图形的角平分线角平分线是一条从角的顶点出发的线段，将角等分为两个相等的部分。
它在数学和几何中有着重要的应用和性质。
本文将详细介绍图形的角平分线及其相关性质。
一、角平分线的定义及性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角等分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线与角的边相交，将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的对边垂直相交。
3. 当一个角的两条边上的点到另一边的距离相等时，这个点就是角的平分线上的点。
二、三角形的角平分线在三角形中，角平分线具有一些特殊性质，如下所示：1. 内角平分线：从一个内角的顶点出发，将这个内角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个内角的角平分线会相交于一个点，被称为内心，内心到三角形的各个顶点的距离相等。
2. 外角平分线：从一个外角的顶点出发，将这个外角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个外角的角平分线被称为三角形的外心，外心到三角形的顶点的距离相等。
3. 中心角平分线：从一个中心角的顶点出发，将这个中心角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个中心角的角平分线相交于一个点，被称为三角形的外接圆心，外接圆心到三角形的各个顶点的距离相等。
三、四边形的角平分线除了三角形，四边形的角平分线也具有一些特殊性质，如下所示：1. 对角线的角平分线：四边形的对角线的交点到四边形的各个顶点的距离相等。
2. 长方形的角平分线：长方形的角平分线是垂直平分线，将角等分为两个相等的直角。
3. 正方形的角平分线：正方形的角平分线具有特殊性质，将角等分为两个相等的直角。
四、其他除了三角形和四边形之外，其他一些图形也存在角平分线，如下所示：1. 平行四边形的角平分线：平行四边形的对角线交点到相对顶点的距离相等。
2. 五边形的角平分线：五边形的每个内角都可以有一个角平分线。
3. 圆的角平分线：圆的半径可以被视为角平分线，将圆内的角等分为两个相等的角。
五、应用领域角平分线在实际生活和学科中有广泛应用，如下所示：1. 建筑设计：在建筑设计中，角平分线可以帮助确定房间的布局和摆放家具的位置。
第19章几何证明§19.5 角的平分线学习目标1.通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。
2.能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
3.通过探索和证明，发展推理意识和能力；进一步提高观察、分析、解决问题的能力。
知识概要1.角平分线的性质定理性质定理：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(说明：初中几何中规定，点到射线的距离是指这个点到这条射线所在的直线的距离)定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。
角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线。
2.角平分线的判定定理逆定理：在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
由性质定理和逆定理可知，角的平分线可以看作是在这个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的集合。
3.两定理使用时的注意事项必须有两个垂直条件，若缺少垂直条件，可考虑添加辅助线；图中有四条垂线段，要明确哪个角被平分，哪两条垂线段的长表示角平分线。
4.(拓展)三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点(三角形的内心)，并且这一点到三边的距离相等。
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.经典题型精析(一)角平分线的性质定理对于证明与角平分线有关的线段(或角)相等问题，可以直接应用性质解决问题，省去证明三角形全等的步骤。
例1.已知：如图，PC PB 、分别是ABC ∆的外角平分线，AB PM ⊥，AC PN ⊥，点N M 、分别为垂足。
求证：(1)PN PM =； (2)PA 平分MAN ∠。
试一试：已知：如图，点D P 、在AOB ∠的平分线上，OB OA =，BD PM ⊥，AD PN ⊥，垂足分别是点N M 、. 求证：(1)ADO BDO ∠=∠； (2)PN PM =。
角的平分线的性质重难点题型①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.②分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC 即为所求.【题型1 角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是 ．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ．12【解题思路】根据角平分线的作法进行解答．【解答过程】解：作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ， （3）作射线OC ，所以OC 就是所求作的∠AOB 的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON ，点B ，C 分别在射线OM ，ON 上，且OB ＝OC ．（1）用直尺和圆规作出∠MON 的角平分线OP ，在射线OP 上取一点A ，分别连接AB 、AC （只需保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下求证：AB ＝AC ．【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可；（2）先判断出∠POB ＝∠POC ，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图所示：射线OP 即为所求；（2）由（1）知，OP 是∠MON 的角平分线，∴∠POB ＝∠POC ，在△ABO 与△ACO 中{OB =OC∠AOB =∠AOC OA =OA，∴△ABO ≌△ACO （SAS ），∴AB ＝AC ．【变式1-2】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC ＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证．