角平分线用法

1 11.3角的平分线的性质（二）

一、教材分析

1、教材的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，它为后面的几何证明提供了一种新的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第三课时主要探究角的平分线的性质并在此基础上进行简单应用。本节内容不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学会在实际问题中建立数学模型。

2、重难点分析

本节的重点是角的平分线的性质及应用，难点是对两条性质的准确理解。

二、目标分析

知识与技能：掌握角的平分线的性质，并会运用它们解决实际问题。

过程与分法：通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。

三、过程分析

创设情境，引入课题

问题：一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路景短？这两条有什么关系？画出来看一看。

设计意图：让学生动手画出最短的路线，可以复习点到直线的距离这一，为探究角的平分线的性质作铺势，同时也让学生感受到教学与实际生活是紧密

2 联系的，从而激发学生学习兴趣，体现从学有价值的数学。

动手操作，探究新知

（活动一）折一折

问题：1、你能否通过折叠的方式将∠AOB平分呢？

2、你能否进行第二次折叠，折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）呢？

3、将折叠的图形展开，观察两个直角三角形是否全等？并观察两次折叠形成的三条折痕？你能得出什么结论？

4、这一结论，你能用数学知识来证明吗？

已知：OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F。

求证：PE＝PF

证明：（学生独立完成）

性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

练习一 判断：

角平分线与垂直平分线知识点

一、角平分线

1. 角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义）

∵AD是∠CAB的角平分线

∴∠CAD=∠BAD=21∠CAB

2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质）

∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB

∴DC=DB

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定）

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）

1、角平分线作垂线

角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”

若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。 2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”

若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”

若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边

可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”

6、夹角模型

双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A． 内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．

双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：

∠D=90°-12∠B．

在∠AOB中，画角平分线：

1NM

OA

BP第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例

22图4321ACPBDA

BC图1

A

BDC（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP平分∠BAC。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点

3ABDCP

PONM

BA P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。

模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型实例

4

5图2DPABCDC1图PBA

ABCD

ABCD（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

热搜精练1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。

2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。

6

7EDCBA

PONM

BA

EDCBA

21EDCBA模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。 结论：△AOB是等腰三角形。

模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 1.如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。

角平分线和垂直平分线

[知识目标]

1、 角平分线

（1） 性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

（2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。

角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合

2、垂直平分线：

（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

（2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。

3、轴对称的特征：

（1）全等：形状大小完全相同

（2）对称点的连线被对称轴垂直平分。

[典型例题]

 角平分线和垂直平分线的尺规作图：

1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。

baAB

2、 如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相等，并且使P在∠ACB的平分线上。

ACB

3、 如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角形PMN的周长最小。

4、 如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到一点M，使得△EFM的周长最小？

CABMPNABCEF 角平分线的性质与判定

1、如图所示，已知AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，求证：PE=PD

2、如图所示,△ABC中,∠C=900,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D点,部能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长,请说明理由.

4、如图, ∠C=∠B=900,M为BC的中点,AM平分∠DAB,(1)求证:DM平分∠ADC(2)求∠DMA的度数

5、如图,已知,P为∠AOB内一点,过点P的两条直线PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是D、C，交OA、OB于M、N。

（1） 若点P在∠AOB的平分线上，求证：MD=NC

（2） 若MD=NC，求证：点P在∠AOB的平分线上