高中数学：三角函数
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高中数学：三角函数
三角函数是高中数学中重要的一个章节，也是很多同学感觉比较困难的部分之一。它是研究角和角的函数关系的一门数学分支。在高中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，以及它们之间的性质和基本解析式。
一、正弦函数
1. 正弦函数的概念
在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与斜边的比值称为正弦，即sinA = 对边/斜边。
在坐标系中，以一单位长度的线段在y轴上向上方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正弦值为y，即y=sinα。
2. 正弦函数的性质
（1）定义域：D={α | α∈R}。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-α)=-sinα。
（4）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(α+2π)=sinα。
（5）单调性：在[0, π]上，正弦函数单调递增，在[π, 2π]上单调递减。
3. 正弦函数的图像
练习题： 1. 求sin 120°和sin (-45°)的值。
2. 若α∈[0, 2π]，求证：sin(π-α)=sinα。
3. 若cosα=4/5，α∈[0, π/2]，求sinα的值。
4. 已知sinα=-1/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。
5. 求证：sin(π/2-α)=cosα。
参考答案：
1. sin 120°=sin(120°-360°)=sin(-240°)=-sin240°=-√3/2；sin(-45°)=-sin45°=-1/√2。
2. sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα。
3. sinα=3/5。
4. cosα=-√24/5。
5. sin(π/2-α)=cosα。
二、余弦函数
1. 余弦函数的概念
在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其邻边与斜边的比值称为余弦，即cosA = 邻边/斜边。
在坐标系中，以一单位长度的线段在x轴上向右方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的余弦值为x，即x=cosα。
2. 余弦函数的性质
（1）定义域：D={α | α∈R}。
（2）值域：[-1, 1]。 （3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-α)=cosα。
（4）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(α+2π)=cosα。
（5）单调性：在[0, π]上，余弦函数单调递减，在[π, 2π]上单调递增。
3. 余弦函数的图像
练习题：
1. 求cos 210°和cos (-135°)的值。
2. 若α∈[0, 2π]，求证：cos(π-α)=-cosα。
3. 若sinα=3/5，α∈[π/2, π]，求cosα的值。
4. 已知cosα=-4/5，α∈[0, π/2]，求tanα的值。
5. 求证：cos(π/2-α)=sinα。
参考答案：
1. cos 210°=cos(210°-360°)=cos(-150°)=-cos150°=-√3/2；cos(-135°)=cos(225°)=-cos45°=-1/√2。
2. cos(π-α)=-cosα。
3. cosα=-4/5。
4. tanα=-3/4。
5. cos(π/2-α)=sinα。
三、正切函数
1. 正切函数的概念
在直角三角形中，对于角A（不等于90°），其对边与邻边的比值称为正切，即tanA = 对边/邻边。 在坐标系中，以一单位长度的线段在x轴上向右方向旋转，端点所在直线与x轴正半轴正向的夹角的正切值为y，即y=tanα。
2. 正切函数的性质
（1）定义域：D={α | α≠kπ+π/2，k∈Z}。
（2）值域：R。
（3）奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-α)=-tanα。
（4）周期性：正切函数的周期为π，即tan(α+π)=tanα。
（5）单调性：在(-π/2, π/2)上，正切函数单调递增，在(π/2, 3π/2)上单调递减。
3. 正切函数的图像
练习题：
1. 求tan 240°和tan (-60°)的值。
2. 若α∈(-π/2, π/2)，求证：tan(π/2-α)=1/tanα。
3. 求证：tan²α+1=sec²α。
4. 已知sinα=-3/5，α∈[π/2, π]，求cotα的值。
5. 已知tanα=1/7，且α∈第二象限，求cosα的值。
