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南京航空航天大学博士学位论文结构动力学中的特征值反问题姓名：***申请学位级别：博士专业：一般力学与力学基础指导教师：***20060601南京航空航天大学博士学位论文摘要本文研究了结构动力学中的特征值反问题，包括弹簧-质点系统振动反问题、离散梁振动反问题、阻尼振动系统的振动反问题以及振动杆结构探伤问题。
全文主要包括以下内容：首先，研究了弹簧-质点系统的振动反问题。
对二自由度简单连接度弹簧-质点系统分别通过加刚性约束、弹性约束和质量摄动得到修改系统，研究了利用原系统和修改系统的两组特征值（频率）和修改量识别系统的物理参数问题，给出了解的表达式。
对于多自由度简单连接度弹簧-质点系统，研究了增容修改系统的频率反问题。
提出了由多自由度简单连接弹簧-质点系统的四个和五个特征对（频率和模态）识别系统物理参数的振动反问题，分别研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和算例。
提出并研究了一类混合连接弹簧-质点系统的振动反问题，提出了利用三个特征对（频率和模态）以及部分系统物理参数识别系统其它物理参数的振动反问题，研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和模型算例。
其次，研究了有限差分离散梁振动反问题，利用有限差分法得到振动梁的弹簧-质点-刚杆模型，质量矩阵为对角矩阵而刚度矩阵为对称五对角矩阵。
提出了基于三个特征对的频率模态反问题，研究了解的存在性，给出了解存在惟一的充要条件和解的表达式、数值算法和算例。
再次，研究了阻尼振动系统中的二次特征值反问题。
研究了阻尼弹簧-质点系统的物理参数识别，包括：由全部频率信息模态识别阻尼振动系统的结构物理参数；由部分频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由两对频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由频率模态信息识别非比例阻尼振动系统的结构物理参数。
对每种提法分别研究了问题解的存在性，给出了数值算法，并对每种问题给出了阻尼振动模型算例。
最后，研究了振动杆结构探伤的特征值反问题。
机械振动中的特征值问题机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。
显然这是一种特殊形式的机械运动。
人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。
例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。
早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。
至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。
欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。
1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。
1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。
最早研究的连续系统是弦线。
1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。
1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。
1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅里叶（Fourier）提出函数的级数展开理论才完成。
一个振动系统本质上是一个动力系统，这是由于其变量如所受到的激励（输入）和相应（输出）都是随时间变化的。
一个振动系统的响应一般来说是依赖于初始条件和外部激励的。
大多数实际振动系统都十分复杂，因而在进行数学分析时把所有的细节都考虑进来是不可能的。
为了预测在指定输入下振动系统的行为，通常只是考虑那些最重要的特性。
也会经常遇到这样的情况，即对一个复杂的物理系统，即使采用一个比较简单的模型也能够大体了解其行为。
对一个振动系统进行分析通常包括以下步骤。
步骤1，建立数学模型。
建立数学模型的目的是揭示系统的全部重要特性，从而得到描述系统动力学行为的控制方程。
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法§6.1 概述工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。
这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。
结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。
经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。
这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。
我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。
矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。
§6.2 孤立特征值的摄动法对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：}]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ=（6－1）][],[00M K 分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第i 个特征值2)(0)(0)(i i ωλ=，)(0i ω为第i 阶固有频率，}{)(0i u 为第i 阶特征向量（固有模态）。
结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。
即][][][10M M M ε+= （6－2） ][][][10K K K ε+= （6－3）ε称为小参数。
先看）（i 0λ是单根的情形。
上标)(i 代表第i 个根，下标0)(代表参数未变化的原结构。
从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数ε展开为：+++=+++=)(22)(1)(0)()(22)(1)(0)(}{}{}{}{i i i i i i i i u u u u λεελλλεε （6－4）代入方程（6－1），略去)(2εO 以上的项，比较ε同次幂的系数，得到：}]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ= （6－5）}]{[}]{[}]{[}]{[}]{[)(00)(1)(01)(0)(10)(0)(01)(10i i i i i i i i u M u M u M u K u K λλλ++=+（6－6） }]{[}]{[}]{[}]{[}]{[}]{[}]{[)(00)(2)(01)(1)(10)(1)(11)(0)(20)(0)(11)(20i i i i i i i i i i i i u M u M u M u M u M u K u K λλλλλ++++=+（6－7））（i 1λ、）（i 2λ、}{)(1i u 、}{)(2i u 分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。
因此，只要解出了原系统的特征值和特征向量，并知道了质量阵和刚度阵的改变量][1M 、][1K ，就可以求出特征值的摄动解。
