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理论力学—空间力系

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理论力学 第四章 空间力系

理论力学 第四章 空间力系

r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z

第三章理论力学

第三章理论力学

因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹

第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．

一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y

理论力学 第4章-空间力系

理论力学 第4章-空间力系
空间上力偶矩矢大小指向不变的力偶其作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的作用效果空间力矩偶矢矢一个自由矢量而力矢和力矩矢量是一个滑移矢量或定位矢量合力偶矩定理
第四章 空间力系
§4-1空间汇交力系
一 空间汇交力系的合成: 1)单 个 力 沿 坐 标 轴 的 分 解 : a)力 的 平 行 六 面 体 法 则 力 的 大 小 : X=Fcosα Y=Fcosβ Z = Fcosγ 力 的 方 向 : 与 x ,y,z 方 向 相 同 为 正 与 x ,y ,z 方 向 相 反 为 负
d) 空 间 汇 交 力 系 的 合 成 :合 力 QQ定 理 . 合力大小: R= ( ∑ X)2 + ( ∑ Y ) 2 + ( ∑ Z ) 2 合 力 方 向 :方 向 余 弦
§4-2 力对轴之矩和力对点之矩
1. 力偶矩矢: 空间力偶对刚体作用矢的效果取 决于以下三个因数
大小:|M|=Fd 转向:右手定则确定 作用面方位:力偶作用面法线所在的空间位置
2. 列空间一般力系平衡方程:
∑x = 0:
T1 + t1 + (T2 + t2 )sinθ + X A + XB = 0
∑ y = 0:
∑M
x
ZA + Z B (T2 + t) θ = 0 cos
பைடு நூலகம்
= 0 : Z B 2b (T1 + T2 ) cos θ b = 0
∑M
∑M
y
= 0 : t1 R + T2 cos θ r T1 R t2 cos θ r = 0
= 0 : (T1 + t2 )b (T2 + t2 ) sin θ b X B 2b = 0

理论力学第七版第四章空间力系

理论力学第七版第四章空间力系

常见的空间力系示例
悬索桥
悬索桥是一种常见的空间力系示例，需要考虑多个力和 力矩的作用。
起重机
起重机是另一个常见的空间力系示例，用于进行吊装和 搬运工作。
空间力系的平衡条件和解题方法
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平衡条件
空间力系平衡的条件是合力为零，合力矩为零。
2
解题方法
利用平衡条件和分析方法，逐步确定未知量的数值。
3
示例题目
通过解题方法解决具体问题，加深理解。
空间力系的应用和意义
空间力系的应用涵盖了各个工程领域，可以用于解决实际工程问题，提高工程设计的准确性和效率。
机械工程
用于机械结构的设计和分析，例如机械臂、传动系 统等。
建筑工程
用于建筑物结构的分析和设计，例如桥梁、楼房等。
航空航天
用于航空器和航天器的设计和分析，例如飞机、卫 星等。
海洋工程
用于海洋结构的分析和设计，例如海上平台、潜水 器等。
结论和要点
• 空间力系是由多个力或力矩组成的力的系统。 • 空间力系的力和力矩可以用矢量表示。 • 空间力系需要考虑多个力和力矩的分析和平衡条件。 • 空间力系广泛应用于各个工程领域，提高工程设计的效率和准确性。
复杂性
空间力系一般由多个力和力矩组成，分析较为复杂。
工程应用
空间力系广泛应用于工程力学、机械设计等领域。
空间力系的力和力矩分析方法
力的分析方法
将力分解为分力或合力分解，再 进行叠加得到结果。
力矩的分析方法
根据力对应的力臂和力的矢量关 系，计算力矩。
矢量计算法
利用矢量运算法则，对多个力和 力矩进行矢量计算。
理论力学第七版第四章空 间力系

理论力学-空间力系

理论力学-空间力系

第三章空间力系一、是非题1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。

（）2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。

（）3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。

（）4．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o，若’与o平行，则此力系可进一步简化为一合力。

（）5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。

（）6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。

（）7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。

（）8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。

（）9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。

（）10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。

（）二、选择题1．已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力，则该力在X1轴上的投影为。

①0；②F/2；③F/6；④－F/3。

2．空间力偶矩是。

①代数量；②滑动矢量；③定位矢量；④自由矢量。

3．作用在刚体上仅有二力A、B，且A+B=0，则此刚体；作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为M A、M B，且M A+M B=0，则此刚体。

①一定平衡；②一定不平衡；③平衡与否不能判断。

4．边长为a的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD边作用另一力，其大小为3P/3，此力系向O点简化的主矩大小为。

