三角函数及平面向量测试题

倒数第8天 三角函数、平面向量[保温特训]（时间：45分钟）1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )．A ．－53B ．－19C.19D.53解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度解析 注意到把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B.答案 B3．已知向量a 与b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|a ＋3b |等于( )． A.7B.10C.13D ．13解析 |a ＋3b |2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝10＋6×1×1×cos π3＝13.∴|a ＋3b |＝13. 答案 C4．函数y ＝sin x ＋cos x 的最大值和最小正周期分别是 ( )．A.2，π B ．2，π C.2，2πD ．2，2π解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故y max ＝2，最小正周期为T ＝2π.答案 C5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )．A ．(－3，－5)B ．(3，5)C ．(2，4)D ．(－2，－4)解析 BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，BD →＝BC →－AB →＝(－3，－5)． 答案 A6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )．A ．2，0B ．2，π4 C ．2，－π3 D ．2，π6解析 由图可知，A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6.答案 D7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形解析 根据余弦定理，得c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·()PB→＋PC →等于( )． A.49 B.43 C ．－43 D ．－49解析 由AP→＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →＝2AP →·PM →＝2|AP →|·|PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49. 答案 A9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 根据正弦定理，得c ＝23b ，又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－（a 2－b 2）2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°. 答案 A10．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos θ，向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ，13，且a ∥b ，则锐角θ为( )．A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°解析 ∵a ∥b ，∴32×13－cos θsin θ＝0，∴sin 2θ＝1，又θ为锐角， ∴θ＝45°. 答案 D11．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π]，则θ的值为________．解析 由题意可知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos3π4在第四象限，且点P 落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝7π4. 答案7π412．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________． 解析 λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λa ＋b )·a ＝(λ＋4，－3λ－2)·(1，－3)＝(λ＋4)－3(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，得λ＝－1. 答案 －113．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14()b 2＋c 2－a 2，若a ＝10，则bc 的最大值是________．解析 S ＝12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理，得sin A ＝cos A ，故A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，故bc ≤1002－2＝100＋50 2.答案 100＋50 214．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝________． 解析 sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ－1tan 2 θ＋1＝9＋2×3－19＋1＝1410＝75.答案 7515．已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6，16]上的最大值为4，求a 的值．解 (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a ＝2sin ωx －2(1－cos ωx )＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ，∴2ω＋π4＝π2，得ω＝π8，∴f (x )的最小正周期T ＝2πω＝16.(2)由(1)可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ，∵x ∈[6，16]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4，∴当π8x ＋π4＝9π4，即x ＝16时，f (x )最大， 由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2.[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x 的系数的正负，最好经过变形使x 的系数为正．3．求y ＝sin ωx 的周期一定要注意ω的正负． 4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？ 5．由y ＝sin x ―→y ＝A sin(ωx ＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)． 7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 8．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . 9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R .10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？ 11．a ＝0，则a ·b ＝0，但由a ·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b ，a ·b ＝0.12．由a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．。

