线性代数基本定理-新版.pdf

线性代数基本性质、定理、公式，解法，计算(),nTA r A nA A AxxAxAAxA A A E 可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R 12,si Ap p p p n B ABE ABE是初等阵存在阶矩阵使得或○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.()A r A nAA A AxA 不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量○注()()abr aEbA naE bA aE bA x有非零解=-具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于12,,,n e e e ：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e 线性无关；③12,,,1n e e e ；④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e 线性表示.行列式的定义1212121112121222()1212()n nnn nj j j nj j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a 1√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAO A A O A BO B O B BO A A A BBOBO1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnnnn n n n n a Oa a a a a a a Oa O1（即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：1222212111112n i jnj i nn n n nx x x x x x x x xxx111矩阵的定义由m n 个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mna a a a a a Aa a a 称为m n 矩阵.记作：ijm nAa 或mnA 伴随矩阵1121112222*12n Tn ijnnnnA A A A A A AA A A A ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①1A AA○注：1a b d b cdcaadbc1主换位副变号②1()()A E E A 初等行变换③1231111213a a a a a a 3211111213a a a a a a √方阵的幂的性质：m nm nA AA()()m nmnA A √设,,m n n s A B A 的列向量为12,,,n,B 的列向量为12,,,s，则msABC 1112121222121212,,,,,,s s nsn n nsb b b b b bc c c b b b iiAc ，(,,)i s 1,2i为i Axc 的解121212,,,,,,,,,sss AA AAc c c 12,,,s c c c 可由12,,,n线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵. 即：1112111212222212n n n n mnn ma a a c a a a c a a a c 111122*********22211222n n m m mnma a a c a a a c a a a c √用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：TT T TTA B A C C DBD分块矩阵的逆矩阵：111AAB B111AB BA1111A C A A CB OBOB1111A O AO CBB CAB分块对角阵相乘：11112222,A B ABA B 11112222A B ABA B ,1122nnn AAA分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB *(1)(1)mnmnAA BBB A√矩阵方程的解法(0A )：设法化成AXBXAB(I)或 (II)A B E X 初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTA XB X X(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√初等矩阵的性质：(,)E i j 1[()]E i k k [,()]E i j k 1(,)(,)TE i j E i j [()][()]TE i k E i k [,()][,()]TE i j k E j i k 1(,)(,)E i j E i j 11[()][()]kE i k E i 1[,()][,()]E i j k E i j k *(,)(,)E i j E i j *1[()][()]k E i k kE i *[,()][,()]E i j k E i j k ①矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A . ②零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.③单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.④部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑤原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑥两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑦向量组12,,,n中任一向量i(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑧向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组12,,,n 线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.⑨m 维列向量组12,,,n 线性相关()r A n ；m 维列向量组12,,,n线性无关()r A n .⑩若12,,,n 线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法唯一.?矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r向量组的秩向量组12,,,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nr 矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B . 记作：AB向量组等价12,,,n和12,,,n可以相互线性表示. 记作：1212,,,,,,n n?矩阵A 与B 等价PAQB ，,P Q 可逆()(),,,r A r B A B A B 为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnr r 1212(,,,,,,)nnr 矩阵A 与B 等价. ?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示AX B 有解12(,,,)=nr 1212(,,,,,,)nsr 12(,,,)sr ≤12(,,,)nr .?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示,且s n ，则12,,,s线性相关.向量组12,,,s 线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s ≤n .?向量组12,,,s 可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr 12(,,,)nr ,则两向量组等价；?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?设A 是mn 矩阵,若()r A m ，A 的行向量线性无关；若()r A n ，A 的列向量线性无关,即：12,,,n 线性无关.√矩阵的秩的性质：①()A Or A 若≥1()0A O r A 若0≤()m n r A ≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A ③()()r kA r A k若0④()(),,()0mnn s r A r B nA B r AB B Ax若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤min (),()r A r B ⑥()()()()A r AB r B B r AB r A 若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Axr AB r B r A nAB O B O A ABACB C只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B nB 在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r r E O E O r A rA A OOOO若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B ≤()()r A r B max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B ⑩()()A O O Arr A r B OBB O()()A C r r A rB OB○注：AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解线性方程组的矩阵式Ax 向量式1122nnx x x 1112111212222212,,n n m m mnnma a a xb a a a x b Axa a a xb 12,,2,,j jjmjjn11212(,,,)nnx x x 矩阵转置的性质：()T TA A()TT TAB B A()TTkA kATAA()TTTA B AB(矩阵可逆的性质：11()A A111()AB B A 111()kA k A 11A A 111()A B A B (伴随矩阵的性质：2()n A AA()AB B A1()n kA kA1n AA***()A B AB(()()1 ()10 ()1nr A nr A r A n r A n 若若若AB A BnkA k AkkAAA B A B线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k kkkAx Axk k Axk AxAxAx Ax Ax是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100kk k kkkkAx AxAxAx Ax是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√设A 为m n 矩阵,若()r A m()()r A r A Ax一定有解，当m n 时,一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A和的上限.√判断12,,,s是Ax的基础解系的条件：①　12,,,s线性无关；②　12,,,s都是Ax的解；③　()s n r A 每个解向量中自由未知量的个数.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是Ax 的一个解，1,,,s是Ax的一个解1,,,,s线性无关√Ax 与Bx同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系.√两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx同解()()A rr A r B B. √两个非齐次线性方程组Ax 与Bx都有解，并且同解()()A rr A r B B.√矩阵m n A 与l n B 的行向量组等价齐次方程组Ax 与Bx同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；101p 教材矩阵m n A 与l n B 的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ）.√关于公共解的三中处理办法：①把(I)与(II)联立起来求解；②通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,是(I)的基础解系,45,是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c 当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c 是(I)的通解，233c 是(II)的通解，两方程组有公共解2331c 可由12,线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ③设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

线性代数基本定理线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、矩阵和线性方程组等概念和性质。

线性代数基本定理是线性代数中的核心定理，它揭示了矩阵的奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）的重要性质。

本文将介绍线性代数基本定理及其应用。

一、奇异值分解奇异值分解是矩阵分析中最基本的分解之一，它将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T。