①6Pa；②3Pa；③6Pa/6；④3Pa/3。

5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。

①Σmx（）=0，Σmy（）=0，Σmz（）=0；②ΣX=0，ΣY=0，和Σmx（）=0；③ΣZ=0，Σmx（F）=0，和Σm Y（）=0。

理论力学 第四章 空间力系

理论力学 第四章 空间力系
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0

理论力学-空间力系

理论力学-空间力系

空间 力矩 三要 素
力矩在该平面内的转向 力矩大小
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-5三要素可用这样一个矢量表示：矢量的模
表示力对点之矩的大小；矢量的方位与该力和矩心构
成平面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则
确定，该矢量称为力对点之矩矢，简称力矩矢，记作
MO(F )
MO(F) Fh 2AOAB
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
4.1.2 间接投影法
若力F 与坐标轴x、y间的夹角不易确定，可 将力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力F 在坐标 平面Oxy上的投影Fxy，然后再将Fxy投影到x、y
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-2所示，已知力F与z轴正向的夹角为γ，投影Fxy 与x轴正向的夹角为φ，则由二次投影法，力F在三个坐标轴
x
y
z
cosα=Fx/F
cosβ=Fy/F
cosγ=Fz/F (4-3)
4.3 空间力系的平衡方程
例4-2
设力F 作用于长方体的顶点C，其作用线沿长方体对角线，
如图4-4所示。若长方体三个棱边长为AB=a，BC =b，BE
=c，试求力在图示直角坐标轴上的投影。
解:F 在z Fz=Fcosγ=
c
F
a2 b2 c2
采用二次投影法，得F在x、y
F x=F sinγcosφ= F y=F sinγsinφ=
F a2 b2
b
b
F
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
a2 b2
a
a
F
a2 b2 c2 a2 b2
a2 b2 c2
4.3 空间力系的平衡方程
4.2.1 空间力对点之矩矢 力与矩心构成平面的方位

理论力学 第3章

理论力学 第3章

• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积

理论力学 第四章 空间力系

理论力学 第四章 空间力系

第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。

工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。

设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。

与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。

§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。

在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。

解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。

理论力学----第六章 空间力系

理论力学----第六章 空间力系
由图可知os , Z F cos g
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
19

理论力学第三章

理论力学第三章

例题
空间力系
例 题 3-3
解：1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
z E D
F2
B
z E
C
F
30o
F
30o
F1
B
F1
α
其侧视图为
A
x
FA
G
y
α
A
FA G
y
13
例题
空间力系
2.列平衡方程。
例 题 3-3
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F
F1
B
x
0, 0,
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy x
M O ( F ) zFx xFz y
M O ( F ) xFy yFx z
17
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
z 轴的分力。
5
例题
空间力系
例 题 3-1
运
动
演
示
6
例题
空间力系
例 题 3-1
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
7
例题
空间力系
例 题 3-1
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
5 31 30 cosFR , j 31 6 cosFR , k 31 cosFR , i
解： 由上表得
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN

理学空间力系

理学空间力系

Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。 或从力偶矢的末端看去，力偶的 转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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8
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
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其模表示力矩的大小；
MO(F)
指向表示力矩在其作用面内的转向(符 合右手螺旋法则)；
方位表示力矩作用面的法线。
O
r
h x
F
A(x,y,z) y
由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处， 是定位矢量。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
以r表示力作用点A的矢径，则
uur uur r uur MO(F) r F
A
O xh
a
y b Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
r
r
Mz (F) MO (Fxy ) Fxy h
由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对 轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
3.1 空间汇交力系
例3-3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
300
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
z MO(F)
kr Oj
ih x
B F
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
2 力对轴的矩
z FB
力F对z 轴的矩定义为：
uur
uuur
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 2AOab
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。
以矩心O为原点建立坐标系，则
r r r ur r xi y j zk uur r r ur F Fx i Fy j Fz k
z B
MO(F)
F
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
r r ur
uMuMrMrrOOO((uFFurrr()))yF(z(rrrrruMzFuFuFrFrurr)O)y=)(riuF(u(rFxxxi)irxir(zFryryFrxjyrjjyFuuzrxzkrkFFr=k)z)zz)F(rrx(ijFxFxxirir(xFryjFFyFyyyrjrjFkuzryzFFFzzkxrkr)))kur
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
空间力对点的矩的作用效果取决于：
z
力矩的大小、转向和力矩作用面方位。
B
这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。
3.1 空间汇交力系
1 力在直角坐标轴上的投影 若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法
Fx F cos(F , i) Fy F cos(F , j) Fz F cos(F , k)
z Fz
F
kj Fx i
Fy
y
x
3.1 空间汇交力系
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到 坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x 、y轴上， 这叫间接投影法。
Fx F sin g cosj Fy F sin g sinj Fz F cosg
z Fz
gF Fx j
Fxy xFy y来自 3.1 空间汇交力系例3-1
已知：Frn
,
, 求：力
r Fn
在三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为
uur uur [M O (F )]x yFz zFy uur uur [M O (F )]y zFx xFz uur uur [M O (F )]z xFy yFx
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：
uur uur
uur
[
M uur
O
(
uFur )]x
M
x
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
例3-4
已知： F,l, a,
求：M
x
r F
,
M
y
r F
,
M
z
r F
r 解：把力 F 分解如图
r
M x F F l a cos
r
M y F Fl cos
M z F F l a sin
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3 力对轴的矩的解析表达式
z
Fz
设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx、Fy、 Fz。力作用点A的坐标为(x、y、z)，则
cos(FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR
,
j)
Fy FR
,
cos(FR ,
k)
Fz FR
3.1 空间汇交力系
（2）平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。
uur uur FR Fi 0
以解析式表示为： Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
F B
A(x,y,z)
Fy
uur
uuur
M z (F ) MO (Fxy )
uur
uur
MO (Fx ) MO (Fy )
Fx
O
y
ya x
Fy
xFy yFx
Fx
uur x
Fxy b
M x (F ) yFz zFy
同理可得其它两式。故有
uur M y (F ) zFx xFz
uur
M z (F ) xFy yFx
3.1 空间汇交力系
2 空间汇交力系的合成与平衡
（1）合成
将平面汇交力系合成结果推广得：
uur uur uur
uur uur
FR F1 F2 L F n Fi
或
uur r r ur FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2