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结构力学 第六章

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结构力学课件 第6章 图乘法

结构力学课件 第6章 图乘法

三、注意事项： 注意事项：
1.若 Aω与 1.若 取负值
yc
在杆件的同侧，取正值；反之， 在杆件的同侧，取正值；反之，
2.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移； ）曲杆或 只能用积分法求位移； （ ） b）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非 ） 分段为常数或单位弯矩图、 分段为常数或单位弯矩图 直线时， 直线时，应分段图乘再叠加 3.yc应取自直线图中。若两图均为直线图形，也可 应取自直线图中。若两图均为直线图形， 图的面积乘其形心所对应的M 用 M 图的面积乘其形心所对应的 P 图的竖标来计 算。
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l×h ∆ CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→ ← ) 12 EI
ω yc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 ∆ Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
F
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
M=1
M P图
∆ CV
300 × 6 2 = × ×6× 2 2 3 1 2 − × 6 × 45 × 3 = 6660 3
6
M A图
Fp=1
M C图
为常数， 例 5. 已知 EI 为常数，求 ∆Cy 。 q
A
l 2
C
B
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
1
B A
二、图乘法原理
MM P 图乘法求位移的一般 ds 表达式为 ∫ EI 1 ∆=∑ Aω yC 1 = ∫ MM P ds EI EI

结构力学第06章

结构力学第06章

荷载作用；
温度变化和材料胀缩； 支座沉降和制造误差。
AB
绝对位移
截面A角位移 A A点线位移 A 包含： 水平线位移 AH 竖向线位移 AV
相对位移
CD两点的水平相对线位移：
( CD ) H C D
AB两截面的相对转角：
AB A B
M M dx A y A y
i k 1 1 2
2
A3 y3
二.几种常见图形的面积和形心位置
【例6.5】求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。
解:
先求实际荷载作用下结构的内力图，再求虚设单位荷 载作用下结构的内力图。 q FP 1
L
A
B
1 2 ql 2
A
B
L
实际荷载作用下的内力图
轴力 FNP 、F N —— 以拉力为正； 剪力 FQP 、F Q —— 使微段顺时针转动者为正；
弯矩 M P 、 —— 只规定乘积 M P M 的正负号。当M M 与 M P 使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。
二.各类结构的位移计算公式
Байду номын сангаас和刚架 在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影 响较小，因此位移公式可简化为
(a x l )
虚设单位荷载作用下的内力为 M 1
相对转角
(0 x l )

MMP ds EI

a
0
FP b xdx EIl

FP a x FP ab 1 dx a EI l 2 EI
l
刚架的位移
【例6.3】求图示刚架C端的角位移。已知抗弯刚度为EI。
1

结构力学第六章 力法

结构力学第六章 力法
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此

结构力学PPT 第6章

结构力学PPT 第6章

（1）计算支座反力
X1 0
Y1 50kN()
Y9 20kN()
（2）计算指定杆件内力 沿截面Ⅰ—Ⅰ将a、b、c三杆截断，取截面右边部分 为隔离体，如图所示。
20kN F xa X F a NN a 8 F Yya a F NNb
b a
F yb Y b F X xb
b
10
FN Nc
c
例题1
B D E
A
XA=120kN YA=45kN 4m
C
F
G
15kN 4m
15kN 4m
15kN
a.求支座反力 YA=45kN
XA=120kN
（对于这种悬臂型结构可不必先求反力）
3m XB=120kN
XB=120kN
B
D
E
3m
NGE XGE NGF
YGE
G
A C F G
4m
15kN 4m
15kN 4m
例题1
3.041 3 0.5
某屋架的计算简图如图所示，试用截 面法计算a、b、c三杆的内力。
Ⅰ 20kN 20kN a 8 3m c Ⅰ 7 6× 3m=18m 9 FY 9y 1.5m
9
10kN 2
20kN 4
6
b 1 3 5
F1x F1y Y 1
解：该屋架可采用结点法求解，但必须从端部开始，共 需求解6个结点后才能求出a、b、c三杆的内力。在这种 情况下，直接采用截面法将大大提高计算效率。
6.1.2 桁架按几何组成分类
按几何组成分为： 1）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰接三 角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固 定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。

