高中数学大题 每日一题规范练 (6)

高三数学答题强化训练三角问题【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan Btan A＋1＝2c a.(1)求B ；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值.解 (1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin C sin A，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin Csin A，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A . 因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.(立体几何问题【题目2】 如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)∵BC ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ， ∴AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥AC .解析几何问题【题目3】已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，解上述一元二次方程后易得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m ). ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立， ∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.实际应用问题【题目4】 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图)，其中直四棱柱的高AA 1＝10 m ，两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1是高为2 m ，面积为10 m 2的等腰梯形，且∠ADC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元.(1)试将储水窖的造价y 表示为θ的函数；(2)该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元(取3＝1.73)?解 (1)过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，则AE ＝2，DE ＝2tan θ，AD ＝2sin θ，令AB ＝x ，从而CD ＝x ＋4tan θ，故12×2×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋4tan θ＝10， 解得x ＝5－2tan θ，CD ＝5＋2tan θ，所以y ＝(20＋2AD ×10)×400＋(10AB )×500＋(10CD )×100＝8 000＋8 000×2sin θ＋5 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2tan θ＋1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2tan θ＝38 000＋8 000⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ－1tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)因为y ＝38 000＋8 000×2－cos θsin θ，所以y ′＝8 000sin 2θ－（2－cos θ）cos θsin 2θ＝8 000（1－2cos θ）sin 2θ.令y ′＝0，则θ＝π3， 当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，y ′＜0，此时函数y 单调递减；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，y ′＞0，此时函数y 单调递增.所以当θ＝π3时，y min ＝38 000＋8 0003＝51 840.所以当∠ADC ＝60°时，造价最低，最低造价为51 840元.数列问题【题目5】已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *). (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝12，求S n .解(1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2， 解得a 2＝21＋λ.令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 解得a 3＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）.由a 22＝a 1a 3得⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12，即S n ＋1＝n ＋32a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝n ＋22a n －1，②由①－②得a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1， 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2是各项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2).代入①得S n ＝n ＋32a n －1＝n 2＋5n 6.函数与导数问题【题目6】已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R. (1)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； (2)设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；(3)设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围.解 (1)设切点为(t ，e t )，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切， 所以e t ＝1，且e t ＝t －b ，解得b ＝－1. (2)T (x )＝e x ＋a (x －b )，T ′(x )＝e x ＋a . 当a ≥0时，T ′(x )＞0恒成立.当a ＜0时，由T ′(x )＞0得x ＞ln(－a ).所以，当a ≥0时，函数T (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＜0时，函数T (x )的单调增区间为(ln(－a )，＋∞).(3)h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎨⎧（x －b ）e x，x ≥b ，－（x －b ）e x，x ＜b .当x ＞b 时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，＋∞)上为增函数；当x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ，因为b －1＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(b －1，b )上是减函数；因为x ＜b －1时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数. ① 当b ≤0时，h (x )在(0，1)上为增函数， 所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b . 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜1，所以b ≤0； ②当0＜b ＜ee ＋1时，因为b ＜x ＜1时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，1)上是增函数，因为0＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(0，b )上是减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0. 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜e －1e .因为0＜b ＜e e ＋1，所以0＜b ＜e －1e；② 当ee ＋1≤b ＜1时，同理可得h (x )在(0，b )上是减函数，在(b ，1)上是增函数，所以h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0. 因为b ＜1，所以h (x )max －h (x )min ＞1不成立. 综上所述，b 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e －1e . 解答题综合练【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A ).(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值.解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C . 由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ， 化简得sin 2A ＝sin 2C . ∵A ，C ∈(0，π)，且c ＝3a ， ∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π， ∴A ＋C ＝π2，∴B ＝π2，在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6. (2)∵m ·n ＝3b cos B ， ∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ， 从而sin(A ＋C )＝3sin 2B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，且sin B ≠0，从而sin B ＝13，∵cos A ＝45>0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ，∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角，cos B ＝223. ∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.【题目2】如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AO⊂平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D－BCG＝V G－BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12.【题目3】若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x26＋y23＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点) (1)解由题意可知A1(－6，0)，A2(6，0)，椭圆C1的离心率e＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1. (2)证明设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1， 从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204， 即y ＝±y 02.因为P ，H 在x 轴的同侧， 所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02).所以kA 1P ·kA 2H ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 22（x 20－6）＝－1， 从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心.【题目4】 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB ︵的中点，渠宽AB 为2米.(1)当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解 (1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米， 则半圆的方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤1，y ≤0).因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM 中，DM ＝OM 2－OD 2＝1－0.62＝0.8米.所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0是圆弧BC 上的一点，过点P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为x cos θ＋y sin θ＝1. 令y ＝0，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，0，令y ＝－1，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ，－1. 设直角梯形OCFE 的面积为S .则S ＝（CF ＋OE ）·OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋1cos θ×12＝2＋sin θ2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0. S ′＝cos θ·2cos θ－（2＋sin θ）（－2sin θ）4cos 2θ＝1＋2sin θ2cos 2θ，令S ′＝0，解得θ＝－π6.当－π2＜θ＜－π6时，S ′＜0，函数单调递减；当－π6＜θ＜0时，S ′＞0，函数单调递增.所以θ＝－π6时，面积S 取得最小值，最小值为32，此时CF ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝33，即当渠底宽为233米时，所挖的土最少. 【题目5】已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和. (1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式.解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S n 3＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎨⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝（2a 1＋d ）3.因为数列{a n }的各项均为正整数， 所以d ≥0.可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2. 当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1. (2)(ⅰ)记A n ＝{1，2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1，2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数. 而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1，2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1，2，…，S n )，共2S n ＋1个数.所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1. 又S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n －1－12＝3n －1.而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.【题目6】已知函数f (x )＝a ln x －1x(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x ) ≤2x －3恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2. 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1. (2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时， f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).当a ＜0时，由f ′(x )＞0， 得0＜x ＜－1a，所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ； 由f ′(x )＜0，得x ＞－1a，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(3)设g (x )＝a ln x －1x－2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2.令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0， 当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x ) ≤h (1)＝a －1≤0， 所以g ′(x ) ≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数， 所以g (x ) ≤g (1)＝0， 即f (x ) ≤2x －3恒成立.当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0， 得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0，当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0， 即g ′(x )＞0，g (x )在[1，x 1)上是增函数； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0， 即g ′(x )＜0，g(x)在(x，＋∞)上是减函数.1所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意. 综上，a的取值范围为(－∞，1].。

【最新】2019年高三数学专题复习每日一题规范练文[题目1] 已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，则a∥b，其中θ∈.(1)求tan的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．2016年____月____日(周一) [题目2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD和DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2016年____月____日(周二) [题目3] 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙 AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？2016年____月____日(周三) [题目4] 已知椭圆C：＋＝1的上顶点为A，直线l：y＝kx＋m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.(1)若m＝0时，求k1·k2的值；(2)若k1·k2＝－1时，证明：直线l：y＝kx＋m过定点．2016年____月____日(周四) [题目5] 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝0，a2＝1，b1＝1，b2＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn＋Sn ＋1＝n2，2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，其中n为正整数．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使＞1＋bm＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由．2016年____月____日(周五) [题目6] 设函数f(x)＝x2ln x－ax2＋b在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝－x＋b.(1)求实数a及x0的值；(2)求证：对任意实数b∈，函数f(x)有且仅有两个零点．2016年____月____日(周六) [题目7] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝b.(1)求证：B≤；(2)当·＝－2，b＝2时，求△ABC的面积．2016年____月____日(周一) [题目8] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB 的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)求证：平面B1DC⊥平面B1DE.2016年____月____日(周二) [题目9] 椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原。

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课时规范练6 函数的单调性与最值基础巩固组1。

(2018北京石景山一模，2）下列函数中既是奇函数,又在区间(0，+∞）上递减的函数为(）A。

y= B.y=—x3C。

x D.y=x+2。

已知函数f（x）=x2-2ax+a在区间(—∞，1）内有最小值,则函数g（x)=在区间(1,+∞）内一定（）A。

有最小值B。

有最大值C.是减函数D。

是增函数3。

设偶函数f(x）满足f(x）=x3-8(x≥0)，则｛x|f(x—2)>0｝=（）A。

｛x｜x<-2或x>4} B。

｛x｜x〈0或x〉4}C。

{x｜x<0或x>6｝ D.｛x｜x<-2或x>2｝4.已知函数f（x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是(）A.(1,+∞) B。

［4,8）C。

（4,8) D。

（1，8)5。

已知函数f（x）=，则该函数的递增区间为（)A.(-∞，1］B。

［3，+∞）C。

（-∞，-1］ D.[1，+∞）6.函数f（x）=x｜x｜，若存在x∈［1,+∞），使得f（x-2k）—k〈0,则k的取值范围是（)A。

（2，+∞) B.（1,+∞)C。

D.7。

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0，+∞）内递增。

若实数a 满足f(log2a）+f（lo a）≤2f（1),则a的取值范围是（)A.[1，2] B。

高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（ ） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（ ）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（ ）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（ ）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（ ）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（ ）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（ ）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（ ）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（ ）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（ ）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（ ） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（ ）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是 。

高三数学每日练习第6套一、单选题1．若3+4 i z =，则z =（ ）A B ．5C ．7D ．252．已知集合{}2|0A x x x =-≤，1|422x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．1|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C ．1|02x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．1|12x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 3．已知曲线2()1x af x x +=+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．32C ．34-D ．1-4．点P 从（﹣1，0）出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．（12-B ．（12-）C ．（12-， D ．（12） 5．已知向量(1,1)a =-，向量(1,2)b =-，若a b μ+与a b -垂直，则μ=（ ） A ．1-B ．1C ．85D ．58-6．在等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S .若公差12d =，且100145S =，则24698100...a a a a a +++++的值为（ ）A ．70B ．75C ．80D ．857．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD 构成几何体A BCD -，则在几何体A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．平面ADC ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ABD ⊥平面ABC8．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=）A B ．2CD ．2二、填空题9．已知圆 的参数方程为（ 为参数）,则圆 的面积为__________;圆心 到直线 的距离为__________.三、解答题10．在 中,角 所对的边分别为 ,且 . (1)求角 的大小(2)若 ,求 的值. 11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求2211PMPN+的取值范围．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n S a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .答案一、单选题1．若3+4 i z =，则z =（ ）A ．B ．5C ．7D ．25【答案】B因为3+4i z =，所以5z ===，故选B.2．已知集合{}2|0A x x x =-≤，1|422x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．1|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C ．1|02x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．1|12x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 【答案】B{}{}2001A x x x x x =-≤=≤≤，11142222x B x x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭102A B x x ⎧⎫∴⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭本题正确选项：B3．已知曲线2()1x af x x +=+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．32C ．34-D ．1-【答案】D因为2()1x af x x +=+, 222()(1)x x af x x '+-∴=+, 因为1x =处切线斜率为1,所以()'11f =,314a-∴=,解得1a =-,故选D. 4．点P 从（﹣1，0）出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．（12-， B ．（2-，12-）C ．（12-，2-） D ．（2-12） 【答案】A 【详解】解：点P 从（﹣1，0）出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点， 所以Q 点所在终边上的最小正角是：23π，由任意角的三角函数的定义可知Q 点坐标为：（cos 23π，23sin π），即（12-． 故选：A ．5．已知向量(1,1)a =-，向量(1,2)b =-，若a b μ+与a b -垂直，则μ=（ ） A ．1- B ．1C ．85D ．58-【答案】C 【详解】由题意知：()1,2a b μμμ+=--+，()2,3a b -=-a b μ+与a b -垂直 ()()()()21320a b a b μμμ∴+⋅-=---+=解得：85μ=本题正确选项：C6．在等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S .若公差12d =，且100145S =，则24698100...a a a a a +++++的值为（ ）A ．70B ．75C ．80D ．85【答案】D 【详解】设1399P a a a =++⋯+，24100Q a a a =++⋯+，则1001455025Q P S Q P d +==⎧⎨-==⎩，解得60P =，85Q =.故选D7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD 构成几何体A BCD -，则在几何体A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．平面ADC ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ABD ⊥平面ABC【答案】A根据线面垂直的判定定理，先得到AB ⊥平面ADC ，进而可得到平面ABC ⊥平面ADC .【详解】由已知得BA AD ⊥，CD BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ， 从而CD AB ⊥，故AB ⊥平面ADC . 又AB Ì平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ADC . 故选A.8．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=）A B CD ．2【答案】C 【详解】直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=，ρ=22ρ=，直角坐标方程为222x y +=，圆心为原点，半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==，10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为== C.二、填空题9．已知圆的参数方程为（为参数）,则圆的面积为__________;圆心到直线的距离为__________.【答案】；.化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C到直线l：3x﹣4y＝0的距离．【详解】由圆C，可得（x﹣2）2+y2＝1，∴圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，则圆C的面积为π×12＝π；圆心C（2，0）到直线l：3x﹣4y＝0的距离为d．故答案为：π；．三、解答题10．在中,角所对的边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据正弦定理，可将等式中的边转化为角，即，再根据辅助角公式化简得到一个角的三角函数式.。