其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

线性代数基本定理指出，对于任意的矩阵A，它的奇异值分解一定存在，并且是唯一的。

这意味着任何矩阵都可以通过奇异值分解进行表示，奇异值的大小和特征决定了矩阵的性质和重要特征。

奇异值分解在数据降维、图像处理、推荐系统等领域具有广泛的应用。

通过保留矩阵的主要奇异值，可以将高维数据映射到低维空间，从而减少数据的维度和冗余信息，提高计算效率和数据处理速度。

二、特征值分解特征值分解是线性代数中另一个重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积：A=QΛQ^(-1)。

其中，Q是正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为特征值。

线性代数基本定理指出，对于任意的方阵A，它的特征值分解一定存在，并且是唯一的。

特征值分解可以帮助我们理解线性变换对向量空间的作用，特征值和特征向量决定了矩阵变换的主要性质。

特征值分解在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。

通过求解特征值和特征向量，可以得到矩阵的主要特征和重要特性，如稳定性、动力学行为等。

特征值分解还可以用于对称矩阵的对角化和正定矩阵的判定。

三、线性代数基本定理的应用1. 数据降维奇异值分解可以将高维数据映射到低维空间，从而实现数据降维。

通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，可以大大减少数据的维度，并且保留数据的主要分布和性质。

数据降维在机器学习、数据挖掘等领域具有重要意义，可以提高算法的效率和准确性。

2. 图像压缩奇异值分解可以对图像进行压缩和恢复。

线代公式定理章一、行列式1、n 阶行列式（1）（定义)由自然数1，2，···，n 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，记为j 1j 2…j n .（2）（定义)在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用τ(j 1j 2…j n )表示排列j 1,j 2,…,j n 的逆序数.逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列。

(3)（定义）把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。

（4）（定理）一次对换改变排列奇偶性。

（5）（推论）任何一个n 阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。

（6）三阶行列式的计算：I 沙路法 II 对角线法则（7）三角行列式的计算：下（上）三角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积，即nna a a Λ2211=nnn n a a a a a a ΛM M M ΛΛ212221110002、行列式的性质（1）(性质)行列式与它的转置行列式相等,即。

（2）(性质)如果行列式某一行(列)元素有公因数k, 则k可以提到行列式符号外边。

（3）（推论）如果行列式中某一行(列)元素全为零, 那么行列式等于零。

（4）(性质)如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。

（5）(推论)若行列式中有两行(列)相同, 则行列式的值为零。

（6）(推论)如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为 0。

（7）(性质)如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和, 则此行列式等于两个行列式的和。

（8）(性质)如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。

（9）（性质）若a ij=a ji(i,j=1,2,…,n) ,则称行列式 D为对称的；若a ij=-a ji(i,j=1,2,…,n) ,则称行列式D为反对称. 由定义易知,在反对称行列式中, a ii=0(i=1,2,…,n)。

线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。

证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。

2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。

性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。

性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。

性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，()()(); ijij ij ijA aB b A B ab ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。

韦达定理的一般形式为： 一、行列式定义1．定义 其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理 三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A --= 3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则 7．范德蒙行列式 四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。

线性代数与矩阵常用定理定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列的奇偶性改变定理1.2 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和定理1.3 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0定理1.4 如果线性方程组的系数行列式D不等于0，则方程组有解，且解唯一定理2.1 设A , B 是两个n介方阵，k是一个数，则(1) |kA|=k^n|A| (2)|AB|=|A||B|定理2.2 设A是数域F上的方阵（n介），则A可逆的充要条件|A|不为0定理2.3 矩阵初等变换后，其秩不变R(A | B)≤R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB) ≤min(R(A);R(B))A为m*n矩阵，B为n*p矩阵，则R(AB)≥R(A)+R(B)-n定理5.1 非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等定理5.2 齐次线性方程组的解的集合N(A)是向量空间，并且N(A)的维数是n-R(A)推论5.1 设A是m*n矩阵，X=(x1.x2.x3…..xn)T 则（1）AX=0有唯一解（只有零解）等价于R(A)等于未知数个数等价于A为列满秩（2）AX=0有无穷多解（有非零解）等价于R(A)小于未知数的个数n(3) AX=0的基础解析所含向量个数为n-R(A)定理5.3 设A是方程组的系数矩阵，（m*n）,B是增广矩阵，n是未知数个数则（1）方程组有唯一解等价于R(A)=R(B)=n（2）方程组有无穷多解等价于R(A)=R(B)<n（3）当R(A)不等于R(B)时，方程组无解定理6.0 矩阵的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积定理6.1 矩阵不同特征值所对应的特征向量之间线性无关定理6.2 若A与B相似，则它们的特征多项式相同，特征值相同定理6.3 A（n介方阵）可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量推论6.2 如果n介方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似实对称矩阵的特征值与特征向量（1）实对称矩阵的特征值都是实数（2）实对称矩阵的对应不同特征值的实特征向量必正交定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列的奇偶性改变定理1.2 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和定理1.3 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0定理1.4 如果线性方程组的系数行列式D不等于0，则方程组有解，且解唯一定理2.1 设A , B 是两个n介方阵，k是一个数，则(1) |kA|=k^n|A| (2)|AB|=|A||B|定理2.2 设A是数域F上的方阵（n介），则A可逆的充要条件|A|不为0定理2.3 矩阵初等变换后，其秩不变R(A | B)≤R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB) ≤min(R(A);R(B))A为m*n矩阵，B为n*p矩阵，则R(AB)≥R(A)+R(B)-n定理5.1 非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等定理5.2 齐次线性方程组的解的集合N(A)是向量空间，并且N(A)的维数是n-R(A)推论5.1 设A是m*n矩阵，X=(x1.x2.x3…..xn)T 则（1）AX=0有唯一解（只有零解）等价于R(A)等于未知数个数等价于A为列满秩（2）AX=0有无穷多解（有非零解）等价于R(A)小于未知数的个数n(3) AX=0的基础解析所含向量个数为n-R(A)定理5.3 设A是方程组的系数矩阵，（m*n）,B是增广矩阵，n是未知数个数则（1）方程组有唯一解等价于R(A)=R(B)=n（2）方程组有无穷多解等价于R(A)=R(B)<n（3）当R(A)不等于R(B)时，方程组无解定理6.0 矩阵的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积定理6.1 矩阵不同特征值所对应的特征向量之间线性无关定理6.2 若A与B相似，则它们的特征多项式相同，特征值相同定理6.3 A（n介方阵）可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量推论6.2 如果n介方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似实对称矩阵的特征值与特征向量（1）实对称矩阵的特征值都是实数（2）实对称矩阵的对应不同特征值的实特征向量必正交。

