大学理论力学__空间力系的平衡方程

3.1.1平衡条件
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
'
FR 0
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
Xi 0 ,Yi 0 , Zi 0
M x( Fi ) 0, M y( Fi ) 0, M z( Fi ) 0
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
平衡，恒有
X 0
则平行力系的独立平衡方程为 ：
Y 0
O
M A 0
平行力系平衡方程的二力矩式：
M A 0
F1 F2
Fn F3
x
M B0
3.2平面任意力系平衡方程的应用
例1 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。 梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载 荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M = Pa。求A和B 处的支座约束力。
q=20KN⁄m,l=1m。求固定端A的约束力。
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
解：选T字形刚架ABD为研究对象。
M
l
l
Fx 0 FAX 1 • q • 3a Fcos30 0
2
30 ° F
B
D
Fy 0 FAy p Fsin30 0
3l
P
MA(F ) 0
MA M 1 • q • 3l • l Fsin30 • l Fcos30 • 3l 0 2
FB
B
例2：如图所示简易吊车，A、C处为固定
C
铰支座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，
重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约
束反力。
解： 以AB及重物作为研究对象；
X 0， FAx FBC cos30 0
Y 0， FAy FBC sin 30 P Q 0
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
解方程得
FAX Fcos30 1 • q • 3a 316.4kN 2
FAy
q
A
MA
FAx
FAy p Fsin30 300kN
MA M 1 • q • 3l • l Fsin30 • l Fcos30 • 3l 1188kN 2
例4 塔式起重机如图。机架重为P1=700KN，作用线通过塔架 的中心。最大起重量P2=200KN， 最大悬臂长为12m，轨道AB的间
FAx
FBC
D
B
E
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0 M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0 MC (F ) 0，FAx AC P AD Q AE 0
例3 自重为P=100KN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内， 载荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN,
距为4m。平衡荷重P3，到机中心
距离为6m。求：
P3
（1）保证起重机在满载
6m
和空载时都不致翻倒，平
衡荷重P3 为多少？
P1
P2
12m
（2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时轨道A 、
B给起重机轮子的反力？
A
B
FA 2m 2m FB
解：选起重机为研究对象。 （1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平
二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ，
y
F2 ， …， Fn的作用。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m
2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
q
PM
A
B
2a 4a
FAy 解：选梁AB为研究对象。
q
PM
Fx 0 FAx 0 A
FAx
Fy 0
2a
FAy q 2a p FB 0
4a
MA(F) 0 FB 4a M p 2a q 2a a 0
解方程得
FAx 0
FB 3 p 1 q a 42
FAy 1 p 3 q a 42
衡条件。 满载时，为使起重机不绕点B翻倒，力系满足平衡方程
MB(F。) 在0临界情况下，FA=0。求出的P3 值是所允许的最小值。
MB(F ) 0 P3min(6 2) 2P1 P2(12 2) 0
P3min 1 (10P2 2P1) 75KN 8
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方
空间约束的类型举例
空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。 阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。
1、球形铰链
2
2、向心轴承，蝶铰链, 滚珠（柱）轴承
3
止推轴承
4
带有销子的夹板
5
空间固定端
6
3. 力系的平衡
3.1力系的平衡条件和平衡方程
M M
x y
0 0
M z 0
（ 4）平面任意力系的平衡方程 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇
交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系.
取力系所在平面为Oxy平面则平面任意力系的平 衡方程为：
X 0 Y 0 Mz 0
结论：任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任一点的矩的代数和也wk.baidu.com于零。上式为 平面任意力系的平衡方程。
特例：（1）空间平行力系的平衡方程 令z轴与力系各力的作用线平行，有
Zi 0 M x( Fi ) 0 M y (Fi ) 0
（2）空间汇交力系的平衡方程
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故 各力矩方程都成为了恒等式。
X 0 Y 0 Z 0
（3）空间力偶系的平衡方程
由于力偶在任意轴上的投影为零，则方程中 的投影式自然满足，所以空间力偶系的平衡方 程为