场地的面积．22. 小虎牵着小狗上街，小狗到小虎脚下的最大距离是．当小虎站在原地时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？试画出平面图．23. 如图所示，正三角形的中心恰好为扇形所对应圆的圆心，且点在扇形内．要使扇形绕点无论怎样转动，与扇形重叠部分的面积总等于面积的，扇形的圆心角的度数应为多少？说明你的理由．24. 如图，以一边为直径作半圆，与另外两边分别交于点、，且点为的中点．(1)证明：为等腰三角形；(2)小丽在观察了本题的条件后说："如果满足一个条件，四边形就会成为菱形"，你认为小丽的说法正确吗?如果正确，请给出的一个条件，并证明四边形为菱形；如果不正确，请说明理由．25. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；(3)某城市有四个小区，，，（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．26. 在平面直角坐标系中的边在轴上，且，以为直径的过点，若的坐标为，，经过、、三点的抛物线为．(1)求点、的坐标及抛物线的解析式．(2)若的平分线所在的直线交轴于点，交圆于点．①求证：；②试求直线对应的一次函数的解析式．(3)过点任作一直线分别交射线，（点除外）于点，，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由27. 已知：内接于，是上一点，，垂足为．(1)如图1，当圆心在边上时，求证：；(2)如图，当圆心在外部时，连接，，与交于点，求证：；(3)在（2）的条件下，如图，连接，为上一点，连接交于点，交于点，连接，为的弦，于点交于点，若，，，，求的长．28. 我国隋代建造的赵州桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．29. 如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半圆于点，的延长线交于点．(1)求证：为半圆的切线；(2)若，，求的长．30. 如图1，和中，，，．(1)求证：；(2)由（1）中的结论可知，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定，我们把这个比值记作，即，如．①理解巩固：，，若是等腰三角形的顶角，则的取值范围是；②学以致用：如图2，圆锥的母线长为，底面直径，一只蚂蚁从点沿着圆锥的侧面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到）．（参考数据：，，）XX学校用心用情服务教育！答案第一部分1 B2 B3 A4 C5 A6 D7 D8 B9 C 10 A第二部分111213141516 或或17 ①②④1819 ；20 或第三部分21 (1)(2) 连接，，并分别过，作，的平行线（如图）．易得：．即．化简得：．解得，不合题意，舍去．(3) 当两圆半径之和为米时，有，．．．即．所以．所以活动场所面积（平方米）．22 由题意可知小狗活动区域是一个以小虎（图中点位置）为圆心，为半径的圆．则此圆的面积为．23 当扇形的圆心角为时，与扇形重叠部分的面积为面积的无论扇形绕点怎样转动，重叠部分的面积都等于面积的．证明：连接，．因为正三角形的中心为，所以．当，扇形的两条半径，分别与，重合时，重合部分的面积为．当，不分别与，重合时，设交于点，交于点．因为，所以．又，，所以．所以，即．24 (1) 连接，因为是半圆直径，所以，又因为，所以，所以为等腰三角形；(2) 当时，四边形就会成为菱形，理由：连接，，因为，所以是等边三角形，是等边三角形，所以也是等边三角形，是等边三角形，所以，所以四边形是菱形．25 (1) 如图所示：(2) 锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可．(3) 结论：的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．研究思路：．手机信号基站应建在四边形的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；．若沿分割，因为，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；．若沿分割，因为，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为，所以的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖，因此的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．26 (1) 连接．在中，，．代入得．．(2) ①平分，为弧的中点．．②为弧的中点，设代入得．．．(3) 过作于，于．令得x=．，，．平分，．，，，．．即．27 (1) ，由垂径定理可知点是的中点，点是的中点，是的中位线，．(2) ，由垂径定理可知，，，，，．(3) 连接延长交于于点，连接，与相交于点，，，，，，，，，，，，由勾股定理可求得，，，XX学校用心用情服务教育！，，，，，，，，是直径，，，，，由勾股定理可求得，连接，设，，，，，，由勾股定理可得，，解得或，当时，，，，，不符合题意，舍去，当时，，由垂径定理可求得，，，，，，由垂径定理可知．28 设桥拱所在圆的圆心为，半径为，连接，，过点作，为垂足，与相交于点．．，，，．在中，由勾股定理，得．即．解这个方程，得．答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为．XX学校用心用情服务教育！29 (1) 连接，如图．为半圆的直径，为的中点，为的中位线．．，．又点在圆上，为半圆的切线．(2) 为半圆的直径，，而．．，．．．XX 学校 用心用情 服务教育！金榜题名 前程似锦 31 ，， ．在中，． 30 (1) ，，， 又， ， ．(2) ① ；；． ② 圆锥的底面直径 ， 圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为 ， 设扇形的圆心角为， 则， 解得，，，蚂蚁爬行的最短路径长为 ．。

