线性代数基础解系求法举例

线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。

首先，我们讨论线性方程组的求解方法。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。

对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。

它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。

在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。

2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。

3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。

具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。

除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。

我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。

2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。

对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。

我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。

另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。

线性代数之齐次线性方程组基础解系问题的求解方法总结
解答题的形式出现，分值为11分，2016年数学一考了一道大题，11分，2017年也考察了一道大题，11分。

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。

但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。

重点内容：
(1)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(2)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。

常见题型：
(1) 线性方程组的求解
(2) 齐次线性方程组的基础解系
(3) 两个方程组的公共解、同解问题
齐次线性方程组的基础解系：
齐次线性方程组的基础解系基础解系及通解的求法：
基础解系及通解的求法
题型一：齐次线性方程的基础解系的求解
例1：
分析：对方程组的系数矩阵作初等行变换，化成阶梯型矩阵。

解：由题意得：齐次线性方程组的系数矩阵为：
本例给出了基础解系的基本方法。

线性代数的基本解法介绍线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的代数结构和性质。

在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍线性代数中常见的基本解法，包括行列式、矩阵运算、向量空间、线性方程组等内容。

行列式行列式是线性代数中重要的概念，它可以判断矩阵的可逆性以及线性方程组的解情况。

行列式的计算可以通过数值法和性质法两种方法进行。

数值法通过将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，利用对角元素相乘得到行列式的值。

性质法则利用行列式的一系列性质进行计算，包括行列互换、行加倍等。

矩阵运算矩阵运算在线性代数中非常重要，包括矩阵的加法、减法、乘法等。

矩阵加法和减法主要通过对应位置元素的相加或相减来实现。

矩阵乘法则需要注意行和列的对应关系，具体的计算方法是将矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算，得到最终的矩阵。

向量空间向量空间是线性代数中的一个基本概念，它由一组满足一定条件的向量组成。

向量空间具有封闭性、线性组合和线性相关性等特性。

通过研究向量空间的性质，可以对向量进行分析和运算。

线性方程组的解可以表示为向量空间的交集。

线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一，它表示为多个线性方程组成的方程组。

求解线性方程组可以通过消元法、矩阵法、逆矩阵等方法。

消元法通过逐步消去未知数来求解，最终得到唯一解、无穷解或无解。

矩阵法则通过转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解。

逆矩阵则需要判断方程组的系数矩阵是否可逆，若可逆则可以求解出唯一解。

总结线性代数的基本解法包括行列式、矩阵运算、向量空间和线性方程组等。

行列式可以判断矩阵的可逆性和解的情况；矩阵运算可以进行不同矩阵的加法、减法和乘法；向量空间具有封闭性和线性相关性等特性；线性方程组的解可以通过消元法、矩阵法和逆矩阵等方法求解。

掌握这些基本解法将有助于在实际问题中应用线性代数的知识。

线性代数线性方程组求解线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。

在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。

本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。

1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。

它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。

首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：[[a11, a12, a13, ..., a1n, b1],[a21, a22, a23, ..., a2n, b2],...[an1, an2, an3, ..., ann, bn]]其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。

然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。

具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。

接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。

由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。

2. 矩阵的逆和行列式除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。

当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。

假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组：X = A^(-1) * B其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。

当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。

如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。

3. MATLAB求解线性方程组除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。

MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。

使用MATLAB求解线性方程组通常先定义系数矩阵A和常数向量B，然后通过相关函数求解。

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T )1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,27,211(T k k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B = )(00000311000650110670101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ， 所以，方程组的通解为 =+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数． 3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ， 即 0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）.解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-1024321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T T x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系 T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T T x x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系 T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ． 解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311， 因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组． 解 由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα, 方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系 1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫ ⎪= ⎪--⎝⎭, 即 12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证T n b b b ),,,(21 =β是向量组 T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21m n m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组11112211122112200n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ , 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组 12,,,m ααα 和12,,,,m αααβ 的秩相同，故β可由12,,,m ααα 线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12Tn b b b b = ，其中,i j a b 不全为零1,,i m = ，1,,j n = ，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b a a ba b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,00000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆， 记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -= ，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解； （D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，TA 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， (1)当 12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１） 反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．证（2） 反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k - ，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++= ,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++= ,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++= ，10k =，20k =，．．．，0n r k -=, 从而00k =，这与012,,,,n r k k k k - 不全为零矛盾, 故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nnn n n n b b b b a a a b a a a b a a a的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,11121121222212120n n n n nn n n a a a b a a a b B a a a b b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=． B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

求基础解系的步骤例题
求基础解系的步骤如下：
定义基础解系：基础解系是解一个方程组的最基本的解系，即使用若干线性无关的解带出该方程组的其余解。

求基础解系的常用方法：
（1）分配系数法：将系数矩阵以行列式的形式表示，对系数进行分配。

（2）初等行变换法：将系数矩阵进行初等行变换，将其变为最简形矩阵，然后根据最简形矩阵求解基础解系。

例：求方程组x1+x2+x3=0,x2+x3=0的基础解系。

解：将系数矩阵表示为A=(α1,α2,α3)，其中
α1=(1,1,1),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)。

对系数矩阵进行初等行变换，将其变为最简形矩阵，即
|1110||011||001||011||001|
然后根据最简形矩阵求解基础解系，即
x1=-x2-x3,x2=x2,x3=x3
因此，方程组的基础解系为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。

基础解系的求法举例
基础解系的求法是求解微分方程的一种方法，其目的在于求出微分方程的一组基础解，从而得到通解。

下面以一些简单的微分方程为例，说明基础解系的求法。

例1：求解二阶齐次线性微分方程 y'' + 4y = 0
设y = e^(λx) 代入微分方程得到λ^2 + 4 = 0，解得λ = ±2i
因此 y1 = e^(2ix) 和 y2 = e^(-2ix) 是微分方程的基础解系。

通解为 y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
首先求解对应的齐次方程 y' + y = 0，得到其基础解 yh = Ce^(-x)
再求非齐次方程的一个特解 yp，可以采用常数变易法或者待定系数法。

这里采用待
定系数法，设 yp = Ae^x，代入非齐次方程得到 A = 1，因此 yp = e^x
总解为 y = yh + yp = C1e^(-x) + C2xe^(-x) - 1/2x + 5/2。