第六章结构力学

第六章结构力学

四、 计算方法
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、实功和虚功
结构力学
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实
外力虚功
W FKK FR1c1 FR2c2 FR3c3 1• K FRc
变形虚功
Wi F Ndu Md Fs ds
s
s
s
由虚功原理有：W= Wi
ΔKP
等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的 外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状 态的变形上做的内力虚功之和。
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例：当A支座向上移动一
A'
个已知位移c1，求点B产生的 竖向位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件
F yA b a
A
F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，
得虚功方程
Δ1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1
F
yA
c1
(
b) a
§6-1 概述
结构力学
三、 本章位移计算的假定
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)

结构力学第六章

结构力学第六章

第八节
结构力学课件
第六章 影响线及其应用
章目录
第一节
第二节 第三节
第1节
6.1.2 影响线
移动荷载和影响线的概念
• 影响线的概念：当单位力在结构上移动 时,表示结构上某一量值随单位力位置变 化规律的函数图形称为该量值的影响线。
第四节
第五节 第六节 第七节 第八节
结构力学课件
第六章 影响线及其应用
第四节
第五节 第六节 第七节 第八节
出在这组集中力作用下量值 S 的大小.
• 由影响线的定义可知， Fi 引起的量值 S 等于 Fi yi ,根据叠加原理,求 得在此组荷载作用下S 的值为:
第五节 第六节 第七节 第八节
结构力学课件
第六章 影响线及其应用
章目录
第一节
第二节 第三节
第5节
6.5.1 集中荷载作用的情况
利用影响线求量值
• 设在结构的已知位置上作用一组集中力 F1 , F2 , …，Fn ,该结构某量值 S 的影响线在各荷载作用点的竖标分别为 y1 , y2 ,…， yn ,如图所示.现要求
第一节
第二节 第三节
第2节
• 下面以简支梁为例来 介绍用静力法作影响 线。
用静力法作静定结构的影响线
6.2.1 单跨静定梁的影响线
第四节
第五节 第六节 第七节 第八节
结构力学课件
第六章 影响线及其应用
章目录
第一节
第二节 第三节
第2节
6.2.1
• 下面以简支梁为例来 介绍用静力法作影响 线。
用静力法作静定结构的影响线
第六章
影响线及其应用
本章目录 6.1 移动荷载和影响线的概念 6.2 用静力法作静定结构影响线 6.3 用机动法作静定结构影响线 6.4 超静定结构的影响线 6.5 利用影响线求量值 6.6 最不利荷载位置的确定 6.7 简支梁的绝对最大弯矩 6.8 内力包络图

结构力学(龙驭球)第6章_力法

结构力学(龙驭球)第6章_力法
5
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件

结构力学第6章

结构力学第6章
2
6EI/l 2 A
12 EI/l
C
M2
而AB杆两端的相对侧移为BB3，因此
M BA 6 2 EI
2l
2
ΔB 6 EI l2烟 Nhomakorabea大学F 1P
(c) F 2P 4i 6i
F
k
第6章 位移法
k
(3) 求 k21=k12，k22。由M2图易得
返回
MP
自测
k12 k 21
(f)
烟台大学
帮助 开篇
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第6章 位移法
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
返回
自测
(4) 解方程求Δj；
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。
M M11 M 2 2 M n n M p
注意：一切计算 都是在基本结构上进 行!
帮助 开篇
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三、几个值得注意的问题
烟台大学
第6章 位移法
返回
自测
①由于刚架是斜的，BC杆不仅发生平动，还有一 定的转动，因此BC杆两端有相对线位移。 ②计算M2时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此 建立平衡方程时两者都要考虑。 ③求FN时，对C点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因 为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。
帮助 开篇
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qa 2 M KC （左拉） 24 1 q 2 1 q 2 qa2 M CK a a 12 2 82 48
（右拉）
烟台大学
第6章 位移法
结构M图如图f所示。
返回
自测
(f)
qa 2
24
5qa 2

