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第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章随机过程的基本概念说明与解释2.1 随机过程的定义◆{X(t), t∈T}称为随机过程，是定义在样本空间Ω和参数集T上的一个二元函数◆当t=t0固定时，X(t0)为一个随机变量，当样本点ω固定时，X(ω,t)随时间变化，称为样本函数，在平面上为一条曲线，或折线段2.2 随机过程的分布◆对于随机过程{X(t), t∈T}，当参数t取有限n个不同值时，则得到一个n维随机向量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))，它的概率分布即为概率论中多维随机向量的联合概率分布。
◆定理2.2.1的说明（1）对称性随机过程的n维分布函数F(x1,x2⋯,x n;t1,t2⋯,t n)=P[(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(t n)≤x n]上面大括号内是n个事件的积，事件的积运算满足交换律，所以对称性成立。
（2）相容性以二维随机向量(X,Y)为例，有F X(x)=F XY(x,∞)所以，相容性成立。
◆例2.2.1的说明因为U、V相互独立且同分布，都服从标准正态分布，因此它们的线性组合也服从正态分布，只需求出X(t)=U+tV的数学期望和方程即可。
（1）一维密度函数根据期望与方差的性质，有E(X(t))=E(U+tV)E(U)+tE(V)=0D(X(t))=D(U+tV)=D(U)+D(tV)=1+t2D(V)=1+t2而一维正态随机变量的密度函数为f(x)=1√2πσ{−(x−μ)22σ2}（2）n维密度函数可以根据定理1.2.2证明(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))服从n维正态分布，所以下面只需求出其数学期望向量μ和协方差矩阵Σ根据（1）的计算结果，μ=E(X(t))为0向量cov(X(t i),X(t j))=cov(U+t i V,U+t j V)=cov(U,V)+t i cov(V,U)+t j cov(U,V)+t i t j cov(V,V)=D(U)+0+0+t i t j D(V)=1+t i t j记σij=1+t i t j,( i,j=1,2,⋯,n),Σ=(σij)n×n,x=(x1,x2,⋯,x n)由定理1.2.1知n维正态变量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))的密度函数为f(x)=1√2πn√|Σ|{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}◆如果随机过程{X(t),−∞<t<+∞}的任意有限为分布都是正态分布，则称随机过程为正态过程，或高斯过程2.3 随机过程的数字特征◆随机过程的数字特征与概率论中的数字特征完全类似◆均方值函数存在的随机过程称为二阶矩过程◆例设随机过程X(t)=tV,t>0，其中V为离散型随机变量，其分布律为试求X(t)的均值函数、均方值函数、方差函数、均方差函数、自相关函数、协方差函数解根据概率论知识，E(V)=0.2,E(V2)=1，由此可得均值函数μX(t)=E(tV)=tE(V)=0.2t均方值函数ψX2(t)=E((X(t))2)=E((tV)2)=t2E(V2)=t2方差函数σX2(t)=ψX2(t)−(μX(t))2=t2−(0.2t)2=0.96t2均方差函数σX(t)=√σX2(t)=√0.96t自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))=E(sVtV)=stE(V2)=st自协方差函数C X(s,t)=R X(s,t)−μX(s)μX(t)=st−0.04st=0.95st◆在随机过程所有的数字特征中，均值函数和自相关函数是最基本的数字特征，其它数字特征都可从它们推出2.4 二维随机过程和复随机过程2.5 几类常用的随机过程◆平稳过程的分布只与参数的起点有关，而与参数的增量无关，即(X(t))与X(t+ℎ)同分布◆定理2.5.1的说明一般来说，利用随机过程的自协方差函数可以直接写出它的方差函数，但定理2.3.1告诉我们，当随机过程在初始时刻的状态为常数时，则已知方差可直接写出自协方差函数，即C X(t,t)=σX2(t)◆独立过程独立抛掷一颗骰子100次，观察每次掷出的点数，记X n为第n次出现的点数，则{X n, n=1,2,3,⋯,100}为独立过程（独立时间序列）◆参数为p的贝努利过程{X n, n≥1}是独立过程◆以贝努利过程{X n, n≥1}说明平稳独立增量过程记N n =∑X i n i=1，则服从二项分布B(n,p). 当m <n 时， N n −N m =N m+1+N m+2+⋯+N n ~B(n −m,p) 对任意正整数k ≥1,N n+k −N m+k =N m+k+1+⋯+N n+k ~B(n −m,p) 所以，{X n , n ≥1}是平稳过程其次，如果n 1<n 2<⋯<n mm ，可证N n 2−N n 1,N n 3−N n 2,⋯,N n m −N n m−1相互独立。
