高中数学(新教材)《三角函数的定义》导学案

新教材•数学

必修•第三册[B]

7.2.1 三角函数的定义

(教师独具内容)

课程标准：1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．

教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．

教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.

【知识导学】

知识点一 三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2>0)．

三角函数 定义 名称

sinα □01yr □02正弦

cosα □03xr □04余弦

tanα □05yx □06正切

知识点二 三角函数值的符号

规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

【新知拓展】 新教材•数学

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(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．

(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )

(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )

(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )

答案

(1)√ (2)×

(3)√

2．做一做

(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在(

)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.

(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.

(4)sin2cos3tan4的值的符号为________．

答案 (1)D (2)－1213 513 －125 (3)32 (4)负

题型一 三角函数的定义

例1 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．

[解] r＝－4a2＋3a2＝5|a|，

若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

sinα＝yr＝3a5a＝35，cosα＝xr＝－4a5a＝－45，

tanα＝yx＝3a－4a＝－34； 新教材•数学 必修•第三册[B]

若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.

[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y＝3x上，问题不变，怎样求解？

解 因为角α的终边在直线y＝3x上，

所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点．

则r＝ a2＋3a2＝2|a|(a≠0)．

若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，sinα＝3a2a＝32，

cosα＝a2a＝12，tanα＝3aa＝3.

若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，sinα＝3a－2a＝－32，cosα＝a－2a＝－12，tanα＝3aa＝3.

金版点睛

利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法为：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．

[跟踪训练1] (1)设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα新教材•数学 必修•第三册[B]

的值等于( )

A.25 B．－25

C.15 D．－15

(2)已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝22m，求m的值．

答案 (1)A (2)见解析

解析 (1)∵角α的终边经过点P(－3a,4a)，

则r＝－3a2＋4a2＝5|a|.

∵a<0，∴r＝－5a，

∴sinα＝yx＝4a－5a＝－45，cosα＝xr＝－3a－5a＝35，

∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.

(2)∵P(4,3m)，∴r＝16＋9m2，

∴sinα＝yr＝3m16＋9m2＝22m，

两边平方，得9m216＋9m2＝12m2.

∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±23.

题型二 三角函数值的符号

例2 (1)若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)判断下列各式的符号：

①tan120°sin269°；②cos4tan－23π4. 新教材•数学 必修•第三册[B]

[解析] (1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，

从而α为第二、三象限角．

由cosαtanα<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．

综上可知，α为第三象限角．

(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.

∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，

∴tan120°sin269°>0.

②∵π<4<3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0.

∵－23π4＝－6π＋π4，

∴－23π4是第一象限角，∴tan－23π4>0.

∴cos4tan－23π4<0.

[答案] (1)C (2)见解析

金版点睛

判断给定角的三角函数值正负的步骤

(1)确定α的终边所在的象限；

(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．

[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A，B满足sinA·cosB<0，则此三角形必为( )

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上三种情况都有可能 新教材•数学

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(2)点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角．

(3)判断下列各式的符号：

①sin105°cos230°；

②sin7π8tan7π8；

③cos6tan6.

答案 (1)B (2)二 (3)见解析

解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sinA>0.因为sinAcosB<0，所以cosB<0，所以B是钝角，故三角形是钝角三角形．

(2)因为点P(tanα，cosα)在第三象限，所以tanα<0，cosα<0，则角α的终边在第二象限．

(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角，

∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°cos230°<0.

②∵π2<7π8

∴sin7π8>0，tan7π8<0.∴sin7π8tan7π8<0.

③∵3π2<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角，

∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0.

1．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于( )

A.12 B．－12

C．－32 D．－33

答案 C

解析 由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋－32＝2，所以新教材•数学 必修•第三册[B]

sinα＝－32.

2．当α为第二象限角时，|sinα|sinα－cosα|cosα|的值是( )

A．1 B．0

C．2 D．－2

答案 C

解析 ∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴|sinα|sinα－cosα|cosα|＝sinαsinα－cosα－cosα＝2.

3．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形

答案 C

解析 因为三角形内角的取值范围是(0，π)，所以sinA>0，又sinAcosBtanC<0，所以cosB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．

4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.

答案 433

解析 tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a4，解得a＝433.

5．已知α角的终边经过点P(2t，－3t)，其中t≠0，求α角的正弦、余弦、正切．

解 ∵x＝2t，y＝－3t，

∴|OP|＝x2＋y2＝2t2＋－3t2＝13|t|.当t>0时，α是第四象限角，∴sinα＝yr＝－3t13|t|＝－3t13t＝－31313，cosα＝xr＝2t13|t|＝21313，tanα＝yx＝－3t2t＝－32.当t<0时，α是第二象限角，同理sinα＝31313，cosα＝－21313，tanα＝－32.

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A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若sinα＝－45，cosα＝35，则下列各点在角α终边上的是( )

A．(－4,3) B．(3，－4)

C．(4，－3) D．(－3,4)

答案 B

解析 ∵sinα＝yr，cosα＝xr，r＞0，∴点(3，－4)必在角α的终边上．故选B.

2．若角α的终边经过M(0,2)，则下列各式中，无意义的是( )

A．sinα B．cosα

C．tanα D．sinα＋cosα

答案 C

解析 因为M(0,2)在y轴上，所以α＝π2＋2kπ，k∈Z，此时tanα无意义．

3．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

答案 A

解析 ∵tanx>0，∴x在第一或第三象限．若x在第一象限，则sinx>0，cosx>0，∴sinx＋cosx>0.若x在第三象限，则sinx<0，cosx<0，与sinx＋cosx>0矛盾．故x只能在第一象限．

4．若角α终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n等于( )

A．2 B．－2

C．4 D．－4

答案 A

解析 ∵角α终边与y＝3x重合，且sinα<0，所以α为第三象限角，∴P(m，