第四章 线性方程组
§4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C ）
A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；
B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；
C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）
A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；
B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；
D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题
1．已知齐次线性方程组1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，
则λ= 1 ，μ= 0 .
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =
i
D D
. 三、用克拉默法则求解下列方程组
1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩
解：
8320
62
D =
=-≠
1235
32
D =
=-，
28212
63
D =
=-
所以，125,62D D
x y D D
=
===-
2．123123123
222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪-+-=⎩
解：
2131
12112122
130
3550111
01
r r D r r ---=--=-≠+---
11222
10051
1321135
011011D r r ---=-+-=---，
2121215
052
1322
1310
10
1
101
D r r --=-+-=-----， 3121225
002
1122
115
1
1
110
D r r --=+=---
所以， 3121231,2,1D D D
x x x D D D =
=====
3．21
241832x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
解：
13201
0012
412041200
183
583
D c c --=-+-=≠-
13110110014114020
283285D c c -=-+=，
2322
11
2
102
112100
123
125
D c c -=-+=--， 313201
01
2
4120
4120
182
582
D c c =-=--
所以， 3121,0,1D D D
x y z D D D
=
=====
4．12341234123412345242235232110
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩
解：
21
31
41
21
31
1111
11111214012322315
05373312110218
123123
55370138142
22180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---
32
14212
32
5111
5111022214225182315235281101211
0100
5110010
5251827332142
10252823522c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----
21
231
4
1
13
23
1511
15111214072322215
0123733021101518
72323013
2123733031284
315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12
34221311151
21510312245221823251111322831011
0100
2510200
251
52185297426
52
11228115127
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----
12
43232
21
1115
2115312125252223121135231200100
215215
5525027142
51152604
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---
所以， 312412341,2,3,1D D D D
x x x x D D D D
=
=======-
§4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）. A.1k α； B.2k α； C.12()k αα+； D.12()k αα-.
解：因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解， 所以120αα-≠为0AX =的解，则方程组0AX =的通解为12()k αα-。
2．设线性方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则正确的是（ C ）
A.k 必定为0；
B. k 必定为1；
C. k 为0或1；
D.这样的k 值不存在.
