现代控制理论习题解答(第四章)

第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

70 第四章 控制系统的稳定性

3-4-1 试确定下列二次型是否正定。

(1)3123212322212624)(xxxxxxxxxxv

(2)232123222126410)(xxxxxxxxv

(3)312321232221422410)(xxxxxxxxxxv

【解】：

（1）

04131341111,034111,01,131341111P

二次型函数不定。

(2)

034101103031,0110331,01,4101103031P

二次型函数为负定。

(3)

017112141211003941110,010,1121412110P

二次型函数正定。

3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxv

【解】：

312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxv

xcbaxT111212111 第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

71 0212111,011,0111111cbabaa

满足正定的条件为：

1111111114410cabcbabaa

3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(xxxxxxxx

【解】：

（1）

设

22215.05.0)(xxxv

)0(0)0(0222221212211)(xxxxxxxxxxxxxv为半负定。

又因为0)(xv时，有02x,

则02x，代入状态方程得：01x.

所以系统在0x时，)(xv不恒为零。

则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（2）

设

22215.05.0)(xxxv

212221212211221133)32()()(xxxxxxxxxxxxxxxv

035.15.11,0135.15.11xxT

PxxT

P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（3） 第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

72 设

22215.05.0)(xxxv

22212122112211)()()(xxxxxxxxxxxxxv

xxT1001

PxxT

P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（4）

两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。

0000)(5.0)(2111121111xxxxxxvxxvxx

0000)(5.0)(2222222222xxxxxxvxxvxx

所以系统不稳定。

3-4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。

)(001323031)1(kxkx

【解】：

方法一：

采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

001323031)(zzzAzIzf

1.2346 2.6974i - 0.11732.6974i + 0.1173321zzz

特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。

方法二：

采用第二方法，

001323031G。 第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

73 设

105.0015.05.05.01P

因为1>0，075.015.05.01，05.0105.0015.05.05.01，所以P正定。

PxxxvT)(正定。

)())(()(kxPPGGkxkvTT

001323031001323031105.0015.05.05.01030023131PPGGT

85.175.165.475.48

因为8>0，075.2765.45.48，05.485.175.165.475.48，所以P正定。

)(kv为正定，所以系统在原点不稳定。

3-4-5 设离散系统状态方程为 0)(020100010)1(kkxkkx，求平衡点0ex渐近稳定时k值范围。

【解】：

方法一：

采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

02/01001)(zkzzAzIzf 第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

74 02k-0.52k0.5321zzz

2012k0.5k时平衡点渐近稳定。

方法二：

PxxxvT)(正定。

)())(()(kxPPGGkxkvTT

)()()(kQxkxkvT

令

IQ

PPGGQT，设332313232212131211PPPPPPPPPP

100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211PPPPPPPPPkPPPPPPPPPkPPGGT

0,0,0,123131211PPPP

233222412,1412kPkP

所以

2241200014120001kkP

P为正定，则2004120141222kkk时系统渐近稳定。

第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

75 3-4-6 设系统的状态方程为21215.1210xxxx，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线100)(xv边界上的一点到封闭曲线05.0)(xv内一点的响应时间上限。

【解】：

令

IQ

IPAPAT

求矩阵P，即

10015.12105.11202221121122211211PPPPPPPP



21414145.5P

所以李氏函数为：

2221215.05.045.5)(xxxxxv

)()(2221xxxv

011IPIQP

0PI

则

3062.21，6938.02

955.1010005.0ln1),(),(ln1200min0txvtxvtt

3-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。

)()()2()1(22212212222112113221231211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

【解】：

（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得： 第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性

76 1111311131022210221221110xxxTxxxfxfxfxfxfA

02211112ssssAsI

系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。

（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：

11113121213102221212122210221221110xxxTxxxxxxxxxfxfxfxfxfA

02211112ssssAsI

系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。

3-4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a、b的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。

3221221bxaxxxxx

【解】：

abxaxfxfxfxfxfAxxxT11031100220221221110

1112assassAsI

结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a大于0,

b任意（同时还需满足题目要求）。

3-4-9 试证明系统221211221xxaxaxxx在0,021aa时是全局渐近稳定的。

【解】：

求平衡点: