【名师课堂】高考数学专题复习(三角函数与解三角)：第一讲三角函数定义

第一讲 三角函数的定义

【知识目标】

1. 了解任意角的概念和弧度制的概念，并能进行弧度与角度的互化

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义且能进行应用．

3．能确定三角函数值符号的确定．

【知识清单】

知识点一：任意角

1．定义

角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

2，角的表示方法：①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；

3.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型 定义 图示

正角 按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

4.象限角与轴线角

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：终边落在坐标轴上的角．

5．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

知识点二：角度制与弧度制的互换

1. 角度制与弧度制的定义

角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360

弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

2.任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．

3.角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.

4．角度与弧度的互化

角度化弧度 弧度化角度

360°＝2π rad 2π rad＝360°

180°＝π rad π rad＝180°

1°＝π180 rad≈0.017_45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°

5.一些特殊角与弧度数的对应关系.

角度制 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度制 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

6.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0

度量单位类别 α为角度制 α为弧度制

扇形的弧长 l＝απR180 l＝α·R

扇形的面积 S＝απR2360 S＝12l·R＝12α·R2

知识点三：任意角三角函数的定义

1．任意角三角函数的定义

(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，

它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；

②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；

③yx叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝yx (x≠0)．

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．

(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，

则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3.特殊角的三角函数值

角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

角α的

弧度数 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

sinα 0 12 22 32 1 32 22 12 0 －1 0

cosα 1 32 22 12 0 －12 －22 －32 －1 0 1

tanα 0 33 1 3 不

存

在 －3 －1 －33 0 不

存

在 0

【知识运用】

知识运用1 角度与弧度的互换 【例题1】（1）（2016春•延边州校级期中）弧度化为角度是（ ）

A．110° B．160° C．108° D．218°

（2）．（2016春•澄城县校级期中）将﹣300°化为弧度为（ ）

A． B． C． D．

【变式实践】

1．（2015秋•哈尔滨校级期末）15°的弧度是（ ）

A． B． C． D．

2．－300°化为弧度是( )

A．－43π B．－53π

C．－54π D．－76π

知识运用2 终边角与轴线角

【例题2】

（1）（2016春•大连校级期中）下列各角中，与60°角终边相同的角是（ ）

A．﹣300° B．﹣60° C．600° D．1380°

（2）．（2016春•浦东新区期中）已知k∈Z，角的终边只落在y轴正半轴上的角是（

）

A． B．kπ+ C．2kπ+ D．2kπ﹣

【变式实践2】

1．（2016春•浦城县期中）用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为（ ）

A．{β|β=﹣+2kπ，k∈Z} B．{β|β=+k•360°，k∈Z}

C．{β|β=+2kπ，k∈Z} D．{β|β=+2kπ，k∈Z}

2．（2016春•忻州校级期中）与﹣527°角终边相同的角的集合是（ ）

A．{α|α=k⋅360°+527°，k∈Z} B．{ α|α=k⋅360°+157°，k∈Z }

C．{α|α=k⋅360°+193°，k∈Z } D．{ α|α=k⋅360°﹣193°，k∈Z }

3．（2015•娄星区模拟）与﹣角终边相同的角是（ ） A． B． C． D．

4．（2016春•大同校级月考）终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为（ ）

A．k•180°+135°，k∈Z B．k•180°±135°，k∈Z

C．k•360°+135°，k∈Z D．k•90°+135°，k∈Z

5.．（2016春•葫芦岛期中）与﹣670°角终边相同的最小正角是（ ）

A．40° B．50° C．70° D．80°

知识运用3 弧度制的应用

【例题3】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：

(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【方法总结】 应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

【变式实践3】 1.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )

A.π3 B.π6

C．－π3 D．－π6

2. 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．

知识运用:4 三角函数的定义

例题4．（2016春•延边州校级期中）已知角α的终边过点P（﹣3，4），则sin α=（ ）

A． B． C． D．﹣

【思维分散】

发散1：设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，求 sin α的值．

发散2：设角α终边上一点P(－4a,3a)，求 sin α的值．

发散3：已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α， cos α， tan α的值．

发散4：若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0), 且sin α＝2m4，求cos α， tan α的值．

【类型题解题思路 】

用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．

【变式实践4】

1．（2015春•西安校级期末）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则sinα+cosα的值为（ ）

A． B． C． D．

2．（2016•朔州模拟）若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（ ）

A． B． C． D．

3．（2016•焦作二模）在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（ ）

A． B． C． D．

知识运用:5 三角函数的符号的判断

例题5．（2016•温州校级模拟）已知sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式实践】

1．（2015春•上饶期末）已知sinθcosθ＜0，那么角θ是（ ）

A．第一或第二象限角

B．第二或第三象限角

C．第二或第四象限角 D．第一或第四象限角

2．（2015秋•定西校级月考）设θ是第三象限角，|cos|=cos，则是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【课堂强化】

1．（2015秋•广安期末）角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（ ）