结构力学第06章

结构力学第06章

本课要点
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 超静定次数确定 力法的基本思想 力法的典型方程、柔度系数与自由项 对称性应用 超静定拱的计算 超静定结构位移计算 超静定结构内力校核
基本要求
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 掌握力法的基本原理及解题思路，重点在正确地选择力法基本体系，明确力法方程的物理意义。 熟练掌握在荷载作用下超静定梁、刚架、排架、桁架及组合结构内力的求解方法。 掌握用力法求解在支座发生位移时梁和刚架内力的方法。 能利用对称性进行力法的简化计算。 了解在温度变化、材料收缩及制造有误差时超静寇内力的解法。 了解超静定拱(主要为两铰拱)的内力计算方法。 能计算超静定结构的位移及进行变形条件的校核
力法基本方程中的系数 ij 和自由项△1P、△2P 都是基本结构的位移。由于基本结构是静定结构，所以计 算这些系数和自由项时并无困难。由基本方程求出多余未知力 X1、X2 以后，利用平衡条件便可求出原 结构的支座反力和内力。此外，也可利用叠加原理求内力，
M M1 X 1 M 2 X 2 M P FQ FQ1 X 1 FQ 2 X 2 FQP FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FNP
1 1P 11 0
这里， △1 是基本体系在荷载与未知力 X1 共同作用下沿 X1 方向的总位移(即图 6-6a 中 B 点的竖向位 移)。
图 6-6a 图 6-6b 图 6-6c △1P 是基本结构在荷载单独作用下沿 X1 方向的位移(图 6-6b)。 △11 是基本结构在未知力 X1 单独作用下沿 X1 方向的位移(图 6-6c)。
11 12 1P 0 21 22 2 P 0 11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 22 X 2 2 P 0 注意到位移影响系数互等定理 12 21 要计算的系数有三项 要计算的自由项有两项

结构力学(第五版)第六章 结构位移计算

结构力学(第五版)第六章 结构位移计算

相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。

结构力学第六章力法

结构力学第六章力法

弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C

结构力学第六章

结构力学第六章
第二部分
超静定结构
Analysis of Statically Indeterminate Structures
概述
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力。
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”三大关系。
3
X1 1
M 1 m
6
6
1P
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4)、 解方程
135X 1 144 X 2 520 0.......... ....2
207 X 1 135X 2 702 0.......... .....1
X 1 2.67k N X 2 1.11k N
5)、内力
M M1 X1 M 2 X 2 M P
4.33 1.33 5.66 3.56
M kN m
2 2.67
1.11
3.33 3.33
3.33
1.9
1.11
1.9
2.67
FQ k N
FN k N
2. 排架
X2
X1
X2
X1
比较法: 与相近的静定结构 相比, 比静定结构 多几个约束即为几 次超静定结构。
多余约束的位置不固定
去掉几个约束后成 为静定结构,则为 几次超静定 X1 X2 X3 X3 去掉一个链杆或 切断一个链杆相 当于去掉一个约 束
X1
X2
X1
X2
X3
X1
X2

结构力学——第6章结构位移计算讲解

结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4

结构力学-第六章平面应力问题的有限单元法

结构力学-第六章平面应力问题的有限单元法

刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板 很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考 虑的三个应变分量x 、y 、xy及和两个位移分量u， v，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是 坐标x和y的函数，不随坐标z的变化而变化。 在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表 板中任一点的应力、应变和位移；
(c)
式(a)、(b)、(c)是应变分量与位移分量之间的关 系式，现归纳为： u x 称为平面应 x 力问题的几 v (6-5) y 何方程式， y 又称柯西方 v u 程式 xy 刘敬喜，2007 x y
6.1平面应力问题及其基本方程式
首先以通过中心C，并平行于z轴的直线为矩轴， 列力矩平衡方程Mc=0。
xy dx dx xy x dx dy 1 2 xydy 1 2 yy dy dy yx y dy dx 1 2 yx dx 1 2 0
线段PA的转角为：
v v dx v v x dx x
线段PB的转角为：
u u y dy u u dy y
刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
剪应变xy：
xy
v u x y
u u dx u u x x dx x
(a)
线段PB的正应变：
v v y dy v v y dy y
(b)
刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
剪应变xy：
xy
x y (6-1) xy

结构力学第六章力法

结构力学第六章力法

例 求图示刚架M图。
q
B
C
E1I1 l
E2I2 l A
E1I1 k E2 I 2
原结构
q
X1
B
C
φA=0
X2
ΔφB=0
A 基本体系
1. 力法方程
11X1 12 X2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P A 0
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
1 ql2 14CΒιβλιοθήκη B 5 ql256
B
C
1 ql2 8
A
1 ql2 28
a) M图
A
b) M图
3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当
于简支梁，M图见图b)。
结论：
在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆 抗弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度 EI的绝对值无关。若荷载不变，只要 k 不变， 结构内力也不变。
（变形协调条件）。
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
二、ii q力法↓M↓E↓↓I的i↓2↓↓d↓典s 型0,方ik程
MiMk ↓↓E↓↓I↓↓↓↓
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 P 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0

