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理论力学 第2版 05空间力系_3空间任意力系

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武汉理工大学理论力学课件 第三章 空间力系(第二版)资料

武汉理工大学理论力学课件 第三章 空间力系(第二版)资料

应该注意：力在轴上的投影是代数量， 而力在平面上的投影是矢量。
5
力沿直角坐标轴的分解
z
Fz F
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
k
力F 在坐标轴上的投影和力F 沿坐
oj
标轴的正交分量间的关系为：
Fx i
Fy y
x
图4.3
Fx Fx i Fy Fy j Fz Fz k
cos(M,i)
M ix M
cos(M, j)
M iy M
cos(M,k)
M iz
M
25
空间力偶系的平衡条件 空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶
矩矢等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。
Mi 0
M ( Mix )2 ( Miy )2 ( Miz )2 0
欲使上式成立，必须同时满足：
一、力对点之矩以矢量表示－－力矩矢
三要素：
实例
(1) 大小:力F与力臂的乘积
F
(2) 方向:转动方向
(3) 作用面：力矩作用面。
9
力对点之矩的定义
MO(F) r F
力矩矢MO(F) 的 始端必须在矩心，
为定位矢量
MO F
大小： MO (F) r F F h 2AΔOAB
r
矩矢方向：按右手螺旋法则确定
Fy3 1500 cos sin 1073 N
Fz3 1500 sin 671N
7
例3.2 已知力沿直角坐标轴的解析式为F=3i+4j-5k(kN), 试求这个力的大小和方向。
解：Fx=3kN，Fy=4kN，Fz=-5kN
F ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 5 2kN

大学_理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案_1

大学_理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案_1

理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案理论力学第2版内容简介第2版前言第1版前言第一章静力学基础知识要点解题方法难题解析习题解答第二章平面汇交力系知识要点解题方法难题解析习题解答第三章力矩、力偶与平面力偶系知识要点解题方法习题解答第四章平面任意力系知识要点解题方法难题解析习题解答第五章空间力系知识要点解题方法习题解答第六章静力学专题知识要点解题方法习题解答第七章点的运动学知识要点解题方法难题解析习题解答第八章刚体的基本运动知识要点解题方法习题解答第九章点的合成运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十章刚体的平面运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十一章质点动力学基本方程知识要点解题方法难题解析第十二章动量定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十三章动量矩定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十四章动能定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十五章动静法知识要点解题方法习题解答参考文献理论力学第2版目录机械工业出版社本书是与唐国兴、王永廉主编的《理论力学》(第2版)配套的教学与学习指导书。

本书按主教材的章节顺序编写，每章分为知识要点、解题方法、难题解析与习题解答四个部分。

其中，“知识要点”部分提纲挈领地对该章的基本概念、基本理论和基本公式进行归纳总结，以方便读者复习、记忆和查询;“解题方法”部分深入细致地介绍解题思路、解题方法和解题技巧，以提高读者分析问题和解决问题的能力;“难题解析”部分精选若干在主教材的例题与习题中没有涉及的典型难题进行深入分析，以拓展读者视野，满足读者深入学习的需要;“习题解答”部分对主教材中该章的全部习题均给出求解思路和答案，但不提供详细解题过程，以期在帮助读者自主学习和练习的同时为他们留出适量的思考空间。

本书继承了主教材的风格特点，结构严谨、层次分明、语言精练、通俗易懂。

本书虽与主教材配套，但其结构体系完整，亦可单独使用。

本书可作为应用型本科院校与民办二级学院工科各专业学生的.学习和应试指导书，同样适合高职高专、自学自考和成人教育的学生使用，对考研者、教师和工程技术人员也是一本很好的参考书。