大一线性代数必考知识点pdf 线性代数是大学理工科类专业中的一门重要课程，它具有广泛的应用领域和实际意义。

对于大一学生而言，线性代数作为入门课程，是为后续学习打下基础的重要一环。

本文将介绍大一线性代数必考的知识点，并提供一个PDF文档供学生们下载参考。

1. 数与向量运算1.1 实数与复数的性质与运算1.2 向量的定义与性质1.3 向量的线性组合与线性相关性1.4 向量的点乘与叉乘2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义与性质2.2 矩阵的运算法则（加法、数乘、乘法）2.3 矩阵的转置与逆矩阵2.4 矩阵的秩与行列式3. 线性方程组3.1 线性方程组的定义与解的存在性3.2 线性方程组解的唯一性与可解性3.3 高斯消元法与矩阵的初等变换3.4 齐次与非齐次线性方程组的解4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的性质4.3 对角化与相似矩阵4.4 对称矩阵的特征值与特征向量5. 线性映射与线性变换5.1 线性映射与线性变换的定义5.2 线性映射与线性变换的基本性质5.3 线性映射与矩阵的关系5.4 线性变换的核与像、线性变换的矩阵表示6. 正交基与正交投影6.1 正交基与正交子空间6.2 向量组的正交化与标准正交化6.3 Gram-Schmidt正交化过程6.4 正交投影的定义与性质以上是大一线性代数必考的知识点的简要概括，希望能对大一学生的学习起到一定的指导作用。

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该PDF文档包含了以上所有知识点的详细说明、公式推导以及典型例题的解析，是复习线性代数的必备资料。

大一线性代数必考知识点PDF下载地址：（避免在正文中出现网址链接，请将下载地址通过其他方式提供给读者，如附件、站内私信等方式）总结：线性代数作为大一学生的必修课程，对于后续学习和专业发展具有重要作用。

