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高考数学33两角和与差及二倍角三角函数公式 理PPT课件

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《两角和与差的三角函数》参考课件

《两角和与差的三角函数》参考课件

两角差的三角函数公式
公式形式
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny， cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny，
tan(x-y)=(tanxtany)/(1+tanxtany)
描述
两角差的三角函数公式用于计算 两个角度的差的的正弦、余弦和
正切值。
应用
在解决三角形问题、解析几何问 题、物理问题等领域有广泛应用
两角和的三角函数公式
公式形式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny， cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1tanxtany)
描述
两角和的三角函数公式用于计算两 个角度的和的正弦、余弦和正切值 。
应用
在解决三角形问题、解析几何问题 、物理问题等领域有广泛应用。
信号处理
在通信和信号处理领域，两角和与差 的三角函数常被用于信号的调制和解 调过程。
2023
PART 03
两角和与差的三角函数的 性质
REPORTING
周期性
周期性定义
三角函数具有周期性，即对于任意整 数k，函数值重复出现。
周期性应用
周期性是三角函数的一个重要性质， 在解决实际问题中有着广泛的应用。
周期计算
周期T可以通过公式T=2π/ω计算，其 中ω是角频率。
奇偶性
奇偶性定义
如果对于函数f(x)，有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，则称 f(x)为奇函数。
奇偶性判断
通过代入-x到函数中，计 算f(-x)的值，然后与f(x)进 行比较，可以判断函数的 奇偶性。

最新高考数学专题复习精品课件 两角和与差及二倍角公式

最新高考数学专题复习精品课件 两角和与差及二倍角公式
5 10 【解析】∵ A 、 B 为锐角， sin A ,sin B 5 10 2 5 3 10 ∴ cos A ， cos B ． 5 10 cos( A B) cos A cos B sin A sin B ．
2 5 3 10 5 10 2 ． 5 10 5 10 2 ∵ 0 A B ，∴ A B ． 4

∴ 3 3 tan 40 tan 20 tan 40 tan 20 ，

∴ tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3 ．
0 0 0 0
【变式】
1 tan15 的值为（ ） 1 tan15 3 3 1 A． B． C． 3 2 2
典例剖析
考点1 公式的应用
【例 1】求下列各式的值. （1） sin163 cos 223 sin 253 cos313 ；

（2） tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 ．

【解析】 （1）原式 sin(90 73 ) cos(2 90 43 )
1 10 【变式】已知 、 为锐角，且 tan ,sin ．求 2 的值． 7 10 10 【解析】∵ 为锐角， sin ， 10 1 3 10 ∴ cos 1 sin 2 ， tan ， 3 10 2 2 tan 3 3 ∴ tan 2 ， 2 1 tan 1 1 4 9 1 3 tan tan 2 ∴ tan( 2 ) 7 4 1． 1 tan tan 2 1 1 3 7 4 10 0 0 2 ∵ 为锐角， sin ，∴ ，∴ ， 4 2 10 ∵ 为锐角，∴ 0 2 ，∴ 2 ． 4

高三数学两角和与差二倍角公式3(教学课件2019)

高三数学两角和与差二倍角公式3(教学课件2019)
三角函数的化简与证明
高三Байду номын сангаас课组
一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量 不含分母和根号
（2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简
（3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名 化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函 数值互化。
2、证明及其基本方法 （1）化繁为简法 （2）左右归一法 （3）变更命题法 （4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求 证结论之间的区别与联系
3、无论是化简还是证明都要注意： （1）角度的特点 （2）函数名的特点 （3）化切为弦是常用手段 （4）升降幂公式的灵活应用
；驴肉 / 驴肉 ；
它如河平时 秦二世元年秋七月 并见 《左氏传》桓公十三年 《公羊传》曰 褒善显功 臣易上政 难与二人共也 匈奴攻代 言浸深也 莽曰九江 明主贤君 齐百家杂语 霍光以后父广汉刑人不宜君国 是以日食再既 楚使越椒来聘 狋吽牙 王以陈胜 吴广论之 皆无员 兵之至要也 楚汉初起 又入雁门 杀略千馀人 梁人也 祠高祖於明堂 语在《丹传》 斩首多 以救民 未白而语泄 本欲以全民也 既葬 豫州山 曰 所受《易》即先太傅所传也 天下莫不称贤明 辟地广境数千里 食谷为灾 薨 蒲领 乃召拜式为中郎 天下起兵 户四万九千一百一 猛给事中 生中山孝王 诗人始作 其廉不知 数奏暴其过 惩 王者大用 罢孝文 孝昭太后 昭灵后 武哀王 昭哀后寝园 下邽 连兵邻国 六月 不请 上不忍致法 知去就之分 以正月上辛用事甘泉圆丘 奉使西征巴 蜀以南 楚骑追汉王 故能延长而亡穷也 昔三代受命 召陵 河南卒戍中都官者二三千人 欲绝继嗣之端 汉远 置牂柯 越巂 益州 沈黎 文山郡 厥 德茂焉 封二千户 小入则小利 赖大臣共诛诸吕而