大题规范练(六)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213，∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12³12³398＝3394.2．(本小题满分12分)如图(1)，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝90°，CD ＝4.把△ABD 沿BD 折起，使A ，C 两点间的距离为2 2.记BD 的中点为E ，如图(2)．(1)求证：平面ACE ⊥平面BCD ；(2)求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得CB ＝CD ＝4，AB ＝AD ＝42，AE ⊥BD ，CE ⊥BD .又AE ∩CE ＝E ，因此BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BCD ，因此平面ACE ⊥平面BCD .(2)如图，以CB ，CD 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点C 垂直于平面CBD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C ­xyz ，则C (0,0,0)，B (4,0,0)，D (0,4,0)，设A (x 1，y 1，z 1)(z 1＞0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC 2＝8AB 2＝32AD 2＝32，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋z 21＝8x 1－4 2＋y 21＋z 21＝32x 21＋ y 1－4 2＋z 21＝32z 1＞0，由此解得x 1＝y 1＝－1，z 1＝6，故A (－1，－1，6)，CA →＝(－1，－1，6)，AD →＝(1,5，－6).CB →＝(4,0,0)设a ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ABC 的法向量，则有 ⎩⎨⎧a ²CB →＝0a ²CA →＝0，即⎩⎨⎧4x 2＝0－x 2－y 2＋6z 2＝0，故x 2＝0，y 2＝6z 2.取z 2＝1得a ＝(0，6，1)． 设直线AD 与平面ABC 所成的角为β， 则sin β＝|cos 〈a ，AD →〉|＝|a ²AD →||a ||AD →|＝217，即直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)当今时代，智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁，其中的一款软件——微信更是逐渐成为人们交流的一种方式．某机构对人们使用微信交流的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表：的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关？4人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据如下：参考公式：K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)2³2列联表如下：K 2＝10³40³35³15≈9.524＞6.635，所以有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． (2)依题意得ξ的所有可能取值分别为0,2,4， 且P (ξ＝0)＝C 22C 25²C 24C 25＋C 12²C 13C 25²C 14²C 11C 25＝30100＝0.3，P (ξ＝4)＝C 23C 25²C 24C 25＝0.18，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝4)＝0.52.因此，ξ的分布列是所以ξ的期望E (ξ)4．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，动直线l ′垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ，设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)以曲线C 上的点Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点作曲线C 的切线l 1，设l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，且l 1恰与以定点M (a,0)(a ＞2)为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求△ABF 与△QAM面积的比．解：(1)由题意得|PH |＝|PF |，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到定点F (1,0)的距离， ∴点P 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， ∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：由y 2＝4x ，当y ＞0时，y ＝2x ，∴y ′＝1x，∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，∴以Q (x 0，y 0)(y 0＞0)为切点的切线方程为l 1：y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y －y 0＝2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 204，整理得l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.令x ＝0，则y ＝y 02，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 令y ＝0，则x ＝－y 204＝－x 0，∴A (－x 0,0)， 点M (a,0)到切线l 1的距离d ＝y 20＋4a 2y 20＋4＝y 20＋42＋2a －2y 20＋4≥2a －1(当且仅当y 0＝2a －2时，取等号)．∴当点Q 的坐标为(a －2,2a －2)时，满足题意的圆M 的面积最小． 此时A (2－a,0)，B (0，a －2)．S △ABF ＝12|1－(2－a )||a －2|＝12(a －1)a －2， S △AQM ＝12|a －(2－a )||2a －2|＝2(a －1)a －2.∴S △ABF S △AQM ＝14，∴△ABF 与△QAM 的面积之比为1∶4.解法二：由题意知切线l 1的斜率必然存在，设为k ，则l 1：y －y 0＝k (x －x 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0 y 2＝4x，得y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2－x 0，即y 2－4k y ＋4ky 0－y 20＝0，由Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k y 0－y 20＝0得(2－ky 0)2＝0，即k ＝2y 0.∴l 1：4x －2y 0y ＋y 20＝0.(下同解法一)5．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋ax ＋2，g (x )＝－2cos x －x ＋(x ＋1)ln(x ＋1)． (1)若直线y ＝－4x 是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的值；(2)若对任意x 1∈[1,2]，都存在x 2∈(－1,1]，使得f (x 1)－g (x 2)＞3a ＋4成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋a .设直线y ＝－4x 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，－4x 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－4x 0＝x 30＋ax 0＋23x 20＋a ＝－4，解得x 0＝1，a ＝－7.(2)g ′(x )＝2sin x －1＋ln(x ＋1)＋1＝2sin x ＋ln(x ＋1)，∵当x ∈(－1,1]时，y ＝2sin x 及y ＝ln(x ＋1)均为增函数，∴g ′(x )在(－1,1]上为增函数，又g ′(0)＝0，∴当x ∈(－1,0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(0,1]时，g ′(x )＞0， 从而g (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴g (x )在(－1,1]上的最小值为g (0)＝－2.依题意得，当x ∈[1,2]时，f (x )min ＞3a ＋4＋g (0)＝3a ＋2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝3x 2＋a ∈[a ＋3，a ＋12]． 当a ＋3≥0，即a ≥－3，x ∈[1,2]时，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，于是有a ＋3－3a ＞2(a ≥－3)，解得－3≤a ＜12.当a ＋12≤0，即a ≤－12，x ∈[1,2]时，f (x )单调递减，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋10，于是有2a ＋10－3a ＞2(a ≤－12)，解得a ≤－12.当－12＜a ＜－3，x ∈[1,2]时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， －a 3上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a3，2上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋2，于是有2a 3－a3＋2－3a ＞2(－12＜a ＜－3)，解得－12＜a ＜－3.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. 请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14， ∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4. 7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若存在x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|＜3成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x ＜2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a －(2x－4)|＝|a＋4|.因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min＜3，所以|a＋4|＜3，解得－7＜a＜－1，故实数a的取值范围为(－7，－1)．。

高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝sin (A ＋C )，cos(A －C )＋cos B ＝3c . (1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围.解 (1)∵b ＝sin(A ＋C )，可得b ＝sin B .∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得a ＝sin A ，c ＝sin C . 由cos(A －C )＋cos B ＝3c ， 可得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝3c ，则cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝3c ， ∴2sin A sin C ＝3c ，∴2ac ＝3c ，可得a ＝32＝sin A ，又A 为锐角， ∴A ＝π3.(2)由(1)及余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2＋c 2－2bc cos π3， 即34＝b 2＋c 2－bc ， 整理得(b ＋c )2＝34＋3bc ，又∵34＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴(b ＋c )2＝34＋3bc ≤34＋94＝3，解得b ＋c ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立，又b ＋c >a ＝32，∴b ＋c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，故b ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.星期二 (数列) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *).(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)，∴a 1＝S 1＝4＋2p ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .由于{a n }是等比数列，∴a 1＝4＋2p ＝2，则p ＝－1， 因此a n ＝2n (n ∈N *).(2)由a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，得2n ＝22n b n ，∴b n ＝n 2n . T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，① 12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ， 因此T n ＝2－12n －1－n2n .星期三 (立体几何) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. (1)证明 设AC ∩BD ＝O ，连接OM .∵PD ∥平面MAC 且平面PBD ∩平面MAC ＝MO ， ∴PD ∥MO .∵O 为BD 中点，∴M 为PB 中点. (2)解 取AD 中点E ，连接PE . ∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD 且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面P AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间直角坐标系，则B (－2，4，0)，P (0，0，2)，D (2，0，0)，A (－2，0，0)，则DP→＝(－2，0，2)，DB →＝(－4，4，0).易知平面PDA 的一个法向量m ＝(0，1，0). 设平面BPD 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则 n ·DP →＝(x 0，y 0，z 0)·(－2，0，2)＝－2x 0＋2z 0＝0， n ·DB →＝(x 0，y 0，z 0)·(－4，4，0)＝－4x 0＋4y 0＝0， ∴可取n ＝(1，1，2).设二面角B －PD －A 的平面角为θ(易知为锐角)， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m ||n |＝11·12＋12＋（2）2＝12， ∴θ＝π3，即二面角B －PD －A 的大小为π3. (3)解 由(2)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2，4，0)，MC→＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则有sin α＝|cos 〈MC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC →·n |MC →|·|n | ＝|3＋2－1|1＋1＋（2）2·32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝269. ∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.星期四 (概率统计) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”.(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X ).解 (1)若十位数字是4，有145，245，345；若十位数字是3，有135，235；若十位数字是2，有125.所以个位数字是5的“三位递增数”有145，245，345，135，235，125共6个.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为－1，0，1，因此P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X 的分布列为则E (X )＝－1×114＋0×23＋1×1142＝421.星期五 (函数与导数) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间.(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值. (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e. 从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， 所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2.当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1， 所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12， 所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.星期六 (解析几何) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，经过点F 的直线l 0与椭圆交于A ，B 两点.当直线l 0⊥x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)作直线l ⊥x 轴，分别过A ，B 作AA 1⊥l ，垂足为A 1，BB 1⊥l ，垂足为B 1，且△A 1FB 1是直角三角形.问：是否存在直线l 使得∠A 1FO ＝2∠B 1FO ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)由题意可知c ＝1，b 2a ＝22. 又因为a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不妨设点A 在x 轴上方，由题意可知∠A 1FB 1＝90°，要使∠A 1FO ＝2∠B 1FO ，则当且仅当∠A 1FO ＝2∠B 1FO ＝60°. 即tan ∠A 1FO ＝3，tan ∠B 1FO ＝33. 设直线l 与x 轴交于点H ，则|A 1H |＝3|B 1H |. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝m ， 则A 1(m ，y 1)，B 1(m ，y 2). 所以y 1＝－3y 2，①又F A →1＝(m ＋1，y 1)，FB 1→＝(m ＋1，y 2)， 由A 1F ⊥B 1F ，得F A 1→·FB 1→＝0，即(m ＋1)2＋y 1y 2＝0. 由题意可知，AB 不与y 轴垂直，所以可设l 0的方程为：x ＝ty －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0. 易知Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)>0恒成立. 则y 1y 2＝－1t 2＋2，②y 1＋y 2＝2tt 2＋2.③由①③可得y 1＝3tt 2＋2，y 2＝－t t 2＋2，④将④代入②中可得－3t 2（t 2＋2）2＝－1t 2＋2，解得t 2＝1. 因此y 1y 2＝－13，从而m ＝－1±33，由题意可知直线l 在焦点F 的右侧，所以存在符合题意的直线l ：x ＝－1＋33.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32m ，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ.(1)当m ＝3时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若曲线C 上存在到直线l 的距离等于32的点，求实数m 的范围. 解 (1)直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32m ，展开得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝32m ，化为直角坐标方程为y ＋3x ＝3m ，当m ＝3时，化为y ＋3x －33＝0.曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ，化为(x －1)2＋y 2＝3.圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝|3－33|2＝3＝r ， 因此直线l 与曲线C 相切.(2)若曲线C 上存在到直线l 的距离等于32的点， 则圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝|3－3m |2≤3＋32，解得－2≤m ≤4.故实数m 的范围是[－2，4].2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，因为f (x )＋f (－x )<1m 有实数解， 所以4<1m ，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。