掌握好线性代数的基本知识点，对于培养学生的逻辑思维和数学分析能力十分重要。

线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。

在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。

在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。

下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。

一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。

2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。

（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。

（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。

（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。

（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。

（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。

3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。

（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。

（3）行列式的转置等于行列式的值不变。

二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。

第三讲 向量及其线性相关性教学目的与要求：理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相（无）关的概念；了解并会运用向量组线性相（无）关的有关性质及判定法；了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念，会求向量组的极大线性无关向量组及秩，了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩之关系，了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，了解基变换与坐标变换公式，会求过渡矩阵．重点：n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩.§1 n 维向量空间设F 为数域（简单地说，一个包含0和1的数集F 若对四则运算（除数不为0）封闭，则F 为数域，如有理数集、实数集和复数集都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域，以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C ）．1. n 维向量的定义：数域F 上的n 个数组成的有序数组(或) T n a a a α),,,(21L ='21),,,(n a a a L 或称为一个n 维（行或列）向量，其中称为向量),,,(21n a a a αL =i a α的第i 个分量或坐标；当F=R (或C ) 时，称为n 维实（或复）向量；数域F 上的n 维向量全体记为，称为数域F 上的n 维向量空间（或n 维数组空间）． nF 注：（1）当n ＝1、2、3时，n 维向量即几何向量的坐标表示，从而几何意义明显；(2) 0＝(称为零向量，称为T)0,,0,0L T n a a a ),,,(21−−−=−L α()T n a a a ...,,,21=α的负向量．(3) n 维行（或列）向量即1×n （或n ×1）矩阵．（4）矩阵的每一行n m ij a A *)(=)...(21in i i i a a a =α为一个n 维行向量，称为矩阵A 的行向量；而A 的每一列为一个m 维列向量，称为矩阵A 的列向量．(Tmj j j j a a a ...21=β) 2．非负实数22221...n a a a +++=α称为向量的模；T n a a a ),...,,(21),...,,(21n a a a 或模为1 的向量称为单位向量． 显然均为n 维单位向量，称为原始单位向量；T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L ===α＝0⇔|α|＝0．3．向量的线性运算（即矩阵的线性运算）设,),,,(21T n a a a αL =,),,,(21Tn b b b βL=则 Tn n βαβαβαβα）＝（±±±±,,,2211L ，()Tn ka ka ka αk ,,,21L =⋅． 4．运算律 设，nF ∈γβα,,,,F l k ∈ 则(1) αββα+=+；（2）(βα+)＋γ＝)(γβα++；（3）αα=+0；（4）0)(=−+αα；αkl αl k αα)()()6(;1)5(==⋅；（7）αααl k l k +=+)(；（8）βαβαk k k +=+)(．§2 向量组的线性相关性一、3R 中向量的共线与共面 设3,,R ∈γβα 1.两个向量βα,共线使R k ∈∃⇔βα⋅=k 或R l ∈∃使αβ⋅=l l k R l k ,(,∈∃⇔不同时为零)使0=⋅+⋅βαl k ．2.三个向量γβα,,共面R l k ∈∃⇔11,使βαγ11l k +=，或,,2222γl αk βR l k ＋＝使∈∃⇔+∈∃γl βk αR l k 3333,＝使或存在不全为零的实数h ，k ，l 使0=++γβαl k h ．我们称共线的两个向量或共面的三个向量为线性相关的．二、向量组及其线性组合1.向量组：同一个向量空间（如）中的若干个向量nF ,...,...,,21s ααα称为一个向量组．2.向量组的线性组合：表达式s s k k k ααα+++....2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中；设),...,2,1(s i F k i =∈),,...,2,1(k ,i s i F F n =∈∃∈若β,...11s s k k ααβ++=使可由向量组则称向量βs ααα，，...,21线性表示．3.显然零向量可由任意的向量组线性表示：L L +⋅++⋅+⋅=s ααα000021； 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示:s i i i i αααααα⋅++⋅+⋅+⋅++⋅=+−00100111L L ．....,,...A )(......,),,...,2,1(,.42121221121））（）＝（有解（其中即（向量式）线性方程组线性表示，，由则设T s s s s s n i x x x x b b Ax x x x s i F ====+++⇔=∈βαααβααααααββα 例1 ()()T TT T e e e )100(,010,)001(321321====可由β线性表示即有解线性方程组ββ=++⇔++=332211321321x e x e x e e e e ：x 1=１，x ２=２，x ３=３．5．设（A ）t s βββααα...,B ,...,,:2121，，）：和（为中的两个向量组，如果每一个nF ),...,2,1(t j j =β均可由向量组（A ）线性表示，则称向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示；如果向量组（A ）也可由向量组（B ）线性表示，则称向量组（A ）与向量组（B ）可以相互线性表示或等价，记为（A ）～（B ）；向量组之间的等价是“等价关系”，即有（1）（A ）～（A ）；（2）若（A ）～（B ），则（B ）～（A ）；（3）（A ）～（B ）且（B ）～（C ），则（A ）～（C ）． 若向量组（A ）可由向量组（B ）线性表示，则s sj j j j ij k k k t j s i F k αααβ+++===∈∃...),...,2,1;,...2,1(2211使（j=1,2,…,t ）,即t s ij s t k K K *2121)(,)...()...(=⋅=其中αααβββ称为表示矩阵．若，则B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，表示矩阵为K ． t s s n t n K A B ***⋅= 若,则D 的行向量组可由C 的行向量组线性表示,此时也称H 为表示矩阵． t s s n t n C H D ***⋅= 若A 经行（或列）初等变换成为B ，则A 与B 的行（或列）向量组等价．6. 线性方程组的线性组合、线性表示及等价可类似定义与讨论．三、 向量组的线性相关性 设n s F ∈ααα,,,21L 1．线性相关：若存在一组不全为零的数s s i k k k s i k ααα+++=...),,...,2,1(2211使=0，则称为向量组s ααα,...,,21线性相关；否则称为线性无关．