第七章 空间任意力系

第七章 空间任意力系
XC V g X
i i
V g
i
V X
i
i
V
YC
V g Y V g
i
i
V Y
i
i
V
ZC
V g Z V g
i
V Z
i
匀质物体的 重心仅决定 于物体的形 状与物体的 重量无关
i
V
例如: 一个钢梁和一个木梁，只要两者形状和 几何尺寸一样，它们的重心位置就相同。因此 均质刚体的重心也称为体积V的重心，亦称形心。
z
Fz
Fyz
Fy y
o x
M z xFy yFx
y
方向: 绕轴正向逆时针为正,反之为负.
理论力学电子教案：张建辉制作
空间任意力系
7.1.3 力对点的矩与力对通过该点轴的矩的关系
Z
mo ( F )
F
xy面
o
d
Fxy
力对任意点的矩矢在通过该点的任一轴的投影 等于力对该轴的矩
理论力学电子教案：张建辉制作
) 0 , my ( F i ) 0 , mz ( F i ) 0
Yi
于是由空间一般力系的平衡方程得：

X i 0,
0,
Zi
0
mz ( F i
*空间平行力系的平衡方程 取z轴平行于各力，则 X i 0 , Yi 0 , 于是由空间一般力系的平衡方程得：
S BA 230 (kN )
理论力学电子教案：张建辉制作
Z i 0, - S BA T1 cos 60 T2 sin T3 sin 0
空间任意力系
[例3] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900,已知, m2, m3 求： 支座反力及m1=?

05章 三维力系

05章 三维力系
z
( Fz ) = - F
x
(BC) = - Fl cosα
(AB+CD) = -F ( l a )sinα
解法2 解法2
直接套用力对轴 之矩的解析表达式： 力在 x、y、z轴 的投影为 X = F sin α Y = 0 Z = - F cos α
z
A Fx x B F
C α
D E Fz y
当主矩MO与主矢R’即不平行也不正交时
R’ MO R’ α O M”O O M ’O O d M ’O R’
M”O = MO sinα；M’O = MO cosα M’O和R’组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为： ′′ M O M O sin α d= = R′ R′
4、空间力系简化为平衡的情形 主矢R’ = 0；主矩M
空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的 投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐 标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。
几种特殊情形平衡规律
[Ⅰ] 汇交力系 有三个平衡方程：
∑X = 0，∑Y= 0，∑Z = 0
平行力系（ [Ⅱ] 平行力系（假定力的作用线平行 z 轴） ∵ ∑X≡0，∑Y≡0 ，∑Mz ≡ 0 ∴ 平行力系有三个平衡方程：
空间力系的简化结果分析
1、空间力系简化为一个合力偶
主矢R’ = 0；主矩MO≠ 0 主矩与简化中心无关。
2、空间力系简化为一个合力
主矢R’ ≠ 0；主矩MO = 0 合力的作用线通过简化中心。 ② 主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0 且 MO⊥ R’ 取 d= |MO| / R MO ①
R
O
R”

《理论力学》基本力系

《理论力学》基本力系

接触点处受到法向约束力的作用。
03
铰链约束
铰链约束是指两个构件通过销钉或铰链连接在一起，并能绕销钉或铰链
相对转动。这种约束只能限制物体沿垂直于销钉轴线的运动，而不能限
制物体绕销钉的转动。
平衡条件及求解方法
平面力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和主矩都为零。即所有各力在x轴和y轴 上的投影的代数和分别等于零；所有各力对任意一点之矩的代数和也等于零。
汇交力系平衡条件应用
平衡条件
汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零，即力多边形自行封闭。
应用
在静力学中，汇交力系平衡条件可应用于求解未知力、判断物体是否平衡等问题 ；在动力学中，可用于分析物体的运动状态及受力情况。
04 平面任意力系简化与平衡
平面任意力系简化方法
向一点简化
选择适当的一点，将力系中的各 力向该点平移，得到一个等效的 平面汇交力系和一个平面力偶系。
主矢和主矩
平面任意力系向作用面内任一点 简化时，一般可得到一个力和一 个力偶，这个力称为该力系的主 矢，这个力偶的矩称为该力系对
简化中心的主矩。
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内 任一点之矩，等于力系中各分力
对于同一点之矩的代数和。
简化结果分析
当主矩为零时，主矢也为零
01
说明该力系本身是平衡的，或者可以合成为一个合力。
合力矩
主矩表示原力系对物体的 总体转动效应，其大小和 方向由主矩矢量确定。
平衡条件
当且仅当主矢和主矩都为 零时，空间任意力系才处 于平衡状态。
空间任意力系平衡条件应用
静力学问题
利用空间任意力系的平衡条件，可以解决各种静力学问题， 如物体的平衡、刚体的平衡等。

第三章理论力学

第三章理论力学

因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹

第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．

一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y

理论力学第3章

理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
理论力学
中南大学土木建筑学院

理论力学03空间力系的简化和平衡1.