三角函数、平面向量、解三角形大题：第一方面：向量大题例1：已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值.解：（1）因为()()cos 3,sin ,cos ,sin 3AC BC αααα=-=-u u u r u u u r由AC BC =u u u r u u u r 得()()2222cos 3sin cos sin 3αααα-+=+- 整理得sin cos αα= ，所以tan 1α=因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ ，所以54πα= （2）因为1,AC BC •=-u u u r u u u r 所以()()cos cos 3sin sin 31αααα-+-=- 即2sin cos 3αα+= ，所以()24sin cos 9αα+= ，得52sin cos 9αα=- ，所以()()22sin sin cos 2sin sin 252sin cos sin cos 1tan 9cos ααααααααααα++===-++.第二方面：三角函数大题例2.1：已知53)4cos(=+πx ，且471217ππ<<x ，求：① x x sin cos + 的值；②x xx tan 1sin 22sin 2-+的值。

解：（1）Θ471217ππ<<x ，πππ2435<+<∴x由53)4cos(=+πx 得54)4sin(-=+πx 所以524)4sin(2sin cos -=+=+πx x x（2）由524sin cos -=+x x 得2532)524()sin (cos 22=-=+x x 即2572sin ,25322sin 1=∴=+x x )4cos()4sin(2sin sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22ππ++⋅=-+=-+=-+x x x x x x x x x xx x x x x x x 由（1）知54)4sin(-=+πx ，53)4cos(=+πx 所以x xx tan 1sin 22sin 2-+=)4cos()4sin(2sin ππ++⋅x x x =752853)54(257-=-⨯ 小结：本试题主要是考查了两角和差公式的运用，和二倍角公式的综合运用。

周考卷一.选择题 （每小题3分，共48分）1. 与-4630角终边相同的角为 （ ） A ． K ∙ 3600+4630， K ∈Z B. K ∙ 3600+1030， K ∈Z C . K ∙ 3600+2570， K ∈Z D. K ∙ 3600-2570， K ∈Z2. sin(-631π)的值是 （ ）A.21 B. - 21 C. 23 D. - 23 3. 下列函数中属于奇函数 （ ）A.y = sinx + 1B. y = cos(x +2π) C. y = sin(x - 2π) D. y = cosx - 1 4. 函数y = 2sin (2x +6π)的一条对称轴是 （ ）A. x =3π B. x = 6π C. x = 2π D. x = 4π5. 函数y = 2sin (32π-x )的单调递增区间是 （ ）A. [1252,122ππππ--k k ] （k ∈Z ）B. [12,127ππππ--k k ] （k ∈Z ） C . [122,1272ππππ--k k ] （k ∈Z ） D. [125,12ππππ+-k k ] （k ∈Z ） 6.当α为第二象限角时，ααααcos cos sin sin -的值是 （ ）A. 1B. 0C. 2D. -27.已知sin αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 （ ）A.25 B. -25 C. ±25 D. 238.已知角α的终边经过点(,9)m ，且3tan 4α=，则sin α的值 （ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-9．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位10．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.2311．下列命题正确的是（ ）A ．向量与是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若=,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同12．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等13. 已知a = b =,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 （ ） A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 14. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 15．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于（ ） A ．3 B ．－3 C ．0 D ．216．已知a 3= ，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于 （ ）A ．34±B ．43± C ．53±D ．54±二 .填空题 （每小题4分，共16分）17.已知 tan α=2,则sin 2α+sin αcos α= 18． 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R)有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于(－6π，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－6π对称；其中正确的序号为 。

约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值一、填空题（共10小题）1. 已知 cosθ=−513，θ 为第二象限角，则 tanθ= ．2. 若 tanα=2，则 sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α= ．3. 求值：(tan3∘+1)(tan42∘+1)= ．4. 计算：cos 2π8−sin 2π8= ．5. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是 ．6. 已知 sin (x +π6)=14，则 sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)= ．7. 若 tanα=34，则 cos 2α+2sin2α= ．8. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．9. 若将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ．10. 若 tanα=12，tan (α−β)=−13，则 tan (β−2α)= ．二、解答题（共6小题）11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (x 1,y 1) 在单位圆 O 上，∠xOA =α，且 α∈(π6,π2)．（1）若 cos (α+π3)=−1113，求 x 1 的值；（2）若 B (x 2,y 2) 也是单位圆 O 上的点，且 ∠AOB =π3，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C ，D ，记 △AOC 的面积为 S 1，△BOD 的面积为 S 2．设 f (α)=S 1+S 2，求函数 f (α) 的最大值．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P (x 1,y 1)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 π2 后与单位圆交于点 Q (x 2,y 2)，记 f (α)=y 1+y 2．（1）求函数f(α)的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=√2，且a=√2，c=1，求b的值．13. 已知α为锐角，cos(α+π4)=√55.（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin(2α+π3)的值14. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是−2，其图象经过点M(π3,1)．