每日一题 规X 练(第六周)星期一 2020年4月27日[题目1] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.星期二 2020年4月28日[题目2] 已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值． 解：(1)令n ＝1，则a 1－2a 2＋a 3＝0，得a 2＝5. 又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列． 所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. 于是b n ＝a 2n －1＝2·2n －1＋1＝2n＋1.(2)由(1)可知，b n ＝2n＋1.于是b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋n ＝2（1－2n）1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2.令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的递增函数．又f (9)＝210＋9－2＝1031，f (10)＝211＋10－2＝2056. 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2019成立的最小正整数n 的值是10.星期三 2020年4月29日[题目3] 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．(1)求四棱锥P-ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .(1)解：易知V 四棱锥P-ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ， 则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ， 所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AG ⊥平面PCD ，所以EF ⊥平面PCD . 又EF ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .星期四 2020年4月30日[题目4] 2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：(1)(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)因为K 2＝120×（60×20－20×20）280×40×80×40＝7.5＞6.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关． (2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有6060＋20×4＝3(人)，女生有2060＋20×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A ，B ，C ，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，甲)，(B ，C )，(B ，甲)，(C ，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情形．所以所求概率P ＝36＝12.星期五 2020年5月1日[题目5] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且|F 1F 2|＝2.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆的下顶点为B ，过右焦点F 2作与直线BF 2关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．解：(1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，e ＝c a ＝22，解之得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，直线l 与直线BF 2关于x 轴对称， 所以k l ＋k BF 2＝0.由(1)问的椭圆方程x 22＋y 2＝1，知F 2(1，0)，B (0，－1)．所以k BF 2＝－1－00－1＝1，从而k l ＝－1，所以直线l 的方程为y －0＝－1×(x －1)， 即x ＋y －1＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 22＋y 2＝1⇒3x 2－4x ＝0. 解得x ＝0或x ＝43.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 不妨设x 1＝0，x 2＝43.所以当x 1＝0时，y 1＝1；当x 2＝43时，y 2＝－13.所以M (0，1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13.因此|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＝423.设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝12 .故S △OMN ＝12·|MN |·d ＝12×423×12＝23.星期六 2020年5月2日[题目6] 已知函数f (x )＝x 2－a 2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )的定义域(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －a2x.因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 2－12ln x ，f ′(x )＝2x －12x＝（2x －1）（2x ＋1）2x.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)g (x )＝x 2－12ln x ＋12mx ，由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －12x ＝0，得x ＝－m ±m 2＋168，设x 0＝－m ＋m 2＋168，所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数． 因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点， 所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 由g (x )＞0，得12m ＞ln x2x－x .令h (x )＝ln x 2x －x ，则h ′(x )＝2－2ln x －4x24x 2. 当x ＞1时，h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减； 所以当x ＝1时，h (x )的最大值为－1， 所以m2≥－1，即m ≥－2. 所以实数m 的取值X 围是[－2，＋∞)．星期日 2020年5月3日[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．以质点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ. (1)求曲线E 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：(1)E 的方程可化为ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3， 将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入得x 2＋3y 2＝3. 所以曲线E 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 过定点P (1，0)，将直线l 的参数方程代入曲线E 的方程得3t 2＋23t －4＝0.t 1＋t 2＝－233，t 1t 2＝－43. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2153. 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x |，g (x )＝m |x －3|.(1)若m ＝2，且f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)若当x ＞5时，函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方，某某数m 的取值X 围． 解：(1)当m ＝2时，f (x )－g (x )＝|x |－2|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －6，x ＜0，3x －6，0≤x ＜3，6－x ，x ≥3.若f (x )－g (x )≥0，解得2≤x ≤6，要使得函数f (x )－g (x )≥0在[a ，a ＋1]上恒成立，必须满足[a ，a ＋1]⊆[2，6]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤6，解得2≤a ≤5.所以实数a 的取值X 围是[2，5]．(2)当x ＞5时，若函数g (x )的图象恒在函数f (x )图象的上方， 即g (x )－f (x )＞0在(5，＋∞)上恒成立， 所以m |x －3|－|x |＞0，即m ＞|x ||x －3|恒成立．当x ＞5时，因为|x ||x －3|＝x x －3＝x －3＋3x －3＝1＋3x －3＜1＋35－3＝52，所以m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！星期一 (三角) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)(2018·西安联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解 (1)∵f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期为π.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.星期二 (数列) 2019年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)(2018·日照模拟)已知等差数列{a n }的公差d >0，其前n 项和为S n ，且a 2＋a 4＝8，a 3，a 5，a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2＋a 4＝8，所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4，①因为a 3，a 5，a 8为等比数列，所以a 25＝a 3a 8， 即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简得a 1＝2d ，② 联立①和②得：a 1＝2，d ＝1， 所以a n ＝n ＋1，n ∈N *. (2)因为b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 星期三 (概率统计) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)(2018·合肥联考)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率. 解 (1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2.(2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.星期四 (立体几何) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点， AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， ∴O 为AC 的中点.又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . ∴AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . ∴四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， ∴AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .∵四边形ABCE 为菱形， ∴BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ， ∴BE ⊥平面PAC .星期五 (解析几何) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)(2018·日照一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且C 与y 轴交于A (0，－1)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围. 解 (1)由题意，得b ＝1，c ＝3，则a ＝2，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(0<x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，同理得直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0＋1）x 0－1，直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3（y 0－1）x 0＋1，线段MN 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0， 所以圆的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02.令y ＝0，则(x －3)2＋9y 20x 20＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 02，因为x 204＋y 20＝1，所以(x －3)2＝134－6x 0， 因为这个圆与x 轴相交，所以该方程有两个不同的实数解，则134－6x 0>0，又0<x 0≤2，解得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2413，2. 星期六 (函数与导数) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0. (1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0<x 0<1时，f (x )≤f (x 0). (1)解 g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1x，x >0.因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，∴a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.显然当0<x <1时，g ′(x )<0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；当x >1，g ′(x )>0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增. 所以x ＝1是g (x )的唯一极小值点， 故g (x )≥g (1)＝0.综上，所求a 的值为1.(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )>0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增. 又h (e －2)>0，h⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，h (1)＝0， 所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时h (x )<0； 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点. 即x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立.星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值.解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， ∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>5的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|>5， 若x ≤1，则－3x ＋4>5，即x <－13，若1<x <2，则x >5，舍去， 若x ≥2，则3x －4>5，即x >3，综上，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞).(2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 当且仅当x ＝1时取“＝”，得到f (x )的最小值为|a －1|，又|a －1|≤|a －2|，解得a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！星期一 (数列) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)(2018·烟台一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1－32.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 3a n －1，求数列{(－1)n a n ＋b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－32－3n －32＝3n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，故a n ＝3n ，n ∈N *. (2)由题意得b n ＝2log 33n －1＝2n －1， 则(－1)n a n ＋b n ＝(－3)n ＋2n －1,∴T n ＝(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n ＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝－3[1－（－3）n ]1＋3＋n [1＋（2n －1）]2＝－（－3）n ＋1－34＋n 2.星期二 (三角) 2019年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围.解 (1)∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125， 又A 为锐角，∴cos A ＝15，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)，∴b ＝5.(2)法一 在△ABC 中，由正弦定理得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝2. ∴b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin B ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23].法二 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， (b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴(b ＋c )2≤12，则b ＋c ≤23，又三角形的两边之和大于第三边 ∴b ＋c >a ＝3.故b ＋c 的取值范围是(3，23].星期三 (立体几何) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为3，E ，F 分别为CC 1，BB 1上的点，且EC ＝3FB ＝3，点M 是线段AC 上的动点.(1)试确定点M 的位置，使BM ∥平面AEF ，并说明理由； (2)若M 为满足(1)中条件的点，求三棱锥M －AEF 的体积.解 (1)当点M 是线段AC 靠近点A 的三等分点时，BM ∥平面AEF .事实上，在AE 上取点N ，使AN ＝13AE ，于是AN AE ＝AM AC ＝13，所以MN ∥EC 且MN ＝13EC .由题意知，BF ∥EC 且BF ＝13EC ，所以MN ∥BF 且MN ＝BF ， 所以四边形BMNF 为平行四边形， 所以BM ∥FN .又FN ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF .故BM ∥平面AEF .(2)连接EM ，FM ，因三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱.所以BB 1∥平面ACC 1A 1，V 三棱锥M －AEF ＝V 三棱锥F －AEM ＝V 三棱锥B －AEM . 取AC 的中点O ，连接BO ，则BO ⊥AC . 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱， 所以AA 1⊥平面ABC .又BO ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BO .因为BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BO ⊥平面ACC 1A 1，则BO 为三棱锥B －AEM 的高. 又在正△ABC 中，BO ＝332.故V 三棱锥M －AEF ＝V 三棱锥B －AEM ＝13·S △AEM ·BO ＝334.星期四 (概率统计) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)某服装批发市场1－5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)从这五个月的利润中任选2个，分别记为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于30”的概率； (2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？(参考公式：b ^＝∑n i ＝1x i y i －nx －y －∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －) 解 (1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个.记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，46)，(34，41)，(41，46)共3个.故所求事件的概率P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，错误!错误!＝错误!＝5.2， 则a ^＝30－5.2×5＝4.所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4<2.所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的.星期五 (解析几何) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)(2018·烟台模拟)已知动圆C 与圆E ：x 2＋(y －1)2＝14外切，并与直线y ＝12相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程Γ；(2)若从点P (m ，－4)作曲线Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点. (1)解 由题意知，圆E 的圆心E (0，1)，半径为12.设动圆圆心C (x ，y )，半径r .因为圆E 与直线y ＝－12相切，所以y ＋12＝r .①因为圆C 与圆E 外切，所以|CE |＝12＋r ，即x 2＋（y －1）2＝12＋r .② 联立①，②，消去r ，得x 2＝4y . 所以C 点的轨迹方程Γ为x 2＝4y .(2)证明 已知直线AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋b ，整理得x 2－4kx －4b ＝0，其中Δ＝16(k 2＋b )>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由抛物线的方程可得：y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴过A (x 1，y 1)的抛物线的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又y 1＝14x 21代入整理得：y ＝12x 1x －14x 21. 切线过P (m ，－4)，代入整理得：x 21－2mx 1－16＝0， 同理可得x 22－2mx 2－16＝0.∴x 1，x 2为方程x 2－2mx －16＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－16.④ 联立③④，得b ＝4，k ＝m2.则直线AB 的方程为y ＝m2x ＋4，直线AB 恒过定点(0，4).星期六 (函数与导数) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －1)e x －a (x 2＋x )，a ∈R . (1)当a <e －12时，讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝－ax 2－a ，若对任意的x ≤1时，恒有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝(2x ＋1)e x －a (2x ＋1)＝(2x ＋1)(e x －a )， 若a ≤0时，e x －a >0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，f ′(x )>0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增函数.若0<a <e －12时，f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝ln a <－12.∴当x ∈(－∞，ln a )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫ln a ，－12时，f ′(x )<0.故f (x )在区间(－∞，ln a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫ln a ，－12上单调递减.(2)依题意，对任意x ≤1，恒有(2x －1)e x －a (x －1)≥0.(*) ①当x ＝1时，(*)式恒成立，a ∈R .②当x <1时，不等式转化为a ≥（2x －1）e xx －1.令φ(x )＝（2x －1）e x x －1(x <1)，则φ′(x )＝（2x 2－3x ）e x （x －1）2＝（2x －3）·x e x（x －1）2，当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，φ′(x )<0， ∴当x ＝0时，φ(x )取极大值，也是最大值，φ(0)＝1，此时a ≥1. 综合①，②知，实数a 的取值范围为[1，＋∞).星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数).在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标. (2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，A 在直角坐标系下的坐标为(1，3).(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t ，代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0，设此方程两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝325，t 1t 1＝－1110. ∴|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0， 所以点A 到直线l 的距离d ＝32＝62.∴△APQ 的面积为12×825×62＝435.2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ≤0. (1)当a ＝0时，求不等式f (x )<1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝0时，f (x )<1化为|2x －1|－|x |－1<0. 