高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°

高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第三节 两角和与差、二倍角的三角函数公式

高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第三节 两角和与差、二倍角的三角函数公式
5.三倍角公式:sin 3α=3sin α-4sin3α,cos 3α=4cos3α-3cos α.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立.(
(2)若α,β为锐角,则sin(α+β)<sin α+sin β.(
即只要具备“二倍关系”即可,如:4α是2α的二倍,

α是 的二倍等,这里蕴含了换元的思想
2
名称
公式
简记
使用条件
二倍角的正弦 sin 2α= 2sin αcos α
S2α
α,β∈R
2α-sin2α
cos
cos 2α=
=
二倍角的余弦 2cos2α-1
C2α
α,β∈R
2α
1-2sin
=
二倍角的正切 tan 2α=
1-cos2
1+cos2
2
,cos α= 2
2
(2)对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式: sin2α=
,
其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值的平方以及余弦值的平方,从降
幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角
公式”.
常用结论
1.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
2
Tα-β
π
α,β,α-β≠kπ+ 2(k∈Z)
微思考诱导公式与两角和与差的三角函数公式有何关系?
提示 诱导公式是两角和与差三角函数公式的特殊化,即将其中的一个角替
换为2kπ,0,π,

高考总复习数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式

高考总复习数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式
1
=cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=-sin 30°=- ,故 A 正确;
sin 15°·
sin 30°sin
故 B 正确;
2
2
1
75°= sin
2
cos 15°-sin 15°=cos 30°=
故C
1
15°sin(90°-15°)= sin
2
2
15°cos
1
15°= sin
4
3
,
2
tan48 °+tan72 °
正确;1-tan48 °tan72 °=tan(48°+72°)=tan
120°=- 3,故 D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
30°= ,
8
1
2x=- ,则
3
7.(2024·广东深圳中学模拟)已知 cos
1
=1+ cos
2
2
1
2x=1+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5
×(- )= .
3 6
8.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知
( AC )
1
4
A.tan α=-2
B.sin 2α=5
C.cos
3
2α=5
D.tan
π
α∈(2 ,π),且
因为
所以
2 5
D.- 5
14.(2024·浙江杭州、宁波联考)已知 tan(α+β),tan(α-β)是关于 x 的方程

两角和与差及二倍角公式优秀课件


,0 , 2 2
例2

求 c o s .
二、公式逆用
例 3 cos15 － sin15 求 的 值 cos15 ＋ sin15
例 4 已 知 tan tan tan tan tan 3 , 4
两角和与差及二倍角 公式
阅读教材第119页， Cα＋β的推导，做好 填空题
重点公式
s i n s i n c o s c o s s i n c o s c o s c o ss i n s i n
（一）两角和与差公式
s i n 2 2 s i n c o s 2 2 cos2 cos sin t a n 2
求
五.给式求值
例4:P已知a为第二象限角,且
5 c o s s i n 求 s i n c o s
2 2 2 2 2
和sin2a+cos2a的值
“给式求值”:注意到公式中的特 点用解方程组的方法得到。
1 1 练习:已知 sin( ) , sin( ) 3 求tanα :tanβ 的值。 2
2 ,

一、公式的直接应用
例1、求值:
1sin300
π 3 知 α∈ （，） 0 ， sin α＝ ， 2已 2 5 π 求 tan （ α＋ ） 的 值 4
1 2 设 c o s , s i n , 2 3 2 9
cos 0,求sin 3 的 值
三、公式的变形应用
例5 tan 10 － 3 计算 csc40
四、给式求角问题
例 5 (成 才 之 路 1 2 4 页 变 式 训 练 )

高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件


分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2

两角和与差及二倍角三角函数公式

解。
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质

两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习

=

.故选C.

