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线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

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线性代数与解析几何 第二章 矩阵

线性代数与解析几何 第二章 矩阵
么熟知的运算规律.特别是乘法运算. 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
求 AB . 2 3 1 1 2 ×1 + 3× 0 +1× 2 4 解 0 = 1×1 + 2 × 0 + (−1) × 2 = −1 1 2 −1 0 3 1 2 0 ×1 + 3× 0 +1× 2 2
运算性质: 运算性质: A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A + 0 = A,
A + (− A) = 0
8
2.2.2 运算性质:
数乘
kA = k(aij )m×n = (kaij )m×n
k(lA = (kl) A ) k(A+ B) = kA+ kB (k +l)A = kA+lA
1 2 −1 3 −7 1 例4 设 A = , B = , C = 1 2, 2 4 −2 1
求 AB 及 AC. AC. 1 2−1 3 −5 5 解 AB = −2 1 = −10 10 , 2 4
k =1
s
L L L L a a L a is i1 i2 L L L L
M b j 1 M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
总结如下: 总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数. 阶数为前行数×后列数. 乘积阶数：

线性代数与空间解析几何哈工大演示文稿

线性代数与空间解析几何哈工大演示文稿
阵之间的一种等价关系. 即 2．合同 等价，合同 等秩，反之都不成立．但不等
秩，则一定不合同.
3．合同关系具有以下性质： （1）自反性：A A . （2）对称性：A B 则 B A . （3）传递性：A B, B C ，则 A C . （4）A 与 B 合同，则 r(A) r(B) . C 可逆，CT AC B .
2 0 2
例4.
与矩阵
A
0
3
0
既相似又合同的矩阵是（
）
2 0 2
1
2
（A）
1
0
.
（B）
3
.
0
3
（C）
4
.
0
2
（D）
3
.
0
分析：A 是实对称矩阵，所以 正交阵，使它和一个对 角阵既相似又合同，对角阵的对角元恰是 A 的特征值.
2 0 2
解：| E A | 0 3 0 ( 3)( 4)
例5 用正交线性变换化实二次型为标准形. f 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2x3 化成标准形.
解：（1）二次型 f 的矩阵为
2 2 2
A
2
5
4
2 4 5
2 2 2
（2）由| E A | 2 5 4 ( 1)2( 10) 0 ，
2 4 5
αn yn2
注1ºr(A) r(CT AC) r(Λ), f 的秩 f的标准形中系数不为0的 平n 方项的个数.
2º任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形.
8.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的

《线性代数与空间解析几何》复习大纲

《线性代数与空间解析几何》复习大纲

=
200 + 1 100 + 2 - 100 + 1 100 - 2 2 1 1 -2
2 4 2 1 1 2 1 2 1 1 -1 1 1 -1 1 -2
= 100
= LL
1 0 = −100 0 0
2 -6 0 0
1 -3 3 2
-2 7 3 2 1 2
= −1800
0
1 + a1 1
L
1 1 M 1 + an
α1 , α 2 , α 3 , α 4
生成的向量空间的基和维数
7、设 R n 中的任一向量 、
α
在基
α1 , α 2 ,L , α n 下的坐标为 {x1 , x2 ,L, xn }
在基
β1 , β 2 ,L , β n 下的坐标为
且有 {y1 , y2 ,L, y2 − x1 , y3 = x3 − x2 , LL , yn = xn − xn −1
1 0 0 2 2 1 2 2 1 ( A B ) → 0 1 0 2 3 1 = ( E A−1 B) 知过渡矩阵为 P = A−1 B = 2 3 1 0 0 1 − 1 − 1 0 − 1 − 1 0 (2)
1 x α = (e1 , e2 , e3 ) 3 = (α1 , α 2 , α 3 ) y = 0 z x A y z
齐次 齐次 非齐次
基础解系 特解
1
1、计算行列式 、
16 96
2 7
24 384 72 3
解:
1 16 2 24 384 72 = 24× 1 16 3 3 96 7 3 96 7

