绝对值不等式知识点及典型练习题

绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

实用精品文献资料分享含绝对值不等式测试题及答案高二数学含绝对值不等式人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容含绝对值不等式二. 重点、难点 1. 基本性质：或 2. 重要不等式【典型例题】 [例1] a、b、c 求证：左若不等式显然成立若∴ 左 [例2] 求证：（1）若显然成立（2）显然成立 [例3] 求证：证：（1）时显然成立（2）左 [例4] 解不等式解：或或得 [例5] 不等式的解集为A，若 A，求a取值范围。

解：作函数的图象∴ [例6] a、b、c为的三边求证：证：同理迭加∴ ∴ [例7] 解不等式解：即：∴ [例8] 二次函数，开口向上，且，解不等式解：图象关于对称∴ 递减递增∴ ∴ 原不等式【模拟试题】 1. 下列不等式① ② ③ ，其中正确的有（）个 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，，下列各式中最大的一个为（） A.B. C. D. 3. a、b、c、d ，，，则abcd的最小值为（） A. B. C.D. 4. 不等式的解为，则不等式的解为（） A.（1 , 2） B. C.D. 5. 不等式的解为R，则a的取值范围为（） A. B. C. D. 6. 不等式的解为（） A. B. C. D. 7. 函数在区间上为递增，求a取值范围（） A. B. 或 C. D. 8. 函数，R上递增，若，则（） A.B. C. D. 9. 奇函数，，的解为，解为，则解为（） A. B.C. D. 10. 一批救灾物资用26辆汽车从A市以V公里/小时的速度匀速直达灾区B地，A，B间公路长400公里，为了安全行车，车队中相邻两辆汽车不得小于公里，那么物资全部运到灾区，最少需多少小时？（车长不计）试题答案 1. C 2. D 3. C 4. D 5. A 6. C 7.C 8.A 9. C 10. 解：26辆有25个车距∴ 时间∴。

绝对值及不等式练习【知识回顾】1、||7x =，则x = ；||7x -=，则x =2、下列说法中正确的是A ．||a -一定是负数B . 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C . 若||||a b =则a 与b 互为相反数D . 若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数3、给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不想等；④绝对值相等的两个数一定相等。

其中正确的有4、如果|2|2a a -=-，则a 的取值范围是 。

5、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求y x y x -+的值。

6、 已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求4422++-+c a c ab 的值.7、 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．8、 已知a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c=0，求abcabc c c b b a a +++的值。

9、 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为__________．（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ________.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为__________。

【基础题型】1、解下列不等式 (1) 1|1|23x --≤， (2) |1|02x -<(3) |25|7x +> (4) |21|3x ->(5) 3|23|5x <-<(6) |21|3x -<-(7) 4|13|7x <-≤2、解下列不等式(1) |1||2|5x x -++<(2) |21||3|1x x +-->(3) |3||21|12xx x +--<+(4) |25|7x x +>+3、解下列不等式(1) |1||2|+<+x x-<+(2) 2|3||21|x x4、解下列关于x的不等式(1) |21|+<x a->(2) |23|x a5、化简下列函数，并画出函数的图象(1) |1|=+y x=-(2) |23|y x(3) |3||2|=++-y x x y x x=--+(4) |1||2| (5) |21||3|=+--y x x5、利用绝对值的几何意义解不等式(1) |1||2|5--+<x x x x-++<(3) |1||2|5 (2) |2||2|5x x+-+< -++>(4) |3||1|5 x x【提高题】1、,a b为任意实数，下列四个命题正确的是（）A ．如果a b >，那么||||a b >B ．如果||a b >，那么22a b >C ．如果||a b >，那么22a b >D ．如果||a b ≠，那么22a b ≠2、若||||||a b a b +=+，则,a b 满足的条件一定是（ ）A ．,a b 均为正数B ．,a b 均为负数C ．,a b 一正一负D ．同号或至少一个为03、关于x 的不等式|1|5kx -≤的解集是32x -≤≤，则k 的值为 。

