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三角函数、解三角形、平面向量1．已知函数f(x)＝2sin xcos x （1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）当x ∈]2,0[π时，求函数f(x)的最大值和最小值。
2．已知函数()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()1f B =，2b =，求△ABC 的面积的最大值．3．ABC ∆中，D 是BC 边上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 边和AC 边的长．4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足．（1）求证：A ，B ，C 三点共线；（2）若，()22f x OA OC 2m AB 3⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭的最小值为，求实数m 的值．5．已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量=（﹣1，），=（cosA ，sinA ），且，（Ⅰ）求角A （Ⅱ）若．6．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m ⋅n ＝3bcosB ． （1）求cosB 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．7．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin c A = （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若c =ABC S =a b +的值． 8．设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+,=﹣3+2．（1）求•； （2）求||和||； （3）求与的夹角．9．（2015秋•河西区期末）设平面内的向量，，，点P 在直线OM 上，且．（1）求的坐标；（2）求∠APB 的余弦值； （3）设t ∈R ，求的最小值．10．已知平面向量32a = (,)，12b =- (,)，41c =(,)．（1）求满足n m +=的实数m ，n ；（2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k 的值．参考答案1．（1）3π) ∴ T=π 由-2π+2k π≦2x-3π≦2π+2k π， -12π+k π≦x ≦512π+k π∴ f(x)的单调增区间为： 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k z ∈（2） 02x π≤≤∴22333x πππ-≤-≤sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()()max min 2,f x f x ==考点：1.三角函数的恒等变形及函数性质（整体思想）；2.三角函数的性质.2．（1）()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R=（﹣cos2x ）﹣[1﹣cos （2x ﹣）]=sin2x ﹣cos2x=sin(2)6x π-， 令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z则函数f （x ）的单调递增区间[k k ]63ππππ+﹣，，k ∈Z（2）由f （B ）=1，得到sin （2B ﹣）=1，∴2B ﹣=，即3B π=， 由余弦定理得：222b ac 2accosB =+﹣，即224a c ac 2ac ac ac =+≥=﹣﹣，即ac 4≤，∴ABC 1S acsinB 2==≤ ABC 的面积的最大值为．考点：三角函数的基本公式；正弦型函数的性质；余弦定理；三角形的面积；均值不等式. 3．(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD ABD ∆和中，由余弦ADC ∆定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：正弦定理；三角形中的几何计算 4．解：∵（1），∴==﹣+，=，∴=×，∴∥，即A ，B ，C 三点共线．（2）由，∵，∴，∵=（1+sinx ，cosx ），从而 ()222222f x OA OC 2m AB 1sin x cos x 2m sin x 333⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=﹣sin 2x ﹣2m 2 sinx+2=﹣（sinx+m 2）2+m 4+2．又，则t=sinx ∈[0，1]，f （x ）=g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2．由于﹣m 2≤0，∴g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2 在[0，1]上是减函数， 当t=1，即x=时，f （x ）=g （t ）取得最小值为，解得m=±，综上，．考点：平面向量数量积的运算． 5．解：（Ⅰ）∵∴即，∵∴∴（Ⅱ）由题知，整理得sin 2B ﹣sinBcosB ﹣2cos 2B=0∴cosB≠0∴tan 2B ﹣tanB ﹣2=0,∴tanB=2或tanB=﹣1 而tanB=﹣1使cos 2B ﹣sin 2B=0，舍去 ∴tanB=2, ∴tanC=tan[π﹣（A+B ）]=﹣tan （A+B ）===考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦． 6．（1）因为m ⋅n ＝3bcosB ，所以acosC ＋ccosA ＝3bcosB ． 由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ， 所以sin(A ＋C)＝3sinBcosB ，所以sinB ＝3sinBcosB ． 因为B 是△ABC 的内角，所以sinB ≠0，所以cosB ＝13． （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．因为cosB ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sinB ． 又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系7．（12sin c A =及正弦定理，得sinsin a Ac C ==.sin 0,sin A C ≠∴=又ABC ∆是锐角三角形，3C π∴=.（2）c =3C π=，由面积公式，得1sin 23ab π=6ab =.① 由余弦定理，得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=.②由②变形得()237a b ab +=+ .③ 将①代入③得()225a b +=，故5a b +=. 考点：正弦定理；余弦定理； 8．解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====， ||====（3）cos ＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．考点：向量的数量积的定义和性质；向量之间的夹角. 9．解：（1）∵点P 在直线OM 上，设∴，∴，解得，∴．（2），， ∴．（3），∴=2（t ﹣2）2+2．当t=2时，（+t）2取得最小值2，∴的最小值为．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．10．（1）∵ (,2)mb m m =- ，(4,)nc n n = 得(4,2)mb nc n m m n +=-+且(3,2)a mb nc ==+∴ 4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，得58,99m n ==（2） ∵(34,2)a kc k k +=++ ，2(5,2)b a -=- ,且()(2)a kc b a +⊥-∴5(34)2(2)0k k -⨯++⨯+=,∴ 1118k =-考点：向量的线性运算性质及几何意义；平面向量共线（平行）的坐标表示。
2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形1．－3000化为弧度是A ．34π-B ．35π- C ．47π- D ．67π-2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（ ） A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是A ．－1B ．1C ．52-D ． 254．sin105cos105的值为 （ ）Ａ．14 Ｂ．－14 Ｃ．4 Ｄ．－45．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴是 （ ） A ．4x π=-B ．2x π=-C ．8x π=D ．54x π=6．000054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ） A ．0 B ．22 C ．23 D ．21 7. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π 的奇函数 D.周期为2π的偶函数8.函数12cos 222y x x =+的图象可以由函数sin 2y x =的图象 作以下平移得到（ ）A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6p D. 向左平移12p 9. 已知sin cos 1x x +=-,则20052005sincos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 110. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44p p -]上单调递增， 则函数)(x g 的表达式为A ．x cosB ． cos x -C ．1D ．tan x -11. 函数12log (12cos 2)y x =-的一个单调递减区间是A ．(,0)6p -B ．(0,4p )C ．[,62p p ]D ．[,42p p ]12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于 A ．33 B ．- 33 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3y x p =+的图象向右平移q (q >0)个单位， 所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为A ．6pB ． 3pC ． 23pD ． 43p14、在ABC ∆中，,4,2,2π=∠==A b a 则=∠B （ ） A.3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或32π15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）A.400米B.500米C. 800米D. 700米16、已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（ ）A. 045B.030C.090D.013517、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （ ） A 2 B 3 C 23 D 3318、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（ ）A O 30B O 45C O 60D O 9019、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（） A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为31，则其外接圆的半径为（ ）A 、229 B 、429 C 、 829 D 、92222、在ABC ∆中，2,60a b C ︒==，则ABC S ∆=（ ）A ： ：32 C ：：23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（ ）A ： 60︒B ：45︒C ： 120︒D ： 30︒24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，，那么x 的值为（ ）A ：： C ： 325．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C)53(2112e e - D ．)35(2112e e -26．下列四式不能化简为的是（ ） A ．＋（ B ．（MC ．；MD ．＋－27．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．13、28．下面四个有关向量数量积有关系式中：⑴000=∙→→； ⑵)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ； ⑶→→→→∙=∙a b b a ; ⑷→→→→∙≤∙b a b a 其中正确的是（ ）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶29. 已知向量a =(sin ,cos )a a ，=（3，4），且a //，则tan a 等于 （ ）A ．43 B ．34- C ． 34 D ．43-30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m -⊥,则m 与n 夹角的大小为A. 30o B. 45o C. 75o D. 135o31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB上，且=t )10(≤≤t ，则OA ·OP 的最大值为A ．aB ．2aC ．3aD ．2a参考答案：1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD 16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。