大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件

大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件

• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
方阵
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E

线性代数习题 1解析【哈工大版】

线性代数习题 1解析【哈工大版】

·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1） 因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。

线性代数与解析几何矩阵

线性代数与解析几何矩阵
BA
2 2
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
例4
设
A
1 2
2 4 ,
B
1 2
3 1 ,
C
7
1
1 2 ,
求 AB 及 AC.
解
AB
1 2
2 1 4 2
3 1
5 10
5 10 ,
AC
1 2
2 7
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
例3
设
A
1 1
1 1 ,
B
1 1
1
1
则
b1 j
ais
b2 j
cij
bs j
总结如下:
可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
运算性质: (A是mn的矩阵)
(1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C) AB + AC
由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即

空间解析几何和线性代数资料


（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a

b



(a ybz
azby )i

(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k

a

b

i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2

a
2 y

az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a

b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b

有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点

线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
19
直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解

哈工大高数基础讲义ch7

哈⼯⼤⾼数基础讲义ch7第七章空间解析⼏何与向量代数第⼀节空间直⾓坐标系教学⽬的：将学⽣的思维由平⾯引导到空间，使学⽣明确学习空间解析⼏何的意义和⽬的。

教学重点：1.空间直⾓坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建⽴教学内容：⼀、空间直⾓坐标系1．将数轴（⼀维）、平⾯直⾓坐标系（⼆维）进⼀步推⼴建⽴空间直⾓坐标系（三维）如图7－1，其符合右⼿规则。

即以右⼿握住z 轴，当右⼿的四个⼿指从正向x 轴以2⾓度转向正向y 轴时，⼤拇指的指向就是z 轴的正向。

2．间直⾓坐标系共有⼋个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标⾯分别为xoy ⾯、yoz ⾯、zox ⾯。

坐标⾯以及卦限的划分如图7－2所⽰。

图7－1右⼿规则演⽰图图7－2空间直⾓坐标系图图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表⽰⽅法。

通过坐标把空间的点与⼀个有序数组⼀⼀对应起来。

注意：特殊点的表⽰a)在原点、坐标轴、坐标⾯上的点；b)关于坐标轴、坐标⾯、原点对称点的表⽰法。

4．空间两点间的距离。

若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点，则21M M的距离（见图7－3），利⽤直⾓三⾓形勾股定理为：2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==⽽ 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形。

