线性代数与空间解析几何复习(哈工大)
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·1·习 题 一1.按自然数从小到大的自然次序,求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解:(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解:(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ,使由1至9的排列,9127456i j 成偶排列. 解:由9127456i j 是从1至9的排列,所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时,(912748563)01112133618t =++++++++=,是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=,是奇排列,不合题意舍去.(4) 选择i 与j ,使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解:由7125489i j 是从1至9的排列,所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时,(713256489)0112113009t =++++++++=,是奇排列. 当6,3i j ==时,(716253489)01122330012t =++++++++=,是偶排列,不合题意舍去.2.计算下列行列式 (1)9182613a b b a ; (2) 32153320537528475184;(3) 108215123203212; (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解:(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3.已知3021111xy z=,利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++; (2) 111302413x y z +++. 解:(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4.用行列式定义计算:(1)12345; (2) 010000200001000n n - .解:(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5.用行列式的定义证明:(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =; (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证:(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠,由已知345,,p p p 必等于4或5,从而345,,p p p 中至少有两个相等,这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾,故所有项12345123450P P P P P a a a a a =,因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑,由已知,只有当12,p p 取1或2时,123412340p p p p a a a a ≠,而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列,故34,p p 取3或4,于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6.计算(1)305002123000a b c d; (2) 121102*********110----; (3) n x a a a x aD a a x=; (4) 123110010101001n n D -=--; (5) 001000000100n a a D a a = ; (6) 1111111111111111n D -=--.解:(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7.证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证:222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证:等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证:等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8.解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解:121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解:00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠,所以12,x a x b ==.9.设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =,求下列行列式:(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ; (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a;(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑,其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和,2n ≥.解:(1)经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似,经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换,得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10.计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ; (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------;(3) 6111116111116111116111116; (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解:(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行,再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11.计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--; (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解:(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12.计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++;(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---; (4)2311111231491827xx x 解:(1)依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13.证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证:等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证:11n =时,1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立,当1n k =+时,若12k +=,22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥,将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法,对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证:(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ,其中x y ≠.证:当1n =时,221x y D x y x y-=+=-,等式成立.假设n k ≤时等式成立,当1n k =+时,若12k +=,则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-,等式成立. 若13k +≥,将1k D +按一列展开,得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理,等式对一切自然数n 都成立.14.设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式,证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证:设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ,依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩(1) 因12,,,n a a a 互不相同,故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏,所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解,所以0110,()0n k k k f x -===== . 15.用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解:5425241065D ==-=≠,方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-,25111006634620D ==-=,由克莱姆法则,1125D x D ==-,2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解:56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠,方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=,251016106505005D ==-=-, 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得,111965D x D ==,22113D x D ==-,3165x =.。
哈⼯⼤⾼数基础讲义ch7第七章空间解析⼏何与向量代数第⼀节空间直⾓坐标系教学⽬的:将学⽣的思维由平⾯引导到空间,使学⽣明确学习空间解析⼏何的意义和⽬的。
教学重点:1.空间直⾓坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式教学难点:空间思想的建⽴教学内容:⼀、空间直⾓坐标系1.将数轴(⼀维)、平⾯直⾓坐标系(⼆维)进⼀步推⼴建⽴空间直⾓坐标系(三维)如图7-1,其符合右⼿规则。
即以右⼿握住z 轴,当右⼿的四个⼿指从正向x 轴以2⾓度转向正向y 轴时,⼤拇指的指向就是z 轴的正向。
2.间直⾓坐标系共有⼋个卦限,各轴名称分别为:x 轴、y 轴、z 轴,坐标⾯分别为xoy ⾯、yoz ⾯、zox ⾯。
坐标⾯以及卦限的划分如图7-2所⽰。
图7-1右⼿规则演⽰图图7-2空间直⾓坐标系图图7-3空间两点21M M 的距离图3.空间点),,(z y x M 的坐标表⽰⽅法。
通过坐标把空间的点与⼀个有序数组⼀⼀对应起来。
注意:特殊点的表⽰a)在原点、坐标轴、坐标⾯上的点;b)关于坐标轴、坐标⾯、原点对称点的表⽰法。
4.空间两点间的距离。
若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点,则21M M的距离(见图7-3),利⽤直⾓三⾓形勾股定理为:2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==⽽ 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地:若两点分别为),,(z y x M ,)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1:求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形。
证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =,原结论成⽴。