第四章 三角函数与解三角形 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若sin 2a =，则cos a =（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．23[答案]C[解析]221cos 12sin 12..23C αα=-=-⨯=∴选 [考点定位]此题主要考查三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题. 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知a 是第二象限角，5sin ,13a =则cos a =（ ）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】∵a 是第二象限角，∴12cos 13α===-.故选A. 【考点定位】三角求值3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 【考点定位】三角函数诱导公式.4.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则=ω（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】∵由题中图像可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A【解析】由图知，周期T 满足111521212T ππ=-，∴T π=，又0ω>，∴2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，图象的最高点为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，于是由“五点法”作图，知52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，选A.【易错点】注意求初相ϕ的值时，图象的最高点坐标与五个关键点坐标的对应关系最容易代错！【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知sin2α=错误！未找到引用源。
解三角形（理科）（13四川高考）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是( ) A 、]6,0(πB 、),6[ππC 、]6,0(πD 、 ),3[ππ（13辽宁高考）ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+则ba=( )A 、B 、C D（13天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C的值为（ ）A ．3 B ．6 C ．3D ．6（13重庆高考）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为（ ）A ．43B ．8-C ． 1D ．23（13全国课标）在ABC 中,60,B AC ==2AB BC +的最大值为 .（13上海高考）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米．(13安徽高考）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为___（13北京高考）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A s i n ____________；=a _______________。
（13福建高考）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。
（13湖北高考）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.（13江西高考）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin C C C -=+. （1） 求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.（13浙江高考）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为c b a ,,.已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值； (2) 若角B 为锐角，求p 的取值范围；（13山东高考）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，2b =,求ABC ∆的面积.（13全国大纲）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知90A C ︒-=, b c a 2=+,求C .（13江苏高考）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值． (13广州调研)已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值.(13佛山质检)如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-． （1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．12.已知角(0,)απ∈,向量(2,cos )m α=，2(cos ,1)n α= ，且1m n ⋅=，()cos f x x x =+。
三角函数、向量、解三角形、数列综合测试（含答案）大冶一中 孙雷 一、选择题(每题只有一个正确选项，共60分)1.若向量===BAC ∠),0,1-(),23,21(则( ) ° ° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(+•的最小值是( )B. -143.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.51858-+ B.74718-+ C.58518-+ D. 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=，则=+αααtan -1)tan 1(2sin ( ) （ A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( )A.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角，且2)8π-α(tan =，则=α2sin ( ) A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则=)4π-αcos(( ) A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) :2:3 :2:1 :3:2 D. 2: 3:19.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，53cos =C ，且4=ABC S △，则=c ( )、 A.364 C.362 10.在ABC △中，°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上，且772sin =∠BAD ，则CD =( )A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3135尺，则这位女子织布的天数是( )12.数列}{n a 中，01=a ，且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ，则数列})1-(1{2n a 前2019项和为( ) A.20194036 B.10102019 C.20194037 D.20204039 二、填空题（共20分）13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，且1-20192020<a a ，则当0<n S 时n 的最小值为_____________. ）14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ，则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+，且121==a a ，则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中，Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+，若1=+b a ，则c 的取值范围是___________.三、解答题（共70分）17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，81=a ，10-10=S(1)求n a ，n S ；(2)设||||||21n n a a a T +++= ，求n T .；18.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且552sin =B ，6=• (1)求ABC △的面积；。
平面向量 三角函数 解三角形【热点强化训练】1.（2013届山东省德州市乐陵一中高三10月月考）已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A =A.135 B.45 C.135或45 D.90 2.（20l3届山东省烟台市莱州一中高三第二次质量检测）已知cos 21,054x x π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜x ＜π，则tan x 为 A.43-B.34-C.2D.2-3.（2013届云南省玉溪一中高三第四次月考）要得到)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（ ）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 4.（2013届山东省兖州市高三9月入学诊断检测）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为( )A．2 B ．0 C ．－1 D．1-5.（2013届山东省济南外国语学校高三上学期期中考试）已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 126.（2013届山东省青岛市高三上学期期中考试）已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数7.向量a 、b 满足（a -b ）（2a +b ）=-4=2=4，则a ，b 夹角等于 。
8已知81cos sin =⋅θθ,且24πθπ<<，则θθsin cos -的值为 。
9.已知2)4tan(=+πx ，则xx2tan tan 的值为 。
10．（2013届天津市天津一中高三上学期一月考）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且c o s c o ss a B b A c C +=，则角B = ．11．(2012年高考山东卷)已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π 上的值域．12.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，),cos ,(cos ),2,(C B c a b =-=且//。
高考专题训练(二十二) 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题时间：45分钟 分值：50分1．(2012·)(12分)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝sin x －cos x sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k ππ8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋38π(k ∈Z )． 2.(2012·某某)(12分)如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C —AF —E 的大小为θ，求tan θ的最小值． 解 解法一：过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF .(1)如图①，连接NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ， 又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC ， 所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影． 在Rt △E 中，＝CE cos60°＝1. 则由CF CC 1＝CA ＝14，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C . 由三垂线定理知EF ⊥A 1C .(2)如图②，连接AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连接ME . 由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF . 所以∠EMN 是二面角C —AF —E 的平面角，即∠EMN ＝θ. 设∠FAC ＝α，则0°<α≤45°. 在Rt △E 中，EN ＝EC ·sin60°＝3， 在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α， 故tan θ＝NE MN ＝33sin α.又0°<α≤45°，∴0<sin α≤22.故当sin α＝22，即当α＝45°时，tan θ达到最小值． tan θ＝33×2＝63.此时F 与C 1重合．解法二：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →＝(－3，1,1)，则CA 1→·EF →＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)．AE →＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2. 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63. 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63. 