《各章节核心资料“圆”80道常考题》【韩春成内部学员资料（30）】知识构架一、概念二、垂径定理三、弧、弦、圆心角的关系四、圆周角1.圆周角2.圆周角与圆心角3.圆周角与直径五、点与圆的位置关系六、过三点的圆七、三角形的外接圆、外心4.三角形外接圆半径5.与外接圆有关的计算与证明八、线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系2.切线的性质3.切线的判定：1.半径+垂直 2.垂直+半径4.切线长定理及三角形内切圆5.切线长定理（三角形内切圆）五、圆与圆的位置关系两圆的公切线、公共弦六、函数与圆典题精炼概念1.【易】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对2.【易】（孝感市高中阶段学校招生考试数学）下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交3.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤4. 【易】（安徽省初中毕业学业考试数学）如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ） A ．当弦PB 最长时，APC △是等腰三角形 B ．当APC △是等腰三角形时，PO AC ⊥ C ．当PO AC ⊥时，30ACP ∠=︒D ．当30ACP ∠=︒，PBC △是直角三角形5. 【易】（北京景山学校第二学期八年级期末数学试卷）如图，如果AB 为O ⊙直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD =∠∠D ．AC AD >6. 【易】判断题：⑴ 直径是弦 （ ） ⑵ 弦是直径 （ ） ⑶ 半圆是弧 （ ） ⑷ 弧是半圆 （ ）⑸ 长度相等的两条弧是等弧 （ ）⑹ 等弧的长度相等 （ ）⑺ 两个劣弧之和等于半圆 （ ）⑻ 半径相等的两个圆是等圆 （ ）⑼ 两个半圆是等弧 （ ）⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （ ）7. 【易】（福建宁德中考）如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是弦，若32ACO ∠=︒，则CO B ∠的度数等于__________．BOCBA垂径定理8. 【易】（湖南省株洲中考数学题）如图AB 是O ⊙的直径，42BAC ∠=︒，点D 是弦AC 的中点，则DOC ∠的度数是________度．9. 【易】（福建厦门中考）如图，O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ．若6A B c m =，则AE =_______cm ．10. 【易】（房山区一模）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，联结OC ，若5OC =，2AE =，则CD 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．811. 【易】（北京55中九年级上月考）已知：如图，O 的直径CD AB E ⊥弦于，若16AB DE ==,求:O 的半径42°ODCBAODE CBAD12. 【易】（北京市第八十中学第一学期初三）已知，如图，在O ⊙中，弦16MN =，半径OA MN ⊥，垂足为点B ，4AB =，求O ⊙半径的长．13. 【易】（东城二模）如图，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为__________cm .14. 【易】(浙江省2013年初中毕业生学业考试绍兴市试卷)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）A.4mB.5mC.6mD.8m15. 【中】（内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷）如图，半圆O 的直径10cm AB =，弦6c m AC =，AD 平分BAC ∠，则AD 的长为（ ）A．B．C．D ．4cm16. 【中】（四川省宜宾市中考数学试卷）如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD =，连接AF 并延长交O ⊙于点E ，连接AD DE 、，AOABDCA(第11题)若=2=3CF AF ，．给出下列结论：①ADF AED △∽△；②2FG =；③tan E =∠；④DEF S =△________．弧、弦、圆心角的关系17. 【易】（厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在O 中，AB AC =，30A ∠=︒，则B ∠=（ ）A ．150︒B ．75︒C ．60︒D ．15︒18. 【易】（通州区初三年级模拟考试）如图，AB 是O 的弦，OD AB ⊥于点D ，C 是AB 优弧上任意一点，则图中所有相等的线段有_____________；所有相等的角有_____________．19. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）如图：AC CB =，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？OD CBA圆周角20. 【易】（山东日照初中学业考试)如图，在ABC △中，以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是( ) A ．BD AC ⊥ B ．22AC AB AE =⋅ C ．ADE △是等腰三角形 D ．2BC AD =21. 【易】（九年级第三次质量预测试题）如图，正三角形ABC 内接于O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A B 、重合，则BPC ∠等于（ ）A ．B ．C ．D ．22. 【易】（通州二模）如图，已知O 的两条弦AC BD ，相交于点E ，60A ∠=︒，则sin BDC∠的值为（ ）A ．12B3C2D2OCBAED30 60 90 4523. 【易】 (台湾第一次中考数学科试题如图)（七），圆上有A B C D 、、、四点，其中80BAD ∠=︒。