弹性力学圆形薄板
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弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
第三章 圆板的应力分析
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板 中心挠度和 应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
21
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均布载荷固支圆板
2πr
z
r
(b)
清华大学弹性力学-薄板弯曲问题
t/2 t/2 y z dz
My
Qy
Mxy
Qx Mx
x
Myx
•扭矩 Mxy, Myx ：
使板截面z＞0上产生正号 剪应力xy， yx时为正。
xy xz
dy
x
z dx
•剪力 Qx, Qy ：
使板截面上产生正号剪 应力xz， yz时为正。
16
Mxy t/2 t/2 y
t 2
x
Mx
z dz z dx
(u v 0 ( z 0) )
10
2.物理方程：
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
2(1 ) yz yz E 2(1 ) zx zx E 2(1 ) xy xy E
Mx
t 2
z x dz
t 2
Et 3
2
12(1 ) x
(
2w
2
2w y
2
Байду номын сангаас
)
Et 3 2 w M xy z xy dz 12(1 ) xy t
2
17
Qx t/2 t/2 y z dz z dx
x
xy xz
dy
x
由于放弃了相应的物 理方程，需要依靠平 衡方程。
引入假设： z 0, xz 0, yz 0
8
w z 0 z
o
a A
M
z
x
b a’
A’
M’
机构力学课件-弹性薄板
NL = 荷載標誌 ( 0 - q , 1 - P )
E = 楊氏彈性模量 UM =泊桑比
T = 厚度
CAHS=圓心角
R = 半徑
5.5 平板殼體程式的使用
結點座標 IF (NH == 0) THEN
READ (8,*) MX,MY,XL,YL ELSE
READ (8,*) ((XY(I,J),I=1,2),J=1,NN) END IF
N1對x，y的偏導數在結點處均 為零。
2
考慮到撓度是非完全四此式，為
Mx1 My1
yz
w3 3
4 x
x3
y3
使自動滿足它點為零N1(j)=0 ，可設
N1 (1 )(1 )(a b c d 2 e 2 )
利用所有點N1的導數為零條件，P.125 經式(c)~(l) 的推導，再可由得本點處位移的條件，可得d=-1/8，由此
T
(
de 2
ABTDBdA - Aq(x,y)N dA) d
e
5.2 彈性薄板矩形（R12）單元
2) 薄板單元剛度方程
由總勢能的一階變分為零可得
式中
ke d e F Pe
ke ABTDBdA
P e AN Tq( x, y)dA
B
2 x 2
;
2 y 2
;2
2 xy
T
N
5.1 彈性薄板基本知識
由此可得薄板單位長度內力為Mx、My、Mxy= Myx
(dx=dy=1)，依此順序排列的列陣稱內力矩陣，記作
[M]。
將應力應變關係代入並對z進行積分，可得
[M]=[D][]
式中
[D]=（h3/12）[D]’
稱作薄板的彈性矩陣。
《弹性力学与有限元》第2章轴对称圆板的弯曲
《弹性理学与有限元法》
第 2 章 轴对称圆板的弯曲
面清晰，将正应力及剪应力τ rz 分别绘在图 2-3-2a 及 b 上。
图 2-3-1 圆形薄板的应力分量
在垂直于 r 轴的截面上，作用着σ r 和τ rz 。由式（2-2-4）比，是关于 z 的奇 函数，所以它在薄板全厚上的代数和为零，只能合成为弯矩。在该截面的单位宽
线垂直于变形后的中曲面，而且线段长度也保持不变。这与材料力学中梁弯曲问
题平面假设相似。该假定进一步表明：①
εz
=
∂w ∂z
=
0 ，也即 w
=
w( x,
y) ②不考
虑薄板的横剪力对板的影响，即应力分量τ zx 、τ zy 远小于σ x 、σ y 、τ xy ，它们引
起的变形可以忽略不计，即：γ zx = 0 ，γ zy = 0
d dr
(∇2w)
+
C1
考虑到圆形薄板的下面和上面的边界条件为
τ( )zr z=±h / 2 = 0
即可得出 w 表示τ zr 的表达式：
( ) ( ) τ zr
=
2
E 1− µ2
⎛ ⎜ ⎝
z
2
−
h2 4
⎞ ⎟ ⎠
d dr
∇2w
(2-2-6)
（4）将应力分量σ z 也用 w 表示，利用（1-1）中的第三式，取体力分量 Fvz = 0 得：
ω = Cr2 + D + p0 r4 64D0
此时薄板的内力
Mr
= −2(1+ µ)D0C3
− 3+ µ 16
p0r 2
Mθ
=
−2(1
+
µ
(弹性力学讲义)第九章
第九章 薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程 空间问题的基本方程出发， 空间问题的基本方程 应用3个计算假定 3个计算假定进行简化，导出按位移 按位移 求解薄板弯曲问题的基本方程。 求解薄板弯曲问题的基本方程
第九章 薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是： 薄板弯曲问题是按位移求解的 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应变分量 εx ,εx ,γ xy ;主要应力分量 σ ,σ ,τ ；
γ
zx
= 0 , γ zy = 0 . ∂u ∂w ∂v ∂w =− , =− ∂z ∂x ∂z ∂y
(a )
(9−1 )
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起
的形变项。因此，当略去 ε z ,γ xz 和γ zy 后， 薄板弯曲问题的物理方程为 薄板弯曲问题的物理方程
1 1 2(1+ µ) εx = (σx − µσy ),ε y = (σy − µσx ),γ xy = τxy. E E E (b) (9-2)
∂2w ∂2w M y = − D ( 2 + µ 2 ), 弯矩 ∂y ∂x ∂2w 扭矩 M yx = − D (1 − µ ) , ∂x∂y ∂ 2 横向剪力 Fsy = − D ∇ w. ∂y
第九章 薄板弯曲问题
求内力： 求内力： 取出δ ⋅ d x ⋅ d y的六面体， x面上， 有应力 σx， xy， ; τ τxz y面上， τ， 有应力 σy， yx τyz。 其中 σx， y，τxy = τyx，沿z为直线分布，在中面为0； σ
