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人教版数学九年级上册第24章24.1.4圆周角同步练习一、单1.（2017?哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（??）A、43°B、35°C、34°D、44°+2.（2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（??）A、πB、C、2πD、3π+3.（2017?烟台）如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（??）A、πB、πC、πD、π+4.（2017?海南）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（??）A、25°B、50°C、60°D、80°+5.（2017?青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（??）A、100°B、110°C、115°D、120°+6.（2017?河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（??）A、18°B、36°C、54°D、72°+7.（2017?毕节市）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（??）A、30°B、50°C、60°D、70°+8.（2017?张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30° ，则∠BOC的度数是（??）A、30°B、45°C、55°D、60°+9.（2017?潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（??）A、50°B、60°C、80°D、90°+10.（2017?山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（??）A、5πcm2B、10πcm2C、15πcm2D、20πcm2+11.（2017?福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（??）A、∠ADCB、∠ABDC、∠BACD、∠BAD+12.（2017?黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=12 0°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（??）A、B、C、D、+二、填空题13.（2017?湖州）如图，已知在于点．若，则中，．以为直径作半圆，交的度数是度．+14.（2017?十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O 于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为．+15.（2017?湘潭）如图，在⊙O中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．+16.（2017?东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC ∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE?CO，其中正确结论的序号是．+17.（2017?恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）+18.（2017?株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=．+19.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．+20.（2017?扬州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OA C= °．+21.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于．+三、解答题22.（2017?福建）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延 长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求 的长；（Ⅱ）若 = ，AD=AP ，求证：PD 是⊙O 的切线．+23.（2017?滨州）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的 外接圆⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM=∠DAC ．（Ⅰ）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（Ⅱ）求证：DE 2=DF?DA ．+24.（2017?苏州）如图，已知，过 点作 内接于， 是直径，点在 交 边 于点． 上，，垂足为，连接(1)、求证：(2)、求证：(3)、连接∽；；，设的值．的面积为，四边形的面积为，若，求+25.（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．+。
人教版数学九年级上册第二十四章圆24.1.4圆周角同步测试一、选择题1. 下列图形中的角是圆周角的是()A B C D2. 下列说法中正确的是()A. 顶点在圆周上的角叫圆周角B. 圆周角等于圆心角的一半C. 同弦所对的所有圆周角相等D. 弦所对的圆周角有无数个3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为()A. 22B. 4C. 42D. 8第3题第4题4. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O中，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是线段BC延长线上的一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是()A. 115°B. 105°C. 75°D. 85°6. ⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对的圆周角为()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第7题 第8题8. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( ) A. 29° B. 31° C. 59° D. 62°9. 如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )A. mB. 180°－m 2C. 90°＋m 2D. m2第9题 第10题10. 如图，BA 是半圆O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠ABC ＝50°，则∠CAB ＝ .11. 如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝ ，∠B ＝ .第11题 第12题12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，连接BC ，AC ，∠BAC ＝60°，弦AD 平分∠BAC ，若AD ＝6，那么AC ＝ .13. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，D ，E 在⊙O 上，说明：BD ＝DE .14. 如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ，若BC ＝BE . 求证：△ADE 是等腰三角形.15. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是CAD ︵上一点(不与C ，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠COB ；(2)点P ′在CD ︵上(不与C ，D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.16. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM . (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长.17. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD .(1)弦长AB ＝ (结果保留根号)； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数.18. 在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD . (1)如图①，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ； (2)如图②，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，求∠DCA 的度数.答案1. B2. D3. C4. C5. B6. D7. C8. B9. B 10. 40° 11. 80° 100° 12. 213. 解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠EAD ，∴︵BD ＝︵DE，∴BD ＝DE .14. 证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形.15. (1)证明：连接OD ，∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴︵BC ＝︵BD ，∴∠COB ＝∠BOD ＝21∠COD .又∵∠CPD ＝21∠COD ，∴∠CPD ＝∠COB .(2)解：∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.证明：∵四边形PCP ′D 是圆内接四边形，∴∠CPD ＋∠CP ′D ＝180°.∴∠CP ′D ＋∠COB ＝180°.16. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴︵AB ＝︵CD ，∵M 为︵AD 中点，∴︵AM ＝︵DM ，∴︵AB ＋︵AM ＝︵CD ＋︵DM ，即︵BM ＝︵CM.∴BM ＝CM .(2)解：∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴︵BM 的长＝83×4π＝23π. 17. 解：(1)2(2)∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，∴∠BOD ＝∠B ＋∠BCO ，∠BCO ＝∠A ＋∠D .∴∠BOD ＝∠B ＋∠A ＋∠D .又∵∠BOD ＝2∠A ，∠B ＝30°，∠D ＝20°，∴2∠A ＝∠B ＋∠A ＋∠D ＝∠A ＋50°，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°.18. 解：(1)如图①，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE ＝21AC ＝21×2＝1.∵翻折后点D 与圆心O 重合，∴OE ＝21r .在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(21r )2，解得r ＝33.(2)连接BC .∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝65°.根据翻折的性质，︵AC 所对的圆周角为∠B ，︵ABC所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴∠DCA ＝∠CDB －∠A ＝65°－25°＝40°.。