含绝对值不等式练习题绝对值（absolute value）是数学中的一种运算符号，用来表示一个数与零点之间的距离。

绝对值不等式（absolute value inequality）是含有绝对值符号的不等式。

在解绝对值不等式时，通常需要将其分解为两个不等式，并分别求解。

下面是一些含有绝对值的不等式练习题，帮助你加深理解与练习。

请仔细阅读每道题目，并给出你的解答。

练习题一：求解不等式|2x+3| ≤ 5。

解答：首先，我们将不等式分解为两个不等式：2x+3 ≤ 5 和 -(2x+3) ≤ 5。

解第一个不等式，得到2x ≤ 2，从而得到x ≤ 1。

解第二个不等式，得到 -2x-3 ≤ 5，从而得到 -2x ≤ 8，x ≥ -4。

综合以上结果，我们可以得到 -4 ≤ x ≤ 1。

练习题二：求解不等式 |3x-1| > 7。

解答：首先，我们将不等式分解为两个不等式：3x-1 > 7 或 3x-1 < -7。

解第一个不等式，得到 3x > 8，从而得到 x > 8/3。

解第二个不等式，得到 3x < -6，从而得到 x < -2。

综合以上结果，我们可以得到 x < -2 或 x > 8/3。

练习题三：求解不等式 |4-5x| ≥ 2。

解答：首先，我们将不等式分解为两个不等式：4-5x ≥ 2 或 -(4-5x) ≥ 2。

解第一个不等式，得到 -5x ≥ -2，从而得到x ≤ 2/5。

解第二个不等式，得到 5x-4 ≥ 2，从而得到5x ≥ 6，x ≥ 6/5。

综合以上结果，我们可以得到x ≤ 2/5 或x ≥ 6/5。

练习题四：求解不等式 |x| + 3 > 1。

解答：首先，我们将不等式分解为两个不等式：x + 3 > 1 或 -(x) + 3 > 1。

解第一个不等式，得到 x > -2。

解第二个不等式，得到 -x + 3 > 1，从而得到 x < 2。

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] 答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 剖析列出不等式． 解依据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5,个中最小整数为－5, 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 剖析应用所学常识对不等式实行同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7,即4＜3x－1≤7或－7 例4已知聚集A＝{x|2＜|6－2x|＜5,x∈N},求A． 剖析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N,所以A＝{0,1,5}． 解释：留意元素的限制前提． 例5 实数a,b知足ab＜0,那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 剖析依据符号轨则及绝对值的意义． 解∵a.b异号, ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2},则a,b的值为 [ ] A．a＝1,b＝3 B．a＝－1,b＝3 C．a＝－1,b＝－3 剖析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知,b＞0,原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b},因为解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 解释：本题现实上是应用端点的地位关系结构新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 剖析分类评论辩论． x＜m． {x|1－m＜x＜m}． 解释：分类评论辩论时要预先肯定分类的尺度． 剖析一般地说,可以移项后变形求解,但留意到分母是正数,所以能直接去分母． 解留意到分母|x|＋2＞0,所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2,整顿得 解释：分式不等式经常可以先剖断一下 分子或者分母的符号,使进程轻便． 例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 剖析以经由过程变形化简,把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1 ① 或 6－|2x＋1|＜－1 ② 由①得|2x＋1|＜5,解之得－3＜x＜2; 由②得|2x＋1|＞7,解之得x＞3或x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}． 解释：本题须要多次应用绝对值不等式的解题理论． 例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集长短空聚集,则实数a的取值规模是________． 剖析可以依据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不合懂得,获得多种办法． 解法一当x≤－2时,不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解,而－2x＋1≥5, ∴a＞5． 当－2＜x≤3时,不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5． 当x＞3是,不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解,而2x－1＞5,∴a＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解,从而解集非空． 解法二 |x＋2|＋|x－3|暗示数轴上的点到暗示－2和3的两点的距离之和,显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值规模为a＞5． 解法三应用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以a＞5时不等式有解． 解释：经由过程多种解法锤炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x． 剖析一对2－x的取值分类评论辩论解之． 解法一原不等式等价于： 由②得x＞2． 剖析二应用绝对值的界说对|x＋1|进行分类评论辩论解之． 解法二因为 原不等式等价于： 例12 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1． 剖析设法去失落绝对值是重要解题计谋,可以依据绝对值的意义分 －(x－5)＋(2x＋3)＜1,得x＜－7,所以x＜－7; －(x－5)－(2x＋3)＜1, 当x＞5时,原不等式可化为 x－5－(2x＋3)＜1, 解之得x＞－9,所以x＞5． 解释：在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是根本计谋． 例13 解不等式|2x－1|＞|2x－3|． 剖析本题也可采纳前一题的办法：采纳用零点分区间评论辩论去失落绝 之,则更显得流利,简捷． 解原不等式同解于 (2x－1)2＞(2x－3)2, 即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9, 即8x＞8,得x＞1． 所以原不等式的解集为{x|x＞1}． 解释：本题中,假如把2x当作数轴上的动坐标,则|2x－1|＞|2x－3|暗示2x到1的距离大于2x到3的距离,则2x应该在2的右边,从而2x＞2即x＞1．