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解；当0<x ≤12时，不等式化为x >0，解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2，解得12<x <2；综上，f (x )<1的解集为{x |0<x <2}.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1－a ，x <a ，－3x ＋1＋a ，a ≤x ≤12，x －1＋a ，x >12.所以f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3，0，(1－a ，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a －12，该三角形的面积为（1－2a ）26.由题设（1－2a ）26>32，且a ≤0，解得a <－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1).精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！星期一 (三角) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝72，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解(1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π≤2x ＋π3≤2k π(k ∈Z )，得k π－2π3≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ).(2)由题意得f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3<2A ＋π3<7π3， 所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.又a ＝72，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝74. 又向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，则2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b＝3c.则b＝32，c＝1.星期二(数列) 2019年____月____日【题目2】(本小题满分12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和.解(1)由a2n＋2a n＝4S n＋3，可知a2n＋1＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.可得a2n＋1－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a2n＋1－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n).由于a n>0，可得a n＋1－a n＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1.(2)由a n＝2n＋1可知b n＝1a n a n＋1＝1（2n＋1）（2n＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3.设数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3＝n3（2n＋3）.星期三(概率统计) 2019年____月____日【题目3】(本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），且n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝100×（40×25－20×15）255×45×60×40≈8.25>6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n .则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n ).则P (A )＝815.∴选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.星期四 (立体几何) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D －ABC 中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积. (1)证明 ∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos ∠BAC ＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16， ∴AC ⊥BC ，∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 ∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ， ∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点， ∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F －BCE ＝13×12×22＝23.星期五 (函数与导数) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a x＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax.∵x ＝3是函数f (x )的一个极值点， ∴f ′(3)＝0，解得a ＝－6.经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意，故实数a ＝－6. (2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x >0)，则F ′(x )＝x －1x(x >0)，∴当0<x <1时，F ′(x )<0，F (x )单调递减； 当x >1时，F ′(x )>0，F (x )单调递增. ∴F (x )≥F (1)＝1>0，∴a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G (x )＝x 2－2xx －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）（x －ln x ）2＝（x －1）（x －2ln x ＋2）（x －ln x ）2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，∴x －2ln x ＋2>0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x ∈(1，e)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增. ∴G (x )min ＝G (1)＝－1，∴a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞).星期六 (解析几何) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由. (1)证明 ∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0， ∵m ·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14.(2)解 ①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0， 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，∴|x 1|＝2，|y 1|＝22. ∴S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0，∴x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ>0. ∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2|PQ |＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2|b |·4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1.综上可知，△POQ 的面积S 为定值.星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R ).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值.解(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数，a ∈R )，∴曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)代入曲线C 2的直角坐标方程得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )>0，即a >0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知 |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8，解得a ＝2.2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.(1)解 ∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解. 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}. (2)证明 f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝56<1.精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！星期一 (三角) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R ).(1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sinA ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.当2x －π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )min ＝－2.此时自变量x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1. 又C ∈(0，π)，则－π6<2C －π6<11π6，所以2C －π6＝π2，C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理，b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2－2ab cosπ3， ∴a 2＋b 2－ab ＝3，② 联立①，②得a ＝1，b ＝2.星期二 (数列) 2019年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . (1)证明 ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. 又a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)≠0， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)解 由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0，∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4) ＝2＋22＋23＋…＋2n －4(n －1) ＝2（1－2n ）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.星期三 (概率统计) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：(1)求m ，n ，p 的值；(2)已知样本中日用水量在[80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率. 解 (1)∵3＋6＋m ＝12，∴m ＝3， ∴n ＝312＝14，p ＝m 12＝312＝14.∴m ＝3，n ＝p ＝14.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有：{83，85}，{83，86}，{83，87}，{83，88}，{83，89}，{85，86}，{85，87}，{85，88}，{85，89}，{86，87}，{86，88}，{86，89}，{87，88}，{87，89}，{88，89}，共15种.其中2个数据都小于或等于86的情况有{83，85}，{83，86}，{85，86}，共3种. 故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率p ＝1－315＝45.星期四 (立体几何) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，在四面体PABC 中，PA ＝PC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝6，PB＝42，线段AC，AP的中点分别为O，Q.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求四面体POBQ的体积.(1)证明因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.在Rt△PAO中，PA＝5，OA＝3，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得PO＝4.因为BA＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC.在Rt△BAO中，因为BA＝5，OA＝3，由勾股定理，得BO＝4.因为PO＝4，OB＝4，PB＝42，有PO2＋OB2＝PB2，则PO⊥OB.且BO∩AC＝O，BO，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.而PO⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC.(2)解由(1)，可知平面PAC⊥平面ABC.因为平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，所以V B －POQ ＝13S △PQO ·BO ＝13×12S △PAO ×4＝13×3×4＝4.因为V P －OBQ ＝V B －POQ ， 故四面体POBQ 的体积为4.星期五 (解析几何) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0，1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程. 解 (1)由题意，知c ＝3，a ＝2b ，①又a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝b 2＋3，② 联立①，②得a ＝2，b ＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意.当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48>0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2.∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM →·BN →＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)－34＋m 2＋(m －1)－2m4＋m 2＋2＝0， 整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.星期六 (函数与导数) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)e x －mx 2＋2，其中m ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数.(1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当常数m ∈(2，＋∞)时，函数f (x )在[0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 2－x 1>ln 4e.(1)解 当m ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2＋2， ∴f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2).令f ′(x )＝x (e x －2)＝0，解得x ＝0或x ＝ln 2.当x >ln 2或x <0时，f ′(x )>0，当0<x <ln 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为(ln 2，＋∞)，(－∞，0)； ∴f (x )的单调递减区间为(0，ln 2). (2)证明 由题意知，此时m >2，x ≥0， 由f ′(x )＝x (e x －2m )＝0，解得x ＝0或x ＝ln 2m .当x >ln 2m 时，f ′(x )>0，f (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增； 当0<x <ln 2m 时，f ′(x )<0，f (x )在[0，ln 2m ]上单调递减.所以f (x )的极小值在x ＝ln 2m 时取得，为f (ln 2m ). 又函数f (x )在[0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以f (ln 2m )<0.由f (0)＝1>0，f (1)＝2－m <0， 所以x 1∈(0，1).由f (ln 2m )<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增. 所以x 2∈(ln 2m ，＋∞). 所以x 2>ln 2m >ln 4. 因为0<x 1<1，所以x 2－x 1>ln 4－1＝ln 4e.星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值.解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t ，消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，∴直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.∵ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. ∵ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0.∵Δ>0，且点M 在直线l 上，∴此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， ∴t 1t 2＝－16，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值. 解 (1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，∴2<x <52；当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，∴－32<x <－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，∴－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. ①当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立. ②当－2<x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.③当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ， 可得k ≤1－2x，∴k ≤3.综上可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！星期一 (数列) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列.(1)求{b n }的通项公式； (2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ， 因为b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，（b 1＋d ）（b 1＋3d ）＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫5b 1＋5×42d ＋22，解得，b 1＝2，d ＝2或b 1＝10，d ＝－2. 因为{b n }单调递增，所以d >0， 所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n .所以T n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n ，① 所以e T n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1.②以上两个式子相减得，(1－e)T n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1， 所以(1－e)T n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以T n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.星期二 (三角) 2019年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)如图，△ABC 为正三角形，AC ∥DB ，AC ＝2，cos ∠ACD ＝63.(1)求CD 的长； (2)求△ABD 的面积.解 (1)因为△ABC 为正三角形，AC ∥DB ， 所以∠ACD ＝∠BDC ，∠BAC ＝∠ABD ＝π3，所以cos ∠ACD ＝cos ∠BDC ＝63，所以sin ∠BDC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫632＝33. 在△BCD 中，BC ＝2，∠CBD ＝2π3，sin ∠BDC ＝33，由正弦定理得233＝CDsin2π3，所以CD ＝3.(2)由(1)知CD ＝3.在△BCD 中，BC ＝2，CD ＝3，∠CBD ＝2π3，由余弦定理得：CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠CBD ， 即32＝22＋BD 2－2×2BD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 则BD ＝6－1.所以△ABD 的面积为S ＝12BD ·AB sin π3＝12×(6－1)×2×32＝32－32.星期三 (概率统计) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)为了迎接“十九大”的胜利召开，某市中小学校准备举行一场《喜迎十九大，共筑中国梦》的歌唱比赛，某班为了选出一人参加比赛，挑选班上甲、乙两位同学进行了8次预赛，且每次预赛之间是相互独立的.他们成绩的茎叶图如下：(单位：分，满分100分)(1)设甲、乙两位同学成绩的方差分别为s 2甲，s 2乙，求s 2甲，s 2乙的值，并从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛更合适，请说明理由？(2)从甲乙两位同学预赛成绩大于等于85分的成绩中，随机抽取2个，求这2个预赛成绩分别来自不同同学的概率.解 (1)x －甲＝80＋81＋93＋72＋88＋75＋83＋848＝82，x －乙＝82＋93＋70＋84＋77＋87＋78＋858＝82，s 2甲＝22＋12＋112＋102＋62＋72＋12＋228＝39.5，s 2乙＝02＋112＋122＋22＋52＋52＋42＋328＝43， 由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适. (2)由茎叶图知甲同学有2次预赛成绩大于或等于85，分别记为a ，b ，乙同学有3次预赛成绩大于或等于85，分别记为c ，d ，e .则从这5个成绩中抽取2个，所有可能的情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种情况，其中来自不同同学的情况为(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，共6种情况.所以抽取的2个预赛成绩分别来自不同同学的概率p ＝610＝35.星期四 (立体几何) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，几何体中的四边形ABCD 为长方形，BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ，且BB 1＝13AA 1.E 为CD 上一点，且CE ＝13CD .(1)求证：CB 1∥平面A 1BE ； (2)若BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，求此多面体的表面积.(1)证明 在AA 1上取一个点P ，满足：PA ＝13AA 1，连接PB 1交直线A 1B 于Q ，连接PD ，EQ .因为BB 1＝13AA 1，所以BB 1＝PA ，因为BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ， 所以BB 1∥PA ，所以四边形PABB 1为平行四边形. 由ABCD 为矩形进一步得，PB 1＝CD ，PB 1∥CD ， B 1Q ＝13PB 1＝13CD ，因为CE ＝13CD ，所以CE ＝QB 1，CE ∥QB 1，所以四边形CEQB 1为平行四边形，所以CB 1∥QE ， 又因为CB 1⊄平面A 1BE ，QE ⊂平面A 1BE ， 所以CB 1∥平面A 1BE .(2)解 由已知可以证明：CD ⊥A 1D . 因为BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，BB 1＝13AA 1，所以B 1C ＝BC 2＋BB 21＝12＋32＝10， A 1B 1＝B 1P 2＋A 1P 2＝22＋（6）2＝10，A 1C ＝A 1D 2＋CD 2＝AA 21＋AD 2＋CD 2＝32＋（6）2＋32＝2 6.所以A 1B 1＝B 1C ，所以S △A 1B 1C ＝12(26)·2＝26，所以此多面体的表面积为 26＋12×1×3＋12×6×32＋1＋32×6＋12×3×3＋3×6＝33＋76＋6.星期五 (解析几何) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知动圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过点F (1，0)且与直线l ：x ＝－1相切，记圆心C (a ，b )的轨迹为G .(1)求轨迹G 的方程；(2)已知M 是轨迹G 上的动点，过M 作垂直于x 轴的直线m ，与直线n ：y ＝x 交于点A ，点B 满足MB →＝2MA →，连接OB (其中O 为原点)交轨迹G 于点N ，求证：直线MN 恒过定点. 解 (1)设圆心C (a ，b )到直线l ：x ＝－1的距离为d ， 则由已知可得|CF |＝d ，所以C (a ，b )的轨迹G 是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以轨迹G 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 1，y 1)，则直线m ：x ＝x 1，y 21＝4x 1， 所以A (x 1，x 1)，因为MB →＝2MA →，所以B (x 1，2x 1－y 1)， 所以OB ：y ＝2x 1－y 1x 1x ，即OB ：y ＝2y 1－4y 1x ，设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1－4y 1x ，y 2＝4x可得y 2＝2y1y 1－2，所以k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1＝42y 1y 1－2＋y 1＝4（y 1－2）y 21， 所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21(x －x 1)＋y 1，。