圆周角1．如图21－1－41，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC 等于( D )图21－1－41A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°2．如图21－1－42，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC ＝100 °，则∠A 的度数为( B )图21－1－42A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE 的度数为( C )A ．40°B ．60°C ．50°D ．80°【解析】 根据圆周角定理，可求得∠A 的度数；由于四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，根据圆DCE ＝∠A ＝50°.4．如图21－4－44，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( D )图21－4－44A ．135° B. 122.5° C. 115.5° D ．112.5°【解析】 ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBC ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C ＝12(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )图21－4－45 第5题答图A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【解析】 连接BD ，如图，∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )图24－1－46A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__． 24－1－489．如图24－1－49，若AB 是⊙O 的直径，AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°，则BC ＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC 的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC 的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝12∠BOC，∴∠C＝12∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，若∠B＝70°，则∠A＝__20°__．图24－1－53【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__． 【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12×54°＝27°.15．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点．证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .(1)求∠E 的度数；(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)． ①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．图1－57【解析】 (1)连接OC ，OD ， 则∠COD ＝60°，且∠DBE ＝12∠DOC ＝30°. 解：(1)如图(1)，连接OC ，OD .∵AD ⊥BD ，∴AB 是⊙O 的直径，∴OC ＝OD ＝CD ＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠DBE ＝12∠COD ＝30°，∴∠E ＝90°－∠DBE ＝60°.(2)(2)，，＝CO ＝CD ＝1，∴△DOC 为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝12∠DOC ＝30°，∴∠EBD ＝∠DAC ＝30°.∵∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－∠EBD ＝60°.②如图(3)，连接OD ，OC ，同理可得出∠CBD ＝30°，∠BED ＝90°－∠CBD ＝60°.。
为明学校学生限时训练数学学科编号:使用时间:《 24.1.4圆周角(二)》限时练班级: 姓名: 小组: 分数: 卷面:A卷基础过关题一、填空题：（每题5分，共20分）1、如图,正方形ABCD是⊙O内接四边形,点P在圆上（不含B、C点）,则∠BPC=2、如图,在⊙O中,∠AOC=150°,则∠ABC= ，∠ADC= ，∠EBC=3、⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO=4、四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C=二、解答题：（每题10分，共40分）5、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，求∠DCE6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=∠DAC=45°，AB=3，AD=4，求CD的长。
7、如图，⊙C经过坐标原点O，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是⊙C上一点，且∠BMO=120°．求⊙C的半径。
MBACOyx第1页共2页第2页 共2页8、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M ．求证：∠AMD =∠FMC ．B 卷 拓展提升题9、（20分）如图，CD 是△ABC 的外角∠ECA 的平分线，CD 交过A 、B 、C 三点的圆⊙O 于点D ，连结DA 、DB ．（1）试判断△DA B 的形状，并证明你的结论； （2）若直线DO 交AB 于F 点，且OF= 4，310BD ，求⊙O 的半径．C 卷 能力挑战题10、（20分）如图, △ABC 内接于⊙O, AD ⊥BC 于D, BE ⊥AC 于E, AD 交⊙O 于F, 交BE 于H.（1）求证：DH ＝DF.（2）连DE ，证明DE 垂直于过C 点的直径. （3）若HA ＝5, BC ＝12, 求⊙O 的面积.E CAB DO。
24.1.4圆周角知识点1 圆周角定理例1．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弦B．«Skip Record If...»是圆心角C．«Skip Record If...»是圆周角D．«Skip Record If...»变式2．如图，在«Skip Record If...»中，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上一点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（）A．32°B．64°C．116°D．128°知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等例4．如图，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°变式5．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在圆上，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»6．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为«Skip Record If...»的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．5«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．5D．«Skip Record If...»知识点3 直径所对的圆周角例7．如图，半径为5的«Skip Record If...»经过点C和点O，点B是y轴右侧«Skip Record If...»的优弧上一点，«Skip Record If...»，则点C的坐标为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA ＝_____度．9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧«Skip Record If...»上一点，则∠ACB＝_______．课堂练习10．如图，在⊙O 中，AC =«Skip Record If...»AB ， 直径BC =2«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， 则AD =___．11．如下是小华设计的“作«Skip Record If...»的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在«Skip Record If...»上任取一点C ，以点C 为圆心，«Skip Record If...»