结构力学(龙驭球)第6章_力法

结构力学(龙驭球)第6章_力法

C
B 8 kN m
X3
B X1 X2
A
A
精品课件
24
例6-1：试作图示结构的内力图。I1:I2=2:1
1 1 M E 1M I1d s2 8 E 8 I m 131 4 E 4 I m 235 7 E 6 I m 13
1PM E 1M IPds5120 E kIN 1.m 2 精品课件 25
80 X1 = 9 kN
➢土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。
“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。
“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数 学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化 模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力”， 方程形式通常是微分方程。
矩明显增大。
精品课梁件 最大弯矩可进一步减小。
37
§6-5 力法解对称结构 内容回顾
n次超静定结构的力法典型方程：
11X1 12X2 21X1 22X2
n1X1 n2X2
1nXn 1P 0
2nXn
2P
0
nnXn nP 0
精品课件
38
§6-5 力法解对称结构
1. 结构的对称性： 例1：
1. 结构的几何形式和支承情况对某轴对称 2. 杆件的截面和材料性质也对此轴对称（EI等）
➢如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑
位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案
称为混合法。

结构力学第六章位移法

结构力学第六章位移法
由形常数作M i (D i 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图) ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的反力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；

结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习

结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习

第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。

重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。

位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。

通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。

(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。

(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。

对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。

(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。

(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。

根据不同结构选择合理的计算方法。

二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。

(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。

(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。

(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。

教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。

此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。

其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。

针对图6．1 a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。

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∑ ∫ ∑ 对于梁和刚架
∫
MM EI
P
ds
∆kP =
=
1 EI
∫
MM Pdx
y
=
1 EI
∫
xtgα
⋅
M
P dx
MM Pds = ω yC
EI
EI
面积 ω
图乘法的
应用条件
MP
C MP图 （1）等截面
A dx B
直 杆，EI
=
tgα EI
∫
xM
P dx
=
tgα EI
⋅ω
⋅
xc
O
= ωyc
EI
α
M
xA
xC
y3
∫ MPM dx = ω 1y1 + ω 2 y2 + ω 3y3
EI
E1I1 E2I2 E3I3
∑ = ω j yj EjI j
例
1.
设
EI
为常数，求
∆ Cy
。
C点左移或右移， 求C点线位移时
解：作荷载内力图和单位荷载内力图如何图乘？
q A
1 ql 2
MP 图 8
P=1 C A
l
M图 4
q
A B
Pl/2
− 1 × l × 3l × Pl 2EI 2 4
= Pl3 ( ↓ )
16EI
C EI B
l
l/2
EI P
Pl/4 A
l
2EI
D
MP图
Pl
l
1 M图
例3.
已知
EI
为常数，求
∆ Cy
。
解：作荷载和单位荷载的内力图
∆ Cy
=
1 EI
[( 1 × 3
ql 2 8
×
l ) × 3l 28
y3
=
