角平分线

自学导引：

第一课时探究拓展：

第一课时：

(1)如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点0，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为_______cm。

（2）)已知(如下右图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．

第二课时：

1．已知：如下左图，在△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

2. 如下中图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有： ( )

A．一处 B两处 C．三处 D四处

3.与相交的两条直线距离相等的点在： ( )

A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C．一条射线上 D.两条互相垂直的射线上

4.如上右图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有： ( )

A．1个 B．2个 C 3个 D．4个

巩固应用

第一课时：

一、选择题

1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )

A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm

三角形中的角平分线和中线性质

一、角平分线性质

1. 定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质

1. 定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质

1. 定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用

1. 判断三角形的形状：

（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2. 求解三角形的问题：

（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。 三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：

1. 习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2. 习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

角平分线的定义

◎ 角平分线的定义的定义

角的平分线的定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

◎ 角平分线的定义的知识扩展

1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

◎ 角平分线的定义的特性

角平分线的性质：

角平分线上的点，到角两边的距离相等

定理：

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

逆定理：

到角两边的距离相等的点在角平分线上。

◎ 角平分线的定义的教学目标

1、理解角平分线的意义。

2、熟练掌握角平分线的三种表示方法。

3、初步培养学生运用类比的方法研究问题的意识。

◎ 角平分线的定义的考试要求

能力要求：理解

课时要求：40

考试频率：常考

分值比重：3

- 1 - 角平分线定理 口诀

角平分线定理（也称为角平分线定理或简称为角平分线）是初中阶段的一项重要的几何定理。该定理说明了一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点平分这个角，且同时过另一个角的对边，那么这条线段将会把这个三角形分成两个面积相等的部分。

为了方便记忆，我们可以使用以下简单的口诀来帮助我们记住这个重要的定理：

“角平分线，分两等面。分出的角，相等相似。”

这个口诀帮助我们记住了角平分线定理的三个重要要点。

首先，角平分线将会把三角形分成两个面积相等的部分。这意味着如果我们知道了三角形中一个角的平分线，我们就可以将这个角平分成两个面积相等的部分。

其次，角平分线将会分出两个相等的角。这意味着如果我们知道了三角形中一个角的平分线，我们就可以得到这个角的两个相等的角度。

最后，这个口诀提示我们角平分线定理的一个重要衍生结果：由角平分线所分出的两个三角形是相似的。这也就是说，这两个三角形的对应角度是相等的，而且它们的边长比也是相等的。

总体而言，这个口诀为我们记住角平分线定理提供了一个简单而有效的方法。通过使用这个口诀，我们可以更好地理解这个重要的几何定理，并且在考试或者学习中更轻松地应用它。 最后，记住这个口诀，你就掌握了角平分线定理。 - 2 -