为半径作半圆，分别交射线«Skip Record If...»于点P ，点Q ，连接«Skip Record If...»«Skip Record If...» ①«Skip Record If...»，理由是② 第二步过点C 作«Skip Record If...»的垂线，交«SkipRecord If...»于点D ，交«Skip Record If...»于点E«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ③ 第三步作射线«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»平分«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»为所求作．12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB ＝α，∠C ＝β，（1）当α＝35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC.OC.BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC 分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案1．B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A.点C不在«Skip Record If...»上，所以AC不是«Skip Record If...»的弦，故错误，不符合题意；B.因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C.点C不在«Skip Record If...»上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D.当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若«Skip Record If...»成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．D【分析】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，∵∠AOC= 100° ，∴∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC=50° ，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC= 180° ，∴∠ABC= 180° -50° =130° ，故选：D．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°∴∠AOC=180°-∠BOC=116°故选：C【点拨】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．4．C【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A ＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠A＝20°，∴∠EOD＝2∠A＝40°，又∵«Skip Record If...»，∴∠ADB＝∠A＝20°，∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．5．B【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：B．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．A【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵B为«Skip Record If...»的中点，∴∠BOD=∠ACD=30°，∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．∵直径CD=10，∴OB=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×10=5，∴BQ=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»，即PA+PB的最小值为5«Skip Record If...» ．故选A．【点拨】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．7．A【分析】先根据«Skip Record If...»可得CD是«Skip Record If...»的直径，进而求得«Skip Record If...»，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图，设«Skip Record If...»与x轴的交点为D，连接CD．«Skip Record If...»∴CD是«Skip Record If...»的直径，∵«Skip Record If...»的半径为5，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴点C的坐标为«Skip Record If...»，故选：A．【点拨】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．8．70【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点拨】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．9．118°【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝124°，∴∠ADB＝«Skip Record If...»∠AOB＝«Skip Record If...»×124°＝62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．故答案为：118°．【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．«Skip Record If...»【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据«Skip Record If...»和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD∵BC是圆的直径∴∠BAC=90°=∠BDC∵«Skip Record If...»∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB∴BD=DC∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠EDA=∠DAB=45°∴AE=DE在Rt△ABC中，AC=«Skip Record If...»AB，BC=2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»同理«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»设AE=DE=x，则BE=4-x在Rt△DEB中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AE=DE=3∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...».【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③«Skip Record If...»【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；②故答案为：直径所对的圆周角是直角；③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故答案为：«Skip Record If...»【点拨】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【详解】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=«Skip Record If...»∠AOB=55°；（2）结论：α+β=90°．证明：∵∠AOB=180°-2α，β=«Skip Record If...»∠AOB∴β=90°-α，∴α+β=90°．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得«Skip Record If...»，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴«Skip Record If...»，∴∠BCD=∠BAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD；（2）设⊙O的半径为R cm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，CE=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×8=4（cm）．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，解得R=5，∴OB=5 cm．故圆O的直径为10 cm．【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14．（1）见解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中点，等腰三角形的性质计算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．【详解】（1）证明：∵C是«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝«Skip Record If...»＝6，∵C是«Skip Record If...»的中点，∴OC⊥AD，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．【点拨】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．。