f (x) 2x 3 x 2，贝y f (2) =数学每日一练8.241 1 1A .(02)B .(2 )C .(02)(2，)D .(咛[2,2 2A . y x sinxB . y x cosxC . y |lnx|D . y 2 1 Jx x A 0(2015 陕西)设 f(x) ' x,x 0，则 f(f( 2))=2 ,x 0113A . - 1B . -C . -D.-4 2 2(2015湖南)设函数 f(x) ln(1 x) ln(1 x)，则 f (x)是(2015北京)下列函数中，定义域是 1.2.3. 4. 5.6.7.8.9.x.A . e1B .e x 1C. e x1x /D . e 12 x ,x < 0卄(2018全国卷I )设函数f(x)，则满足f(x 1) f (2x)的x 的取值范围是1, x 0A . ( , 1]B.(0,)C . ( 1,0)D .(,0)(2016北京)下列函数中,在区间(1,1)上为减函数的是A. y &B . y cosxC . yln(xx1)D . y 2(2019全国H 文6)设f(x)为奇函数，且当(2015北京)下列函数中为偶函数的是A .奇函数，且在(0,1)上是增函数B .奇函数，且在 (0,1)上是减函数C .偶函数，且在(0,1)上是增函数D .偶函数，且在(0,1)上是减函数(2014山东)函数f(X )1.(log 2x)2 1 的定义域为xx 》0寸，f(x)= e 1,则当 x<0 时，f(x)=R 且为增函数的是C . y ln xA. y e x B . y x3(2017新课标n)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x ( ,0)时,f (x) 2x3 x2，贝y f (2) =x 1, x 010．（2014 福建）已知函数则下列结论正确的是cos x, x 0A ．f x 是偶函数B ．f x 是增函数C．f x 是周期函数 D ．f x 的值域为1,。