理论力学03空间力系的简化和平衡1.

r F1 r F2 r Fn
Fn A
F2
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fn )
O
r F1
n
y
mO (F )
i 1
x
31
n
将 mO (R ) mO (F ) 向坐标轴投影，得 i 1 n mx (R ) mx (Fi ) i 1 n my (R ) my (Fi ) i 1 n mz (R ) mz (Fi ) i 1
习题课
3
§3-1 空间汇交力系
一、空间力的投影（与力的分解）：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O

Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：X Fcos, Y Fcos , Z Fcosg
20
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空
间汇交力系：F '1,F2 ',F3'Fn ' 和附加力偶系 m1,m2 ,mn [注意] m1,m2 ,mn 分别是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。
21
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R 'Fi 'Fi （主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2 ,mn 得主矩 M O
即：mO mi mO (F i（) 主矩 M O 与简化中心O有关）

理论力学空间任意力系

理论力学空间任意力系

(M
zi
)2
cos(M , i) M x cos(M , j) M y cos(M , k) M z
M
M
M
平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :
M 0合力偶矩矢等于零
M ( M xi )2 ( M yi )2 (M zi )2
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
M 2 M 2 sin
j M 2 cos
k
3 5
F
20.2
j
4 5
F
20.2k
合力偶矩矢 M M1 M 2 60i 12 j 16k
大小： M 602 122 162 63.25(N m)
（1）研究多个力偶的合成或力偶系的平衡，只要用力偶矩矢 进行运算即可；
（2）求合力偶矩矢时，一般只需求得其沿各坐标轴的分量即可。 也可进一步分析合力偶矩矢的大小及其方位角。
力与轴平行或与轴相交——即力与轴在同一平面内 时，力对该轴的矩为零。
Mz (F ) MO (Fxy) Fxy d M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在该轴垂直面上的投影对该轴和 投影面的交点之矩
3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
r
r
rrr
已知：力 F及r 力 F在三根坐标轴上的分力 ，Fx ，Fy， Fz
四、空间任意力系
1、空间任意力系向一点的简化
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn M1 MO (F1), M2 MO (F2 ), , Mn MO (Fn )
n
FR F1 F2 F3 F1 F2 F3 Fi i 1 n
M O M1 M 2 M 3 M O F1 M O F2 M O F3 M O Fi

理论力学第5章-空间任意力系

理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy

理论力学-空间任意力系案例

理论力学-空间任意力系案例
Mx 0 M1 M 3 cos 45 0
My 0 M 2 M 3 sin 45 0
M1 M2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB2 F1 F2
杆 A1受A2 拉， B受1B2压。
例3-8 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
求：杆受力及绳拉力
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
由对称性，有 x C 0
A1
π 2
R2,
A2
π 2
(r
Hale Waihona Puke b)2 ,A3πr 2
y1
4R 3π
,
y2
4(r 3π
b)
,
y3
0
由 yC
Ai yi A
得
yC
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A1 A2 A3
40.01mm
求： F1, F2 及A、B处约束力
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
Fx 0 F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0 Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0

理论力学第三章 空间力系

理论力学第三章 空间力系
z
A
F DA
D E

F CA
B
F BA
W
F y
W


C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件

例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F

理论力学3.2空间任意力系的简化与合成

理论力学3.2空间任意力系的简化与合成

FAz FBz F1 cos F2 cos 0
200

0
F1 3(KN )
F2 6(KN ) FBz 1.80(KN )
FBx 3.35(KN )
FAz 7.40(KN )
FAx 10.05(KN )
11
例3.2-4 图示车床主轴中车刀对半径为r=30mm工件 的切削力:径向切削力Fx=4.25kN,纵向切削力 Fy=6.8kN,主切削力Fz=17kN,C处有半径为R=50mm 齿轮啮合力:切向力Ft (平行于x轴)和径向压力Fr(平 行于z轴),Fr=0.36Ft,卡盘及工件自重不计,求:1）齿轮 啮合力Ft与Fr；2）径向轴承A与止推轴承B的约束 力；3）三角卡盘E在O处对工件的约束力。
0 0 0

F R F1 0.5D F2 0.5D 0
FBFZBx
400 400
F F1
200 F1 cos sin 200 F2
200 F2 cos sin 200 0
FAx FBx F1 sin F2 sin 0
原力系等效于一个作用点在简化中心处的力(称为合力)
3
学而不思则罔，思而不学则殆
4）
FR 0
mR 0
这种情况又可细分为三种情形
4.1）
FR

mo
d mo / FR
原力系等效于一个
力（合力）
4.2）
FR
//
mo
原力系等效于
一个力螺旋
4
学而不思则罔，思而不学则殆
4.3）
FR 既不平行、也不垂直于
Fiz 0
FA FB FD F1 G 0

理论力学第2版教学课件ppt作者王永廉05空间力系_1空间汇交力系

理论力学第2版教学课件ppt作者王永廉05空间力系_1空间汇交力系

,
k
Fiz FR
三、空间汇交力系的平衡方程
Fix Fiy
0 0
Fiz
0
说明：可解三个未知量
[例2] 如图，三根杆 AB、AC、AD 铰接于点 A ，在点 A 悬挂一 重为 P 的物体。AB 与 AC 相互垂直且长度相等，OAD = 30， 若 P = 1000 N，不计杆件自重，试求各杆所受的力。
第五章 空间力系
第一节 空间汇交力系
一、力在空间直角坐标轴上的投影
1. 直接投影法
z
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fz
F
O
Fy
Fx
y
x
其中， 、 、 分别为力 F 与 x 、y 、z 轴正向间的夹角
2. 二次投影法
Fx
Fxy
F Fz
Fy
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
z
Fz
F
O
Fy
Fx
Fxy
y
x
3. 已知投影求力
大小：
F Fx2 Fy2 Fz2
方向余弦：
cos Fx
F
cos Fy
F
cos Fz
F
z
Fz
F
O
Fy
Fx
y
x
[例1] 设力 F 作用于长方体的顶点 C，其作用线沿长方体对角线。
若长方体三个棱边长为AB = a 、BC = b 、BE = C ，试求力在图示
直角坐标轴上的投影。 解：力F 在 z 轴上的投影
z
G
H
Fz F cos
c
F
a2 b2 c2

理论力学课件 第四章 空间力系

理论力学课件 第四章 空间力系
空间汇交力系的合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的矢量和。
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
证明:
z F1
FR
rA
F2
O
y
x
MO (FR ) rA F1 rA F2
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 )
11
【例4-2】已知力F位于圆盘C处的切平面内，尺寸与角度如图所示，求 力F对x, y, z轴的力矩。
[M O (F )]x yFz zFy [M O (F )] y zFx xFz [M O (F )]z xFy yFx
8
4.2.2 力对轴之矩
力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，力对轴之矩是一个 代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平 面与该轴的交点之矩，如图所示的力F对轴z的矩可表示为
解：力F在三个坐标轴上的投影为
Fx Fcos60cos30
3F 4
Fy
Fcos60sin30
1 4
F
Fz
Fsin60
3F 2
而力作用点的坐标分别为
h
x rsin30 1 r 2
y rcos30 3 r 2
zh
z B
rO
60 F Fz C Fxy
A
30Fx
y
Fxy
x
Fy
12
代入力对轴之矩计算公式，可得力对三个坐标轴的矩分别为
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d
z
b
F
a
O y
d
b'
x
a' Fxy
z
Fz
B
A Fx
F Fy
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E
C
M x Fi 0
P 1 0.2 P 1.2 FD 2 0
M y Fi 0
P 1 0.8 P 0.6 FD 0.6 FB 1.2 0
解得
FA 4.42kN
FB 7.78kN
FD 5.8kN
11
第三节
空间任衡时，必须满足六个平衡方程
F 0 F 0 F 0 M F 0 M F 0 M F 0
ix
iy
iz
x
i
y
i
z
i