3．(2012·某某)(13分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且PAN⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角B－AP－C的大小．分析本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力．对于(1)，依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于(2)，根据二面角的平面角的意义，借助于三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求出答案．解 解法一：(1)设AB 的中点为D ，AD 的中点为O .连结PO 、PD 、CO 、CD .由已知，△PAD 为等边三角形．所以PO ⊥AD .又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AD ，所以PO ⊥平面ABC . 所以∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角．不妨设AB ＝4，则PD ＝2，CD ＝23，OD ＝1，PO ＝ 3. 在Rt △OCD 中，CO ＝OD 2＋CD 2＝13. 所以，在Rt △POC 中，tan ∠OCP ＝PO CO＝313＝3913. 故直线PC 与平面ABC 所成的角的正切值为3913. (2)过D 作DE ⊥AP 于E ，连结CE . 由已知可得，CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知，CE ⊥PA .所以∠CED 为二面角B －AP －C 的平面角． 由(1)知，DE ＝ 3. 在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝CD DE ＝233＝2. 故二面角B －AP －C 的正切值为2.解法二：(1)设AB 的中点为D ，作PO ⊥AB 于点O ，连结CD . 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABC . 所以PO ⊥CD .由AB ＝BC ＝CA ，知CD ⊥AB .设E 为AC 中点，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB .如图，以O 为坐标原点，OB 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设PA ＝2，由已知可得，AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP ＝3，CD ＝23，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，C (1,23，0)，P (0,0，3)．所以CP →＝(－1，－23，3)，而OP →＝(0,0，3)为平面ABC 的一个法向量． 设α为直线PC 与平面ABC 所成的角，则sin α＝|CP →·OP →||CP →|·|OP →|＝|0＋0＋3|16·3＝34.故直线PC 与平面ABC 所成的角的正弦值为34. (2)由(1)有，AP →＝(1,0，3)，AC →＝(2,23，0)． 设平面APC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AP →，n ⊥AC→⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AC →＝0⇒⎩⎨⎧x 1，y 1，z 1·1，0，3＝0，x 1，y 1，z 1·2，23，0＝0.从而⎩⎨⎧x 1＋3·z 1＝0，2x 1＋23·y 1＝0.取x 1＝－3，则y 1＝1，z 1＝1，所以n ＝(－3，1,1)． 设二面角B －AP －C 的平面角为β，易知β为锐角． 而平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，则cos β＝|n ·m ||n |·|m |＝|1|3＋1＋1＝55.故二面角B －AP －C 的余弦值为55. 4．(2012·某某)(13分)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .分析 本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类整合思想和运算求解能力．(1)该射手恰好命中一次包括命中甲靶一次且乙靶两次都没有命中，没有命中甲靶且命中乙靶一次；(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据X 取各个值时命中靶的情况分别求出其概率值，即可得到概率分布列，进而求出数学期望．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23 ＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23 ＝13. 故X 的分布列为。
专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的一个增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8B.⎝⎛⎭⎪⎫7π8，9π8C.⎝⎛⎭⎪⎫5π8，7π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8，－3π8解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的增区间即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C. 答案 C2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0 D ．(0,0)解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0是其一个对称中心，故选C.答案 C3．已知函数f (x )＝a sin x ＋a cos x (a <0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－2 2 C ．－ 2D ．－4解析 f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，π]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，由于a <0，故2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2a ，－a ]，即f (x )的最大值为－a ，∴－a ＝4，即a ＝－4.故选D.答案 D4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x －21π22＋1B ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫1112x ＋21π22－12D ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12解析 图象平移之前与平移之后的A ，ω，k 都是相同的，由平移之后的图象可知2A ＝3，∴A ＝32，k ＝12；T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋φ1＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2k π＋5π22，k ∈Z ，取k ＝0，则φ1＝5π22，故g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12.将其图象向左平移2π3个单位，得f (x )的解析式为f (x )＝32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1211⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋5π22＋12，即f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12.故选B.答案 B5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析 由正弦定理，得sin B ＝143×42×32＝22，∴B ＝45°或135°，又a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.故选C.答案 C6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．故选B. 答案 B7．在△ABC 中，若角A ，B ，C 成公差大于0的等差数列，则cos 2A ＋cos 2C 的最大值为( ) A.12 B.32 C ．2D ．不存在解析 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋12[cos(240°－2C )＋cos2C ]＝1＋12cos(2C ＋60°)．∵60°<C <120°，∴180°<2C ＋60°<300°，∴12<1＋12cos(2C ＋60°)<54，即cos 2A ＋cos 2C 的最大值不存在，故选D. 答案 D8．关于x 的方程cos2x ＋sin2x ＝2k 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个不同的实数解，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，22 解析 由cos2x ＋sin2x ＝2k ，得k ＝12(cos2x ＋sin2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4， ∴－12<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22.数形结合可知，当12<k <22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案 A9．(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析 选项A 错，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则有a 与b 方向相反，且有|a |≥|b |；由此可得选项B 中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D 中，若λ>0则a ，b 同向，故错误．答案 C10．(2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析 在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则c ＝2，b ＝3，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠B )＝－ac cos B ＝1，得a cos B ＝－12.由余弦定理得：a cos B ＝a ×a 2＋22－322×a ×2＝a 2－52×2＝－12，解得a ＝BC ＝ 3.答案 A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析 因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则可知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b .也可直接等式两边平方化简得a ·b ＝0，从而a ⊥b .答案 B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ·β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析 解法一：b ○a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ，因θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，又|a |≥|b |>0，所以b ○a <1，又b ○a ∈{n 2|n ∈Z }，故b ○a ＝12，|b ||a |cos θ＝12，|b ||a |＝12cos θ，a ○b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ，又因cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以a ○b ∈(1,2)，又a ○b ∈{n 2|n ∈Z }，所以a ○b ＝32.解法二(特殊值法)：取|a |＝3，|b |＝1，θ＝π6，则a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝32，b ·a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝12，都在{n2|n ∈Z }中． 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，cos C ＝12BC AC ＝32，∴C ＝30°，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝ACsin ∠ADC·sin C ＝222·12＝ 2. 答案 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析 设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos120°，化简得a 2－2a －24＝0，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin120°＝15 3.答案 15 315．(2011·课标)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析 由正弦定理，ABsin C ＝BC sin A ＝332＝2， 得AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，则AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(180°－60°－A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，其中tan φ＝35(φ为锐角)，故当A ＋φ＝π2时，AB ＋2BC 取最大值27. 