τ τxz， yz ，沿z为二次分布，方向∥横截面。
弹性力学 薄板弯曲
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
工程弹塑性力学课件：第八章薄板弯曲
何方程及计算假定1，
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
得
u w 0, v w 0.
z x
z y
对 z积分，
w
w
u x z f1(x, y), v y z f2 (x, y).
z
x y
zy σ y xy ,
z
y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
zx
Ez2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y),
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y),
其中
2
2 x2
2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应
变分量 x;,主 x要, x应y 力分量
；σ次x ,要σ x应, x力y
分量 及最次 要zx ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
取 ε，z 0由
， 得w 0
z z
w w(x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy和远小z 于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。
薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：
弯应力 σx ,σ（y 合成弯矩 M x ,M y）
及扭应力
（合成扭矩
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
得
u w 0, v w 0.
z x
z y
对 z积分，
w
w
u x z f1(x, y), v y z f2 (x, y).
z
x y
zy σ y xy ,
z
y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
zx
Ez2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y),
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y),
其中
2
2 x2
2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应
变分量 x;,主 x要, x应y 力分量
；σ次x ,要σ x应, x力y
分量 及最次 要zx ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
取 ε，z 0由
， 得w 0
z z
w w(x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy和远小z 于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。
薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：
弯应力 σx ,σ（y 合成弯矩 M x ,M y）
及扭应力
（合成扭矩
弹性薄板的小挠度弯曲
xy
E
21
xy
x
Ez
1 2
2w x 2
2w y 2
y
Ez
1 2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σ x，σ y和τ xy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
次要应力分量
• 按假设，σ z，τ xz和τ yz应为零，实际上， 它们只是远小于σ x，σ y和τ xy的次要的 应力分量，对于它们所引起的变形可略 去不计，但对于维持平衡，它们不能不 计。为了求得它们，现考虑不计体力的 平衡微分方程：
x x
y x zx y z
)2
Amn
sin
mx sin
a
ny
b
q.
将q(x,y) 也展为重三角级数，
4
ab
m x n y
m x n y
q [
q sin sin d x d y]sin sin . (e)
ab m1 n1
00
a
b
ab
将q代入上式，比较两边系数，得
4 a b q sin m x sin n x d x d y
• 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 • 二、薄板中的应力分量表示式 • 三、薄板横截面上的内力表示式
一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式
根据上述第一假设，由几何方程知（a）式
x
弹性力学及有限单元法邵国建薄板弯曲问题
第九章 薄板弯曲问题
⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面
应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，
对于
平x面,应y ,力 问xy ,题的应力为均匀
分布，合成轴力
Nx , N y , Nxy;
而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中
面为0，合成弯矩 M x ,M和y扭矩 。M xy
第九章 薄板弯曲问题
因此，中面在变形后，其线段和面积在 xy 面上的投影形状保持不变。
第九章 薄板弯曲问题
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题 中提出了上述3个计算假定，并应用这3个 计算假定,简化空间问题的基本方程，建立 了小挠度薄板弯曲理论。
实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板 的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精 度。
zx 0, zy 0 .
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起
的形变项。因此，当略去 z , xz和 zy 后，
薄板弯曲问题的物理方程为
x
1 E
(σx
σy ),
y
1 E
(σ y
σx ),
xy
2(1 E
) xy.