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式．解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R ⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9， 即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。

绝对值不等式一、选择题1．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|3．(2012·天津高考改编)设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为() A．2 B．－3 C．7 D．04．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－12，12)，则t＝()A．0 B．－1 C．－2 D．－35．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是() A．0 B．1 C．－1 D．2二、填空题6．(2013·广州调研)不等式|x＋1||x＋2|≥1的实数解为________．7．(2013·广州测试)已知不等式|x－2|＞1的解集与不等式x2＋ax＋b＞0的解集相等，则a ＋b的值为________．8．(2013·惠州质检)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．(2013·韶关月考)不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．10．(2013·珠海调研)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．11．(1)已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.作出函数f(x)的图象；(2)当x＜5时，不等式|x－8|－|x－a|＞2恒成立，求a的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】∵|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，又x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0，3)(－1，3)．【答案】 B2．【解析】∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.【答案】 B3．【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3.【答案】 B4．【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，t－12<x<12，∴t＝0.【答案】 A5．【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1.【答案】 B二、填空题6．【解析】|x＋1||x＋2|≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|且x＋2≠0，∴x≤－32且x≠－2.【答案】{x|x≤－32且x≠－2}7．【解析】由|x－2|＞1得x－2＜－1或x－2＞1，即x＜1或x＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎨⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 【答案】 －18．【解析】 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，因此要使原不等式存在实数解，只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.【答案】 (－∞，－3]∪[3，＋∞)三、解答题9．【解】 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1，0<b <1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .10．【解】 (1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15解集为∅；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．11．【解】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧4， （x ≤3），10－2x ， （3＜x ＜7），－4， （x ≥7）.∴f (x )的图象如图所示，(2)∵x ＜5，∴|x －8|－|x －a |＞2，即8－x －|x －a |＞2，∴|x －a |＜6－x ，对x ＜5恒成立，即x －6＜x －a ＜6－x 对x ＜5恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＜6，a ＞2x －6对x ＜5恒成立．又∵x ＜5时，2x －6＜4，∴4≤a ＜6.∴a 的取值范围为[4，6)．。