答案 2716．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.得AC ＝ 6. 答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ) 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14解得a ＝1，从而c ＝2又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值；(2)cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54ac ＝14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2，即π2<C <π，由sin C ＝34，得cos C ＝－74， 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 22．(本小题满分14分)(2012·黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A ，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得A ，B ，C 的仰角分别为α，β，γ，ED ＝a .(1)求：BD 间的距离及CD 间的距离； (2)求证：在A 处攀岩者距地面的距离h ＝a sin αθ＋βcos βα＋θ.解 (1)根据题意得∠CED ＝γ，∠BED ＝β，∠AED ＝α. 在直角三角形CED 中， tan γ＝CD DE，CD ＝a tan γ， 在直角三角形BED 中，tan β＝BD DE，BD ＝a tan β. (2)证明：易得AE ＝hsin α，BE ＝acos β，在△ABE 中，∠AEB ＝α－β，∠EAB ＝π－(α＋θ)， 正弦定理BE sin ∠EAB ＝AEsin ∠ABE ，代入整理：h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ。
质量检测(三)测试内容：三角函数、解三角形 平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年孝感第一次统考)点A (sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由于2 013°＝5³360°＋211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.答案：C2．(2011年高考课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：由已知tan θ＝2，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋1＝－35. 答案：B3．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( )A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2²(－sin 2x )²cos 2x ＝－22sin 4x ， 因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C. 答案：C4．(2012年浙江)设a ，b 是两个非零向量．( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ²b ＝|a |2＋|b |2－2|a |²|b |，即a ²b ＝－|a |²|b |，故a 与b 方向相反．又|a |≥|b |，则存在实数λ∈[－1,0)，使得b ＝λa .故A ，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|a ＋b |＝|a |－|b |，即D 命题不正确，故选C.答案：C5．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1, 3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B. 3 C ．3D ．9解析：|a ＋b |＝ sin x ＋1 2＋ cos x ＋3 2＝5＋4sin x ＋π3，所以|a ＋b |的最大值为3. 答案：C6．(2012年洛阳统考)若sin α－π4cos 2α＝－24，则sin α＋cos α的值为 ( )A ．－72B ．－12C.12D.72解析：依题意，得22 sin α－cos α cos 2α－sin 2α＝－22sin α＋cos α＝－24，所以sin α＋cos α＝12，选C.答案：C7．在△ABC 中，“AB →²BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由AB →²BC →＝0⇒AB →⊥BC →，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B 为直角，故“AB →²BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.答案：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A ＝( )A.22 B ．－22 C.33D ．－33解析：∵m ∥n ，∴(3b －c )cos A ＝a cos C . ∴(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 易知sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案：C9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：由AB →＝DC →＝(1,1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝ 2.又BA→|BA →|＋BC→|BC →|＝3BD→|BD →|，知平行四边形ABCD 为菱形，且C ＝120°， ∴S 四边形ABCD ＝2³2³32＝ 3.故选A. 答案：A10．(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3等于 ( )A.5π3B.4π3C.3π4D.3π2解析：可据题意作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象，观察图象可知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，x 2，x 3关于直线x ＝23π对称，故x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝2³π6＋2³23π＝53π.答案：A11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy ＝120°，平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：“若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是与x ，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )”．那么，在斜坐标系中，以O 为圆心，2为半径的圆的方程为A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2－xy ＝2D ．x 2＋y 2－xy ＝4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P (x ，y )满足|OP →|＝|x e 1＋y e 2|＝2，即|x e 1＋y e 2|2＝x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝4，整理可得x 2＋y 2－xy ＝4，即为所求圆的方程．故选D. 答案：D12．(2012～2013学年河北省高三教学质检)函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2，∴ f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确．②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin 2(x ＋π4)＝2cos 2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ²b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ²b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2.答案：214．(2011年江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由2³π12＋φ＝π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)∴f (0)＝2sin π3＝62.答案：6215．(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，由题意知BP ＝OB ＝2，∵圆半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2， ∴DA ＝AP cos(2－π2)＝sin 2，DP＝AP sin(2－π2)＝－cos 2.∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)16．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tanβ；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (－x )＝cos(－2x 3＋7π2)＝cos(2x3－7π2)＝－cos(2x 3－7π2＋7π)＝－cos(2x 3＋7π2)＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年江苏)在△ABC 中，已知AB →²AC →＝3BA →²BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)证明：因为AB →²AC →＝3BA →²BC →，所以AB ²AC ²cos A ＝3BA ²BC ²cos B ，即AC ²cosA ＝3BC ²cosB ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.18．(2013年山东滨州联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c 已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14(1)求△ABC 的边长． (2)求cos(A －C )的值解：(1)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2³1³2³14＝4∵c >0，∴c ＝2(2)sin 2C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516∵0<C <π ∴sin C ＝154由正弦定理：a sin A ＝csin C ，即：1sin A ＝2154，解得sin A ＝158，cos 2A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝4964在三角形ABC 中，∵a <b ∴A <B ∴A 为锐角，∴cos A ＝78cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin B ＝78³14＋158³154＝111619．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小； (2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B 取最大值时角B 的大小． 解：(1)∵m ⊥n ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，∴2(1－sin 2A )＝sin 2A －cos 2A∴2cos 2A ＝1－2cos 2A ∴cos 2A ＝14.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12 ∴A ＝π3.(2)∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴π6<B <π2∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2B ＝1－cos2B －12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －32cos 2B ＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＋1当y 取最大值时，2B －π3＝π2即B ＝512π.20．(2012年山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ²n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解：(1)f (x )＝m ²n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 21．(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a ²b＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．解：(1)设b ＝(x ，y )，则a ²b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a ²b |a |cos3π4＝1＝x 2＋y 2，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)． ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3.∴b ＋c ＝(cos A,2cos 2C2－1)＝(cos A ，cos C )．∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C )＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )]＝1＋12(cos 2A －12cos 2A －32sin 2A )＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵2A ＋π3∈(π3，5π3)，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12，∴12≤|b ＋c |2<54， ∴22≤|b ＋c |<52. 22．(2012年湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ²b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ²cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56³π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。
