弹性力学圆形薄板

弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法

16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板

第三章圆板的应力分析

且其它位移、应变和应力分量均与无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板中心挠度和应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
21
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均布载荷固支圆板
2πr
z
r
(b)

弹性力学08板的弯曲B

C2 0
C3
2(1
Mb 2
)D(a2
b2 )
Ma 2b2
Ma 2b2
C4 2(1 )D(a2 b2 ) 1 D(a2 b2 ) ln a
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
（3）周边简支沿内缘受均布剪力的环板
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
)
1
r2 a2
Mr M
M M
M
Qr 0
M
a z
例题2：周边简支圆板在外边界受均布力矩作用，在中心有链杆。
解：
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0
无均布载荷 q0 0
w(r) C2r 2 ln r C3r 2 C4
w r0 0 w ra 0
2w x 2
2w y 2
My
D
2w x 2
2w y 2
M xy
M
yx
D1
2w
xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
x
r
Mr
y
Mr
z
M Q Qr
x r, y
2w 2w x2 r 2
2w y 2
1 r
w r
1 r2
2w
2
2w 1 w
xy r r
❖薄板横截面上的内力：
Mr
D
2w r 2
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0, C2 0

弹性力学圆形薄板

xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2

x
Q
同样可得Qy,
记可得
Et 2 D 12 (1 2 )

x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即

x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定

二、弹性曲面的基本公式三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解

圆板的应力分析

8
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2.平衡方程
设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r )。通常薄板弯曲的
平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微
小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭
头表示，方向遵循右手螺旋法则。
M q Qr
d
Mr r
0 z
dr M
Mr dMr Qr dQr
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§3.1 基本概念与假设
变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存
在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。
挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。
当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。
c
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M
dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r dM r dr
Mr
M
Qrr 或
drMLeabharlann drrMQrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
t
(a)受纵向载荷的板
(b)受横向载荷的板
第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解。

弹性薄板的小挠度弯曲课件

践指导。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本原理，包括应力和应变的关系，以及弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较小，可以忽略不计薄板的剪切变形和转动惯性。这种变形情况下，薄板的弯曲变形可以通过挠度（即变形量）来描述。在弹性力学中，应力和应变之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比，比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯曲时，其弯曲行为与材料属性、几何尺寸等因素密切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟，我们得到了弹性薄板在小挠度弯曲下的变形规律和应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数值模拟结果基本一致，验证了理论的正确性和数值方法的可靠性。小的单元，对每个单元进行弯曲分析，通过求解每个单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板，可以通过解析方法直接求解弯曲微分方程，得到挠度分布的精确解。

板壳理论弹性薄板弯曲的基本理论(精编荟萃)

（2）全部非零的应力分量为9个（x，y，z，xy＝ yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3个（ ex，ey， gxy)。
（3）注意计算中的错误。
精编荟萃
24
第一章弹性薄板弯曲的基本理论
§1.5 四边简支矩形板的一般解
薄板横向弯曲的微分方程是
D 2 2 w

4w
D

(1.3.5)
精编荟萃
4
第一章弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的后两个条件合并为一个。
图1.5 边精界编荟上萃的扭矩
5
第一章弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。在微段CD上：
内力Myxdx
在微段DE上：
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2 w
（2）边界条件

4w
D

x
4

2
4w x 2y 2

4w
y 4

q
设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准
面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是
x
x
w y, w x
xa b
yb a
(1.4.7)
在这两个边界上还有薄板弯矩的边界条件
M x xa M y yb 0
在OA边和OC边，边界条件是
(1.4.8)
w x0 0 , M x x0 0 w y0 0 , M精y 编y荟0萃 0
(1.4.9) 19
第一章弹性薄板弯曲的基本理论
（3）取满足边界条件挠度函数
取薄板的挠度曲线函数为
w x xy

弹性力学及有限单元法邵国建薄板弯曲问题

第九章薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面
应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，
对于
平x面,应y ,力问xy ,题的应力为均匀
分布，合成轴力
Nx , N y , Nxy;
而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中
面为0，合成弯矩 M x ,M和y扭矩。M xy
第九章薄板弯曲问题
因此，中面在变形后，其线段和面积在 xy 面上的投影形状保持不变。
第九章薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。
实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。
zx 0, zy 0 .
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起
的形变项。因此，当略去 z , xz和 zy 后，
薄板弯曲问题的物理方程为
x

1 E
(σx

σy ),
y

1 E
(σ y

σx ),
xy

2(1 E
) xy.
(b)
第九章薄板弯曲问题
说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
第九章薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
何方程及计算假定1，
εz

w z

0, w
w( x,
y).
第九章薄板弯曲问题
2. 将 u，用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,