【解答过程】解：（1）如图所示，DE即为所求．（2）DE∥AC．理由如下：因为AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因为DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．【变式1-3】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ．②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ．③作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ＝ON ．②分别过M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为∠AOB 的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．②小聪的作法正确吗？请说明理由．③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【解题思路】①根据全等三角形的判定即可求解；②根据HL 可证Rt △OMP ≌Rt △ONP ，再根据全等三角形的性质即可作出判断；③根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．【解答过程】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS ；故答案为SSS ；②小聪的作法正确．理由：∵PM ⊥OM ，PN ⊥ON∴∠OMP ＝∠ONP ＝90°，在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，∵{OP =OP OM =ON， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 平分∠AOB ．③如图所示：步骤：①利用刻度尺在OA 、OB 上分别截取OG ＝OH ，②连接GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q ，③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线．【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（）A．9B．5C．10D．不能确定【解题思路】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．【解答过程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，{AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故选：C．【变式2-1】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．【解答过程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3．故选：C．【变式2-2】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【解题思路】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD ＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．【解答过程】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×OE×AB+12×OD×BC+12×OF×AC=32（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC=32×18＝27（cm2）．故选：B．【变式2-3】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2B．3C．4D．6【解题思路】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答过程】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，{DF=DHDE=DG，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．【解题思路】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．【解答过程】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DF，∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，∴152=12×20×DE+12×18×DF，∴10DE+9DF＝152，∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．【变式3-1】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD 平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．【解题思路】过A 点作AH ⊥BC 于H ，过D 点作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图，利用面积法先求出AH =245，再根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，接着利用面积法得到12AB •DE +12AC •DF =12AB •AC ，则可求出DE =247，然后利用12AH •BD =12AB •DE 可求出BD 的长． 【解答过程】解：过A 点作AH ⊥BC 于H ，过D 点作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图，∵12AH •BC =12AC •AB ， ∴AH =6×810=245， ∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∵12AB •DE +12AC •DF =12AB •AC ， ∴3DE +4DF ＝24，∴DE =247， ∵S △ABD =12AH •BD =12AB •DE ，∴BD =6×247245=307．【变式3-2】（2020春•番禺区校级期中）点P 为△ABC 三内角平分线的交点，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，求：点P 到三边的距离．