专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题)分满分：150120(时间：分钟分．在每小题给出的四个选项中，605分，共一、选择题：本大题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的．π??x??xf2－) 的一个增区间为)＝1．函数lgsin(( ??4ππ973π7π????????，， A. B.????8888ππ7π7π35????????，－，－D.C. ????8888πππ????xx????kkkx－2－2；又π，2π＋解析由sin2Zπ<2∈>0，得sin－<2π＋<0，∴????444πππ??????xxx??????xf－－2－22在定义域(的增区间即)＝lgsinsin在定义域内的增区间，即sin??????444π3π5π7πkkkkxkxk，当Zπ<<＋2∈π<2－<＋2ππ，，∈Z.化简得＋内的减区间，故π＋8842π75πxk C. ，故选0＝时，<<88C答案aaxaxfx，则它的图象的一个对称中心>0)＋3cos的最小正周期为2．若函数((1)＝sin) 为(π10)－0)－，，B．(A．(331????0， C.D．(0,0)??3πππ2????xax????xfxafaT＋＋2π，)＝2sin＝，∴((2sin>0)，∵＝＝1，∴)＝2π解析(????a33k111π????0，xxkkkxk是其一个对称中心，∈Z，当＝1时，故＝由2π＋＝，π，∈Z得－＝，，??33632C.故选C答案aaafxxax) 最大值为，4，则的值为( ]，的定义域为已知函数3．()＝sin＋cos(<0)[0π22 ．－B3 A．－4．－D2．－C．πππ5π????x????xaxxafxax，＋，∴＝2＋sin∈，π解析 ](，当)＝时，sin∈＋[0cos ????4444ππ??2????xx??????xafaaa＋＋的最大值为－2<0，故2(sinsin，－)]，即∈∈，由于[1－，????44??2aaa＝－4.，即故选，∴－D.＝4答案 D2πfxAxkA>0，ω>0,0<φ<πsin(ω)＋φ)＋的图象向右平移4．将函数((个单位，所)＝3fx)的解析式为( 得曲线的一部分如图所示，则 ()1221π????xf －1＝Asin(＋??112221221π13??x ??xf ＋＋ B ．＝(sin)??1122221121π1??x ??xf ＋ －＝C ．2sin() ??12222125π13??x ??xf ＋＋( )＝sin ．D ??112222AkA ＝3都是相同的，由平移之后的图象可知2，ω，，解析 图象平移之前与平移之后的7ππ2π3112????TAk －＝，∴＝2×∴ω＝，＝＝；.??6411ω2212π13????x ????xg 2φ，＋代入，得 ＋设平移后的函数解析式为(，将)＝sin 1????411223π5π5π3????xgkkk φ＋＝，故＝)φ＝1，∴＝2π＋(，Z ∈，取0＝sin ，则φ 111??1122222125π1??x ??＋＋sin. ??11222．π2xfxf )(()将其图象向左平移个单位，得的解析式为3π2π51213????x ??＋??＋ ＋，＝sin??3??112222π122113??x ??xf ＋B.(故选)＝即sin ＋. ??112222B答案babcAABCABCa，，4，已知＝＝60°，5．在△2中，角＝，，，所对的边分别为4，3B)＝则(．45°或135° B．135°A D．以上都不对C．45°213BabBAB，∴>>2×＝，∴，解析由正弦定理，得sin＝45°或135°，＝×4又2243B＝45°.故选∴C.答案 CbcA＋2ABCabcABCABC的形状为( ，分别为角则△，)6．在△中，cos＝(，，的对边，)c22A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形bcAbcA＋＋＋cos12解析∵cos＝，∴＝，cc2222222bccba＋－＋∴1＋＝，bcc2222ABCcab B. ，故△＝化简得＋是直角三角形．故选B答案22CCAAABCB) 则cos ＋cos7．在△中，若角的最大值为，( ，0成公差大于的等差数列，31 A. B.22 2D．不存在C．ABCACB，，成等差数列，∴＝解析∵角＋，2ABCBAC＝120°.＝180°，∴＋又＝60°，＋＋AC111＋1＋cos2cos222ACACC)＋＋[cos(240°－2(cos2＋＝1＋＝cos＋cos1＋cos2)＝22221CC＋60°)．cos(21]cos2＝＋2．CC<120°，∴180°<2∵60°<＋60°<300°，51122CCA D. ＋60°)<，即coscos(2的最大值不存在，故选＋cos∴<1＋422D答案π????kxxxk，0的取值范围内有两个不同的实数解，则的方程cos2在＋sin2＝28．关于??2) 是(????1212????B.A. ，，－????2222????1212???? D.C.，－，????22221xkkxxx，得＝(cos2)sin2＋＝2sin2解析由cos2＝＋2ππ5πππ2??????x??????xx，，20＋∈sin ＋2∈，，当时，??????444242π22112??x??k＋2时，方程有两个不同的实数解．故<sin<≤.数形结合可知，当∴－<??422222A.选A答案ba) 9．(2012·浙江)设是两个非零向量，(bbaaab ||，则|⊥A．若|－＋||＝bbaaba||＝||B．若|⊥－，则|＋abbaab＝λ|C．若|＋，则存在实数|＝|λ|－|，使得babaab| －．若存在实数λ，使得|＝λ|，则||＋|＝D babababa；由此可|－||≥||，则有|与|解析选项A错，若|＋方向相反，且有|＝|ba，同向，故错误．得选项B中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D中，若λ>0则C答案→→BCABBCABABCAC) ·＝( ＝110．(2012·湖南)在△中，＝2，，则＝3，7 B.A.32322D.C．→→→→BCBCABABbACBCacbABCABc|cos(180°＝|则＝2，|·|＝解析在△中，设＝3，＝，，＝·，2222aa1＋2－3－51aaBBaBacB，cos＝由余弦定理得：×＝＝－.1＝－－∠)cos＝，得cos＝－a22×222××2BCa3.＝＝解得．A答案baabab，则下面结论正确的是＋－||＝11．(2012·辽宁)已知两个非零向量|，|满足)(baab∥⊥ A．B．bbaaba |＋－D．．C|＝|＝|bbaaab为邻边的平行四边形||，由向量的加法和减法法则可知以＋解析因为|，－＝|bbaa，.也可直接等式两边平方化简得⊥＝·对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以0ba.从而⊥B答案βα·若平面向＝.β，定义α·β12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β·βnπ????n aabbbaabba，0中，都在集合{，且|·量}，满足|和|≥|∈|>0，·与Z的夹角θ∈??42ba)·＝( 则11 ．A. B253 D.C.22babπ??||||||cosθ2????○??ab，0，又θ∈，θ，因解析解法一：θ∈cos＝＝cos1，2??aa4||||??2bb n1|1|1||○○○ababbaab n，＝，＝，又＝，cos∈{|，∈Z|}|≥||>0，所以故θ<1aaθ|2|2cos|2|2n a??||22○○○??n baaabb∈|，所以＝∈{∈(1,2)，又θcos θ＝2cosθ，又因cos∈1，b2||??23○ba.，所以＝Z}2bbaa3||cos||π·θbbaa，＝＝＝1，θ＝，则·解法二(特殊值法)：取||＝3，||＝2bbb2|6|·n baab1||cos||θ·n ab }中．∈Z|·＝＝＝，都在{2aaa2| ·2|C答案 16分，将答案填在题中的横线上．4二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共ABACBCDBCADCABCAD的长＝45°，则，点2如图，△13.中，2＝＝，＝3在边上，∠．________度等于1BC23CABC＝cos＝解析在△，中，AC2ACADC＝30°，由＝，∴ADCC ∠sinsin AC12CAD2. ＝＝∴·sin＝·ADC∠2sin222答案ABCABC的的等差数列，则△的一个内角为120°，并且三边长构成公差为414．已知△．面积为________2aaaaa8)，(＋4，，则设三边长为＋8120°角所对边长为＋＋8，由余弦定理得解析222aaaaaaaa＝0，解得)＝6或．＝＋(＝－＋4)－2·(4(＋4)·cos120°，化简得舍去－2－241aSa3.＝＋4)·sin120°＝·(15∴三角形面积23答案 15BCBACABABC＝60°，________＝3，则＋215．(2011·课标)在△．中，的最大值为ABBC3 ＝＝＝由正弦定理，2，解析AC sinsin32ABCCAB＝2sin＝2sin，得，ACABBCAAAA75sin2sin＋4sin＋＝2sin(180°－60°－2＋)4sin＝＝则2＋3cos＝π3BCABAA27. ＝，故当)φ(为锐角＋φsin(φ＋)，其中tanφ＝时，＋2取最大值257答案2CBACABCBA＝．(2011·上海16)＝75°，∠千米的2、两点处测量目标点，若∠在相距CA________60°，则、两点之间的距离为千米．解析AC2C.＝如图，∠＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，sin60°sin45°．AC6.＝得 6答案三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)ACca－－2cos2cos ABCABCabc.已知，＝，，的对边分别为.在△中，内角Bb cos C sin(1)求的值；A sin1BbABCS.的面积＝若cos2＝，，求△(2)4abck，解(1)由正弦定理，设＝＝＝CAB sinsinsin AACcakCk sin－－2sin2sin2sin－. ＝则＝BBbk sinsin ACCA sin2sin－2cos－cos所以＝BB sincos ACBCAB，)cos－－2cossin)sin ＝(2sin即(cos ABBC) ＋)化简可得sin(＝＋2sin(ABC＝π＋又，＋C sin CA.因此＝所以sin2.＝2sin A sin C sin ca.＝＝2得2由(2)A sin1222bacacBBb＝2，cos，由余弦定理＝＝＋2－ cos及41222aaa×＋44－＝得44ac2＝，从而1＝解得．151BBB.sin＝<又因为cosπ＝，且0<，所以44151511BacS.sin＝＝因此×1×2×＝4422)本小题满分12分18．(CABBACabcABC，，，的对边分别为，角，成等差数列．，(2012·辽宁)在△，中，角B的值；(1)求cos CcAab成等比数列，求sin(2)边的值．，sin，CABBAC(1)由已知2＋＝＝180°，＋＋，解1BB.解得＝＝60°，所以cos212Bacb，及cos(2)解法一：由已知，＝＝22CBA，根据正弦定理得sinsin＝sin32BAC.cos所以sin＝sin＝1－412Bbac解法二：由已知＝＝，，及cos222acac－＋cBa根据余弦定理得cos＝＝，解得，ac23CCBAA.＝sin＝60°，故sin所以＝＝4)12分本小题满分19．(cabABCABC.在△，中，角的对边分别为、，、π??A??AA＋ (1)若sin＝2cos，求的值；??61CcAb，求(2)cossin＝，3＝的值．3ππAAAAAA≠0，sin，所以cos＝解 (1)由题设知sincos＋cos2cossin ＝3cos，从而66πAAA＝，所以.因为0<tan<π＝3.31222222AbcabcbcAabc.3＝，得及＝－＋－2＝cos＝由(2)cos，3πABCB＝是直角三角形，且.故△21CA＝.sin所以＝cos3．)(本小题满分12分20．pCpBBABCACabcA，且＝，∈所对的边分别为sin，R，(.已知sin)在△＋中，角，sin12bac.＝45cpba，1(1)当时，求＝，的值；＝4pB为锐角，求(2)若角的取值范围．5?aca?1，＝1＝＋????4a，＝?4??解 (1)解得或由题设并利用正弦定理，得1c1＝?? ???4cac?1.＝＝4222Bacbac＝cos＋－2(2)由余弦定理，2Bacacac cos22＝(＋－)－112222Bbpbb －cos－，＝22132Bp.即＝＋cos2236??2??ppBp2，2.，所以<∈，由题设知<因为0<cos>0<1，得??22)12分21．(本小题满分CCCabcBABCAC.sin＝，已知在△sin中，角1，，＋的对边分别是cos，－，2C求sin的值；(1)22cbbaa )－8(2)若，求边＋＝4(的值．＋CCC，1－由已知得解 (1)sincos＋sin＝2CCC??2??1＋2cos 即sin＝2sin，??222CCCCC1 ＝cos，2cos＋1＝2sin，即sin－sin由≠0得2222223C.＝两边平方得sin4CCCπ1π，<<cossin－＝>0，得(2)由2222427π3CCC ＝－cos， <π，由sin即＝，得<2442222abababab，2＝，2＝，得0＝2)－(＋2)－(，得8－)＋4(＝＋由．222cCacbab1. ＋＝2由余弦定理得＝7＋，所以－27cos＋＝8)本小题满分14分22．(在某次攀岩活)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)(2012·黑龙江省哈六中一模动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地CA分别为两名面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)，BEABABD，处测得，攀岩者所在位置，为山脚，某人在为山的拐角处，且斜坡，的坡角为θCEDa.，＝，的仰角分别为α，βγBDCD间的距离；间的距离及(1)求：aβ＋αθsin hA.处攀岩者距地面的距离求证：在＝(2)θαcosβ＋CEDBEDAED＝α. ＝β解 (1)根据题意得∠，∠＝γ，∠CDaCEDCD，＝tan中， tanγ＝，γ在直角三角形DEBDaBDBED. ＝，βtan在直角三角形tan中，β＝DEhaBEAE，＝＝， (2)证明：易得βsincosαABEAEBEAB ＝π－(α，∠＋θ)，在△β中，∠＝α－BEAE＝，正弦定理ABEEAB∠sinsin∠a sinαsinθ＋βh＝代入整理：θsinβcosα＋。