24.1.4 圆周角知能演练提升能力提升1.如图,△ABC内接于☉O,∠C=30°,AB=2,则☉O的半径为( )A. B.2C.2D.42.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上,点A,B的读数分别为86°,30°,则∠ACB的度数为( )A.15°B.28°C.29°D.34°3.如图,已知BD是☉O的直径,☉O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°4.如图,☉O的半径为1,AB是☉O的一条弦,且AB=,则弦AB所对圆周角的度数为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°5.如图,AB,CD是☉O的弦,AB⊥CD,BE是☉O的直径.若AC=3,则DE= .6.如图,点A,B,C,D在☉O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= .7.如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是.(第6题图)(第7题图)8.如图,已知,点P为劣弧上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.★9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的☉O交△ABC的边于点G,F,E.求证:(1)F是BC的中点;(2)∠A=∠GEF.创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧的度数有什么关系?(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.(2)证明你的结论.11.如图,甲、乙两名队员相互配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到点A时,乙刚好跟随到了点B,从数学角度来看,此时甲是自己射门还是把球传给乙射门更有利,并说明理由.答案：能力提升1.B 如图,连接OA,OB,则∠AOB=2∠C=60°.又OA=OB,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=2.2.B 由题意知的度数为86°-30°=56°,所以∠ACB=×56°=28°.3.A4.D 如图,连接OA,OB,作OC垂直AB于点C,易得OA=1,AC=,OC=.从而∠OAC=30°,所以∠AOB=120°.所以弦AB所对的优弧上的圆周角为60°,所对劣弧上的圆周角为120°.5.3 ∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°.∴∠EBD+∠E=90°.∵AB⊥CD,∴∠BCD+∠ABC=90°.又∠E=∠BCD,∴∠ABC=∠EBD.∴DE=AC=3.6.60°∵四边形OABC为平行四边形,∴∠B=∠AOC.又∠D=∠AOC,∴∠D=∠B.又∠B+∠D=180°,∴∠D=60°.连接OD,则有∠ADC=∠ADO+∠CDO=∠OAD+∠OCD=60°.7.30°连接BO,BN,∵BC垂直且平分线段ON,∴BO=BN.又OB=ON,∴△BON是等边三角形.∴∠BON=60°.∴∠NMB=∠BON=×60°=30°.8.(1)解:∵,∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明:在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=PB+PC.9.证明:(方法1)(1)如图①,连接DF.①∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴BD=DC=AB.∵DC是☉O的直径,∴DF⊥BC.∴BF=FC,即F是BC的中点.(2)∵D,F分别是AB,BC的中点,∴DF∥AC,∠A=∠BDF.∵∠BDF=∠GEF,∴∠A=∠GEF.(方法2)(1)如图②,连接DF,DE.②∵DC是☉O的直径,∴∠DEC=∠DFC=90°.∵∠ECF=90°,∴四边形DECF是矩形.∴EF=CD,DF=EC.∵D是AB的中点,∠ACB=90°,∴EF=CD=BD=AB.∴Rt△DBF≌Rt△EFC.故BF=FC,即F是BC的中点.(2)∵△DBF≌△EFC,∴∠BDF=∠FEC,∠B=∠EFC.∵∠ACB=90°,(也可证AB∥EF,得∠A=∠FEC) ∴∠A=∠FEC.∴∠A=∠BDF,∵∠FEG=∠BDF,∴∠A=∠GEF.创新应用10.分析:本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系起来.不妨连接AD,这时∠D是所对的圆周角,∠DAB是所对的圆周角,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解:(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=的度数,∠D=的度数,所以∠DPB=×(的度数-的度数),即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.11.解:乙射门更有利.理由如下:连接NC.根据圆周角定理,得∠MBN=∠MCN.因为∠MCN是△NCA的外角,所以∠MCN>∠MAN.所以乙射门的角度范围大,射进的可能性大.故乙射门更有利.。
24.1.4 圆周角（随堂性作业）1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )A.5对B.6对C.7对D.8对图24-1-4-1 图24-1-4-23.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.5.如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A.30°B.60°C.15°D.20°图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-56.如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A.75°B.60°C.45°D.30°7.如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.8.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.9.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论.图24-1-4-6 10.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-7。
24.1.4 圆周角知识点 1 圆周角的概念1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图24－1－452．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？BC ︵所对的圆周角有几个？CD ︵所对的圆周角有几个？图24－1－46知识点 2 圆周角定理3．2017·徐州如图24－1－47，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 等于( )图24－1－47A．28°B．54°C．18°D．36°4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC的上面，根据量角器的读数可得∠BAC的度数是()图24－1－48A．60°B．30°C．20°D．15°5．如图24－1－49，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为()图24－1－49A. 2 B．2 C．2 2 D．46．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD＝________°.图24－1－50知识点3圆周角定理的推论7．如图24－1－51，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )图24－1－51A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．如图24－1－52，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.图24－1－529．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是________度．图24－1－5310．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E .求证：DB 平分∠ADC .图24－1－54知识点4圆内接多边形11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图24－1－5512．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．图24－1－5613．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝()图24－1－57A．30°B．29°C．28°D．20°14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图24－1－5815．如图24－1－59，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD＝________°.图24－1－5916．已知：如图24－1－60，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.(1)求∠EBC 的度数； (2)求证：BD ＝CD .图24－1－6017．如图24－1－61，AB 是⊙O 的直径，C 为AE ︵的中点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F ，连接AC .求证：AF ＝CF .图24－1－6118．2017·六盘水如图24－1－62，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图，确定当P A ＋PB 最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)； (2)求P A ＋PB 的最小值．图24－1－62教师详解详析1．C 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D .根据两边都与圆相交可排除选项A ，B .故选C .2．解：图中有8个圆周角，BC ︵所对的圆周角有1个，是∠BDC ；CD ︵所对的圆周角有2个，分别是∠CBD ，∠CAD.3．D 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.4．D5．C 如图，连接OA ，OB.因为∠APB 和∠AOB 分别是AB ︵所对的圆周角和圆心角，所以∠AOB ＝2∠APB ＝2×45°＝90°.