【解题思路】根据点P 为三角形三个内角平分线的交点，作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，连接P A ，PB ，PC ，可得PD ＝PE ＝PF ，根据三角形的面积公式即可求出点P 到三边的距离．【解答过程】解：∵点P 为三角形三个内角平分线的交点，作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，连接P A ，PB ，PC ，如图，∴PD ＝PE ＝PF ，设PD ＝PE ＝PF ＝R ，由三角形的面积公式得：S △ACB ＝S △APC +S △APB +S △BPC ，∴12×AC ×BC =12×AC ×R +12×BC ×R +12×AB ×R ， 6×8＝6R +8R +10R ，R ＝2，即PD ＝2cm ．答：点P 到三边的距离为2cm ．【变式3-3】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD 是△ABC 的高，则△ABC 的面积S △ABC =12BC •AD ．比例的性质：若b a =d c =⋯=n m ，则b+d+⋯+n a+c+⋯+m =b a =d c =n m ．知识运用：（2）如图2，BE 是△ABC 的角平分线，运用上述知识，求证：AB BC =AE CE ；知识延展：（3）如图3，△ABC 的角平分线BE 平分△ABC 的周长，求证：△ABC 是等腰三角形．【解题思路】2．作EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，BH ⊥AC ，垂足分别是F ，G ，H ，根据角平分线的性质得到EF ＝EG ，根据三角形的面积公式即可得到结论；3．由（1）得到AB BC =AE CE ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答过程】2．证明：作EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，BH ⊥AC ，垂足分别是F ，G ，H ，∵BE 平分∠ABC ，∴EF ＝EG ，∵S △ABE =12AB ⋅EF ，S △BCE =12BC ⋅EG ，∴S △ABES △BCE =AB BC ，∵S △ABE =12AE ⋅BH ，S △BCE =12CE ⋅BH ，∴S △ABE S △BCE =AE CE ， ∴AB BC =AE CE ，3．证明：由（1）知AB BC =AE CE ， ∴AB BC =AE+AB CE+BC ，∵AB +AE ＝BC +CE ，∴AB BC =1，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形．【题型4 角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，点F 在AC 上，BE ＝FC ．求证：BD ＝DF ．【解题思路】因为∠C ＝90°，DE ⊥AB ，所以∠C ＝∠DEB ，又因为AD 平分∠BAC ，所以CD ＝DE ，已知BE ＝FC ，则可根据SAS 判定△CDF ≌△EDB ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答过程】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴DC ＝DE ，在△DCF 和△DEB 中，{DC =DE∠C =∠BED CF =BE，∴△DCF ≌△DEB ，（SAS ），∴BD ＝DF ．【变式4-1】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB ＝90°，OM 平分∠AOB ，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由．【解题思路】先过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，构造全等三角形：Rt △PCE 和Rt △PDF ，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE ＝PF ，只需再证∠EPC ＝∠FPD ，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF ，那么三角形全等就可证．【解答过程】解：PC 与PD 相等．理由如下：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ．∵OM 平分∠AOB ，点P 在OM 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF （角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB ＝90°，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴四边形OEPF 为矩形，∴∠EPC +∠CPF ＝90°，又∵∠CPD ＝90°，∴∠CPF +∠FPD ＝90°，∴∠EPC ＝∠FPD ＝90°﹣∠CPF ．在△PCE 与△PDF 中，∵{∠PEC =∠PFDPE =PF ∠EPC =∠FPD，∴△PCE ≌△PDF （ASA ），∴PC ＝PD ．【变式4-2】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，点F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ．求证：DF ＝EF ．【解题思路】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD ＝PE ，利用“HL ”证明Rt △OPD 和Rt △OPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OD ＝OE ，再利用“边角边”证明△ODF 和△OEF 全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．【解答过程】证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD ＝PE ，在Rt △OPD 和Rt △OPE 中，{OP =OP PD =PE， ∴Rt △OPD ≌Rt △OPE （HL ），∴OD ＝OE ，∵OC 是∠AOB 的平分线，在△ODF和△OEF中，{OD=OE∠DOF=∠EOF OF=OF，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．【变式4-3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．