专题三、三角函数与平面向量的综合应用【题型分类】题型一、三角函数式的化简求值问题例1、已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图像上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝2326， 求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值． 题型二 三角形中的三角恒等变换例2、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x4，1， n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8.平面向量与三角函数的综合问题试题：设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、填空题1．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是_______ 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为__________3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值=___________4．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，则2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α＝________.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．6．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝________. 二、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (A >0，ω>0，|φ|<π2)，若该函数图像上的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x 的集合．8．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝ ⎝⎛⎭⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组 专项能力提升题组一、填空题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是__________2．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是__________3．(2011·大纲版全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于_______4．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的 值为________．6．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. 二、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．8．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 的值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m ，关于x 的方程|x a －b |＝|m a |有两个不同的正实数解，且x ≠m ，求m 的取值范围．答案题型分类·深度剖析例1 解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π. 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤(2x 0＋π6)－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6·sin π6＝3－4310. 变式训练1 (1)13 (2)－1314 2例2 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.变式训练2 (1)13 (2)－72例3 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 变式训练3 (1)5π4 (2)－59课时规范训练 A 组1．B 2.C 3.B 4.4＋2m 5.π2或π3 6.－1957．(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R (2)函数的最小值为－3； 相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z8．(1)π3 (2) 3B 组1．D 2.B 3.A 4.4、0 5.1235 6.1527．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0. 所以2a 2－3b 2＝0.①由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14， 即－3a 2＋8b 2＝14.②联立①②，解得a ＝6，b ＝2. 所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10. 8．解 (1)由题意得，(a ＋2b )(a －4b )＝0，即a 2－2a·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫162＝356， tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2 ＝x 2a 2－2x a·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9⎝⎛⎭⎫x －362＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值为12， 此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量a 与x a －b 垂直．(3)对方程|x a －b |＝|m a |两边平方整理， 得9x 2－(6cos θ)x ＋1－9m 2＝0，①设方程①的两个不同正实数解为x 1，x 2，则由题意得，⎩⎨⎧Δ＝(6cos θ)2－4×9×(1－9m 2)>0，x 1＋x 2＝6cos θ9>0，x 1x 2＝1－9m 29>0.解之得，13sin θ<m <13.若x ＝m ，则方程①可以化为－(6cos θ)x ＋1＝0，则x ＝16cos θ，即m ＝16cos θ. 而x ≠m ，故得m ≠16cos θ. 令13sin θ<16cos θ<13， 得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ<1，cos θ>12， 得0°<θ<60°，且θ≠45°， 当0°<θ<60°，且θ≠45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13，且m ≠16cos θ； 当60°≤θ<90°，或θ＝45°时， m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |13sin θ<m <13.。
2013年广东省高考数学考前专题训练三角函数近几年广东省高考数学试题中，解答题第1题，即试题的第16题都是三角函数试题，由于试题结构具有相对稳定性，估计2013年广东高考数学解答题第1题还是考查三角函数，，因此，三角函数的知识应该充分训练，力争高考中拿下满分12分。
本节内容目录一、近三年高考试题回顾 二、三角函数及其图象试题 三、三角函数与平面向量试题 四、三角函数与解三角形试题五、三角函数与三角恒等变换试题六、三角函数应用题一、近三年高考试题回顾1、（2012广东数学文）已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()23f π=。
（1）求A 的值； （2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值【解析】（1）()2cos 2234f A A ππ=⇔=⇔=（2）43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔==2843(4)c o s ,s i n 3555f πβββ-=⇔==4831513c o s ()c o s c o s s i n s i n 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 2、（2011广东数学文）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-=∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=3、（2010广东数学文）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 解：（1）由已知可得：236sin3)0(==πf（2）∵)(x f 的周期为2π，即22πωπ=∴4=ω 故)64sin(3)(π+=x x f （3）∵]6)124(4sin[3)124(πππ++⨯=+a a f )2sin(3π+=a a cos 3=∴由已知得：59cos 3=a 即53cos =a∴54)53(1cos 1sin 22±=-±=-±=a a 故a sin 的值为54或54-二、三角函数及其图象试题 1、已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．2．已知函数()())2,0,0(sin πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示.(Ⅰ)求函数()x f 的解析式; (Ⅱ)求函数())44cos(2ππ++=x x f y ])32,6[(--∈x 的最大值和最小值.3、已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．4、已知函数.20,0,),3sin()(πϕϕπ<<>∈+=A R x x A x f ，y=f(x)的部分图像如图所示，点是该图象上的一点，P,Q 分别为该图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 =1.(1) 求ϕ和A 的值；(2)若，求的値.5、已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。
第四章三角函数与解三角形一．基础题组1. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（江西卷）文科】若 sina3 ，则 cosa （ ）23A ． 2B． 1C．1D．23 333[答案]C[分析]cos1 2sin 21 2 ( 3 )2 1 . 选C.23 3[ 考点定位 ] 本题主要观察三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题.2.【 2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国文科】已知 a 是第二象限角， sin a5 , 则 cosa （ ）125（C ）5（D ）1213（ A ）（ B ）13131313【答案】 A【分析】∵ a 是第二象限角，∴cos1 sin 21(5)212 .应选 A.1313【考点定位】三角求值3. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）文科】已知 sin(5)1，那么 cos（）211 2 25A ．B ．C ．555D ．5【答案】 C【分析】 sin(5) sin(2 +) sincos1，选 C.2225【考点定位】三角函数引诱公式.4. 【 2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国文科】 若函数y sinx0 的部分图像如图，则= （）（A ） 5（B ） 4 （C ） 3（D ） 2【答案】 Bx 0x 0 T2.∴4 .应选 B.【分析】∵由题中图像可知4. ∴ T. ∴222【考点定位】三角函数的图像与分析式.5. 【2013年一般高等学校招生全国一致考试（四川卷）文科】函数2f ( x )2 s i n (x)(0, 的部)分图象如下图， 则 ,的值分22别是（）O（A ） 2,3（B ） 2,-26（C ） 4,6（D ） 4,3【答案】 A11π 125π 12【分析】由图知，周期T 知足1T11 5 ，∴ T ，又0 ，∴2 ，故 f (x)2sin(2 x ) ，212 12图象的最高点为5 , 2 ，于是由“五点法”作图，知25，解得 ，选 A.121223【易错点】注意求初相 的值时，图象的最高点坐标与五个重点点坐标的对应关系最简单代错！【考点定位】 本题观察正弦型函数 f (x) Asin( x) 的图象与性质， 难点是确立初相的值，重点是理解“五点法”作图 .6. 【 2013 年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知 sin2α=错误！未找到引用源。
