角平分线作图

CBA垂直平分线和角平分线作图专训（分类整理）

专题 作图应用专训

1、为了方便淄博居民的生活,计划在三个小区ABC之间建一个购物广场,试问购物广场应建于何处才能使它到三个小区的距离相等?

变式：如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

）

2、在平坦的草原上，一辆越野吉普车需从A地到B地，但中途需到河边l加一次水，为了使行程最短，请在图

1中画出加水地点 .

变式：（最短路径问题）下图小河边有两个村庄，要在河边l某处建一自来水厂向A村与B村供水，󰀀若要使厂部到A、B的距离相等，则应建在哪儿？

拓展提升：某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由.

3、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短

角平分线与垂直平分线知识点

一、角平分线

1. 角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义）

∵AD是∠CAB的角平分线

∴∠CAD=∠BAD=21∠CAB

2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质）

∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB

∴DC=DB

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定）

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）

1、角平分线作垂线

角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”

若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。 2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”

若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”

若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边

可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”

6、夹角模型

双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A． 内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．

双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：

∠D=90°-12∠B．

在∠AOB中，画角平分线：

角平分线和垂直平分线

[知识目标]

1、 角平分线

（1） 性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

（2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。

角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合

2、垂直平分线：

（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

（2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。

3、轴对称的特征：

（1）全等：形状大小完全相同

（2）对称点的连线被对称轴垂直平分。

[典型例题]

 角平分线和垂直平分线的尺规作图：

1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。

baAB

2、 如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相等，并且使P在∠ACB的平分线上。

ACB

3、 如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角形PMN的周长最小。

4、 如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到一点M，使得△EFM的周长最小？

CABMPNABCEF 角平分线的性质与判定

1、如图所示，已知AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，求证：PE=PD

2、如图所示,△ABC中,∠C=900,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D点,部能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长,请说明理由.

4、如图, ∠C=∠B=900,M为BC的中点,AM平分∠DAB,(1)求证:DM平分∠ADC(2)求∠DMA的度数

5、如图,已知,P为∠AOB内一点,过点P的两条直线PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是D、C，交OA、OB于M、N。

（1） 若点P在∠AOB的平分线上，求证：MD=NC

（2） 若MD=NC，求证：点P在∠AOB的平分线上

做一做：用尺规作角的平分线。

已知：∠AOB

求作：射线OC，使∠AOC =∠BOC

作法：1、在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD = OE

2、分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。

3、作射线OC

OC就是∠AOB的平分线。

用尺规作三角形的高

具体步骤是

以顶点为圆心画个弧 与底边相交于两点

做两点间线段的中点

连接中点与顶点就是高

线段的中点还不会做？

以相同半径（大于线段一半） 分别以两个端点为圆心画弧

两弧相交于两点

连接两点 与线段交点就是中点

做中线，就是要做一个边的中点。

请先确定你要做中线的边（假设是AB）

然后用A为圆心~任意长度为半径（需要大于AB的一半）做圆。

然后用B为圆心~相同长度为半径做圆交上圆于C D。

连结CD~交AB于M

那么M就是AB中点~（CD是AB中垂线）

所以连结CM~就是中线~