第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第四章 线性控制系统的能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。4-1 线性连续定常系统的能控性
定义 对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x
+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []
f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别
4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输⼊系统 具有约旦标准型系统
bu x x
+Λ=
=Λn λλλλ
0000000
00
0000321
n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x
+=
=++n m m J λλλλλλ
0000000000000
001000
00000121
1
11
现代控制理论课后习题答案
第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:
()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?
+-??D N 解：()()22
232321s s s s s s s
++ =++ ? ?
D S N S ； ()3r 2,1,2
E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?
- ? ???；
()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?
；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?
；
所以⼀个gcrd 为001s ??
；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=
A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵t
A e 。
(2) 已知412102113-?? ?
= ? ?-??
A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??
I A
1110.50.5
0.250.2511(3)(1)(3)(1)1
3131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --
+-
--+-+??-+-+ ? ?
-=== ? ?---+ ?
-+ ? ?-+-+-+-+?
I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t t
t t s ------??+-??=-= ??? ?-+?
现代控制理论第4章教学要求
按章节，打*号的部分为本科不要求的内容，另外在一些未打*的部分有些内容也不要求，请按下面要求的内容组织本科教学。
第4 章 动态系统的结构分析
4.1 引言
4.1.1 能控性与能观性物理现象——从例子谈起
从物理角度理解能控性与能观性的重要性。
4.1.2 能控性与能观性的数学描述
从数学角度理解能控性与能观性的状态方程特点。
4.2 连续线性系统能控性与能观性定义
4.2.1 能控性定义
理解能控性的定义包含的丰富内涵。
能利用定义解决与系统能控性相关的问题。
4.2.2 能观性定义
理解能观性的定义包含的丰富内涵。
能利用定义解决与系统能观性相关的问题。
4.3 连续线性系统能控性与能观性判据
4.3.1 定常系统的能控性判据与能控性指数
掌握定常系统的Gram矩阵能控性判据。
掌握Jordan标准型的能控性判据，并能依此进行相应计算。
掌握能控性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。
了解能控性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。
了解定常系统的能控性指数，并基此减小能控性矩阵的规模。
4.3.2 定常系统的能观性判据与能观性指数
掌握定常系统的Gram矩阵能观性判据。
掌握Jordan标准型的能观性判据，并能依此进行相应计算。。
掌握能观性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。
了解能观性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。。
了解定常系统的能观性指数，并基此减小能观性矩阵的规模。
4.3.3 时变系统的能控性判据
了解时变系统的 Gram矩阵能控性判据。
了解时变系统的能控性秩判据。
4.3.4 时变系统的能观性判据
了解时变系统的 Gram矩阵能观性判据。
了解时变系统的能观性秩判据。
4.3.5 时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系
理解时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系。
4.4 连续线性系统输出能控性和输出函数能控性及判据
现代控制理论第版课后习题答案
Prepared on 22 November 2020
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
令ys)(，则1xy
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(tu为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,xuxixic，输出量22xRy
有电路原理可知：•••3213222231111xCxxxxRxLuxxLxR 既得
22213322222131111111111xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx•••
写成矢量矩阵形式为：
1-4 两输入1u，2u，两输出1y，2y的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21yxyxyx，，，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22
1-7 给定下列状态空间表达式
321321321100210311032010xxxyuxxxxxx‘