有限元-圆孔薄板

有限元方法的优点和局限性
优点
有限元方法具有广泛的适用性，可以处理复杂的几何形状、材料属性和边界条件。它能够处理非线性问题，并且可以模拟大规模系统。此外，有限元方法还具有高精度和灵活性。
局限性
有限元方法需要大量的计算资源和时间，尤其对于大规模系统。此外，对于某些特殊问题，可能需要开发特定的有限元模型和求解算法。
Abaqus
功能强大的有限元分析软件，广泛应用于各种工程领域。
有限元分析的精度和误差分析
精度
误差来源
误差分析方法
提高精度措施
有限元分析的精度取决于模型的离散程度、方程求解的算法以及数值计算的舍入误差等。
主要包括离散误差、舍入误差和模型误差等。离散误差是由于模型离散化引起的，舍入误差是由计算机浮点运算引入的，而模型误差是由于对实际问题的简化引起的。
结果评估
对求解结果进行后处理和可视化，评估分析的精度和可靠性。
有限元分析的软件工具
ANSYS
提供广泛的多物理场仿真功能，包括结构、流体、电磁等。
COMSOL Multiphysics
多物理场仿真软件，支持多种物理现象的耦合分析。
SolidWorks Simulation
基于SolidWorks平台的有限元分析工具，适用于各种工程应用。
几何模型需要考虑孔洞和平板的形状、尺寸以及相互之间的连接关系。
圆孔薄板的有限元网格划分
有限元网格划分是将几何模型离散化为有限个小的单元，以便进
行数值计算。
对于圆孔薄板，常用的有限元网格划分方法包括四边形网格、六
面体网格等。
网格的密度和分布对计算精度和稳定性有重要影响，需要根据实

弹性力学-第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法

第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立；（2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等；（3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并成为弹性曲面的法线。

圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节平板应力分析3.4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。

2、平板的几何特征及平板分类w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与力载荷：①平面载荷：作用于板中面的载荷②横向载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷力：①薄膜力——中面的拉、压力和面剪力，并产生面变形②弯曲力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面载荷也会产生弯曲力，而弯曲载荷也会产生面力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w 的挠度。

只有横向力载荷②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。

◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R ，厚度t 的圆平板受轴对称载荷P z ，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，力M r 、M θ、Q r 三个力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r 、θ、z 圆柱坐标系中，挠度w 只是 r 的函数，而与θ无关。

求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（z p w:）→求w 求→力r M M θ、→求应力r θσσ、微元体力：径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力：上表面z P p rd dr θ=2、几何协调方程(W ~ε)取AB dr =，径向截面上与中面相距为z ，半径为r 与r dr +两点A 与B 构成的微段板变形后：微段的径向应变为 ()r z d z d z dr dr ϕϕϕϕε+-==（第2假设）过A 点的周向应变为()222r z r z r rθπϕπϕεπ+-==（第1假设）作为小挠度dwdrϕ=-，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：22r d wz dr z dw r drθεε=-=-（2-55） 3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

弹性力学 (3)

之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移，可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)，将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函数，与无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。

圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节平板应力分析平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。

2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。

t/b≤1/5时(薄板)w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷②横向载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度。

只有横向力载荷②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。

◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2圆平板对称弯曲微分方程分析模型柱坐标系中，分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z，在r、θ、z圆体。

微元体内力：径向：M r 、M r +（d M r /d r ）d r 周向：M θ、 M θ横向剪力：Q r 、Q r +（d Q r /d r ）d r 微元体外力：上表面z P p rd dr θ=2、几何协调方程(W ~ε)取AB dr =，径向截面上与中面相距为z ，半径为r 与r dr +两点A 与B 构成的微段板变形后：微段的径向应变为 ()r z d z d z dr drϕϕϕϕε+-==（第2假设）过A 点的周向应变为()222r z r z r rθπϕπϕεπ+-==（第1假设）作为小挠度dwdrϕ=-，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：22r d wz dr z dw r drθεε=-=-（2-55） 3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

弹性力学圆形薄板

xz
Qx

2 t 2 t
xz dz
Qx
t Ez 2 2 2 t2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
Et3 2 w 12(1 ) x
同样可 2 )
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 2w M xy D (1 ) xy 2 Qx D w x Q y D 2 w y
2 2
Εz 2 xy 1 xy
三、圆形薄板弯曲问题
1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ 和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) 进行坐标变换可得： φ ρ
sin cos x ρ ρ cos sin y ρ ρ
M xy z xy dz
t 2 t 2
M xy
xy
可得
t Ez w 2 2 M xy z dz t 1 xy 2 2
Et3 2w 12(1 ) xy
截面上的内力：剪力由
Ez 2 t 2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M
M
M yx dx x
yx A
yx A
M yx 边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 dx x M yx 边界上的总的分布剪力为 Vy Q y dx x

《弹性力学》第十二章薄板弯曲

D点的挠度为 w w dy
y
由
xz

0和

yz

0 可知
u z

w x

0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
x

1
E

2
x y
y

1
E

2
y x
xy

E
21

xy
10
将应力分量用挠度w 表示，得：
x

1
E

2

2w x 2

2w y 2

z

y

E
1 2

2w y 2

2w x 2

与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为:
x2 a2

y2 b2
1
ao x
b
y
25
设挠度的表达式为:
w

C 1
x2 a2

y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
2w x2

2w y 2

xa

0

3w x3

2

机构力学课件-弹性薄板

NL = 荷載標誌 ( 0 - q , 1 - P )
E = 楊氏彈性模量 UM =泊桑比
T = 厚度
CAHS=圓心角
R = 半徑
5.5 平板殼體程式的使用
結點座標 IF (NH == 0) THEN
READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE
READ (8,*) ((XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF
N1對x，y的偏導數在結點處均為零。
2
考慮到撓度是非完全四此式，為
Mx1 My1
yz
w3 3
4 x
x3
y3
使自動滿足它點為零N1(j)=0 ，可設
N1 (1 )(1 )(a b c d 2 e 2 )
利用所有點N1的導數為零條件，P.125 經式(c)~(l) 的推導，再可由得本點處位移的條件，可得d=-1/8，由此
T
(
de 2
ABTDBdA - Aq(x,y)N dA) d
e
5.2 彈性薄板矩形（R12）單元
2) 薄板單元剛度方程
由總勢能的一階變分為零可得
式中
ke d e F Pe
ke ABTDBdA
P e AN Tq( x, y)dA
B
2 x 2
;
2 y 2
;2
2 xy
T
N
5.1 彈性薄板基本知識
由此可得薄板單位長度內力為Mx、My、Mxy= Myx
(dx=dy=1)，依此順序排列的列陣稱內力矩陣，記作
[M]。
將應力應變關係代入並對z進行積分，可得
[M]=[D][]
式中
[D]=（h3/12）[D]’
稱作薄板的彈性矩陣。

《弹性力学与有限元》第2章轴对称圆板的弯曲

《弹性理学与有限元法》
第 2 章轴对称圆板的弯曲
面清晰，将正应力及剪应力τ rz 分别绘在图 2-3-2a 及 b 上。
图 2-3-1 圆形薄板的应力分量
在垂直于 r 轴的截面上，作用着σ r 和τ rz 。由式（2-2-4）比，是关于 z 的奇函数，所以它在薄板全厚上的代数和为零，只能合成为弯矩。在该截面的单位宽
线垂直于变形后的中曲面，而且线段长度也保持不变。这与材料力学中梁弯曲问
题平面假设相似。该假定进一步表明：①
εz
=
∂w ∂z
=
0 ，也即 w
=
w( x,
y) ②不考
虑薄板的横剪力对板的影响，即应力分量τ zx 、τ zy 远小于σ x 、σ y 、τ xy ，它们引
起的变形可以忽略不计，即：γ zx = 0 ，γ zy = 0
d dr
(∇2w)
+
C1
考虑到圆形薄板的下面和上面的边界条件为
τ( )zr z=±h / 2 = 0
即可得出 w 表示τ zr 的表达式：
( ) ( ) τ zr
=
2
E 1− µ2
⎛ ⎜ ⎝
z
2
−
h2 4
⎞ ⎟ ⎠
d dr
∇2w
(2-2-6)
（4）将应力分量σ z 也用 w 表示，利用（1-1）中的第三式，取体力分量 Fvz = 0 得：
ω = Cr2 + D + p0 r4 64D0
此时薄板的内力
Mr
= −2(1+ µ)D0C3
− 3+ µ 16
p0r 2
Mθ
=
−2(1
+
µ

(弹性力学讲义)第九章

第九章薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程空间问题的基本方程出发，空间问题的基本方程应用3个计算假定 3个计算假定进行简化，导出按位移按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。求解薄板弯曲问题的基本方程
第九章薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：薄板弯曲问题是按位移求解的 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要应变分量 εx ,εx ,γ xy ;主要应力分量 σ ,σ ,τ ；
γ
zx
= 0 , γ zy = 0 . ∂u ∂w ∂v ∂w =− , =− ∂z ∂x ∂z ∂y
(a )
(9−1 )
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起
的形变项。因此，当略去 ε z ,γ xz 和γ zy 后，薄板弯曲问题的物理方程为薄板弯曲问题的物理方程
1 1 2(1+ µ) εx = (σx − µσy ),ε y = (σy − µσx ),γ xy = τxy. E E E (b) (9-2)
∂2w ∂2w M y = − D ( 2 + µ 2 ), 弯矩 ∂y ∂x ∂2w 扭矩 M yx = − D (1 − µ ) , ∂x∂y ∂ 2 横向剪力 Fsy = − D ∇ w. ∂y
第九章薄板弯曲问题
求内力：求内力：取出δ ⋅ d x ⋅ d y的六面体， x面上，有应力 σx， xy， ; τ τxz y面上， τ，有应力 σy， yx τyz。其中 σx， y，τxy = τyx，沿z为直线分布，在中面为0； σ
τ τxz， yz ，沿z为二次分布，方向∥横截面。

弹性力学圆形薄板

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