含绝对值的不等式解法•典型例题能力素质例1不等式|8—3x|> 0的解集是[ ]A •B • R8 8C - {x|x 丰-3D・{?8 分析V |8—3x| > 0,二8—3x H 0,即X H3答选C •例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是[ ]A • 3B • 2C • —2D • —5分析列出不等式•解根据题意得2< |x|< 5 •从而—5W x< —2或2< x w 5，其中最小整数为—5,答选D •例3不等式4< |1 —3x|< 7的解集为_____________ •分析利用所学知识对不等式实施同解变形•解原不等式可化为4< |3x—1|w 7,即4< 3x —1 w 7或—75 8w 3x—1<—4解之得5<x< 8或—2w x<—1,即所求不等式解集为3 3.5 8{x| —2 w x<—1 或< x w -} •1 1 3 3;例4 已知集合A = {x|2 < |6 —2x| < 5, x € N}，求A •分析转化为解绝对值不等式•解V 2< |6—2x|< 5可化为2< |2x —6|< 5即—5< 2x —6< 5,2x —6> 2 或2x—6<—2 , 即1< 2x< 11,2x> 8或2x< 4,11 1解之得4 v x v 或—v x v 2 .2 2因为 x € N ，所以 A = ｛0, 1, 5｝. 说明：注意元素的限制条件. 例5实数a , b 满足ab v 0，那么[ ]A . |a - b|v |a|+ |b|B . |a + b|> |a - b|C . |a + b| v |a — b|D . |a — b|v ||a|+ |b||分析根据符号法则及绝对值的意义. 解 T a 、b 异号，|a + b| v |a — b| .答选C .例6设不等式|x — a|v b 的解集为｛x| — 1v x v 2｝，贝U a , b 的值为[ ]A . a = 1, b = 3B . a =— 1, b = 3C . a = — 1, b = — 3D . a =分析 解不等式后比较区间的端点.解 由题意知，b > 0,原不等式的解集为｛x|a — b v x v a + b ｝，由于解集又 为｛x| — 1 v x v 2｝所以比较可得.答选D. 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x — 1|v 2m — 1(m € R) 分析分类讨论.1解 若2m — K 0即m W 孑，则|2x — 1| v 2m — 1恒不成立，此时原不等 式的解集为1右 2m — 1 > 0即 m > —，则一(2m — 1) v 2x — 1 v 2m — 1,所以 1 — m v2a —b =—1a +b = 2 ，解之得 a = b=x v m .1综上所述得：当m W-时原不等式解集为；21当m>-时，原不等式的解集为2{x|1 —m v x v m}.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.点击思维例8解不等式> -.|x| + 2 2分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母.解注意到分母|x汁2 > 0,所以原不等式转化为2(3 —|x|) >凶+ 2,整理得4 4 4 4 4|x| W -，从而可以解得— 3 W x W -，解集为{x| —- W x W -}.3 3 3 3 3说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便.例9 解不等式|6—|2x+ 1||> 1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+ b|v c或|ax+ b|>c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6—|2x+ 1|> 1① 或6—|2x + 1|v—1② 由①得|2x+ 1|v 5，解之得一3v x v 2;由②得|2x+ 1|>7,解之得x>3或x v —4.从而得到原不等式的解集为{x|x v—4或一3v x v 2或x > 3}.说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.例10已知关于x的不等式|x+ 2|+ |x—3|v a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ____________________ .分析可以根据对|x + 2|+ |x —3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一当x W —2时，不等式化为一x—2—x+ 3 v a即一2x + 1 v a有解，而一2x+ 1 >5,••• a> 5.当一2v x W 3时，不等式化为x + 2—x+ 3v a即a>5.当x>3是，不等式化为x+ 2 + x—3v a即2x—1 v a有解，而2x—1 > 5, •- a>5.综上所述：a> 5时不等式有解，从而解集非空.解法二 |x + 2|+ |x — 3|表示数轴上的点到表示一 2和3的两点的距离之和，显然最小值为 3 — (— 2) = 5.故可求a 的取值范围为a > 5.解法三 利用|m 汁|n|> |m ± n|得|x + 2|+ |x — 3|> |(x + 2) — (x — 3)|= 5. 所以a > 5时不等式有解.说明：通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 分析一 解法一解不等式|x + 1|>2 — x . 对2 — x 的取值分类讨论解之. 原不等式等价于：①2"-X 》0 x + 1> 2 — x 或x + 1 v x — 22 — x v 0 x € Rx < 2由①得 1亠x > —或 1 v — 22x < 2 即 1x > 2由②得x >2.1 、 1综合①②得x > —.所以不等式的解集为{x|x > —}.2 2分析二利用绝对值的定义对|x + 1|进行分类讨论解之. 解法二因为x + 1 , x >— 1—x — 1 , x V — 1原不等式等价于:1> 0或② X1V 01> 2 xx 1> 2 x1即 x > ；所以不等式的解集为{x|x > -} •|x + 1| =由①得 由②得x V — 1即 x € —1> 2学科渗透例12 解不等式|x- 5| - |2x + 3|< 1.分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分3区间讨论，事实上，由于x = 5时，|x —5| = 0, x = — ?时|2x+ 3| = 0.3所以我们可以通过- 3, 5将x轴分成三段分别讨论.2Hi-143解当x<—3时，x —5< 0, 2x+ 3< 0所以不等式转化为2—(x —5) + (2x + 3) < 1，得x< —7，所以x< —7;3当一—< x< 5时，同理不等式化为2—(x —5) —(2x + 3) < 1，1 1解之得x> -，所以丄< x< 5;3 3当x>5时，原不等式可化为x —5 —(2x + 3) < 1，解之得x>—9,所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为{x|x > 1或x<—7}.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略.例13 解不等式|2x—1|> |2x—3|.分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a| > |b| a2> b2解之，则更显得流畅，简捷.解原不等式同解于2 2(2x —1) > (2x —3),即4x2—4x + 1 > 4x2—12x + 9,即8x>8,得x> 1.所以原不等式的解集为{x|x > 1}.说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x —1|> |2x—3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x> 2即x> 1.2 2K图1—15。

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。

（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。

6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。