【解题思路】（1）利用基本作图得到AE＝AF，PE＝PF，则可根据“SSS“判断△AEP≌△AFP，从而得到∠EAP＝∠F AP；（2）利用平行线的性质可计算出∠BAC＝66°，然后利用角平分线的定义可计算出∠MAB的度数；（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，则CA＝CM，则可利用“AAS”判断△CAN≌△CMN．【解答过程】（1）证明：连接PE、PF，如图，由作法得AE＝AF，PE＝PF，而AP＝AP，∴△AEP≌△AFP（SSS），∴∠EAP＝∠F AP，即AP平分∠CAB；（2）解：∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵AP平分∠CAB，∴∠MAB =12∠BAC ＝33°；（3）解：∵CD ∥AB ，∴∠BAM ＝∠CMA ，∵∠CAM ＝∠BAM ，∴∠CAM ＝∠CMA ，∴CA ＝CM ，∵CN ⊥AM ，∴∠CNA ＝∠CNM ，在△CAN 和△CMN 中{∠CAN =∠CMN ∠ANC =∠MNC AC =CM∴△CAN ≌△CMN （AAS ）．【题型5 角平分线的判定】【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【解题思路】根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1的交点即为符合条件的点．【解答过程】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．故选：B．【变式5-1】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个；【解答过程】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个，故选：C．【变式5-2】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．【变式5-3】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：A．【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD 平分∠AOB ，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N ．求证：PM ＝PN ．【解题思路】由已知容易求证△OBD ≌△OAD （SAS ），可得∠3＝∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM ＝PN ．【解答过程】证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2．在△OBD 和△OAD 中，{OB =OA ∠1=∠2OD =OD，∴△OBD ≌△OAD （SAS ）．∴∠3＝∠4．∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，∴PM ＝PN ．【变式6-1】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：P A 平分∠MAN ．【解题思路】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解答过程】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴P A平分∠MAN．【变式6-2】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠F AE，根据补角的定义计算，得到答案；（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答过程】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E 作EG ⊥AD 于G ，EH ⊥BC 于H ，∵∠F AE ＝∠DAE ＝40°，EF ⊥BF ，EG ⊥AD ，∴EF ＝EG ，∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥BF ，EH ⊥BC ，∴EF ＝EH ，∴EG ＝EH ，∵EG ⊥AD ，EH ⊥BC ，∴DE 平分∠ADC ；（3）解：∵S △ACD ＝15，∴12×AD ×EG +12×CD ×EH ＝15，即12×4×EG +12×8×EG ＝15， 解得，EG ＝EH =52，∴EF ＝EH =52，∴△ABE 的面积=12×AB ×EF =12×7×52=354．【变式6-3】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，PD ⊥AC 于点D ，PH ⊥BA 于点H ．（1）若PH ＝8cm ，求点P 到直线BC 的距离；（2）求证：点P 在∠HAC 的平分线上．【解题思路】（1）作PQ ⊥BE 于Q ，如图，利用角平分线的性质得到PH ＝PQ ＝8cm ；（2）根据角平分线的性质得到PD ＝PQ ，PH ＝PQ ，则PD ＝PH ，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．【解答过程】（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．。
１. 三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗?2. 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB ∠的两边OA 和OB 上分别取OM ON MC OA NC OB =⊥⊥，，，MC 与NC 交于C 点,连接OC ,则MOC NOC ∠=∠.为什么？CN M OBA1.问题:受上题的启发，用尺规作图怎样去画角平分线？在平分角的仪器中,OM ON MC NC ==，,连接OC ，则OC 平分MON ∠NMCO作已知角的平分线的方法：已知：AOB ∠. 求作：AOB ∠的平分线． 作法：知识回顾轴对称——角平分线问题探究想一想：1．在上面作法的第二步中,去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？2.第二步中所作的两弧交点一定在AOB ∠的内部吗? 总结：1．去掉“大于12MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在AOB ∠的内部,也可能在AOB ∠的外部,而我们要找的是AOB ∠内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB ∠的平分线了．３．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．2.折纸探索角平分线性质：1．将一个准备好的AOB ∠沿着O ∠折叠,使得角的两边OA OC 、重合,点A 落在OB 边'A 2.在折痕(即平分线）上任意找一点D ,3．过点D 折OB 边的垂线，得到新的折痕DE ，其中,点E 是折痕与OB 的交点，即垂足。