2021年高考数学一轮复习基础题每日一练6（含解析）文一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案D2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x ＋4的解集为( )．A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析法一由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)＞2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6＞2x＋4，得x＞－1，选B.法二设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2＞0，g(x)在R上为增函数．由g(x)＞0，即g(x)＞g(－1)．∴x＞－1，选B.答案B3．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k 的取值范围是( )． A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图． 若l 与线AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB ，∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.答案 D4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )． A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B ．[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C5．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )．A.35B.25C.13D.23解析 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.答案 D二．填空题。

课时规范练6 函数的单调性与最值基础巩固组1.(2018北京石景山一模,2)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.xD.y=x+2.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)内有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)内一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数3.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)5.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)6.函数f(x)=x|x|,若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C. D.7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]8.(2018河南郑州三模,5)若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c9.函数f(x)=在区间[1,2]上的值域为.10.设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.11.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.综合提升组12.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥013.(2018百校联盟四月联考,8)已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(log a2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)14.(2018河北衡水中学金卷十模,9)已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>015.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为()A.0B.2C.-D.不存在16.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,则实数a的取值范围是.创新应用组17.(2018河北衡水中学二调,9)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 ()A.2-5B.-5C.2+5D.518.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是()A. B.C. D.参考答案课时规范练6 函数的单调性与最值1.B由题意得,函数y=和函数y=lo x都是非奇非偶函数,排除A、C.又函数y=x+在区间(0,1)上递减,在区间(1,+∞)上递增,排除D,故选B.2.D由题意知a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)内是增加的,故选D.3.B f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2),∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内是增加的,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.4.B由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.5.B设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).6.D∵x≥0时,f(x)=x2,当x<0时,f(x)=-x2,∴函数f(x)在R上递增.由选项知k>0,∴f(x-2k)-k<0⇔f(x-2k)<f()⇔x-2k<⇔x<2k+,∵存在x∈[1,+∞),使得x<2k+,即x min<2k+,∴1<2k+,解得k>.7.C∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.8.A∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),∴b>c>a.9. ∵f(x)===2-,∴f(x)在区间[1,2]上是增函数,即f(x)max=f(2)=,f(x)min=f(1)=1.故f(x)的值域是.10.(-∞,-1]∪[0,+∞)因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.则解得x≥0或x≤-1,即实数x的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).11.3因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.12.C当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.13.B由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,∵x≥1时,f(x)=2x+,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.14.D函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.15.A在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.16.(-∞,1]∪[4,+∞)画出f(x)=的图像如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,所以a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).17.A对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.18.D∵g(x) ===2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;等价于0<a+2x1-1<对任意x1∈恒成立,即<a<对任意x1∈恒成立,设p(x1)==-1,q(x1)==-,∵x1∈,∴∈,∴p(x1)max=-1=-,q(x1)min=-,∴a∈.故选D.。