(b)
第九章 薄板弯曲问题
说明： (1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应 力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑它 们的作用。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
何方程及计算假定1，
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
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xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
四、Mathcad解题应用
一、基本概念及假设
1、基本概念 ——中面 平分板厚度t的平 面简称为中面。
——薄板 板的厚度t远小于 中面的最小尺寸b， 这样的板称为薄板。
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
12 M x z 3 t 12 M y y 3 z t 12 M xy xy z 3 t 6Qx t 2 xz 3 z 2 t 4
x
6Q y t 2 2 yz 3 z t 4 1 z 2 q 2 z 1 t
结合第一假设，可见中面的法线在薄板 弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法 线。 由于不计 z 所引起的形变，所以其物 理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同 的。
（3）、薄板中面内的各点都没有 平行于中面的位移，即：
u
z 0
0,
z 0
0
所以由几何方程可以得出：
根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：
u
可
0
f1 ( x , y ) 0
f 2 ( x, y ) 0
w u z x w v z y
由几何方程可得
u 2w x 2 z x x u 2w y 2 z y y u v 2w xy 2 z y x xy
由物理方程可得
Ez 2 w 2w x 2 2 2 1 x y Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy 1 xy
另由平衡方程可得
0
可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：
Ez 2 t2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x Ez 2 t2 2 zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
zx x yx z x y zy y xyx z y x
即
zx Ez 3 w 3w Ez 2 w 3 2 2 2 z 1 x xy 1 x zy Ez z 1 2 3w 3w Ez 2 w 3 2 2 y yx 1 y
2、假设 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计 算假设为基础的。 （1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。 即
z 0
由几何方程可得
0, x , y z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚 度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。
与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有 各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。
Et 3 4 q 12 1 2
其中
2 2 2 x y 2
2
下面对弹性曲面的微分方程进行推导。
由假设
zx 0
yz 0
可得
即 积分得
u w w v 0 0 z x y z u w v w 0 z x z y w u z f1 ( x , y ) x w v z f 2 ( x, y ) y
2
z t
截面上的最大应力，正应力发生在板的上下
面上，切应力发生在板的中面上，其值为
( x ) ( y )
z t 2
6M x 2 t 6M y 2 t 6 M xy 2 t 3Qx 2t 3Q y 2t q
z
t 2
( xy ) z 0 ( xz ) z 0 ( yz ) z 0 ( z )
y 0
0,
M
y y 0
0
后者可表示为
2w 2w 2 2 ＝0 y x
由于沿边界的挠度为常 值0，故沿x后的导数恒 为零，边界条件又可表 示为 2w y 2 ＝0
情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具 有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而 弯矩等于力矩载荷。即：
y 0
0,
M
y y 0
M
情况四：假设薄板具有自由边界。边界上 具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。 这时，弯矩等于边界力矩载荷, 扭矩Mxy应转换 为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy 合并为一 个条件，分析如下。
M yx d xd x M yx x
2w Et 3 2w 2 2 2 12 (1 ) x y
同样可得
2w Et 3 2w My 2 2 2 12 (1 ) y x
截面上的内力：扭矩
由
Ez 2 w xy 1 xy
z z
可求得F3(x,y), 最后得到： 2 2 Et 1 z z 1 2 6(1 ) 2 t
t 2
0
z 4 w t
根据薄板上面内的边界条件：
代入
2
z z
t 2
q
2
Et z 4 1 z z 1 w 2 6(1 ) 2 t t Et 2 4 w q 最后得到： 12 (1 2 )
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M
M
M yx dx x
yx A
yx A
M yx 边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 dx x M yx 边界上的总的分布剪力为 Vy Q y dx x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也 就是有集中反力）M M yx
yx A
B
M
yx B
M
yx A
M yx dx x
2、板弯曲的解题思路
曲面微分方程 边界条件
挠度ω
应力分量方程
应力分量方程
Εz x 2 2 2 1 x y
这个常微分方程的解答是：
A B ln C ln K 1
M xy z xy dz
t 2 t 2
M xy
xy
可得
t Ez 2 w 2 2 M xy 2t z dz 1 xy
Et 3 2w 12 (1 ) xy
截面上的内力：剪力 由
Ez 2 t2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x
（2）、应力分量 zx , zy 和 z 远小于其余 三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的 形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲 相同之处，也有不同 之处，梁的弯曲我们 只考虑横截面，板的 弯曲有两个方向，要 考虑两个横截面上的 应力。
积分得
Ez 2 2 zx w F1 ( x, y ) 2 2(1 ) x Ez 2 2 zy w F2 ( x,y) 2 2(1 ) y
根据薄板上下面内的边界条件：
zx z
t 2
0
zy z t 2
可记为 其中
D 4 w q Et 2 D 12 (1 2 )
截面上的内力：弯矩
Mx
My
由 可得
M x z x dz
t Ez 2 w 2w 2 2 Mx 2 2 t z dz 2 1 x y 2
t 2 t 2
2 2
Εz 2 2 y 2 2 2 1 y x Εz 2 xy 1 xy
三、圆形薄板弯曲问题
1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较 方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ 和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) 进行坐标变换可得： φ ρ