高等数学导数的概念教学ppt

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h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导左导数 f( x0 ) 和右导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,

高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章导数与微分
第二节导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章导数与微分
第二节导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章导数与微分
第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

高等数学导数的计算教学ppt

第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
1 1 1 1 (arcsin x )' 2 2 (sin y )' cos y 1 sin y 1 x
有
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导.
16
第二章导数与微分
第二节导数的计算
设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.且
dy dy du . dx du dx
sin x x 1 cos x
15
第二章导数与微分
第二节导数的计算
二.复合函数的导数
定理2. 2. 3 设函数 y = f (u) 与u = (x)可以复合成函数y=f [(x)] ，如果u = (x)在x0可导，而 y = f (u) 在对应的u0= (x0)可导，则函数y=f [(x)]在可导，且
( C ) 0
1 ( x ) x
( sin x ) cos x
(cos x ) sin x
( arcsin x )
( a x ) a x ln a
( arccos x )
( e ) e
x
x
( arctan x ) ( arc cot x )
9
第二章导数与微分
第二节导数的计算

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的最小变化率，即函数在这一点处的切线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论推导出来的，通过这些法则，可以方便地求出复杂函数的导数。

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动目录上页下页返回结束
定理2. 函数是
在点可导的充分必要条件且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数在点处右 (左) 导数存在
在点必右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动目录上页下页返回结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节目录上页下页返回结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动目录上页下页返回结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动目录上页下页返回结束

导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件

3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率．在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M，设割线的倾斜角为，割线PQ的斜率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速度．

3.1 导数的概念课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt

(2)若极限点处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数在
定理1 函数
在点处可导的充分必要条件是
在点处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在处的连续.
由于
，所以函数
在处不可导．
例2 讨论函数
解:因为连续.
又因为处不可导．
在处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点处可导，则
故函数
在点处一定连续．
随堂练习
1、设解:
，判断在点函数
处的连续性与可导性. 在处连续.
函数在处不可导.
2、若函数
处处可导，求的值.
解: 函数在处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数在点
或，即
函数
在点处的导数就是导函数在点处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三．
例6 求函数解：
的导数．
例7 求函数解：
,所以函数
在处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线线．这也说明函数原点外，处处可导.因连续.
在原点O处具有垂直于轴的切

导数的概念PPT课件

△ｔ＜0时
2＋△ｔ
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t
内平均速度v, 可以得到如下表格.
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作

导数的概念PPT教学课件

可以选择多种存款形式
一部分定期三个月，另一部分定期二年。
2、存款储蓄的形式
活期储蓄
（1）按存款期限
（是一种最大限度地吸收社会闲散资金的有效形式。）
定期储蓄
（比较固定，积累性强，适合人民群众节余款和积少成多的大宗用款的存储需要。）
活期储蓄与定期储蓄的比较
类型
存期
凭证
支取方式
利率
这说明了？
4、公民个人存款储蓄的重大作用
作用1：为国家积累资金，支援现代化建设
储蓄积累社会资金，支持生产；生产发展又促进了公民生活的改善，又增加了储蓄存款的储源。所以，这种良性循环既有利于公民个人，又有利于国家积累资金，支援现代化建设。（利国利民）
中国人民银行关于银行存款利率的调整对居民的储蓄行为及流通中货币量带来什么影响？
4、若极限
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 ) 不存在，则称
函数在点x0处不可导。
物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
kPQ
lim y x0 x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
v lim s lim st t st
t0 t
t 0
t
一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim y lim f x0 x f x0
x0 x x0
x

高数导数概念ppt课件

f (t ) t
s
3
曲线
在 M 点处的切线
y
y f ( x)
N
T
割线 M N 的极限位置 M T (当时)
切线 MT 的斜率
C M O x0x来自x lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
T
f ( x0 )
C M O x0
x
x
7
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在, 就说函数在点 x0 不可导.
Δy lim , 也称若Δ x 0 Δ x
解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
x 1
h
1 x
lim
ln e
即
1 (ln x) x
12
在 x = 0 不可导. f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h f ( x0 h) f ( x0 h) . 例6. 设存在, 求极限 lim h 0 2h
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x

高中数学导数的概念课件

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求解微分方程、积分方程等，通过求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边缘检测、图像滤波等，通过求图像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤波器设计、信号降噪等，通过求信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿和莱布尼茨等数学家提出，用于描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值，从而确定函数的最值。

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h0
h
注意:
f (x0 ) f (x) xx0 .
8
定义2.1.2 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
0
,
求
f (0).
解：
f(0)
lim
x 0
f ( x) f (0)
sin x
lim
1
x0
x x 0
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) x0
lim
x 0
x x
1
f(0) f(0)
f (0) 1
13
二.导数的几何意义
y
f '( x0 )表示曲线y=f(x)上点
y f (x)
h0
h
h0 h
7
对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
或 dy dx
或
x x0
df (x) dx
xx0 , 或f (x0 )
5
lim y 如果
存在，则称y=f (x)在x0处可导.
x0 x
如果
lim y 不存在，则称y=f (x)在x0处不可导.
x0 x
如果
y，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大.
f (t) f (t0 ) t t0
当 t t0时, 取极限得瞬时速度
v|t t0
lim t t0
f
(t) f (t0) t t0
3
x=f(t),
例2.切线问题
y
如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导左导数 f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
9
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
12
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
例7
已知
f
(
x)
sin x,
x,
x
x 0
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为法线方程为
y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0. 2
y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0. 42
15
三.函数的可导性与连续性的关系
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
x x0
x x0
4
定义2.1.1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
解： (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
11
例6 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解： ( x n ) lim ( x h)n x n
lim
x0 x
6
即
y
x x0
y lim x x0
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
例3
f ( x) 10x, 求 f (1).
解： f (1) lim 10( x h) 10x lim 10h 10
证设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
16
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
x
x
y lim yБайду номын сангаас.
x0 x
例4 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解： f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
10
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
第二章导数与微分
第一节导数的概念第二节导数的计算第三节函数的微分
第一节导数的概念
本节主要内容: 一.导数的定义二.导数的几何意义三.函数的可导性与连续性的关系
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题
一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程
t 求时刻的瞬时速度。 0 平均速度 v x t
P0( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
T
M
o
x0
x
切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x ( x0 )
x0 ).
14
例9 求等边双曲线
y 1 在点 (1 ,2)处的切线的 x2
, 斜率并写出在该点处的切线
方程和法线方程
.
解: 由导数的几何意义,得切线斜率为

高等数学导数的概念教学ppt

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