2018-01-1 51、若函数))((R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1()(x x x x x x f π，则=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛641429f f2、已知函数()()510log lg ),,(4sin )(23=∈++=f R b a x b ax x f ，则()()=2lg lg f3、定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，若当10≤≤x 时，)1()(x x x f -=，则当01≤≤-x 时，=)(x f4、设函数⎩⎨⎧≥-<++=∈-=)(,)()(,4)()(),(2)(2x g x x x g x g x x x g x f R x x x g ，则)(x f 的值域为5、下列函数中，既是偶函数，又在区间()2,1内是增函数的为A.x y 2cos =B.||log 2x y =C.2xx e e y --= D.13+=x y6、设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是A.)(|)(|x g x f -是奇函数B. )(|)(|x g x f +是偶函数C. |)(|)(x g x f -是奇函数D. |)(|)(x g x f +是偶函数 答案：165；3；2)1(+-x x ；),2(]0,49[+∞- ；B ；D2018-01-161、已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调增加，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 2、设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M3、已知)(x f 为奇函数，3)2(,9)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f4、若⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,3120),4()(x x x f x f x ，则=)2012(f5、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是6、已知函数)(x f 在R 上是单调函数，且满足对任意的R x ∈，都有[]32)(=-x x f f ，则=)3(f 答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31；2；6；34；]813,(-∞；92018-01-171、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则A.)80()11()25(f f f <<-B.)25()11()80(-<<f f fC.)25()80()11(-<<f f fD.)11()80()25(f f f <<- 2、设函数x f x f 2log 211)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，则=)2(f 3、若函数xx x x k k x f --⋅+⋅-=2222)(（k 为常数）在定义域内为奇函数，则k 的值为A.1B.1-C.1±D.04、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+=1,1,221)(2x a a x a x x f x 在()+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是 5、在R 上定义运算)1(:y x y x -=⊗⊗，若对任意2>x ，不等式2)(+≤⊗-a x a x 都成立，则实数a 的取值范围是6、对任意实数b a ,定义运算⎩⎨⎧<-≥-=⊕⊕1,1,:b a a b a b b a ，设)4()1()(2x x x f -⊕-=，若函数k x f y +=)(的图像与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 答案：D ；23；C ；21≤<a ；7≤a ；)1,2[-2018-01-181、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是2、下列函数中，在其定义域内单调递减且为奇函数的为 A.xx f 1)(=B.x x f -=)(C.x x x f 22)(-=-D.x x f tan )(-= 3、给出下列三个等式：)()(1)()()(),()()(),()()(y f x f y f x f y x f y f x f y x f y f x f xy f -+=+=++=，下列选项中，不满足其中任何一个等式的是A.x x f 3)(=B.x x f sin )(=C.x x f 2log )(=D.x x f tan )(= 4、对任意两个实数21,x x ，定义⎩⎨⎧<≥=21221121,,),max(x x x x x x x x ，若x x g x x f -=-=)(,2)(2，则))(),(max(x g x f 的最小值为5、设函数3)(x x f =，若20πθ≤≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是6、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是答案：),0[+∞；C ；B ；1-；)1,(-∞；)12,1(--2018-01-191、下列函数中为奇函数的是A.x x x f 212)(+=B.{}1,0,)(∈=x x x fC.x x x f sin )(⋅=D.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)(x x x x f2、函数)4(log )(221-=x x f 的单调递增区间为3、已知a x a ==lg ,24，则=x4、函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值为5、设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)2015(f6、（2014贵阳适应）已知函数24)(x x f -=，函数)0)((≠x x g 是奇函数，当0>x 时，x x g 2log )(=，则函数)()(x g x f 的大致图像为 A. B.C. D.答案：D ；)2,(--∞；10；41-；213；B2018-01-201、设1.31.138.0,2,7log ===c b a ，则 A.c a b << B.b a c << C.a b c << D.b c a <<2、已知31log ,31log ,221231===-c b a ，则 A.c b a >> B.b c a >> C.b a c >> D.a b c >> 3、已知105,lg ,log ,05===>d c b a b b ，则下列等式一定成立的是 A.ac d = B.cd a = C.ad c = D.c a d +=4、若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，且函数x m x g )41()(-=在),0[+∞上是增函数，则=a5、若点),(b a 在x y lg =图像上，1≠a ，则下列点也在此图像上的是 A.⎪⎭⎫⎝⎛b a,1 B.()b a -1,10 C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a D.()b a 2,2 6、（2014福建）若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是B. C. D.A.答案：B ；C ；B ；41；D ；B2018-01-211、设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则 A.a b c >> B.a c b >> C.b c a >> D.c b a >>2、如果0log log 2121<<y x ，那么 A.1<<x y B.1<<y x C.y x <<1 D.x y <<13、设m b a ==52，且211=+ba ，则=m 4、已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A.[]2,1B.⎥⎦⎤⎝⎛21,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21D.(]2,05、已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<211|x x x 或，则0)10(>x f 的解集为6、已知函数)(x f y =的周期为2，当]1,1[-∈x 时2)(x x f =，那么函数)(x f y =的图像与函数x y lg =的图像的交点个数为答案：D ；D ；10；C ；{}2lg |-<x x ；102018-01-22 1、函数xx x f 21)3ln()(-+=的定义域是2、函数)1,0()(1≠>=-a a a x f x 的图像恒过点A ，下列函数中图像不经过点A 的是 A.x y -=1 B.|2|-=x y C.12-=x y D.)2(log 2x3、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=-3,123),1(log )(32x x x x f x 满足3)(=a f ，则)5(-a f 的值为4、已知⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈=),1[,log )1,(,3)(2x x x x f x 的值域为5、若实数c b a ,,满足2log 2log 2log c b a <<，则下列关系中不可能成立的是 A.c b a << B. c a b << C. a b c << D. b c a <<6、设方程)lg(10x x -=的两个根分别21,x x ，则A.021<x xB. 121=x xC. 121>x xD. 1021<<x x 答案：)0,3(-；A ；23；),0[+∞；A ；D2018-01-231、函数)1(log )(),1(log )(22x x g x x f -=+=，则)()(x g x f -A.是奇函数B. 是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数 2、已知)(x f 是奇函数，且)()2(x f x f =-，当)3,2(∈x 时，)1(log )(2-=x x f ，则当)2,1(∈x 时，=)(x f A.)4(log 2x -- B. )4(log 2x - C. )3(log 2x -- D. )3(log 2x -3、定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(),()(+=--=-x f x f x f x f ，且)0,1(-∈x 时，512)(+=x x f ，则=)20(log 2f 4、函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(2x x x x x x f 的零点个数为5、已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是6、函数xy -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于 A.2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：A ；C ；1-；2；)1,0(；D2018-01-241、函数1|log |2)(5.0-=x x f x 的零点个数为2、函数x x x f 2cos )(=在区间]2,0[π上零点的个数为3、在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为 A.)0,41(- B. )41,0( C. )21,41( D. )43,21( 4、函数a xx f x --=22)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是 5、已知函数m x x x f +--=3|4|)(2恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 6、已知函数)0(|log |)(2>-=m m x x f 的零点分别为)(,2121x x x x <，函数)0(128|log |)(2>+-=m m x x g 的零点分别为)(,4343x x x x <，则4321x x x x --的最小值为A.344B. 348C. 24D. 28 答案：2；5；C ；)3,0(；)425,()6,6(--∞- ；D2018-01-251、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3cos 2=的图像 A.向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位 2、已知函数R x x x x f ∈>+=),0(cos sin 3)(ωωω，在曲线)(x f y =与直线1=y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则)(x f 的最小正周期为 3、已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f ，（1）若20πα<<，且22sin =α，求)(αf 的值；（2）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间4、已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π，（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在将区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值 答案：C ；π；（1）21（2）π；)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ；（1）π（2）最大41，最小21-2018-01-261、将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图像向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是2、已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减，则ω的取值范围是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21 C.]21,0( D.]2,0(3、已知函数)2cos()sin()(θθ+++=x a x x f ，其中⎪⎭⎫⎝⎛-∈∈2,2,ππθR a ，（1）当4,2πθ==a 时，求)(x f 在区间[]π,0上的最大值与最小值；（2）若1)(,02==⎪⎭⎫⎝⎛ππf f ，求θ,a 的值4、已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π（1）求ϕω,的值；（2）若)326(432παπα<<=⎪⎭⎫⎝⎛f ，求)23cos(πα+的值 答案：6π；A ；（1）最大22，最小1-（2）6,1πθ-=-=a ；（1）6,2πϕω-==（2）8153+2018-01-271、对于函数x x x f cos sin 2)(=，下列选项正确的是A.)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上是递增的 B.)(x f 的图像关于原点对称 C.)(x f 的最小正周期为π2 D. )(x f 的最大值为2 2、设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos3、已知函数R x x x x x x f ∈+-++-=,1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2π，（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的最大值和最小值 4、已知函数2sin 2)(),3cos()6sin()(2x x g x x x f =-+-=ππ，（1）若α是和一象限角，且533)(=αf ，求)(αg 的值；（2）求使)()(x g x f ≥成立的x 的取值集合 答案：B ；552-；（1）π（2）最大22，最小2-；（1）51)(=αg （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,3222|πππ2018-01-281、设函数2||,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则A.)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减 B. )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4ππ单调递减 C. )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递增 D. )(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ单调递增 2、=-)1865sin(185sin18sinπππ3、设函数R x x x x f ∈-+=),2sin(sin )(πωω，（1）若21=ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期4、已知函数)50)(36sin(2)(≤≤+=x x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图像上的最高点和最低点，（1）求点B A ,的坐标；（2）设点B A ,分别在角βα,的终边上，求)2tan(βα-的值 答案：A ；81；（1）(1,2),(5,1)A B -（2）229；（1）当Z k k x ∈+=,423ππ时，最大为2（2）2=ω，最小正周期π2018-01-291、已知210cos sin 2=+αα，则=α2tan 2、函数2)cos (sin )(x x x f +=图像的一条对称轴议程是 A.4π=x B. 3π=x C. 2π=x D.π=x 3、已知函数x y cos 2=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3，值域为[]b a ,，则a b -的值是A.2B. 3C. 23+D.32-4、将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图像上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得图像对应的解析式为 5、若02,20<<-<<βππα，33)24cos(,31)4cos(=-=+βπαπ，则=+)2cos(βαA． B．C． D．答案：43；A ；3；)1252sin(π+=x y ；C2018-01-301、已知锐角α的终边上一点)40cos 1,40(sin +P ，则锐角=α A. 80 B. 70 C. 20 D. 102、已知552sin ),,2(=∈αππα，则=α2tan3、已知函数)0)(3sin()(,cos 3)(>-==ωπωωx x g x x f ，且)(x g 的最小正周期为π，（1）若],[,26)(ππαα-∈=f ，求α的值；（2）求函数)()(xg x f y +=的单调递增区间4、已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23125=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，（1）求A 的值；（2）若)2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f ，求)43(θπ-f 答案：B ；34；（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈87,8,8,87ππππα（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ；（1）3=A （2）4302018-01-311、已知函数)(sin 2cos cos 2sin )(R x x x x f ∈+=ϕϕ，其中ϕ为实数，且⎪⎭⎫⎝⎛≤92)(πf x f 对任意实数恒成立，记⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=67,65,32πππf r f q f p ，则r q p ,,的大小关系为A.q p r <<B. p r q <<C. r q p <<D.r p q << 2、已知)40(34cos sin πθθθ<<=+，则=-θθcos sin 3、已知55sin ,,2=⎪⎭⎫⎝⎛∈αππα，（1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4sin 的值；（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ265cos 的值 4、已知函数)43sin()(π+=x x f ，（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，απαα2cos )4cos(54)3(+=f 求ααsin cos -的值 答案：C ；32-；（1）1010-（2）10334+-；（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-3212,324ππππk k （2）2-或25-2018-02-011、给定性质：（1）最小正周期为π；（2）图像关于直线3π=x 对称，则下列四个函数中，同时具有性质（1）（2）的是A.)62sin(π+=x yB. )62sin(π-=x yC. )62sin(π+=x y D.||sin x y = 2、若41)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ3、若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=4、设)2cos(sin )6cos(4)(x x x x x f +--=ωωπω，其中.0>ω（1）求函数)(x f y =的值域；（2）若)(x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23πx 上为增函数，求 ω的最大值. 答案：B ；87-；32；（1）[]31,31+-（2）612018-02-021、已知函数22cos2sin32cos )(2-⋅++=x x x x f πππ，则函数)(x f 在]1,1[-上的单调递增区间为A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,32 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,432、已知函数)0,(2132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f ，若对任意R x ∈都有0)(≤x f ，则a 的取值范围是 A.)0,23[-B. ]1,0()0,1[ -C. ]1,0(D.]3,1[ 3、设)2(cos )cos sin (cos )(,2x x x a x x f R a -+-=∈π，满足)0(3f f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2411,4ππ上的最大值和最小值.4、已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10，（1）求ω的值；（2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，1716)655(,56)355(=--=+πβπαf f ，求)cos(βα+的值 答案：A ；C ；最大2)3(=πf 最小2)2411(=πf ；（1）51=ω（2）8513-2018-02-031、已知α是第二象限角，)5,(x p 为其终边上一点，且x 42cos =α，则=x A.3 B. 3± C. 2- D.3-2、已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是3、若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则ααα22cos 4sin 2sin +的最大值为4、已知21tan -=α，则=--1cos 22sin 2αα 5、已知函数x x x f sin )4cos()(π+=，则函数)(x f 的图像A.关于直线8π=x 对称 B. 关于点)42,8(-π对称 C. 最小正周期为π2=T D.在区间⎪⎭⎫⎝⎛8,0π上为减函数 答案：D ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 2,32；21；517-；A2018-02-04 1、函数)6cos()2sin(x x y -+=ππ的最大值为 2、已知ααcos 21sin +=，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则)4sin(2cos παα-的值为__________3、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-4、将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-5、函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π答案：；；C ；B ；A2018.02.051、已知函数11)(22+++=x x x x f ，若32)(=a f ，则=-)(a f2、下列函数中，与函数xy 3-=奇偶性相同，且在)0,(-∞上单调性也相同的函数是A.xy 1-= B.||log 2x y = C.21x y -= D.13-=x y 3、若函数x x x f 3)(3+=对任意的]2,2[-∈m ，0)()2(<+-x f mx f 恒成立，则∈x 4、函数1ln -=x y 的图像与函数)42(cos 2≤≤--=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于 5、对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对x R ∈，有(1)()f x f x -=-，则()f x 的周期为2； ④函数(1)(1)y f x y f x =-=-与的图 象关于直线0x =对称，其中正确命题的序号是 。