线性相关齐次线性方程组n n F ∈ααα,...,,21⇔0...2211=+++s s x x x ααα有非零解⇔矩阵的秩s R s <),...,,(21ααα例2 （1）例1中的）线性相关（，0)1(321,,321321=−+++ββe e e e e e ， 而（；线性无关321,,e e e )00),,()321321332211===⇔==++k k k k k k e k e k e k T(2) 对一个向量α来说，α线性相关⇔α=0；α线性无关⇔α≠0；对两个向量,,βα来说，,,βα线性相关⇔成比例与即＝或βααββα),,(F l k l k ∈∃=（共线）⇔的坐标对应成比例；与βα三个向量γβα,,线性相关⇔存在不全为零的数)(0,,共面使=++βγβαk h l k h ； (3)含有零向量的向量组0,...,21s ααα，，必线性相()0010...02=⋅+++s αα；反之，线性无关的向量组必不含零向量． 2．定理2 向量组（A ）：)(,...,,21s s s ≥ααα线性相关⇔ (A)中至少有一个向量 （如：i α）能由其余s －1个向量（线性表示),...,,,...,,1121s i i ααααα+−．证 （=>）设（A ）线性相关，即存在不全为零的数，),...,2,1(s i k i =使++2211ααk k0...=+s s k α,不放设111111i ...,0+−−−−+−++−=≠i i i i i i i i k k k k k k k αααα则＋s is k k α−+...． （<=）设s s i i l i i l l l l ααααα+++++=++−−......111111，则.)(01,0...)1(...111111线性相关其中A l l l l l i s s i i i i i ⇒≠−==+++−+++++−−ααααα3．线性无关定理3 设， 则以下（1）―（8）等价n s F ∈ααα,...,,21（1）向量组（A ）：s ααα,....,,21线性无关；（2）不存在不全为零的数使),...,2,1(s i k i ==+++s s k k k ααα...22110； （3）对任一组不全为零的数),...,2,1(s i k i =，0...2211≠+++s s k k k ααα； （4）只有0...,0221121=+++====s s s k k k k k k ααα才使L ； （5）若=+++s s k k k ααα...22110，则021====s k k k L ；（6）(A)中任一向量均不能由其余s －1个线性表示； （7）齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解； （8）矩阵的秩s R s =),.....,,(21ααα．（9）当s ＝n 时还有：线性无关nn F ∈ααα,...,,21⇔行列式D ＝|n ααα,,,21L |0． ≠ 例3 （1）在中任意两个向量1F )(),(b a ==βα必然线性相关（共线）；（2）在中任意三个向量2F γβα,,必然线性相关（共面）；（3）在中任意四个向量3F δγβα,,,必线性相关：（a ）若γβα,,线性相关，即存在不全为零的数使321,,k k k 0,04321＝取k k k k ++βγ=α，则不全为零的数k i （i=1,2,3,4），使线性相关；βγδαβγα,,,04321k k k k δ⇒=+++（此结论可一般化，即若向量组(A)的一部分组(A 1)线性相关，则(A)线性相关，见定理5(2)）；（b ）若γβα,,线性无关，则仿照空间直角坐标系，以γβα,,为三个坐标轴（不共面）建立空间坐标系（称为仿射坐标系），使得中任一向量3F δ均可表示成γβαδ321k k k ++=，从而δγβα,,,线性相关（其中（k 1,k 2,k 3）称为δ在此(仿射)坐标系下的(仿射)坐标）； （4）F n 中任意n ＋1个向量必线性相关（与（３）类似证明，另见例６（２） ）．例4 （1）F n 中()()()1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,121L L L L ===n e e e 线性无关；证 若02211=+++n n e k e k e k L 即()()00,,0,0,,,2121====⇒=n Tn k k k k k k L L Ln e e e ,,,21L ⇒线性无关．或每个e i 均不可由其余n －1个线性表示（如的任意线性组合），从而线性无关．121,,,−n e e e L ())1,,0,0(0,,,11111L L L =≠=++−−n Tn n n e k k e k e k n e e e ,,,21L （2）,n e e e ,,,21L ()n a a a ,,,21L =β线性相关：n n e a e a e a +++=L 2211β．例5 （1）设321,,ααα线性无关，试证133322211,,ααβααβααβ+=+=+=线性无关．证 设有0332211=++βββx x x ，即0)()()(133322211=+++++ααααααx x x 亦即0)()()(332221131=+++++αααx x x x x x ，由321,,ααα线性无关得，而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131x x x x x x 02110011101≠==D ，故321321,,0βββ⇒===x x x 线性无关（1994年研招考题实际即本题）．（2）设s ααα,,,21L 线性无关，s 为奇数，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性无关（证明与（1）类似）；（3）设s 为偶数，s ααα,,,21L 为任一向量组，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性相关()0121=−++−−s s ββββL（（2）、（3）为1998年研招题）；（4）()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1321===βββTTT 线性无关；而()(,0,1,1,0,0,0,1,121=)=γγ()(1,0,0,1,1,1,0,043==)γγ线性相关；（5）设s 为奇数，s ααα,...,,21为线性无关向量组，则向量组++=2211ααβj j j k k线性无关),...,2,1(...s j k s sj =+α⇔D=0*≠ss ijk (证明与（1）类似)；（6）设s 为偶数，s ααα,...,,21为任一向量组，D ＝0*=ss ijk ，则向量组s sj j j j k k k αααβ+++=...2211（j=1,2,…,s ）线性相关．四．线性相关性的性质1．定理4 若s ααα,...,,21线性无关，而s ααα,...,,21，α线性相关，则α可由s ααα,...,,21唯一地线性表示．证 （1）因s ααα,...,,21，α线性相关，即存在一组不全为零的数，k k k k s ,,...,,210...2211=+++ααααk k k k s s ＋使，则k ≠0（否则，若k =0，即有0...2211=++s s k k k ααα＋且不全为零，这与s ,...,,21k k k s ααα,...,,21线性无关矛盾）s s l l l αααα=+++⇒...2211,其中k k l i i −=（i=1,2,…,s ），即α可由s ααα,...,,21线性表示．（2）唯一性：设s s s s l l l k k k ααααααα+++=++=......22112211＋，则有由,0)(...)()(222111−++−+−l k l k l k s s s =αααs ααα,...,,21线性无关得k i =l i （i=1,2,…,s ）,从而唯一性得证．２．定理５ （1）设， 若 ns s F ∈+121,,,,ααααL s ααα,...,,21线性相关则121,,,,+s s ααααL 必线性相关（由定义立得）； （2）若向量组（A ）的某个部分组（A 1）线性相关，则向量组（A ）必线性相关（即若部分相关，则整体相关）； （3）若向量组（A ）线性无关，则向量组（A ）的任一部分组（A 1）必线性无关（即若整体无关，则部分无关）； （4）特别地，若向量组（A ）中含有：一个零向量，或有两个成比例（共线）的向量，或有三个“共面”的向量等；则向量组（A ）必线性相关． 3．定理 6 设（升维），j=1,2,…,s. T j n nj j j j T j n j jj a a a a a a a )...(,)...(12121+==βα （1）若向量组（A ）：s ααα,...,,21线性无关，则向量组（B ）：s βββ,...,,21必线性无关； （2）若向量组（B ）线性相关，则向量组（A ）线性相关．证 （1）向量组（A ）线性无关⇒齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解齐次方程组⇒0...2211+++x x x s s =βββ只有零解⇒向量组（B ）线性无关．