第20练 解三角形问题题型一题型一 活用正、余弦定理求解三角形问题活用正、余弦定理求解三角形问题例1 (1)(2013·辽宁改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝________.(2)在△ABC 中，acos A ＝bcos B ，则△ABC 的形状为________． 破题切入点破题切入点 (1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B 的值，再结合a>b 的条件即可判断得出结果．的条件即可判断得出结果． (2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可．角的形式，再转化判断即可．答案答案 (1)π6 (2)等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形解析解析 (1)由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.(2)方法一方法一 因为acos A ＝bcos B ，所以由余弦定理，得a×b2＋c2－a22bc ＝b×a2＋c2－b22ac ，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0.所以a2＋b2＝c2或a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．为等腰三角形或直角三角形． 方法二方法二 因为acos A ＝bcos B ，由正弦定理，得sin Acos A ＝sin Bcos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B.又A ，B 为△ABC 的内角，的内角， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．为等腰三角形或直角三角形．题型二题型二 正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧例2 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；的长；(2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 破题切入点破题切入点 (1)在△ABC 中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB 的长；的长； (2)设出在乙出发t min 后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果；后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在△ABC 中，利用正弦定理求得BC 的长，再分别计算出甲、乙到达C 点的时间，然后由甲、乙在C 处相互等待不超过3 min 为条件列出不等式计算即可求得．为条件列出不等式计算即可求得． 解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C ＝ACsin B ，得，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213 ＝200(37t2－70t ＋50)， 由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BCsin A ＝ACsin B ， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v≤≤v≤62562514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．范围内．题型三题型三 解三角形中相关交汇性问题解三角形中相关交汇性问题例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B)与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．的范围．破题切入点破题切入点 (1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin A ＋sin C 化为sin(A ＋π3)，并求出sin(A ＋π3)的取值范围，再根据正弦定理，求出a ＋c 的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出a ＋c 的范围． 解 (1)因为m ＝(sin B,1－cos B)，n ＝(2,0)，所以m·m·nn ＝2sin B. 又|m|＝sin2B ＋(1－cos B ) 2 ＝sin2B ＋cos2B －2cos B ＋1 ＝2(1－cos B )＝ 4sin2B2＝2|sin B2|，因为0<B<π，0<B 2<π2，所以sin B 2>0，因为|m|＝2sin B2.而|n|＝2，所以cos θ＝m·m·n n|m|·|m|·|n||n|＝2sin B 4sin B 2 ＝4sin B 2cos B 24sin B 2＝cos B2， 即cos B 2＝12.由0<B<π，得B 2＝π3，所以B ＝2π3.(2)方法一方法一 由B ＝2π3，得A ＋C ＝π3.所以sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(π3－A) ＝sin A ＋(sin π3cos A －cos π3sin A)＝12sin A ＋32cos A ＝sin(A ＋π3)． 又0<A<π3，所以π3<A ＋π3<2π3.所以32<sin(A ＋π3)≤1.所以sin A ＋sin C ∈(32，1]． 由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝3sin 2π3＝2，所以a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2(sin A ＋sin C)． 所以a ＋c ∈(3，2]．方法二方法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos2π3＝(a ＋c)2－2ac ＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a ＋c)2－(a ＋c2)2 ＝3(a ＋c )24， 当且仅当a ＝c 时，取等号．时，取等号． 所以(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，所以3<a ＋c≤2， 即a ＋c ∈(3，2]．总结提高总结提高 (1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．1．(2013·陕西改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为________三角形．三角形． 答案答案 直角直角 解析解析 由bcos C ＋ccos B ＝asin A ，得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin2A ，即sin(B ＋C)＝sin2A ，所以sin A ＝1，由0<A<π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．为直角三角形．2．(2014·课标全国Ⅱ改编)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________. 答案答案 5解析解析 ∵S ＝12AB·AB·BCsin B BCsin B ＝12×1×2sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·2AB·BCcos BBCcos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·2AB·BCcos BBCcos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.3．(2014·江西改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案答案 332解析解析 ∵c2＝(a －b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcos π3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 答案答案 31010解析解析设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322，∴AD ＝322－2＝22，AC ＝92＋12＝5， ∴sin ∠BAC ＝sin(π－∠BAC)＝3225＝31010. 5．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．答案答案 43解析解析 ∵a2＋b2＋2ab －c2＝4，cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12， ∴4－2ab 2ab ＝12，∴ab ＝43. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为________． 答案答案1574解析解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x. 在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD·BD·AC AC ＝1574.7．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，C ＝π3，c ＝3，则a ＋23cos A sin B 的值为________．答案答案 4解析解析 由正弦定理，得a sin A ＝csin C ⇒a ＝2sin A. 所以a ＋23cos A sin B ＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4sin (A ＋π3)sin B＝4.8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A －C)＝sin B ，则△ABC 的面积为________． 答案答案 3 解析解析 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C)， ∴2sin Acos A ＝sin(A ＋C)－sin(A －C)， ∴2sin Acos A ＝2cos Asin C.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A≠0，∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝π3， ∴S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b2＋c2的取值范围为________． 答案答案 (3,6]解析解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2， b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b2＋c2＝4(sin2B ＋sin2C) ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C) ＝4－2cos 2B －2cos 2(2π3－B) ＝4＋3sin 2B －cos 2B＝4＋2sin(2B －π6)． 又0<B<2π3，所以－π6<2B －π6<7π6.所以－1<2sin(2B －π6)≤2.所以3<b2＋c2≤6.10．(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案答案 3解析解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2， 又(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C 可化为(a ＋b)(a －b)＝(c －b)·b)·cc ， ∴a2－b2＝c2－bc ，∴b2＋c2－a2＝bc. ∴b2＋c2－a22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°60°.. ∵△ABC 中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·2bc·cos 60°cos 60° ＝b2＋c2－bc≥2bc －bc ＝bc(当且仅当b ＝c 时取“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc·sin A≤12×4×32＝ 3.11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．地捕鱼的中国渔民．此时，此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D. 因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里，海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形．是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)．在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD×tan 60°＝52×3＝56(海里)．所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)海里．海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，海里的速度航行， 某国军舰正以每小时13海里的速度航行，海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间点所用的时间t1＝AC30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)． 因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．所以中国海监船能及时赶到．12．在△ABC 中，角A 为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(cos A ，sin A)，n ＝(cos A ，－sin A)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求m·m·n n 的值及角A 的大小；的大小； (2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S. 解 (1)因为|m|＝cos2A ＋sin2A ＝1， |n|＝cos2A ＋(－sin A )2＝1，所以m·m·nn ＝|m|·|m|·|n|·|n|·|n|·cos cos π3＝12. 因为m·m·n n ＝cos2A －sin2A ＝cos 2A ， 所以cos 2A ＝12.因为0<A<π2，0<2A<π，所以2A ＝π3，A ＝π6.(2)因为a ＝7，c ＝3，A ＝π6， 及a2＝b2＋c2－2bccos A ， 所以7＝b2＋3－3b ， 即b2－3b －4＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4.所以S ＝12bcsin A ＝12×4×3×sin π6＝ 3.。
