第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？
（1）系统如图3.16所示：
abcd++--++---yu1x2x3x4x图3.16 系统模拟结构图
解：由图可得：
343432112332211xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx
状态空间表达式为：
xyuxxxxdcbaxxxx0100000110001100000043214321
由于2x、3x、4x与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与3x有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式： xdcyubaxxxxxx00000012200010011321321
解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0ba。
要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0dc。
3-2时不变系统
XyuXX111111113113
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一：
2-2-112-2-11ABBM1111,1111,3113CBA
系统不能控。,21rankM
44221111CACN
系统能观。,2rankN
方法二：将系统化为约旦标准形。
420133113AI212， 1-1PPPA 11PPPA2222211111则状态矢量：
1 第二章
2-3 已知矩阵
452100010
A
,试用拉氏反变换求eAt
解：
4521001
sss
AsI
24
13
)1(1
28
18
)1(3
24
14
)1(222
12
)1(1
24
15
)1(3
22
12
)1(222
12
)1(1
22
12
)1(3
21
)1(2522)4(21454
)2()1(1
)(
22222222222
21
sssssssssssssssssssssssssssssssssss
ssAsI
24
13
)1(1
28
18
)1(3
24
14
)1(222
12
)1(1
24
15
)1(3
22
12
)1(222
12
)1(1
22
12
)1(3
21
)1(2522)4(21454
)2()1(1
)(
22222222222
21
sssssssssssssssssssssssssssssssssss
ssAsI
tttttttttttttttttttttttttt
At
eeteeeteeeteeeteeeteeteeeeteeeteete
AsILe
222222222
11
43883442224532222232
)(
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt
,
（1）
0410
A
解：（1）化为约旦标准型
04
41
2
AI
jj2,2
21
2
jjT
2211
jj
现代控制理论习题及答案
现代控制理论习题及答案
现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。
1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。
解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。代入
G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。稳定性判断可以通过判断开环传递函数
G(s) 的极点是否在左半平面来进行。由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。
2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2],
[0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。
解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI
- A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。代入给定的 A、B
矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。因此，系统的传递函数表达式为 G(s) =
C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] = (s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。
一、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的,
〔 √〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.
〔 √〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现
均为最小实现.
〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定
是输出能控的.
〔 √ 〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和
矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.
〔 √〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态
反馈使其稳定.
〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；
〔 √〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输
入和输出无关；
〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一 A)一 1 B 存在零极相消,则对应的状态
空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该
系统在任意平衡状态处都是稳定的；
〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.
二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和
电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输
出量的输出方程.〔10 分〕
解：〔1〕由电路原理得：
二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和
电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网
2 2
络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.
解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件,
故有独立变量.
以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令：