l 4
l xx
M
1 1
x
Q
N
∆ Ay
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
N N P ds EA
+∑
∫
kQ QPds GA
=
5ql 4 8EI
(1 +
8I 5Al 2
+
4kEI 5GAl 2
)
E /G的 取值范围 是什么？
讨论：
设杆件截面为 b×h 的矩形截面杆，有：
A = bh , I = bh 3 , k = 6
20KN
20KN
1A0KN-676.10E0
-44.7 -22.420 60
(2) (1)
C
20KN
(20) (10)
G
10KN
(20)
(4)
(4) B
2m
F
D
H
40KN
NP (KN)
A(10-4m2)
4 x 2m
40KN
-1.12
-1.112 0
0 1
1
N (KN) 1
0.5
0.5
§6-5 图乘法
三、计算假定：
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3) 理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功——作用在结构上的外力所作的虚功。
y2
=
l 3
y1
=
Hale Waihona Puke 3l 8ca ω1
ω2
b
c
y1 y2
d
∫ MPMdx =ω1y1 +ω2 y2
y1
=
2c + 3
d
y2
=
c
+d 2
(3) 梯-梯异侧组合
A
aω 1
C
y1
c
B
ω 2
b
D
y2
d
y1
=
−
2c + 3
d
y2
=
2d − 3
c
∫ MPMdx =ω1y1 +ω 2 y2
(4) 阶梯形截面杆
ω1
ω2
ω3
I1
I2
I3
y1
y2
为常数
yC M 图 （2）两个M
B
x
图中有一 个是直线
（3）yc 取
自直线图中
常见图形的面积和形心位置
6
注意事项：
∑∫ ∑ ∆kP =
MMPds = ωyC
EI
EI
1. 图乘法的应用条件：
（1）等截面直杆，EI为常数；
（2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 ω 与 yc 在杆件的同侧，ωyc取正值；
q R3
R1
P
ds
c1
R2
c3
c2
ds
力状态
位移状态
T = ∑ P∆ + ∑ Rc
1
虚应变能（内力虚功、变形虚功）：
力状态的内力在位移状态的变形上所作
的虚功。
M
M+dM
dϕ
N
ds
N+dN
Q Q+dQ
ds du
ds
ds dv
变形虚功：
dW = Ndu + Mdϕ + Qdv
∫dW = ∫ Ndu+ ∫ Mdϕ + ∫Qdv
广义位移
广义力
线位移 角位移 相对线位移 相对角位移
集中力 集中力偶 一对集中力 一对集中力偶
M=1 A
ϕA =?
P=1 d
C
d
A P=1 d
B
ϕ BC
=?
B
A
∆ AB
=
?
1
d1
C
1 d1 A
d1 d2
B
1
1
d2
d2
ϕ = ? AB− AC
4
A
P=1
∆ AB
=?
B
P=1
A m=1
ϕ A
=
?
m=1 C m=1
1. 虚位移原理(Principle of Virtual Displacements)
用于虚设的位移状态与实际的力状态之间 的虚功原理——求未知力 。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。
A
(a)
P B
C
a
b
解：构造相应的虚位移状态
外力虚功总和为零，即： (b)
P
T
k P1 du dϕ dv
B t1 K
C
t2 ∆K ds
c3
K′ P2
k
A
c2
R1
c1 位移状态 (实际状态)
根据：虚功原理
PK = 1
NMQ
B
K
C
ds
R3
A
力状态 R2 (虚拟状态)
例. 求图示结构中 K 点沿 k-k 方向的位移
∆
。
K
解：构造虚力状态如图
外力虚功: T = PK ⋅ ∆ K + R1c1 + R2c2 + R3c3
（2）刚体系的虚功原理？ 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外 力所做虚功之和为零。
（3）变形体的虚功原理？
变形体处于平衡的必要和充分条件是：对于任何 可能的虚位移，外力虚功等于变形虚功。即
T= W
外力虚功 T = ∑ P∆ + ∑ Rc
变形虚功 W = ∑ ∫ Ndu + ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ Qdv
l
l
l
以上结论与材料物理性质无关。因此，虚功原理
既适用于弹性体系，也适用于非弹性体系；既适
用于线性体系，也适用于非线性体系。
注意：
（1）两种状态属同一体系； （2）两种状态可以完全独立无关； （3）两种状态均为可能状态。
即虚设位移应满足变形协调条件； 虚设力状态应满足平衡条件。
2
虚功原理的两种应用
∫ ∫ ∆By =
l MPM ds 0 EI
=
π 2
MPM
Rdϑ
0 EI
= π PR3 (↓) 4EI
同理有：
∆ Bx
=
−
PR 3 2 EI
(→)
例 3：求对称桁架D点的竖向位移∆ DY 。
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中 各杆的内力
∑ E=210GPa ∆ DY =
N N Pl = 8mm ( ↓ ) EA
一般公式的普遍性表现在：
1. 变形因素：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：静定和超静定结构； 3. 材料性质：弹性、非弹性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和 相对角位移。
单位荷载法—利用虚功原理求结构位移时，在所 求位移地点沿所求位移方向加一个 单位荷载作为虚拟力状态，以使荷 载虚功恰好等于所求位移。这种计 算位移的方法称为单位荷载法。
C
B
l
l
2
2
∆
B
Cy
=∆EC2yI
[=(
21× 3EI
2l32××81l q×l812 )q×l(285××4l4l )]
= 5 ql 4 ( ↓ )
384 EI
7
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位移∆ Ay