4． 定理7 设有nF 中的向量组（A ）：和（B ）：r ααα,...,,21s βββ,...,,21； （1）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，且r>s ，则向量组（A ）线性相关； （2）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，，且向量组（A ）线性无关，则r ； s ≤ （3）若向量组（A ）与（B ）等价，且均线性无关，则r=s ． 证 （1）设（r ααα,...,,21）＝（21ββr s ij s k K K *)(,)...=⋅β，且设＝即00...2211=+++r r l l l ααα（r ααα,...,,21）＝（⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛r l l l M 21s βββ,...,,21）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅r l l l K M 21因r>s,从而Ｋ的r 个列（s 维）向量线性相关，故存在不全为零的数,使＝0，从而r l l l ,...,,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅r l l l K M 210...=+++l l l 2211r r ααα，因此向量组（A ）线性相关．例6 （1）nF 中（线性无关）的任一部分组（仍线性无关）若能由向量组n e e e ,,,21L r i i i e e e ,...,,21s βββ,...,,s 21线性表示，则r ≤；(2) 设s βββ,...,,21为nF 中线性无关的向量组，因s βββ,...,,21可由线性表示，则s ≤n ；反之若n<s ，则n e e e ,...,,21s βββ,...,,21线性相关；特别地，nF 中任意n ＋1个向量必线性相关； (３) nF 中若能由线性无关的向量组n e e e ,,,21L s βββ,...,,21线性表示，（因s βββ,...,,21可由e 线性表示），则二者等价，从而s ＝n ．n e e ,...,,21§3 向量组的秩一、向量组的秩1．定义 设有向量组（A ），若（A ）中存在部分向量组r A ααα,,,:)(210L 满足： （1）（A 0）线性无关，（2）（A ）中任意r ＋1个向量（如果有的话）都线性相关；则称（A 0）为（A ）的一个最（或极）大线性无关向量组，而正整数r 称为向量组（A ）的秩，记为rankA 或R （A ）．并规定仅含零向量的向量组的秩为0，即R （0）＝0．例 1 （1），则)(11,10,01221F e e ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα,;,;,2121e e e e 均为α,,21e e 的极大无关组，从而2),,(21=αe e R ．（2）因（B ）：线性无关，而F T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L === n 的任意n ＋1个向量均线性相关，故（B ）为F n 的一个最大无关组，从而R （F n ）＝n ； （3）F n 中任意n 个线性无关的向量都构成F n 的一个最大无关组．２．向量组（A ）与其任一最大无关组（A 0）等价；从而向量组（A ）的任意两个最大线性无关组等价．证 因（A 0）线性无关，而对)(A ∈∀α，)A (0与α线性相关)A (0可由α⇒线性表示可由（A )(A ⇒0）线性表示；而（A 0）显然可由（A ）线性表示；故（A ）与（A 0）等价．二、向量组的秩与矩阵的秩的关系１．定理1 矩阵A 的秩与它的行向量组的秩R r （A ）、列向量组的秩R c （A ）都相等． 证 设),,,(21m A αααL =，r A R =)(，并设A 的r 阶子式0≠r D ，记B r 为A 中D r 所在的r 列所成的矩阵，则，即 B r B R r =)(r 的r 个列向量（也是A 中D r 所在的r 个列向量）线性无关；而A 中所有r ＋1阶子式全为0，由定理6（2）知A 中任意r ＋1个列向量线性相关，因此A 中D r 所在的r 个列向量（即B r 的r 个列向量）是A 的列向量组的一个最大线性无关向量组，故．同理可证．r A R c =)(r A R r =)(推论 若矩阵A 的某个s 阶子式0≠s D ，则A 中D s 所在的s 个行（或列）向量线性无关．例2 设，求A 的列向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=97963422644121121112A 51ααL 的最大无关组（A 0）和秩，并把其余向量用（A 0）表示．解 由，而三个非零行的非零首元分别在第1，2，4列，故3)()(00000310000111041211A 11==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯A R A R A 知＝行变421,,ααα为其最大无关组．再由． 421521321334,00000310003011040101A ααααααα−+=−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯得＝行变A 定理2 若矩阵A 经行初等变换成为B ，则（1）A 的行向量组（A ）与B 的行向量组（B ）等价；（2）A 的列向量组s ααL 1与B 的列向量组s ββL 1具有相同的线性关系，即有⇔=+011s s k k ααL 011=++s s k k ββL ，F k i ∈．证 （1）若A 经一次初等行变换成为B ，则显然B 的行向量组（B ）可由A 的行向量组（A ）线性表示；反之B 经一次初等行变换（上述逆变换）即成为A ，从而（A ）也可由（B ）线性表示；因此（A ）与（B ）等价成立．)1(⇒ （2）设有011=++s s k k ααL ，即为齐次线性方程组AX ＝0的解，也是的解，即有T s k k x )(1L =T s k k x )(1L =⇒0=BX 011=++ss k k ββL ．推论 若矩阵A 经初等列变换成为B ，则（1）A 的列向量（A ）与B 的列向量组（B ）等价；（2）A 的行向量组与B 的行向量组有相同的线性关系．三、向量组之间的秩关系定理3 若向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示，则)()(A R B R ≤．证 设s A αα,,:)(10L 和r B ββ,,:)(10L 分别为（A ）和（B ）的最大无关组，则s A R =)(，，且可由线性表示，即r B R =)()(0B )(0A r s ij k K ×=∃)(使K s r ⋅=)()(11ααββL L ．假设r>s ，因，则方程组r s K R <≤)(0=⋅x K 有非零解，⇒方程组0)(1=Kx s ααL ，即0)(1=x s ββL 有非零解，这与s B ββ,,:)(10L 线性无关矛盾；故s r ≤．推论（1）等价的向量组有相同的秩（显然）；（2）设，则n s s m n m B A C ×××⋅=)}(),(min{)(B R A R C R ≤；（3）设向量组（A ）的部分组（A 0）线性无关，且（A ）可由（A 0）线性表示，即从（A ）中任意加一个向量到（A 0）后即线性相关，则（A 0）为（A ）的极（或最）大无关组．证 （2）C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，B 为此表示的系数阵：;又C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，．)()()()(11A R C R B s n ≤⇒⋅=ααγγL K )()(B R C R ≤⇒ （3）设（A 0）含有r 个向量，则R(A 0)=r ，而（A ）可由（A 0）线性表示，从而A 中任意r ＋1个向量都线性相关，⇒（A ⇒=≤r A R A R )()(00）为（A ）的极大无关组． 注：推论（3）可作为极（或最）大无关组的（等价）定义．例3 设向量组（B ）可由（A ）线性表示，且).(~)(),()(B A B R A R 则= 证法1 只要证（A ）可由（B ）线性表示，从而（A ）～（B ）．设R(A)=R(B)=r ，且设A ，B 的一组最大无关组分别为（A 0）：r r B ββαα,,:)(,,101L L 和．因（B 0）可由（B ）表示，（B ）可由（A ）表示，而（A ）可由（A 0）表示， 表示，即)()(00A B 可由⇒r r K ×∃使K A B 00⋅＝，r K R K R B R r =⇒≤=⇒)()()()(A ),(B 0r 10r 10ααββL L ＝＝，即K 可逆，即（A 111)()(−⋅=⇒K r r ββααL L 0）可由（B 0）线性表示（A ）可由（B ）线性表示（A ）～（B ）．⇒⇒证法2 设向量组（A ）和（B ）一起构成向量组（C ）．