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课前篇 自主预习
2.填空 (1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这 个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集).集合通常用英文 大写字母A,B,C,…来表示. (2)元素:组成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元 素通常用英文小写字母a,b,c,…来表示.
3.做一做:下列各组对象能构成集合的有( )
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探究二
探究三
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分类讨论思想的应用 分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的 数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学地划分十 分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则. 分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想 常应用于元素与集合的关系方面.
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反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨 论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中 元素的互异性.
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变式训练用符号“∈”和“∉”填空.
答案:(1)∈ (2)∈ (3)∉
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4.下列对象构成的集合是空集的是 .(填序号)
①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集. 解析:因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-4<0,所以方程无解,即解集 为空集.而小于1的自然数为0,2米高的人也存在,所以①②都不是空 集. 答案:③
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集合中元素的互异性
例2 若集合中的三个元素分别为2,x,x2-x,则元素x应满足的条件
是
.
解析:由元素的互异性可知x≠2,且x2-x≠2,且x2-x≠x,
答案:x≠2,且x≠-1,且x≠0 反思感悟集合中元素的特征性质集合中的元素是互不相同的,即 集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集 合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.
①2019年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非 负奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B
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知识点二、元素与集合的关系
1.思考 设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关 系? 提示:3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M 中的元素,即8不属于集合M,记作8∉M. 2.填写下表:
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(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3. 而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈. (4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y), 而-1是数,所以-1∉D. 又(-1)2=1,所以依次应填∉,∈.
答案:(1)∉ ∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈ (4)∉ ∈
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5.设A表示由a2+2a-3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已 知5∈A,且5∉B,求a的值. 解:∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4. 当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1. 又5∉B,∴a=-4.
第1课时 集合
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知识点一、集合的概念
1.思考 (1)你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学的姓名吗? 你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名吗? 提示:比较聪明的同学的姓名不能具体说出来,因为聪明与否没 有明确的标准;而所在班级中女生的姓名是明确的. (2)你认为将要研究的“集合”是由什么构成的呢? 提示:今天我们研究的“集合”这一新概念,是必须由一些确定的对 象构成的.也就是说上述所说的聪明的同学是不能构成集合的.因 为聪明是没有明确划分标准的.
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典例 已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值. 解:(1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去; 若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意. (3)当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意. 综上可知,符合题意的x的值为-1. 方法点睛 x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x, 需对其进行分类讨论.
3.用符号∈或∉填空.
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(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集
合,则3 C,5 C;
(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,
则-1 D,(-1,1) D.
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解析:(1)依次应填∉,∉,∈.
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1.(多选)下列对象能构成集合的是( )
A.所有的正数 B.等于2的数 C.接近0的数 D.不等于0的偶数 答案:ABD
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )
答案:D
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延伸探究 若集合A中含有两个元素a-3和2a-1,已知-3是A中的元 素,如何求a的值?
解:∵-3是A中的元素, ∴-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0. 此时集合中含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述:满足题意的实数a的值为0或-1.
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元素与集合的关系
例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x 的值.
分析:-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求 解.
解:由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3. 当x-2=-3时,x=-1, 把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集 合中元素的互异性;
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名师点拨
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3.做一做集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式
正确的是( )
答案:D
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知识点三、集合的分类及相等集合
1.思考 方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集 合中元素个数为多少? 提示:该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素, 因此集合中元素个数为0. 2.填空. (1)有限集:含有有限个元素的集合. (2)无限集:含有无限个元素的集合. (3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集.空集可以看作 是包含0个元素的集合. (4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两 个集合相等,记作A=B.
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反思感悟集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个 对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其 一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象 是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则 不能构成一个集合.
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知识点四、常用数集及其表示
1.思考
我们曾经学习了哪些常见的数集? 提示:我们都学习过自然数集、正整数集、整数集、有理数集、
实数集.
2.填写下表:
3.做一做 用符号“∈”或“∉”填空.
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探究二Leabharlann 探究三思维辨析 当堂检测
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集合中元素的确定性
例1判断下列各组对象能否构成一个集合: (1)2019年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员; (2)方程x2-1=0的所有实根; (3) 的近似值的全体; (4)大于0的所有整数. 解:(1)能,因为男队员是确定的. (2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性. (3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合. (4)能,因为大于0的整数是确定的.