4．将纸打开,新的折痕与OA 边交点为FA'BOADEFE DDAOB A'A'BOAOBA线段DE DF 、有什么关系?下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知OD 平分AOB ∠，DE OB DF OA ⊥⊥， 求证：DE DF =FEDOBA问题１：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？角平分线的性质:ﻩ问题2:能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表：图 形已知事项由已知事项推出的事项 PEDOBAﻩOP 是AOB ∠的角平分线,PD OA ⊥于D ,PE OB ⊥于E问题3：那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：图 形已知事项由已知事项推出的事项PEDOBAﻩPD OA ⊥于D ,PE OB ⊥于E ,ﻩPD PE =新知学习4321GF E D C BA由此我们又可以得到角平分线的另一个性质:问题3:这两个性质有什么联系吗?总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,•我们可以直接利用性质解决问题.例 求证:ABC △的三条内角角平分线必交于三角形内部一点．CPFEDBA思考:一条内角角平分线与另外两个外角角平分线的角平分线是否交于一点？1. 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到___＿__＿_＿___相等．2. AOB ∠的平分线上一点M ,M 到OA 的距离为1.5cm ,则M 到OB 的距离为__＿＿_＿_＿＿.3. 已知：ABC △中，90B ∠=︒, A C ∠∠、的平分线交于点O ,AOC ∠的度数为 .4. 点O 是ABC △内一点，且点Ｏ到三边的距离相等,∠A =6０°，则∠BO Ｃ的度数为_______＿__＿．5. 如图，CD 为RT ABC △斜边上的高，BAC ∠的平分线分别交CD CB 、于点E F FG AB ⊥、，,垂足为G ，则____CF FG CE CF ，基础演练6. 如图,ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分ﻩCAB ∠交BC 于D ,DE AB ⊥于E ,且6cm AB =,则DEB △的周长为（ ）Ａ.4㎝ B.6㎝ Ｃ.10㎝ D.不能确定CBAED7. 如图,1=2PD OA PE OB ∠∠⊥⊥，，，垂足分别D E 、，下列结论错误的是（ ） A.PD PE = B.OD OE = C.DPO EPO ∠=∠ D ．PD OD =21OP BAE D8. 如图,直线l １,ｌ2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A.1处 Ｂ.2处 C ．3处 D.4处l3l2l19. 如图,已知AB AC AE AF BE ==，，与CF 交于点D ,则对于下列结论:①ABE ACF ≌△△；②BDF CDE ≌△△；③D 在BAC ∠的平分线上．其中正确的是( )A ．① B.② Ｃ．①和② D.①②③D EFCBA10. 如图，已知△ABC 中,AB =A Ｃ，D 是BC 的中点，求证：D 到A Ｂ、AC 的距离相等.11. 如图,C D 、是AOB ∠平分线上的点，CE OA ⊥于E ，CF OB ⊥于F . 求证：CDE CDF ∠=∠．OF EDCBA12. 已知:如图,在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是ACB ∠的平分线．求证：BC AC AD =+．DCB A13. 如图，BC BA >,BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证:180A C ∠+∠=︒．CDAB14. 如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥,且180B D ∠+∠=︒,求证:AE AD BE =+．E DCBA15. 已知:ABC △中,AD 是BAC ∠的角平分线，E F 、分别是AB AC 、上的点,且 180EDF BAF ∠+∠=︒求证:DE DF =FE DCBA16. 如图,ABC △中,AD 平分BAC ∠,DG BC ⊥且平分BC ,DE AB ⊥于E ,DF AC ⊥于F .(1）说明BE CF =的理由;（2）如果AB a =,AC b =，求AE BE 、的长.GFE DC BA17. 如图,已知ABC △中,90BAC ︒∠=，AB AC =,BE 平分ABC ∠,CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.EDCBA18. 如图,ABC △中，100ABC ∠=︒，ACB ∠的平分线交AB 于E ，在AC 上取一点D ,使20CBD ∠=︒，连结DE .求CED ∠的度数.EDCBA19. 如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点,DM 平分ADC ∠求证:AM 平分DAB ∠20. 在ABC ∆中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求证：AB AC PB PC ->-.--CD B PA21. (北京市西城区20０6年抽样测试八年级（上）附加题,黄冈市数学竞赛试题)如图所示,在ABC∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点,试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由.DPCA22. 如图所示.已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点,E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠.求证：AE BC CE =+．M EDCBA23. 如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点,且AF 平分DAE ∠,求证:CD EC AE +=FE DCB A24. 如图所示，在∆ABC 中,∠=︒B 60，BAC BCA ∠∠、的角平分线AD CE 、相交于O 。