则因（B ）能由（A ）表示得（C ）可由（A ）表示．而（A ）能由（C ）表示r C R C A =⇒⇒)()(~)(．于是（B ）的任一最大无关组（B 0）也是（C ）的最大无关组⇒(C) ～( B 0) ～(B) （A ）～（B ）． ⇒例4．已知．证明向量组TT T T )5,3,4,4(,)9,5,6,5(,)1,1,2,3(,)3,1,3,2(1121−−=−−=−−=−=ββαα2121,,ββαα与等价．证法1 只要证明使22×∈∃F Y X ，Y X )()(,)()(21212121ββααααββ==，先求X ，类似于求解线性方程组的方法，对增广矩阵()2121ββαα施行初等行变换化为行最简形矩阵： ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=000000002310120159133511462045322121行变ββαα即得． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2312X 因01≠=X ，故X 可逆，取,即为所求．因此向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−23121X Y 2121ββαα与等价（而且将此两个向量组相互线性表示出来：2122112122112,32;2,32ββαββαααβααβ+=+=+−=−=）．证法2 对()21,αα和()21,ββ分别施行初等列变换化为列最简形矩阵：()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=411234521100113112032,21列变αα，()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=411234521100159354645,21列变ββ可见二者由相同的列最简形，于是()21αα可经初等列变换成为()21ββ，由定理2的推论知向量组2121ββαα与等价．证法3 显然21,αα线性无关（二者不成比例），21,ββ线性无关，且由法1知()212121212ββααββαα与⇒=R 都是212,1,,ββαα的最大无关组，从而等价．例5 求向量组54321,,,,ααααα的极大无关组：．()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=3110222121022201211121011,,,,54321ααααα 解()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯→⎯00000000002001011100201010*********200201110021011,,,,54321行变行变ααααα(3,,,,R 54321＝)ααααα⇒；其极大无关组有7组（为什么？）：421,,ααα;,,;,,;,,;,,;,,;,,;532542531521321541αααααααααααααααααα且有421541322,ααααααα−+=−=．例6（1992-Ⅰ,II ）设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关．问：（1）1α能否由32,αα线性表出？（2）4α能否由321,,ααα线性表出？ 证明你的结论． 解 （1）1α能由32,αα线性表出．因为32,αα4,α线性无关⇒32,αα线性无关，而321,,ααα线性相关⇒1α能由32,αα线性表出．（2）4α不能由321,,ααα线性表出．否则，若4α能由321,,ααα线性表出，由（1）1α能由32,αα线性表出⇒4α能由32,αα线性表出，与432,,ααα线性无关矛盾．故4α不能由321,,ααα线性表出．例7（1995-Ⅳ）已知向量组(Ⅰ)321,,ααα (II) 4321,,,αααα (III) 5321,,,αααα的秩分别为．证明向量组（Ⅳ）4)(,3)()(===ⅢⅡⅠR R R 45321,,,ααααα−的秩为4． 证 因线性无关，(II)线性相关)(3)()(ⅠⅡⅠ⇒==R R 4α⇒可由321,,ααα唯一地线性表出3322114ααααk k k ++=．假设)()(0332211454332211454332211ααααααααααααk k k l l l l l l l l l ++−+++=−+++= 54334322421141)()()(ααααl k l l k l l k l l +−+−+−=， 由即4)(=ⅢR 5321,,,αααα线性无关得0434324241==−=−=−l k l l k l l k l l 04321====⇒l l l l即45321,,,ααααα−线性无关，故4)(=ⅣR ．§4 向量空间设F 是数域，V=F n 为F 上的向量空间，它是数域F 上的线性空间，即其中向量有加法和数乘这两个线性运算，且满足是八条运算律（详见教材第六章）．一、三维实向量空间的基与坐标 （复习与推广）1. 由空间解析几何知道，在R 3中建立直角坐标系（即取定成右手系的相互垂直的单位向量i , j , k ）后，向量组e 1=()001T , e 2=()010T , e 3=()100T 为R 3的一个极大无关组，即e 1，e 2，e 3线性无关，且＝(α∀a 1 a 2 a 3) T ∈R 3均可由e 1，e 2，e 3唯一地线性表示：α＝a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，或R 3可由e 1，e 2，e 3线性生成，故称e 1，e 2，e 3为R 3的一组基，且称R 3为3维实向量空间．2. 称a i (i=1,2,3)为向量α＝(a 1a 2a 3)T 在基e 1，e 2，e 3下的第i 个坐标（分量），且称(a 1 a 2 a 3)T 为α在基e 1，e 2，e 3下的坐标（表示）．3. R 3中任意3个线性无关的向量α1 、α2 、α3均构成R 3的一组极大无关向量组，都可作为R 3的一组基，∈∀α R 3均可由α1 、α2 、α3唯一地线性表示：α＝b 1α1＋b 2α2＋b 3α3 称b i 为 在基α1 、α2 、α3下的第i 个坐标，且称(b 1，b 2，b 3)T 为α在基α1 、α2 、α3下的坐标（表示）．例1 （1） α1＝( )001T ，α2＝( )011T ，α3＝( )111T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1－a 2，a 2－a 3，a 3）：α＝（a 1－a 2）α1＋（a 2－a 3）α2＋a 3α3．（2）β1＝()111T ，β2＝( )110T ，β3＝( )100T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2 a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1，a 2－a 1，a 3－a 2）：α＝a 1β1＋(a 2－a 1)β2＋(a 3－a 2)β3．二、向量空间的基、维数和坐标1.基与维：向量空间V=F n 的任一极大线性无关组（必含有n 个向量）称为V 的一组基，于是称n 为V 的维数，记为dimV ，即dimV=n2.坐标：设α1，．．．，αn 为V 的一组基，∈∀αV 可由α1，．．．，αn 唯一地线性表示： α＝a 1α1＋．．．＋a n αn ，称a i 为α在基α1，．．．，αn 下的第i 个坐标（分量），称(a 1，．．．，a n )T 为α在基α1，．．．，αn 下的坐标（向量），记为α＝（α1 ．．．αn ）(a 1 ．．．a n )T 例2、设V=F n ，则（1）e 1=()001L T ，e 2=()010L T ，e n =()100L T , 为V 的基，∈∀αV ，α＝(a 1a 2a L n )T ，则α＝(e 1e 2e L n )(a 1a 2a L n )T ；（2）α1＝()001L T ，α2＝()011L T ，＝()n α,L 111L T ，为V 的基, α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(α1α2αL n )( a 1－a 2 a 2－a 3 L a n-1－a n a n )T , β1＝()111L T ,β2＝( )110L T ,L βn ＝( )100L T 为V 的基，=∀α(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(β1β2L βn )( a 1 a 2－a 1 L a n-1－a n-2 a n-1－a n )T ．3.