证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =，原结论成⽴。

线性代数与空间解析几何(哈工大)3


3．向量的投影：设有向量 , , 轴 上的有向线段 的值为 （数量， 正数， 向为负数） ， 称为向量 上的投影，记作 .
则 向为 在轴
定理3.1 向量 AB 在轴 u上的投影=向量的模乘以向 Pr AB | AB | cos . 量与轴夹角的余弦，即： 证：过点引轴且同向，，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负； 直角时，投影为0.
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法. k Z , a 0 ，则 ka是一个向量， 1．定义： 与 a 共线，模 | ka || k || a |, k 0 与 a 同向， 时与 k 0反向， a .0a 0 若 a 0, ka k 0 0, k Z . 2．运算法则： （1） 1a a, (1)a a； k (la ) (kl )a ，（结合律）； （2） （3） k (a b) ka kb ； （4） (k l )a ka la ，（分配律）.
第三章 几何向量
解析几何是用代数的方法研究几何图形的几 何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方 法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数 方法研究空间几何图形，也是多元函数微积 分的基础. 本章主要研究如下几个问题： 1. 几何向量的线性运算； 2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外 积）、混合积； 3. 空间中的直线与平面.
(3a b) (a 2b) 3a a 6a b a b 2b b
3 | a |2 (6 )a b 2 | b |2 2 3 | a | (6 ) | a | | b | cos 2 | b |2
1
5．负向量：与大小相等，方向相反.
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37
矩阵的相似对角化条件
1．n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 2．n阶方阵A有n个不同的特征值是A可相似 对角化的充分条件 3．若n阶方阵A与B有相同的特征值，且特征 值均为单根，则A与B相似 4．T-1AT=Λ为对角阵的充分必要条件是T的n 个列向量是A的n个线性无关的特征向量，且 这n个特征向量对应的特征值依次为对角阵Λ 的主对角线上的元素
28
非齐次方程组的求解步骤
1．写出非齐次方程组的增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解
29
含参数的方程组的解
如果系数矩阵为方阵，一般地，首先计 算方程组的系数行列式，然后，对参数 的不同取值，分别求解方程组 如果系数矩阵不是方阵，直接利用矩阵 的初等行变换，将其化成行阶梯形，分 别对特异元中参数进行讨论，从而确定 其解（不能在某行同乘含参数的因式）
30
第六章
相似矩阵
方阵的特征值与特征向量的定义 AX=λX⇔(λEn-A)X=O⇔(A-λEn)X=O 特征多项式|λEn -A| 特征方程|λEn -A|=0 特征方程的全部根就是A的全部特征值 对每个不同的特征值λi，齐次线性方程 组(λiE-A)X=O的全部非零解就是A的属于 特征值λi的全部特征向量
线性代数与空间解析几何
复习指导
课程基本框架
行列式 线性方程组
矩阵
特征值、特征向量和相似矩阵
n 维向量
二次型与二次曲面
几何向量
2
矩阵是基础 行列式和向量是工具 线性方程组是阶梯 相似矩阵和二次型是矩阵的应用
3
概念多
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换 与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩 阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量 组），线性组合与线性表示，线性相关与线 性无关，极大线性无关组，基础解系与通 解，解的结构与解空间，特征值与特征向 量，相似与相似对角化，二次型的标准形与 规范形，正定，合同变换与合同矩阵
A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
重合
A1 B C D = 1 = 1 = 1 A − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1
x − x2 y − y 2 z − z 2 = = m2 n2 p2
与直线 垂直 m1m2+n1n2+p1p2=0 平行
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
25
非齐次线性方程组解的存在性
记A=(α1,α2,…, αn)，B= R(A β)=(α1,α2,…, αn, β) 为非齐次方程组Am×nX=β的系数矩阵和增广矩 阵 AX=β 有解 ⇔ β可由向量组α1,α2,…, αn线性表示 ⇔向量组 α1,α2,…, αn与α1,α2,…, αn, β等价 ⇔向量组 α1,α2,…, αn与α1,α2,…, αn, β等秩 ⇔ R(A)=R(B)=R(A β)
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齐次方程组的求解步骤
1．写出齐次方程组的系数矩阵 2．对系数矩阵利用初等行变换将其化成行最 简阶梯形 3．根据系数矩阵的秩，判定方程组的解的情 况