（1）求f(x)的解析式；（2）已知α,β∈(0,π2)，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α−β)的值．15. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)−√3sin(2x−π6)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16. 已知函数f(x)=12sin2x−√3cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求g(x)的值域．答案1. −1252. 1653. 24. √225. 1−√2【解析】函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 可整理为： f (x )=√2sin(2x +π4)+1 ． 6. 916【解析】sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+sin [π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+cos 2(x +π6)=1916.7. 6425【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=6425. 8. x =π6,5π6【解析】3sinx =2−2sin 2x ，即 2sin 2x +3sinx −2=0．所以 (2sinx −1)(sinx +2)=0，所以 sinx =12，所以 x =π6,5π6．9. π6 【解析】方法一：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．因为函数 y =2sinx 的图象至少向左平移 π2 个单位长度后可得到关于 y 轴对称的图象，所以 m +π3 的最小值是 π2，故 m 的最小值是 π6． 方法二：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．令 x +m +π3=π2+kπ(k ∈Z )，得函数图象的对称轴方程为 x =−m +π6+kπ(k ∈Z )．因为图象关于 y 轴对称，所以令 x =−m +π6+kπ=0，得 m =π6+kπ(k ∈Z )．又因为 m >0，所以 m 的最小值是 π6．10. −17【解析】由题意知tan(β−2α)=tan[(β−α)−α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)⋅tanα=13−12 1+13×12=−17.11. （1）126．（2）√34．12. （1）(1,√2]（2）113. （1）因为α∈(0,π2)，所以α+π4∈(π4,3π4)，所以sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=2√55，所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2．（2）因为sin(2α+π2)=sin[2(α+π4)]=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√55×√55=45,cos(2α+π2)=cos[2(α+π4)]=2cos2(α+π4)−1=−35,所以sin(2α+π3)=sin[(2α+π2)−π6]=sin(2α+π2)cosπ6−cos(2α+π2)sinπ6 =45×√32−(−35)×12=4√3+310.14. （1）f(x)=2cosx．（2）12665．15. （1）由题意知，f(x)=sin(2x+π3)+√3cos(2x+π3)=2sin(2x+2π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，解得x∈[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z．（2）因为x∈[−π6,π3 ]，所以π3≤2x+2π3≤4π3．当2x+2π3=π2，即x=−π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值−√3．16. （1）最小正周期为π，最小值为−2+√32．（2）[1−√32,2−√32]．。

单元检测卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝(12)x ，x ∈R[解析] B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；D 在其定义域内不是奇函数，只是减函数；故选A.[答案] A3．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )[解析] 因为(a ·b )·c ＝|a |·|b |cos θ·c ，而a ·(b ·c )＝|b |·|c |cos θ·a ； 而c 方向与a 方向不一定同向． [答案] D4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5[解析] 因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )；当x ＞1时，2－x ＜1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5.[答案] B5．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β[答案] D6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D7．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为( )A. 3B ．23C ．3 3D ．6[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝3，圆心(2,2)到直线x ＋y －9＝0的距离|2＋2－9|2＝552＞3，故直线x ＋y －9＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0相离，∴圆x 2＋y 2－4x －4y ＋5＝0上的点到直线x ＋y －9＝0的最大距离与最小距离的差为直径．[答案] B8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[解析] P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PM →＝－2|P A →|·|PM →|＝－2×23×13＝－49.[答案] A9．函数y ＝sin(2x －π4)的图象向左平移π8个单位，所得的图形对应的函数是( )A ．偶函数，但不是奇函数B ．奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数[解析] y ＝sin(2x －π4)――→左移π8y ＝sin[2(x ＋π8)－π4]＝sin2x . ∴函数为奇函数，故选B.10．设a ，b ，c 均为正数，且122a log a ＝，1212()b log b ＝，2(2)1c log b ＝，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c[解析] 如下图：∴a ＜b ＜c . [答案] A11．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5[解析] 点P 关于y 轴的对称点P ′坐标是(－2,0)，设点P 关于直线AB ：x ＋y －4＝0的对称点P ″(a ，b )∴⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×(－1)＝－1a ＋22＋b ＋02－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2∴光线所经过的路程|P ′P ″|＝210. [答案] A12．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B. [答案] B二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16分)13．