【一阶摄动】由展开定理，∑==+++=ns s s i u c u c u c u c u 1)(0)1()3(0)1(3)2(0)1(2)1(0)1(1)(1}{}{}{}{}{ （6－8）代入(6－6)式}]{[}]{[}{][}]{[}{][)(00)(1)(01)(01)(0)1(0)(0011)(0)1(0i i i i ns s s i ins s s u M u M u c M u K u c K λλλ++=+⋅∑∑== （6－9）方程两边乘以Ts u }{)(0并利用正交性公式： isi Ts s is i T s u M u u K u δλδ==}]{[}{}]{[}{)(00)(0)(0)(00)(0 （6－10）得到：is i i T s i i s i T s s s u M u c u K u c δλλλλ)(1)(01)(0)(0)(0)1(01)(0)(0)1(}]{[}{}]{[}{++=+ （6－11）即：}]{[}{}]{[}{)()(01)(0)(001)(0)(1)(0)(0)1(i T s i i T s is i s i s u M u u K u c λδλλλ-=+- （6－12）当i s =时，)(0)(0s i λλ=，1=is δ}]{[}{}]{[}{)(01)(0)(0)(01)(0)(1i T i i i T i i u M u u K u λλ-= （6－13）当i s ≠时，0=is δ})]{[}{}]{[}({1)(01)(0)(0)(01)(0)(0)(0)1(i T s i i T s s i s u M u u K u c λλλ--=（6－14） 根据振型的正交性：1}]{[}{)()(=i T i u M u （6－15）将（6－4）式代入1}){}{}({])[]([}){}{}({)(22)(1)(010)(22)(1)(0=++⋅+++i i i T i i i u u u M M u u u εεεεε （6－16）展开并比较ε的同次幂项，有：1}]{[}{)(00)(0=i T i u M u（6－17）0}]{[}{}]{[}{}]{[}{)(01)(0)(00)(1)(10)(0=++i T i i T i i T i u M u u M u u M u （6－18） 0}]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}{)(01)(1)(11)(0)(00)(2)(10)(1)(20)(0=++++i T i i Ti i T i i T i i T i u M u u M u u M u u M u u M u （6－19）用][}{0)(0M u Ti 前乘（6－8）式，根据正交性，有：}]{[}{)(10)(0)1(i T i i u M u c = （6－20）转置得到：}]{[}{)(00)(1)1(i T i i u M u c = （6－21）代入（6－18）式，得到：}]{[}{21)(01)(0)1(i T i i u M u c -= （6－22）所以，代入（6－8）式得：}}){]{[}({21}}){]{[}{}]{[}({1}{)(0)(01)(0)(0)(01)(0)(0)(01)(01)(0)(0)(1i i T i s i T s i i T s nis s s i i u u M u u u M u u K u u ---=∑≠=λλλ （6－23）故一阶摄动解为：}}){]{[}({21}}){]{[}{}]{[}({1}{}]{[}{}]{[}{)(0)(01)(0)(0)(01)(0)(0)(01)(01)(0)(0)(1)(01)(0)(0)(01)(0)(1i i T i s i T s i i T s nis s s i i i T i i i T i i u u M u u u M u u K u u u M u u K u ---=-=∑≠=λλλλλ（6－24） 【二阶摄动】同样根据展开定理：∑==ns s s i u c u 1)(0)2()(2}{}{ （6－25） 代入（6－7）式，得：}]{[}]{[}]{[}]{[}{][}]{[}{][)(00)(2)(01)(1)(10)(1)(11)(0)(01)2(0)(0)(11)(01)2(0i i i i i i i i s ns s i i s ns su M u M u M u M u c M u K u c K λλλλλ++++=+∑∑==（6－26）上式两端左乘T s u }{)(0，并利用正交性，得到：}]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}{)()(01)(0)(1)(10)(0)(1)(11)(0)(0)(11)(0)(2)(0)(0)2(i T s i i T s i i T s i i T s is i s i s u M u u M u u M u u K u c λλλδλλλ---=+- （6－27）当i s =时，)(0)(0s i λλ=，1=is δ，特征值的二阶摄动解为：}]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}{)(01)(0)(1)(10)(0)(1)(11)(0)(0)(11)(0)(2i T i i i T i i i T i i i T i i u M u u M u u M u u K u λλλλ---= （6－28）当i s ≠时，0=is δ})]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}({1)(01)(0)(1)(10)(0)(1)(11)(0)(0)(11)(0)(0)(0)2(i T s i i T s i i Ts i i T s s i s u M u u M u u M u u K u c λλλλλ----=（6－29）当s i =时，)2(i c 的确定如下：以][}{0)(0M u Ti 乘∑==ns s s i u c u 1)(0)2()(2}{}{，根据正交性得到：}]{[}{)(20)(0)2(i T i i u M u c = （6－30）转置得：}]{[}{)(00)(2)2(i T i i u M u c = （6－31）代入到（6－18）式，得到：})]{[}{}]{[}{}]{[}({21)(01)(1)(11)(0)(10)(1)(i T i i T i i T i s i u M u u M u u M u c ++-=（6－32）故特征向量的二阶摄动解为：}}){]{[}{}]{[}{}]{[}({21}{})]{[}{}]{[}{}]{[}{}]{[}({1}{)(0)(01)(1)(11)(0)(10)(1)(0)(01)(0)(1)(10)(0)(1)(11)(0)(0)(11)(01)(0)(0)(2i i T i i T i i T i s i T s i i Ts i i T s i i T s nis s s i i u u M u u M u u M u u u M u u M u u M u u K u u ++-⋅----=∑≠=λλλλλ （6－33）§6.3 退化系统特征值的摄动当系统有重频时，称为退化系统。
退化系统特征值的摄动有两个特点。
即：参数变化后，原来的一组特征值由重特征值变为非重特征值；参数变化后，特征向量可能产生跳跃。
即)1,,1,(}{}{}{)(0)()(-++=-=m i i i j u u u j j j ∆（m 为重频数） （6－34）不再是一个小量。
下面以一个简单的例子来说明。
图示的两自由度系统，其运动方程为：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡0043)(43)(434002132323232121x x k k k k k k k k k x x m m （6－35）记：2ωλ=，则（i ） 当k k k k ===321m k2321==λλ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001][φ （6－36）（ii ） 当k k k k k k ==+=3211,δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+=1001][23223211φλδλm kmk k （6－37） （iii ） 当k k k k k k ==+=2133,δ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==+=21232321][23223231φλδλm kmk k （6－38） 由此看到，对退化系统，当参数有小的变化时，有时特征向量会发生突变的跳跃现象。