每日一题规范练[题目1] 已知向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，则a ∥b ，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求φ的值．2016年____月____日(周一)[题目2] 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD 和DD 1的中点．求证：(1)EF ∥平面C 1BD ； (2)A 1C ⊥平面C 1BD .2016年____月____日(周二)[题目3] 如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙 AP ，AQ 总长为200米，如何围可使三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？2016年____月____日(周三)[题目4] 已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)若m ＝0时，求k 1·k 2的值；(2)若k 1·k 2＝－1时，证明：直线l ：y ＝kx ＋m 过定点．2016年____月____日(周四)[题目5] 在数列{a n }，{b n }中，已知a 1＝0，a 2＝1，b 1＝1，b 2＝12，数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足S n ＋S n ＋1＝n 2，2T n ＋2＝3T n ＋1－T n ，其中n 为正整数． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使T n ＋1－mT n －m＞1＋b m ＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．2016年____月____日(周五)[题目6] 设函数f (x )＝x 2ln x －ax 2＋b 在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝－x ＋b . (1)求实数a 及x 0的值；(2)求证：对任意实数b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2，函数f (x )有且仅有两个零点． 2016年____月____日(周六)[题目7] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b . (1)求证：B ≤π2；(2)当AB →·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积．2016年____月____日(周一)[题目8] 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O ，E 分别为B 1D ，AB 的中点．(1)求证：OE ∥平面BCC 1B 1； (2)求证：平面B 1DC ⊥平面B 1DE .2016年____月____日(周二)[题目9] 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点． (1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．2016年____月____日(周三)[题目10] 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2 km ，AD 为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km2？并说明理由．2016年____月____日(周四)[题目11] 已知函数f(x)＝k e x－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．(1)若k＜0，试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求k的取值范围，并证明0＜f(x1)＜1.2016年____月____日(周五)[题目12] 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求a n 及T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 2016年____月____日(周六)[题目13] 已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)． (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．2016年____月____日(周一)[题目14] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .2016年____月____日(周二)[题目15] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？2016年____月____日(周三)[题目16] 已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．2016年____月____日(周四)[题目17] 已知数列{a n}的前n项和S n＝a n＋n2－1，数列{b n}满足3n b n＋1＝(n＋1)a n＋1－na n，且b1＝3.(1)求a n，b n；(2)设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．2016年____月____日(周五)[题目18] 已知m∈R，f(x)＝2x3＋3x2＋6(m－m2)x.(1)当m＝1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m ∈[12，2]且关于x 的不等式(m －1)2(1－4m )≤f (x )≤20在区间[k ，0]上恒成立，求k的最小值k (m )．2016年____月____日(周六)[题目19] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca .(1)求B ；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值．2016年____月____日(周一)[题目20] 在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：EG ⊥平面BDF .2016年____月____日(周二)[题目21] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．2016年____月____日(周三)[题目22] 如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD∥EF ，且点A ，D 在EF ︵上，设∠AOD ＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2)当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．2016年____月____日(周四)[题目23] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. 2016年____月____日(周五)[题目24] 已知函数f (x )＝xln x－ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的最小值；(2)若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a (a ＞0成立)，求实数a 的取值范围．2016年____月____日(周六)[题目25] 已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝2S . (1)求sin A ；(2)若|AB →|＝3，|AB →－AC →|＝23，求sin B .2016年____月____日(周一)[题目26] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .2016年____月____日(周二)[题目27] 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．2016年____月____日(周三)[题目28] 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？2016年____月____日(周四)[题目29] 设f (x )＝e x(ax 2＋x ＋1)． (1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|＜2.2016年____月____日(周五)[题目30] 设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对于正整数k ，m ，l (k ＜m ＜l )，求证：“m ＝k ＋1且l ＝k ＋3”是“5a k ，a m ，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；(3)设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，且集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ⎪⎪⎪b na n≥λ，n ∈N *中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．2016年____月____日(周六)第五部分 每日一题规范练[题目1] 解 (1)∵a ∥b ，∴sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝1＋21－2＝－3. (2)由(1)知tan θ＝2，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55，∵5cos(θ－φ)＝35cos φ，∴5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝35cos φ，即5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ，即tan φ＝1， 又0＜φ＜π2，∴φ＝π4.[题目2] 证明 (1)连接AD 1，∵E ，F 分别是AD 和DD 1的中点， ∴EF ∥AD 1.∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1. 四边形ABC 1D 1为平行四边形，即有AD 1∥BC 1，∴EF ∥BC 1. 又EF ⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ，∴EF ∥平面C 1BD .(2)连接AC ，则AC ⊥BD .∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ， ∴AA 1⊥BD .又AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C ， ∴A 1C ⊥BD . 同理可证A 1C ⊥BC 1.又BD ∩BC 1＝B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD . [题目3] 解 设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy sin 120°＝34xy .∴S ≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝2 500 3.当且仅当x ＝y ＝100时取“＝”．即AP ＝AQ ＝100米时，三角地块APQ 面积最大．(2)由题意得100×(1·x ＋1.5·y )＝20 000，即x ＋1.5y ＝200. 要使竹篱笆用料最少，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y ＝1.75y 2－400y ＋40 000⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜y ＜4003.当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.即AP ＝2007米，AQ ＝8007时，篱笆用料最省．[题目4] (1)解 当m ＝0时，直线l ：y ＝kx 代入椭圆C ：x 24＋y 22＝1的方程，得到x 2＋2k 2x2＝4，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2，所以k 1＝－2k1＋2k 2－2－21＋2k2＝2k ＋2·1＋2k22，k 2＝2k 1＋2k 2－221＋2k2＝2k －2·1＋2k 22，所以k 1·k 2＝4k 2－2（1＋2k 2）4＝－12.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C ：x 24＋y 22＝1的方程，并整理得到(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 则Δ＞0，且x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k 2.由k 1·k 2＝－1知y 1－2x 1·y 2－2x 2＝－1. 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋2＋x 1x 2＝0，(kx 1＋m )(kx 2＋m )－2(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋x 1x 2＋2＝0，k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2－2k (x 1＋x 2)－22m ＋x 1x 2＋2＝0，(k 2＋1)2m 2－41＋2k2＋k (m －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k ＋m 2－22m ＋2＝0， (k 2＋1)(2m 2－4)＋k (m －2)(－4km )＋(m 2－22m ＋2)(1＋2k 2)＝0， 所以3m 2－22m －2＝0，解得m ＝2(舍)或m ＝－23， 所以直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23. [题目5] 解 (1)因为S n ＋S n ＋1＝n 2，所以当n ≥2时，S n －1＋S n ＝(n －1)2， 两式相减得a n ＋a n ＋1＝2n －1， 又a 2＋a 1＝1也适合上式，所以a n ＋a n ＋1＝2n －1对一切n ∈N *成立， 所以当n ≥2时，a n －1＋a n ＝2n －3， 再相减得a n ＋1－a n －1＝2，所以数列{a n }的奇数项成公差为2的等差数列、偶数项也成公差为2的等差数列， 又a 1＝0，a 2＝1，可解得a n ＝n －1. 因为2T n ＋2＝3T n ＋1－T n ， 所以2T n ＋2－2T n ＋1＝T n ＋1－T n ， 即2b n ＋2＝b n ＋1，又2b 2＝b 1，所以对一切n ∈N *均有2b n ＋1＝b n ， 所以数列{b n }成公比为12的等比数列，所以b n ＝12n －1.(2)因为b n ＝12n －1，所以T n ＝1－12n1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，由T n ＋1－m T n －m ＞1＋b m ＋2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m＞1＋12， 即（2－m ）2n－1（2－m ）2n－2＞1＋12m ＋1， 1＋1（2－m ）2n －2＞1＋12m ＋1，1（2－m ）2n－2＞12m ＋1， 因为2m ＋1＞0，所以(2－m )2n －2＞0，且(2－m )2n －2＜2m ＋1，即(2－m )2n＜2＋2m ＋1且(2－m )2n＞2.即m ＜2且m ∈N *，故m ＝1，此时2n＜2＋22＝6，(2－1)2n＞2，故n ＝2， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m ，n )为(1，2)． [题目6] (1)解 因为f ′(x )＝2x ln x ＋x －2ax ，所以在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝－x ＋x 20ln x 0－ax 20＋x 0＋b ，其中⎩⎪⎨⎪⎧2x 0ln x 0＋x 0－2ax 0＝－1，x 20ln x 0－ax 20＋x 0＋b ＝b ， 解得x 0＝1，a ＝1.(2)证明 因为函数f (x )＝x 2ln x －x 2＋b (x ＞0)，所以f ′(x )＝2x ln x －x ，令f ′(x )＝2x ln x －x ＝0，得x ＝e ， 且当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，即f (x )＝x 2ln x －x 2＋b 在x ∈(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )＝x 2ln x －x 2＋b 在x ∈(e ，＋∞)上单调递增； 所以f (x )有最小值f (e)＝b －e2＜0.又f (e)＝e 2－e 2＋b ＞0，所以f (x )＝x 2ln x －x 2＋b 在(e ，e)上一定有一解， 下面证明存在x 1∈(0，e)使f (x 1)＞0， 令h (x )＝x ln x －x ＋1，h ′(x )＝ln x ，所以当x ∈(0，1)时，h (x )＝x ln x －x ＋1在(0，1)上单调递减， 所以当x ∈(0，1)时，h (x )＝x ln x －x ＋1＞h (1)＞0， 所以当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2ln x －x 2＋b ＞b －x ， 取x 1＝min{1，b }，则f (x 1)＞b －x 1＞0，所以f (x )＝x 2ln x －x 2＋b 在(x 1，e)上一定有一解， 综上所述，函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点．[题目7] (1)证明 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋c 2－12（a ＋c ）22ac ＝12（a －c ）22ac≥0，又B ∈(0，π)．∴B ≤π2(当且仅当a ＝c 时取得等号)．(2)解 ∵AB →·BC →＝－2，∴ac cos B ＝2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12，∴a 2＋c 2＝16， 又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，又∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.[题目8] 证明 (1)连接BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连接OF .因为O ，F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC ，又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ， 且EB ＝12DC ，从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF ，又OE ⊄平面BCC 1B 1，BF ⊂平面BCC 1B 1， 所以OE ∥平面BCC 1B 1.(2)因为DC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥DC .又BC 1⊥B 1C ，且DC ，B 1C ⊂平面B 1DC ，DC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1DC ，BC 1∥OE ，所以OE ⊥平面B 1DC ，又OE ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DC ⊥平面B 1DE . [题目9] 解 (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b 2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1，故OA ＝OC ＝1＋k 21·22k 21＋1. 同理，OB ＝OD ＝1＋k 22·22k 22＋1. 又因为AC ⊥BD ，所以OB ＝OD ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 12·22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 12＋1，其中k 1≠0.从而菱形ABCD 的面积S ＝2OA ·OB ＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 12·22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k12＋1，整理得S ＝412＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋1k 12，其中k 1≠0. 故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为83.[题目10] 解 (1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2，4)． 设边缘线AC 所在抛物线的方程为y ＝ax 2(a ＞0)， 把(2，4)代入，得4＝a ·22，解得a ＝1， 所以抛物线的方程为y ＝x 2. 因为y ′＝2x .所以过P (t ，t 2)的切线EF 方程为y ＝2tx －t 2.令y ＝0，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，0； 令x ＝2，得F (2，4t －t 2)， 所以S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2(4t －t 2)，所以S ＝14(t 3－8t 2＋16t )，定义域为(0，2]．(2)S ′＝14(3t 2－16t ＋16)＝34(t －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫t －43， 由S ′(t )＞0得0＜t ＜43(t ＞4舍去)．所以S ′(t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2上是减函数，所以S 在(0，2]上有最大值S ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝6427.又因为6427＝3－1727＜3，所以不存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 km 2.[题目11] 解 (1)由f ′(x )＝k e x －2x 可知，当k ＜0时，由于x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝k e x－2x ＜0，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x－2x ， 令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x－2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2＞0，于是h (x )＝2e x－2x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以h (x )＝2e x －2x ＞h (0)＝2＞0，即f ′(x )＝2e x－2x ＞0在(0，＋∞)上恒成立， 从而f (x )＝2e x－x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2＞f (0)＝2. (3)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x－2x ＝0的两个根， 即方程k ＝2x e x 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x ＜0时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＜0； 当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＞0； 当x ＞1时，φ′(x )＜0，函数φ(x )单调递减且φ(x )＞0. 要使k ＝2x e x 有两个根，只需0＜k ＜φ(1)＝2e，如图所示，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e .又由上可知函数f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2， 由f ′(x 1)＝k e x1－2x 1＝0，得k ＝2x 1e x 1.∴f (x 1)＝k e x 1－x 21＝2x 1e x 1e x 1－x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0，1)，故0＜－(x 1－1)2＋1＜1， 所以0＜f (x 1)＜1.[题目12] 解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22，（a 1＋d ）（a 1＋4d ）＝a 1（a 1＋13d ）， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1.(2)假设存在正整数m ，n (1＜m ＜n )．使T 1，T m ，T n 成等比数列，则由(1)知，T n ＝n2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，所以有T 2m ＝T 1·T n ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13·n 2n ＋1⇒m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3⇒4m 2＋4m ＋1m 2＝6n ＋3n ⇒3n ＝4m ＋1－2m 2m 2，①因为n ＞0，所以4m ＋1－2m 2＞0⇒1－62＜m ＜1＋62，因为m ∈N *，m ＞1，∴m ＝2，当m ＝2时，代入①式，得n ＝12.综上，当m ＝2，n ＝12时可以使T 1，T m ，T n 成等比数列．[题目13] 解 (1)由a ⊥b ，可知a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)，可得|a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0，又cos 2 θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin θ＝35，cos θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. [题目14] 证明 (1)如图，在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD . (2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD . 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD . [题目15] 解 (1)每吨平均成本为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元．则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0，210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．[题目16] 解 (1)由题知CA ＋CB ＝CP ＋CQ ＋AP ＋BQ ＝2CP ＋AB ＝4＞AB ， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)，设曲线M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝3， 所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1，0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1，2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9（m 2＋1）3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m23m 2＋4. 注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD →＝0， 即m ＝±73，所以直线BC 的方程3x ＋7y －3＝0或 3x －7y －3＝0为所求．[题目17] 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1， ∴a n －1＝2n －1. ∴a n ＝2n ＋1，∴3n·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13（1－13n －1）1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3.T n －T n ＋1＝4（n ＋1）＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－（4n ＋3）3n＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列． 又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，∴T n ＜7时，n 的最大值为3.[题目18] 解 (1)当m ＝1时，f (x )＝2x 3＋3x 2，f ′(x )＝6x 2＋6x . 切线斜率为k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝5，所以切线方程为y ＝12x －7. (2)令f ′(x )＝6x 2＋6x ＋6(m －m 2)＝0，可得x 1＝－m ，x 2＝m －1，因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以m －1－(－m )＝2m －1≥0.①当m －1≤0，且2m －1＞0，即12<m ≤1时．f (x )极大＝f (－m )＝4m 3－3m 2， f (x )极小＝f (m －1)＝(m －1)2(1－4m )．令g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，则g ′(m )＝12m 2－6m ≥0.故g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，故g (m )≤g (1)＝1≤20恒成立． 令h (x )＝f (x )－(m －1)2(1－4m )，显然h (m －1)＝f (m －1)－(m －1)2(1－4m )＝0， 令h (x 0)＝h (m －1)(x 0≠m －1)，设[x －(m －1)]2(ax ＋b )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x －(m －1)2(1－4m )，比较两边系数得a ＝2，b ＝4m －1，故x 0＝－b a ＝1－4m2.结合图象可知，要使(m －1)2(1－4m )≤f (x )恒成立．则只需x 0≤k ＜0即可，故k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜m ≤1； ②当m －1＞0即1＜m ≤2时，同①可知，g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，又g (m )在(1，2]上单调递增，故g (m )≤g (2)＝20恒成立．同理可知k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m2(1＜m ≤2)，综上可知，k (m )＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.[题目19] 解 (1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A ，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin C sin A ，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin Csin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A.因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6 ＝26＋16. [题目20] 证明 (1)∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC .又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点， ∴AD 綊BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ， ∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ， ∴DF ⊥EG .∵EF 綊BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形， ∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF .[题目21] 解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，解上述一元二次方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22. ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. [题目22] 解 (1)设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．当π3≤θ<π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ， 故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ. 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θ（2cos θ＋1），0<θ<π3，32sin 2θ，π3≤θ<π2.(2)当0<θ<π3时，求导得S ′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]＝16(4cos 2θ＋cos θ－2)．令S ′＝0，得cos θ＝33－18. 记区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表：又当π3≤θ<2时，S ＝32sin 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，2上单调递减，所以当θ＝θ0即cos θ＝33－18时，矩形的面积最大． [题目23] (1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3， 又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1.由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，所以c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.[题目24] 解 (1)因f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 故f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0，又f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x 2＋1ln x－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ，设1ln x ＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝－(t －12)2＋14－a ，故当t ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，解得a ≥14，所以a 的最小值为14.(2)命题“若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”，等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”，由(1)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，f ′(x )max ＋a ＝14，问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”．10当a ≥14时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e2. 20当0＜a ＜14时，f ′(x )max ＝14－a ＞0，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈[e ，e 2]，使f ′(x 0)＝0，且满足：当x ∈[e ，x 0]时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈[x 0，e 2]时，f ′(x )＞0.由f (x )min＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈[e ，e 2]，所以，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上所述，得a ≥12－14e2.[题目25] 解 (1)∵△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝2S ， ∴bc cos A ＝2×12bc sin A ，∴sin A ＝2cos A ，∴A 为锐角，且sin 2A ＋cos 2A ＝sin 2A ＋12sin 2A ＝32sin 2A ＝1，∴sin A ＝63. (2)设△ABC 中角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ， ∵|AB →|＝c ＝3，|AB →－AC →|＝|CB →|＝a ＝23，由正弦定理得c sin C ＝a sin A ，即3sin C ＝2363，∴sin C ＝22，又∵c ＜a ，则C 为锐角，∴C ＝π4， ∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝63×22＋33×22＝23＋66. [题目26] 证明 (1)因为平面PAD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD . 所以PA ⊥底面ABCD . (2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD . 又因为PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD ，且CD ⊂平面PCD ， 又E ，F 分别是CD 和CP 的中点， 所以EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .[题目27] (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1， ∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y .(2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．[题目28] 解 (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝ －120 000(x －475)2＋34532，故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532. 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．[题目29] (1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a)(x ＋2)， 当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，f (x )在R 上单增； 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得－1a＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减． 当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a或x ＜－2； 由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减．(2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值，∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x(x －1)(x ＋2)．由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2，1]上单调递增． ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0，1]， ∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.[题目30] (1)解 ∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 1a 5＝a 23＝64，∴a 3＝8，又∵S 5－S 3＝48，∴a 4＋a 5＝8q 2＋8q ＝48，∴q ＝2，∴a n ＝8·2n －3＝2n. (2)证明 (ⅰ)必要性：设5a k ，a m ，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2·5a k ＝a m ＋a l ，则10·2k ＝2m ＋2l ，∴10＝2m －k ＋2l －k ，∴5＝2m －k －1＋2l －k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －k －1＝1，2l －k －1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝k ＋1，l ＝k ＋3. ②若2a m ＝5a k ＋a l ，则2·2m ＝5·2k ＋2l ，∴2m ＋1－k －2l －k ＝5，左边为偶数，等式不成立．③若2a l ＝5a k ＋a m ，同理也不成立．综合①②③，得m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，所以必要性成立． (ⅱ)充分性：设m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，则5a k ，a m ，a l 这三项为5a k ，a k ＋1，a k ＋3，即5a k ，2a k ，8a k ，调整顺序后易知2a k ，5a k ，8a k 成等差数列，所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．(3)解 ∵a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6， 即21b n ＋22b n －1＋23b n －2＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，(*) ∴当n ≥2时，21b n －1＋22b n －2＋23b n －3＋…＋2n －1b 1＝3·2n －4n －2，(**) 则(**)式两边同乘以2，得22b n －1＋23b n －2＋24b n －3＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－8n －4，(***) ∴(*)－(***)得2b n ＝4n －2，即b n ＝2n －1(n ≥2)， 又当n ＝1时，2b 1＝3·22－10＝2，即b 1＝1， 适合b n ＝2n －1(n ≥2)，∴b n ＝2n －1. ∴b n a n ＝2n －12n ，∴b n a n －b n －1a n －1＝2n －12n －2n －32n －1＝5－2n 2n ， ∴n ＝2时，b n a n －b n －1a n －1>0，即b 2a 2>b 1a 1； ∴n ≥3时，b n a n －b n －1a n －1<0，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减， 又b 1a 1＝12，b 2a 2＝34，b 3a 3＝58，b 4a 4＝716，∴716<λ≤12.。