若系数矩阵的秩r=未知数的个数n，方程组只 有零解 若系数矩阵的秩r<未知数的个数n，方程组有 （无穷多个）非零解，有n-r个线性无关的解
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在方程组有非零解时
4．确定自由未知数（非特异列对应的未知数 作为自由未知数，其个数为n-R(A)），将自由 未知数所在项移至等式右端，得同解方程组 5．对自由未知数取值：取n-r个n-r维线性无 关向量 6．将自由未知数的取值分别代入简化的同解 方程组，求得该齐次线性方程组的一组基础 解系（有n-r个线性无关向量） 7．最后，写出齐次方程组的通解
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
第五章
线性方程组
齐次线性方程组Am×nX=O解的判定 R(A)=n ⇔ AX=O只有零解 R(A)=r<n ⇔ AX=O有(无穷多个)非零解 有n-r个线性无关的解向量 AX=O解的结构 若R(A)=r<n，则AX=O的基础解系中有n-r 个向量ξ1， ξ2， …，ξn-r AX=O的通解为 X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r
9
求方阵的逆的方法
利用伴随矩阵求逆 A-1=A*/|A| 利用矩阵的初等变换求逆 (A⎪E) 行 (E⎪A-1)
10
解矩阵方程
A为m阶可逆方阵，B为n阶可逆方阵 AX=C，X=A-1C XA=C，X=CA-1 AXB=C，X=A-1CB-1
11
矩阵的秩
理解秩的概念（难点） 掌握秩的性质 求矩阵秩的方法 定义法 利用初等变换法（重点） 将矩阵用初等变换化成行最简阶梯形
7
第二章
矩阵
了解矩阵的概念及与行列式的区别 矩阵的运算 加法、减法、数乘 乘法 方阵的伴随矩阵A* AA*=A*A=|A|E
8
方阵的逆
方阵可逆的充要条件：|A|≠0
n 阶方阵A可逆的等价条件：
|A|≠0 R(A)=n A的行向量组和列向量组都线性无关 齐次方程组AX=O只有零解 存在n阶方阵B使得AB=E或BA=E
5
运算量大
许多题型运算量大，运算繁琐 利用矩阵的初等行（或列）变换，求可逆方 阵的逆，求齐次线性方程组的基础解系和求 非齐次线性方程组的通解，求方阵的特征值 和特征向量，将矩阵相似对角化，以及将二 次型化成标准形等
6
第一章
行列式
行列式的定义 了解行列式的概念（行列式的值为一个 数值） 理解元素的余子式和代数余子式的概念 行列式的计算 掌握二阶、三阶和四阶行列式的计算 熟悉特殊的高阶行列式的计算
4
运算法则多
行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩 阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的 秩与极大线性无关组，向量组线性相关性的 判定，求齐次线性方程组的基础解系，求非 齐次线性方程组的通解，求方阵的特征值与 特征向量，判断与求相似对角矩阵，用正交 变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交 变换化二次型为标准形）
m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
19
直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
x − x1 y − y1 y2 − y1 y3 − y1 z − z1 z 2 − z1 = 0 z3 − z1
三点式： x2 − x1
x3 − x1
x y z 截距式： + + = 1 a b c
15
直线方程
x − x0 y − y0 z − z0 直线方程的标准式（点向式） m = n = p
n维向量的定义和运算 n维向量组和矩阵间的关系 向量组线性相关与线性无关的定义、性质 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列 向量组的秩
21
向量组线性相关与线性无关的判定 求向量组的秩和极大（最大）线性无关组
将向量组按列组成矩阵 利用矩阵的初等行变换将其化成行阶梯形 判定
向量组的秩等于矩阵的秩 若矩阵的秩等于其列数，该向量组线性无关 若矩阵的秩小于其列数，该向量组线性相关 行阶梯形矩阵的特异列对应的向量组为该向量组的极 大无关组 22
33
4．设λ为可逆方阵A的特征值，则λk（k为整 数）是Ak的特征值 特别地，1/λ是A-1的特征值，|A|/λ是A的 伴随矩阵A*的特征值 5．属于不同特征值的特征向量线性无关
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实对称阵的特征值、特征向量的性质
6．若A是实对称阵，则A的特征值都是实数 7．若A是实对称阵，则A的属于不同特征值 对应的特征向量两两正交 8．n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特 征向量
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相似矩阵
设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆阵 T ，使得 T-1AT=B 则称A相似于B，称T为从A到 B的相似变 换矩阵
36
相似矩阵的性质
若n阶方阵A与B相似，则 A与B有相同的特征多项式，即 |λE-A|=|λE-B| A与B有相同的特征值 tr(A)=tr(B)，|A|= |B| 若ϕ(x)为多项式，则ϕ(A)与ϕ(B)相似 对任意的t，tE-A与tE-B相似 A与B等价，从而R(A)=R(B)