线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1） 因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。

哈⼯⼤⾼数基础讲义ch7第七章空间解析⼏何与向量代数第⼀节空间直⾓坐标系教学⽬的：将学⽣的思维由平⾯引导到空间，使学⽣明确学习空间解析⼏何的意义和⽬的。

教学重点：1.空间直⾓坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建⽴教学内容：⼀、空间直⾓坐标系1．将数轴（⼀维）、平⾯直⾓坐标系（⼆维）进⼀步推⼴建⽴空间直⾓坐标系（三维）如图7－1，其符合右⼿规则。

即以右⼿握住z 轴，当右⼿的四个⼿指从正向x 轴以2⾓度转向正向y 轴时，⼤拇指的指向就是z 轴的正向。

2．间直⾓坐标系共有⼋个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标⾯分别为xoy ⾯、yoz ⾯、zox ⾯。

坐标⾯以及卦限的划分如图7－2所⽰。

图7－1右⼿规则演⽰图图7－2空间直⾓坐标系图图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表⽰⽅法。

通过坐标把空间的点与⼀个有序数组⼀⼀对应起来。

注意：特殊点的表⽰a)在原点、坐标轴、坐标⾯上的点；b)关于坐标轴、坐标⾯、原点对称点的表⽰法。

4．空间两点间的距离。

若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点，则21M M的距离（见图7－3），利⽤直⾓三⾓形勾股定理为：2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==⽽ 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三⾓形是⼀个等腰三⾓形。

证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =，原结论成⽴。

《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一) 填空题•31 .设G =(123 )0 =(1,1,1), A=G T P,B=B O(T，则A= _________________________ .提示：A3=a T Bot T Pot T0 =a T (0ot T0a T)0 = 3t T02.设方阵A满足A2+A—41 =0,其中I为单位矩阵，，则(A —I )- = _________________ .提示：A +A-4I=0 T A +A-2I-2I=0 T (A-I)(A+2I)=2I T(A-I)(A+2I)/2=I3•设方阵A满足A2—2A—3I =0，贝y A A =______________ .提示：A2-2A-3I=0 T A(A-2A)=3I1-11-1-1 2 1 -14. 设A= ，则r(A)= .-1 -3 1 11 0 -3 1 _提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。

'a a T5. ________________________________________ 设A=a 1 a，则当a满足条件时，A可逆.<1 a a」提示：矩阵A的行列式detA丰0时，矩阵可逆。

(二)选择题1.设n阶矩阵A,B,C满足ABC =1,1为单位矩阵，则必有( )(A) ACB = 1(B) BCA = 1 ( C) CBA = 1 ( D) BAC = I提示：A的逆矩阵为BC■q 23、2.已知Q =27t,卩是三阶非零矩阵，且QP=0,则t =( )3 I2丿(A)-(B) 1 (C) -2 (D) 2提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0-an a12a13\a21a22a23-010l(D) F2RA = BI 0 0F2 = 0 1 0，则必有( )J1 0 1_(A)ARP2=B (B)AF2P=B (C)PP2A=B提示：矩阵B由矩阵A经初等行变换得到，故在C或D中选择，P1、P2为初等矩阵，P13.设A =a21a22a23,B =a11a12a13P—1001a31a32比3 _©31 +an a32 +a12比3 +a13 _1001J为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选 C1 14•设 n 维向量〉=(—,0,…，0, —),矩阵 A = I， B = I • 2：,其中 I 2 2单位矩阵则AB =((A)(B)-I(C) I(D) I +o (T o (提示：AB = (I- o (T o ()(l+2』0()=1+ 0(。

哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分50分）注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵.一、填空题（每小题2分，共10分）1．若矩阵满足，则的特征值只能是 .2．在空间直角坐标系中方程的图形是 .3．向量组的秩为4．若矩阵满足，是行满秩阵，则 .5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为.二、选择题（每小题2分，共10分）1．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.2．设有维列向量组（I）; 可由向量组（II）线性表示，则【】（A）若（I）线性无关，则（II）线性无关；（B）若（I）线性相关，则（II）线性相关；（C）若（I）线性无关，则；（D）若（II）线性无关，则.3．设，则必有【】（A）是正交阵；（B）是正定阵；（C）是对称阵；（D）.4．实二次型正定的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.5．设, B都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（A）若A与B等价，则A与B相似；（B）若A与B相似，则A与B合同；（C）若A与B合同，则A与B相似；（D）若A与B等价，则A与B合同.三、（本题5分）已知列向量组是的基，也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标.四、（本题5分）设矩阵与相似，求.五、（本题6分）已知，其中，求.六、（本题6分）已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2，且秩.（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵.（2）求, 其中m是大于等于1的自然数.七、（本题5分）设是阶方阵，，试证：若存在自然数使，则.八、（本题3分）设实矩阵，，是的列向量组. 实向量是齐次线性方程组的基础解系. 试证：向量组线性无关.参考答案一、填空题1、2.2、双叶双曲面.3、4、.5、.二、选择题1、A.2、C.3、 D.4、B.5、B.三、解：由知由基到基的过渡矩阵为在基下的坐标为四、解：由与相似，知是的特征值，所以，. 进而，由此得解得.五、解：. 由，得，整理得. 由知可逆，且，故.六、解：（1）因的每行元素之和都等于2，所以是的属于特征值2的特征向量. 因，所以是A特征值, 对应于有两个线性无关的特征向量.设是A的属于特征值的特征向量. 因实对称知X与正交，即.解得是A的属于特征值的特征向量，规范正交化得.将的属于特征值2的特征向量规范正交化得.令，则P为正交矩阵，在正交变换下，.（2），七、证：因，所以存在可逆矩阵使其中.于是故从而.八、证法1：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，用在左边乘（1）式两边得，进而，故，再由知由（1）知，由是基础解系，从而线性无关，于是，故线性无关.证法2：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，所以于是.由知线性无关，故的证明同上.证法3：设（1）得关于的齐次线性方程组系数行列式的证明同上.。

《线性代数与空间解析几何》学习指导陈延梅课程名称：线性代数与空间解析几何英文名称：Linear Algebra and Space Analytic Geometry开课院系：远程教育学院开课学时：54学分：3授课对象：远程教育学院专升本计算机科学与技术专业学生一、教学目的与课程性质、任务。

《线性代数与空间解析几何》是为计算机等工科专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。

本课程的基本概念、基本方法和基本理论是计算机专业学生学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。

本课程将线性代数与空间解析几何融为一体，使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。

二、教学要求通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握行列式，矩阵，几何向量，n 维向量，线性方程组，特征值、特征向量和相似矩阵，二次型及二次曲面的基本概念、基本方法和基本运算技巧。

逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。

具体要求如下：第一章行列式1 了解行列式的定义；2 掌握行列式性质、行列式的降阶法则；3 熟练掌握三阶行列式、四阶行列式和特殊高阶行列式的计算方法；4 了解克莱姆法则的基本思想，并会将其运用于求解特殊的线性方程组。

第二章矩阵1 了解矩阵的概念和一些特殊矩阵；2 掌握矩阵的基本运算（加法、减法、数乘以及矩阵的乘法）；3 理解方阵的逆的概念和方阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵方法求可逆方阵的逆；4 理解矩阵的秩的概念；5 掌握矩阵的初等变换和矩阵等价的概念，并会熟练运用矩阵的初等变换将矩阵化成行阶梯形、最简形和标准形；掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩和可逆方阵的逆；6 了解初等方阵的概念及其与初等变换的关系；7 了解分块矩阵的概念，熟悉分块矩阵的基本运算。