现代控制理论第二章答案

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？

（1）系统如图3.16所示：

abcd++--++---yu1x2x3x4x图3.16 系统模拟结构图

解：由图可得：

343432112332211xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx

状态空间表达式为：

xyuxxxxdcbaxxxx0100000110001100000043214321

由于2x、3x、4x与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与3x有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式： xdcyubaxxxxxx00000012200010011321321

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0ba。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0dc。

3-2时不变系统

XyuXX111111113113

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：

2-2-112-2-11ABBM1111,1111,3113CBA

系统不能控。,21rankM

44221111CACN

系统能观。,2rankN

方法二：将系统化为约旦标准形。

420133113AI212， 1-1PPPA 11PPPA2222211111则状态矢量：

1 第二章

2-3 已知矩阵











452100010

A

,试用拉氏反变换求eAt

解：













4521001

sss

AsI







































































24

13

)1(1

28

18

)1(3

24

14

)1(222

12

)1(1

24

15

)1(3

22

12

)1(222

12

)1(1

22

12

)1(3

21

)1(2522)4(21454

)2()1(1

)(

22222222222

21

sssssssssssssssssssssssssssssssssss

ssAsI







































































24

13

)1(1

28

18

)1(3

24

14

)1(222

12

)1(1

24

15

)1(3

22

12

)1(222

12

)1(1

22

12

)1(3

21

)1(2522)4(21454

)2()1(1

)(

22222222222

21

sssssssssssssssssssssssssssssssssss

ssAsI















tttttttttttttttttttttttttt

At

eeteeeteeeteeeteeeteeteeeeteeeteete

AsILe

222222222

11

43883442224532222232

)(

2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt

,

（1）











0410

A

解：（1）化为约旦标准型

04

41

2

















AI

jj2,2

21

2 









jjT

2211













jj

现代控制理论课后习题答案

第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:

()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?

+-??D N 解：()()22

232321s s s s s s s

++ =++ ? ?

D S N S ； ()3r 2,1,2

E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?

- ? ???；

()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?

；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?

；

所以⼀个gcrd 为001s ??

；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=

A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵t

A e 。

(2) 已知412102113-?? ?

= ? ?-??

A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。

解：(1)11()41s s s --??-= ?--??

I A

1110.50.5

0.250.2511(3)(1)(3)(1)1

3131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --

+-

--+-+??-+-+ ? ?

-=== ? ?---+ ?

-+ ? ?-+-+-+-+?

I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t t

t t s ------??+-??=-= ??? ?-+?

现代控制理论第版课后习题答案

Prepared on 22 November 2020

《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令ys)(，则1xy

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1-2有电路如图1-28所示。以电压)(tu为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令32211,,xuxixic，输出量22xRy

有电路原理可知：•••3213222231111xCxxxxRxLuxxLxR 既得

22213322222131111111111xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx•••

写成矢量矩阵形式为：

1-4 两输入1u，2u，两输出1y，2y的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21yxyxyx，，，则有

相应的模拟结构图如下：

1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22

1-7 给定下列状态空间表达式

321321321100210311032010xxxyuxxxxxx‘