2013年全国各省市文科数学—平面向量1、2013大纲文T3.已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-12、2013辽宁文T3.已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3、2013福建文T10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．104、2013广东文T10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量 a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+ a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+ a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+ a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+ a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 5、2013陕西文T2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (D) 06、2013湖南文T8.已知a,b 是单位向量，a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为1127、2013湖北文T7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ．D ．8、2013新课标文T13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____。
专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的一个增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8B.⎝⎛⎭⎪⎫7π8，9π8C.⎝⎛⎭⎪⎫5π8，7π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8，－3π8解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的增区间即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C. 答案 C2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0 D ．(0,0)解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0是其一个对称中心，故选C.答案 C3．已知函数f (x )＝a sin x ＋a cos x (a <0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－2 2 C ．－ 2D ．－4解析 f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，π]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，由于a <0，故2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2a ，－a ]，即f (x )的最大值为－a ，∴－a ＝4，即a ＝－4.故选D.答案 D4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x －21π22＋1B ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫1112x ＋21π22－12D ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12解析 图象平移之前与平移之后的A ，ω，k 都是相同的，由平移之后的图象可知2A ＝3，∴A ＝32，k ＝12；T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋φ1＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2k π＋5π22，k ∈Z ，取k ＝0，则φ1＝5π22，故g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12.将其图象向左平移2π3个单位，得f (x )的解析式为f (x )＝32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1211⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋5π22＋12，即f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12.故选B.答案 B5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析 由正弦定理，得sin B ＝143×42×32＝22，∴B ＝45°或135°，又a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.故选C.答案 C6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．故选B. 答案 B7．在△ABC 中，若角A ，B ，C 成公差大于0的等差数列，则cos 2A ＋cos 2C 的最大值为( ) A.12 B.32 C ．2D ．不存在解析 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋12[cos(240°－2C )＋cos2C ]＝1＋12cos(2C ＋60°)．∵60°<C <120°，∴180°<2C ＋60°<300°，∴12<1＋12cos(2C ＋60°)<54，即cos 2A ＋cos 2C 的最大值不存在，故选D. 答案 D8．关于x 的方程cos2x ＋sin2x ＝2k 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个不同的实数解，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，22 解析 由cos2x ＋sin2x ＝2k ，得k ＝12(cos2x ＋sin2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4， ∴－12<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22.数形结合可知，当12<k <22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案 A9．(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析 选项A 错，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则有a 与b 方向相反，且有|a |≥|b |；由此可得选项B 中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D 中，若λ>0则a ，b 同向，故错误．答案 C10．(2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析 在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则c ＝2，b ＝3，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠B )＝－ac cos B ＝1，得a cos B ＝－12.由余弦定理得：a cos B ＝a ×a 2＋22－322×a ×2＝a 2－52×2＝－12，解得a ＝BC ＝ 3.答案 A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析 因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则可知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b .也可直接等式两边平方化简得a ·b ＝0，从而a ⊥b .答案 B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ·β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析 解法一：b ○a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ，因θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，又|a |≥|b |>0，所以b ○a <1，又b ○a ∈{n 2|n ∈Z }，故b ○a ＝12，|b ||a |cos θ＝12，|b ||a |＝12cos θ，a ○b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ，又因cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以a ○b ∈(1,2)，又a ○b ∈{n 2|n ∈Z }，所以a ○b ＝32.解法二(特殊值法)：取|a |＝3，|b |＝1，θ＝π6，则a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝32，b ·a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝12，都在{n2|n ∈Z }中． 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，cos C ＝12BC AC ＝32，∴C ＝30°，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝ACsin ∠ADC·sin C ＝222·12＝ 2. 答案 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析 设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos120°，化简得a 2－2a －24＝0，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin120°＝15 3.答案 15 315．(2011·课标)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析 由正弦定理，ABsin C ＝BC sin A ＝332＝2， 得AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，则AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(180°－60°－A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，其中tan φ＝35(φ为锐角)，故当A ＋φ＝π2时，AB ＋2BC 取最大值27. 答案 2716．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.得AC ＝ 6. 答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ) 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14解得a ＝1，从而c ＝2又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值；(2)cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54ac ＝14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2，即π2<C <π，由sin C ＝34，得cos C ＝－74， 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 22．(本小题满分14分)(2012·黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A ，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得A ，B ，C 的仰角分别为α，β，γ，ED ＝a .(1)求：BD 间的距离及CD 间的距离； (2)求证：在A 处攀岩者距地面的距离h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ.解 (1)根据题意得∠CED ＝γ，∠BED ＝β，∠AED ＝α. 在直角三角形CED 中， tan γ＝CD DE，CD ＝a tan γ， 在直角三角形BED 中，tan β＝BD DE，BD ＝a tan β. (2)证明：易得AE ＝hsin α，BE ＝acos β，在△ABE 中，∠AEB ＝α－β，∠EAB ＝π－(α＋θ)， 正弦定理BE sin ∠EAB ＝AEsin ∠ABE ，代入整理：h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ。