在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝2，由勾股定理，得AB ＝2 2.故选C .6．90 ∠EOD ＝2∠A ＝2×45°＝90°.7．C ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝12(180°－50°)＝65°，∴∠AEC ＝∠ABC ＝65°.故选C .8．50 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝90°－40°＝50°.9．140 连接AD ，OD.∵AB 为圆的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝20°.又∵OA ＝OD ，∴∠BOD ＝2∠OAD ＝40°，∴∠AOD ＝140°.即AD ︵的度数是140度．10．证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠ADB ＝∠BDC ， 即DB 平分∠ADC.11．120 因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.因为∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝63＋6×180°＝120°.12．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＝180°－∠B ＝130°. 又∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°， ∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径． 13．A ∵∠BFC ＝20°， ∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝180°－40°2＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 故选A .14．60 ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.15．61 设AB 的中点为O ，连接OD.∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点C 在以AB 为直径的圆上．∵点D 对应的刻度是58°，∴∠DCB ＝12×58°＝29°，∴∠ACD ＝90°－29°＝61°.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°.又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABE ＝45°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝67.5°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°. (2)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.17．证明：如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 即∠ACF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ACF ＝∠B. ∵C 为AE ︵的中点， ∴AC ︵＝CE ︵，第11页 共11页 ∴∠B ＝∠CAE ，∴∠ACF ＝∠CAE ，∴AF ＝CF.18． (1)画出点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B ，与MN 的交点即为点P.(2)利用∠AMN ＝30°得∠AON ＝∠A′ON ＝60°，又由B 为AN ︵的中点，可得∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，再由勾股定理求得PA ＋PB 的最小值为2 2.解：(1)如图，点P 即为所求．(2)如图，连接OA ，OA ′，OB.由(1)可得，PA ＋PB 的最小值即为线段A′B 的长．∵点A′和点A 关于MN 对称且∠AMN＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝60°.又∵B 为AN ︵的中点，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°.∵MN ＝4，∴OB ＝OA ′＝2.在Rt △A ′OB 中，由勾股定理得A ′B ＝22＋22＝2 2.∴PA ＋PB 的最小值是2 2.。
圆周角1．如图21－1－41，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC 等于( D )图21－1－41A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°2．如图21－1－42，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC ＝100 °，则∠A 的度数为( B )图21－1－42A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE 的度数为( C )A ．40°B ．60°C ．50°D ．80°【解析】 根据圆周角定理，可求得∠A 的度数；由于四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，根据圆DCE ＝∠A ＝50°.4．如图21－4－44，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( D )图21－4－44A ．135° B. 122.5° C. 115.5° D ．112.5°【解析】 ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBC ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C ＝12(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )图21－4－45 第5题答图A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【解析】 连接BD ，如图，∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )图24－1－46A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__． 24－1－489．如图24－1－49，若AB 是⊙O 的直径，AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°，则BC ＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC 的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC 的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝12∠BOC，∴∠C＝12∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，若∠B＝70°，则∠A＝__20°__．图24－1－53【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__． 【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12×54°＝27°.15．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点．证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .(1)求∠E 的度数；(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)． ①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．图1－57【解析】 (1)连接OC ，OD ， 则∠COD ＝60°，且∠DBE ＝12∠DOC ＝30°. 解：(1)如图(1)，连接OC ，OD .∵AD ⊥BD ，∴AB 是⊙O 的直径，∴OC ＝OD ＝CD ＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠DBE ＝12∠COD ＝30°，∴∠E ＝90°－∠DBE ＝60°.(2)(2)，，＝CO ＝CD ＝1，∴△DOC 为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝12∠DOC ＝30°，∴∠EBD ＝∠DAC ＝30°.∵∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－∠EBD ＝60°.②如图(3)，连接OD ，OC ，同理可得出∠CBD ＝30°，∠BED ＝90°－∠CBD ＝60°.。
24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140° B．110° C．120° D．130°OBA2143OBAC(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（）．A．3 B．3+3 C．5-123 D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为23a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAC 21ED(4) (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O 半径为1，求弦长AB ．2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．参考答案一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又»»AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结OC ，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ， 在Rt △ODC 中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x ，则OC=2x ，∴4x 2-x 2=4，∴OC=433．（1）略 （2）4，（2）。