说明：对于空间任意力系的平衡问题，最多可求六个未知量
FB z FA z FA x
F
FB x
1 2
F1
F2
F
F1
F2
解：选取整个轴为研究对象
6
作受力图
FA z FA x
FB z
F
FB x
1 2
F1
F
F1
F2
F2
取坐标轴，列平衡方程
Fix 0
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
Fiz 0
M x Fi 0

A
FA y
FT
FB z
B
FB x
C
解得
M z Fi 0
FT P
FB x AB 0
FB x 0
9
解得
以由点 A 指向 C 的 AC 轴为矩
轴，列平衡方程
M AC Fi 0
E
FA z
FBz AB sin 30 0

FA x
D
A
FA y
FT
负号表示该力的方向与图中假设方向相反
5
[例2] 如图，曲柄传动轴上安装着带轮。已知带的拉力 F2 = 2F1，
曲柄上作用的铅垂力 F = 2 kN；带轮的直径 D = 400 mm，曲柄长 R = 300 mm；带 1 和带 2 与铅垂线间的夹角分别为 = 30°和 =
60°。试求带的拉力和径向轴承 A、B 的约束力。
F1 cos30 F2 cos60 F FAz FBz 0
F1 cos30 0.2 F2 cos60 0.2 F 0.2 FBz 0.4 0
M y Fi 0
M z Fi 0
F 0.3 F2 F1 0.2 0
F1 sin30 0.2 F2 sin 60 0.2 FBx 0.4 0
7
FB z FA z FA x
F
F
FB x
F1
F1
F2
F2
另有 解得
F2 2F1
F1 3000 N
FAz 9397 N
F2 6000 N
FB x 3348N
FAx 1004 N FB z 1799 N
2
[例1] 支承于两个径向轴承 A、B 的传动轴如图所示。已知圆柱直齿
轮的节圆直径d = 173 mm，压力角 = 20°；在法兰盘上作用一力 偶，其力偶矩 M = 1030 N· m。若不计轮轴自重和摩擦，试求传动
轴匀速转动时 A、B 两轴承的约束力以及齿轮所受的啮合力F。
解：选取整个传动轴为研究对象
3
作受力图
FA z FB z
FA x
FB x
列平衡方程
M y Fi 0
M x Fi 0 M z Fi 0
M F cos 20 d 0 2
F sin 20 220mm FBz 332mm 0
FBx 332mm F cos 20 220mm 0
Fix 0
Fiz 0
FAx FBx F cos 20 0
FAz FBz F sin 20 0
4
代入已知数值，解得
F 12.67 kN
FA z
FB z
FBz 2.87 kN
FBx 7.89kN FAx 4.02kN
FA x
FB x
FAz 1.46kN
1
二、空间平行力系的平衡方程 空间平行力系为空间任意力系的一特殊情况。若取 z 轴与各力平 行，则空间平行力系的平衡方程为
z
M x Fi 0 M y Fi 0
iz
F
0
F3 Fn
O
F1
y
x
F2
说明：对于空间平行力系的平衡问题，最多可求三个未知量
解得
FA y
3 P 4
FA z
1 P 2
10
[例4] 图示三轮车，已知车重 P = 8 kN，重心位于点 C ；载荷 P1 = 10 kN，作用于点 E 。试求三轮车静止时地面对车轮的约束力。 解：选取三轮车为研究对象 作受力图 取坐标轴，列平衡方程
Fiz 0
P P 1 FA FB FD 0
FB z
B
解得
FB z 0
FB x
C
再列出三个投影式平衡方程
Fix 0
Fiy 0
FAx FT cos30 cos60 0
FAy FT cos30 sin 60 0
FAz FT sin30 P 0
3 FA x P 4
Fiz 0
8
[例3] 如图，匀质长方形板 ABCD 重量为 P，用球形铰支座 A 和蝶 形铰支座 B 固定在墙上，并用绳 EC 维持在水平位置上。试求绳 EC 的拉力和支座 A、B 的约束力。 解：选取板 ABCD 为研究对象 作受力图 列平衡方程
E
FA z
FA x
D
M y Fi 0
BC FT sin 30 BC P 0 2