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝8，则该四棱锥的体积是________．14．直线l 经过P (1,2)，且与A (2,3)、B (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为________． [解析] (1)当A 、B 两点在直线l 的同侧时，直线l 平行于直线AB 故直线l 的方程是y －2＝k AB (x －1)，即4x ＋y －6＝0(2)当A 、B 两点在直线l 的异侧时，直线l 过AB 的中点(3，－1) 故直线l 的方程是y －2－1－2＝x －13－1，即3x ＋2y －7＝0.15．cos π5cos 2π5的值是________．[解析] 原式＝2sin π5cos π5·cos 2π52sin π5＝sin 2π5·cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.[答案] 1416．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b在a 方向上的投影等于________．[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos ＜a ，b ＞ ＝4|b |cos45°＝22|b |，又(12a ＋b )·(2a －3b )＝|a |2＋12a ·b －3|b |2 ＝16＋2|b |－3|b |2＝12， 解得|b |＝2或|b |＝－232(舍去)． b 在a 上的投影为|b |cos ＜a ，b ＞＝2cos45°＝1. [答案] 2 1三、解答题(共6小题，满分74分)17．(本小题满分12分)设不等式2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x8)的最大、最小值．[解] ∵2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0，∴(2log 12x ＋3)(log 12x ＋3)≤0.∴－3≤log 12x ≤－32.即log 12(12)－3≤log 12x ≤log 12(12)－32∴(12)－32≤x ≤(12)－3，即22≤x ≤8. 从而M ＝[22，8]．又f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －3)＝log 22x －4log 2x ＋3 ＝(log 2x －2)2－1. ∵22≤x ≤8， ∴32≤log 2x ≤3. ∴当log 2x ＝2，即x ＝4时y min ＝－1； 当log 2x ＝3，即x ＝8时，y max ＝0.18．(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .[证明] (1)方法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1. 连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C .又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1.方法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.(2)连接AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ，又F 为AB 的中点，所以AF ＝FC ＝FB ，因此∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ，而AC ⊂平面D 1AC ，故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .19．(2009·湖南，16)(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值． [解] (1)∵a ∥b∴2sin θ＝cos θ－2sin θ即4sin θ＝cos θ ∴tan θ＝14(2)由|a |＝|b |∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5即1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5化简得sin2θ＋cos2θ＝－1 故有sin(2θ＋π4)＝－22又∵θ∈(0，π)∴2θ＋π4∈(π4，94π)∴2θ＋π4＝54π或2θ＝π4＝74π∴θ＝π2或θ＝34π.20．(本小题满分14分)如图，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．(1)[证明] ∵点E 为AC 的中点，且AB ＝BC ，AC 为直径，∴EB ⊥AC ， ∵FC ⊥平面BED ，且BE ⊂平面BED ，∴FC ⊥EB .∵FC∩AC＝C，∴EB⊥平面BDF，∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD.(2)[解]∵FC⊥平面BED，且BD⊂平面BED，∴FC⊥BD.又∵BC＝DC，∴FD＝FB＝5a.∴V E－FBD＝13·S△FBD·EB＝13·12·2a·5a2－a2·a＝2a33.∵EB⊥平面BDF，且FB⊂平面BDF，∴EF＝FB2＋EB2＝a2＋5a2＝6a.∵EB⊥BD，∴ED＝EB2＋BD2＝a2＋4a2＝5a，∴S△FED＝12·6a·(5a)2－(62a)2＝212a2，∴点B到平面FED的距离d＝V E－FBD1 3·S△FED ＝42121a.17．(本小题满分14分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．[解]圆C化成标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M 的坐标为(a，b)．∵CM ⊥l ，即k CM ·k l ＝b ＋2a －1×1＝－1∴b ＝－a －1∴直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y －2a －1＝0 ∴|CM |2＝(|1＋2－2a －1|2)2＝2(1－a )2 ∴|MB |2＝|CB |2－|CM |2 ＝－2a 2＋4a ＋7 ∵|MB |＝|OM |∴－2a 2＋4a ＋7＝a 2＋b 2，得a ＝－1或32，b ＝2当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0 故这样的直线l 是存在的，方程为x －y ＋4＝0或x －y ＋1＝0.22．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,N 是PB 中点,过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M . （Ⅰ)求证:PD ∥平面ANC ; （Ⅱ)求证:M 是PC 中点;（Ⅲ)若PD ⊥底面ABCD ,PA AB =,BC BD ⊥， 证明:平面PBC ⊥平面ADMN ．证明：（Ⅰ）连结，，设，连结是平行四边形∴是中点，在中,又是中点∴…………………………………………………3分又平面,平面∴平面……………………………………4分底面为平行四边形, 平面，平面平面………………………………………6分因平面平面∴…………………………………………7分又是中点 ∴是中点…………………………………………………………8分 （Ⅲ），是中点∴………………………………………9分BD AC O AC BD = NO ABCD O BD PBD ∆N PB NO PD //NO ⊂ANC PD ⊄ANC //PD ANC ABCD //AD BC ∴ BC ⊄ADMN AD ⊂ADMN ∴//BC ADMN PBC ADMN MN =//BC MN N PB M PC PA AB =N PB PB AN ⊥,∴ 底面,底面, ，∴面∴………………………………………………………………………………11分 面面∴平面⊥平面…………………………………………12分,//BC BD AD BC ⊥AD BD ⊥ PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ∴⊥PD BD D = AD ⊥PBD PB AD ⊥ AD AN A ⋂=∴PB ⊥ADMN PB ⊂PBC PBC ADMN。