基变换 设V=F n 的两组基（E ）：e 1e 2L e n 和（D ）：d 1d 2L d n ，则d j ＝t 1j e 1+t 2j e 2+L +t nj e n(j=1,2, L n)；若记T ＝(t ij )n ×n 则有（d 1d 2L d n ）＝（e 1e 2L e n ）T L （1）并且T 可逆（记T ＝（t 1t 2 L t n ）,t j ∈F n 为T 的第j 个列向量，设(t 1t 2 L t n )(k 1k 2L k n )T ＝k 1t 1+k 2t 2+k L n t n =0，k ⇒1d 1+k 2d 2++k L n d n =(d 1d 2L d n )( k 1k 2L k n )T =(e 1e 2L e n )( t 1t 2L t n )( k 1k 2L k n )=0，而d T 1 d 2 L d n 线性无关⇒k 1=k 2= L =k n =0 t ⇒1，t 2, L ,t n 线性无关 T 可逆），于是有（⇒e 1e 2L n e ＝(d 1d 2L d n )T -1L （2）（1）式和（2）式分别称为从旧基（E ）：e 1e 2L e n 到新基（D ）：d 1d 2L d n 和从新基（D ）到旧基（E ）的基变换公式，其中T 称为从旧基（E ）到新基（D ）的过度矩阵．例3 （1）R 3中基e 1e 2e 3到基α1α2α3和基β1β2β3（同例1）的过度矩阵分别为 T １＝（T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001101111-1=）和T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1001100112= (T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110110012-1=)； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−110011001（2）V=F n 中，从基e 1e 2e L n 到基α1α2αL n 和基β1β2．．．βn （同例2）的过度矩阵 分别为T 1=，（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000110001111011111L L L L L L L L L L 1-1=） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−10000110000011000011L L L L L L L L L L 和T 2=（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111011110001100001L L L L L L L L L L 2-1=）． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−11000010000001100001L L L L L L L L L L 4. 坐标变换：设∈αV 在旧基（E ）和新基（D ）下的坐标分别为x=(a 1a 2a L n )T 和 y=(b 1b 2b L n )T ，即α＝(e 1e 2e L n ).x=( d 1d 2d L n ).y ，而（e 1e 2e L n ）＝（d 1d 2d L n ）.T -1，从而( d 1d 2d L n ).y ＝( d 1d 2d L n ).T -1.x ，由坐标的唯一性知 y=T -1.x ，此式称为由(向量α的)旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换公式，而T -1称为由旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换矩阵．例4 （1）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基α1α2α3（同例1）下的坐标为x=(x 1 x 2 x 3)T ， 即α＝（α1α2α3）x ＝x 1α1＋x 2α2＋x 3α3，则x ＝T 1-1 (a 1a 2a 3)T =(a 1－a 2，a 2－a 3，a 3)T （与例1结果相同）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基β1β2β3（同例1）下的坐标为y=(y 1 y 2 y 3)T ，即α＝(β1β2β3).y ＝y 1β1+y 2β2+y 3β3，则y=T 2-1(a 1a 2a 3)T ＝（a 1，－a 1＋a 2，－a 2＋a 3），即y 1=a 1，y 2= －a 1＋a 2，y 3=－a 2＋a 3（与例１结果相同）； （2）同理可得α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈R n 在例2中的新基α1α2αL n 和β1β2βL n 下的坐标分别为x=T 1-1α和y=T 2-1α，即x=(a 1－a 2，a 2－a 3 ，L a n-1－a n ，a n )T 和y=(a 1，－a 1＋a 2，L －a n-1＋a n )T（3）R 2中由基e 1=()01T ，e 2=()10T 到新基α1= (2121)T ，α2= (2121−)T 的坐标变换即为旋转（4π），其过渡矩阵为T=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换矩阵为T -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+=x x y x x y 21221121212121（4）平面（R 2）上旋转θ角的坐标变换相的过渡矩阵为T=，坐标变换矩阵为T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos -1=，坐标变换公式为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=θθθθcos sin sin cos 212211x x y x x y 三、向量子空间1. 定义：设≠φV F ⊆n ，如果对F n 中向量的加法和数乘两线性运算封闭，即对∈∀βα,V 及∀k ∈F ，有α＋β，k α∈V ，则称V 为F n 的子（向量）空间．注: （1）子（向量）空间本身是一个向量空间，从而有基、维数、坐标等概念．若dimV=m ，（m n ）则称V 为F ≤n 的m 维子空间；当m=n 时，即有V=F n ．（2）显然O ＝{0}为F n 的子空间，称为零子空间，其维数为0；V=F n 是F n 的子空间；O 和F n 称为F n 的平凡子空间，而F n 的其它子空间称为非平凡子空间．2. 生成子空间：对∀α1α2αL s ∈F n ，记V=L[α1α2αL s ]={k 1α1+ k 2α2+L + k s αs | k i ∈F,i=1,2,3,s}，显然V 对向量的加法和数乘封闭，从而V 为F L n 的子空间，称为由向量α1α2αL s 线性生成（或张成）的子空间；设α1α2αL r 为α1α2αL s 的极大线性无关组，则V 中任一向量均有α1α2αL r 线性表示，从而α1α2αL r 为V 的一组基，于是dimV = r (0≤ rn)；若R(≤α1α2αL s )=n ，则V = L(α1α2αL s )=F n ．例5 （1）V 1={α=（0 a 2a L n |a i ∈F ，i=2, L n ）}为F n 的一个子空间，易证 e 2=()010L T , L ，e n = ()100L T 为V 1的一组基，从而dimV 1＝n-1； （2）V 2={α= (1 α2αL n )| a i ∈F,i=2,3, L n}对F n 的加法和数乘都不封闭（α1＋α2＝（2，）∉V L 2，3α＝（3,L ）∉V 2）,从而V 2不是F 的子空间； n （3）V 3＝{α= (,2a )|R }对加法封闭，但对数乘不封闭（(－1)a T a ∈+α＝（－,－2）a a ∉V 3）,故V 3不是R 的子空间；2V 4={()b a ,T |=或=2，b a b a ∈a R}对数乘封闭，但对加法不封闭（ ()a a ,T +()a a 2,T =()a a 3,2T ∉ V 4）,故V 4也不是R 2的子空间．3. 子空间的运算 设V 1,V 2为F n 的两个子空间．(1) 交子空间：V 1∩V 2＝{α|α∈V i ，i=1,2}；(2) 和子空间：V 1＋V 2＝{βα+|α∈V 1 ,β∈V 2}；易证：V 1∩V 2和V 1＋V 2都对加法和数乘封闭，从而都是F n 的子空间；但是V 1∪V 2 ＝{α|α∈V 1或α∈V 2}一般不是F n 的子空间．4. 维数公式（1）dim V1+dim V2=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)；≥1+dim V2－dimV；（2）dim(V1＋V2)≤ dim V1+dim V2；dim(V1∩V2) dim V若dim V1+dim V2 > dimV，则V1∩V2≠0．例6V=R3,V1={α=(a1，a2，0)T| a i∈R,i=1,2 }, V2={β=(0,b1,b2)T|b i∈R,i=2,3 },则V1，V2均为V的2维子空间（即分别为空间坐标系中的xy面和yz面），V1∩V2＝{γ=(0,c,0)T|c∈R}为1维子空间（即y轴），V1＋V2＝V，满足dimV1+dimV2=4=3+1=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)．。