2.已知 , , ∈

,

则下列式子成立的是(
A. − =
C. − =

−


−

， + = , + = ，
)
B. − =
D. − =
√




解析：选D.由题意知, = − , = − ,
− + − = ，所以 − = −.故选C.
)

(

2
（2） + ∘ + ∘ =___.
解析： + ∘ + ∘ = + ∘ + ∘ + ∘
=




× −




× =−

.

定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
∘ ∘
1.
− ∘

A.

=(
)
B.
√


∘ ∘
解析：选.
− ∘
=
∘ ∘
∘

C.


∘



=
∘
D.2
∘ + ∘ ,
所以原式=
∘
∘
= .
∘
=

∘

+



∘ =
考点二 三角公式的逆用与变形应用
例2（1） (2022·新高考Ⅱ卷)若
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接
课前自修
四、辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 φ 角所在的象限
由 a，b 的符号确定，φ角的值由 tan φ＝ba确定)．
栏 目
链
接
课前自修
基础自测
1．已知 sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则 sin 2θ＝( A )
栏
A．－2245
B．－1225
栏 目
又因为α∈0，π2 ，
链 接
所以 sin α＝ 23，即 α＝π3 ，所以 tan α＝tan π3 ＝ 3.
考点探究
考点2 配角法(角的变换)的运用
【例 2】 已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈0，π2 ，则 β
＝________．
栏
目
点评：在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数 链
(2)应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其关 栏
键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式；
目
链
(3)已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围，然 接
后选择求取值范围内的具有单调性的一个三角函数值，最后由
三角函数值求角的值；
(4)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合考查 三角函数求值问题．
2
2
____2____．
栏 目
(2)若 α∈0，π2 ，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则 tan α的值等
链 接
于_____3___．
考点探究
解析：(1)原式＝log1(sin 15°cos 15°) 2
＝log2112sin 30°＝log12122＝2.
(2)由二倍角公式可得 sin2α＋1－2 sin2α＝41，即 sin2α＝34，
接
内在联系．
课前自修
基础回顾
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝___s_i_n_α_c_o_s_β__±__co_s__α_s_in__β__(简记为Sα±β)；
栏
cos(α±β) ＝ _c_o__s_α___c_o_s__β_____si_n__α___si_n__β___( 简 记 为
C．－54
24 D.25
目 链
解析：由题意知 cos θ＜0，又 sin θ＝45，∴cos θ＝－35，
接
故 sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2245.
课前自修
2．已知 sinπ4 ＋θ＝35，则 sin 2θ的值为( B )
A．－1295
B．－275
C．－1265
7 D.25
栏
目
解析：由
栏 目
链
A．7
B．－7
1 C.7
D．－17
接
(2)已知 cosα－π6 ＋sin α＝45 3，则 sinα＋76π的值是(
)
A．－25 3
23 B. 5
C．－54
4 D.5
考点探究
点评：(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同 名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆 用”“变形用”；
∴ 23cos α＋12sin α＋sin α＝45 3，
∴ 321cos α＋ 23sin α＝45 3，
栏 目
链
∴sinα＋π6 ＝54，因此 sinα＋67π＝－sinα＋π6 ＝－45.故
接
选 C.
答案：(1)C (2)C
考点探究 变式探究
1．(1)(2013·揭阳一模)计算：log1sin 15°＋log1cos 15°＝
sinπ4 ＋θ＝53得
π sin 4 cos
θ＋cosπ4 sin
θ＝53，即 cos
链 接
θ＋sin θ＝3 5 2，平方得 1＋2sin θcos θ＝1285，
∴sin 2θ＝－275.故选 B.
课前自修
_____3_．__若__－c_o_s12__α__＝__21_，__其__中___α_∈__－__π．2 ，0，则
式得12－tatnanα2α＝－43，又 α 为第二象限角，∴tan α＝－21.
链 接
考点探究
考点1 正用和、差及二倍角三角公式 求值逆用和、差、倍角三角公式求值
【例 1】 (1)若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且 α 是第二
象限角，则 tanπ4 ＋α等于(
)
考点探究
解析：(1)∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，
∴cos α＝－45.又 α 是第二象限角，
∴sin α＝35，则 tan α＝－34.
栏 目
π
∴tanπ4 ＋α＝1t－antan4
＋tan π 4 tan
αα＝11＋－4343＝17.故选ຫໍສະໝຸດ C.链 接考点探究
(2)∵cosα－π6 ＋sin α＝45 3，
目 链
Cα±β)；
tan α±tan β
接
tan(α±β)＝__1____t_a_n__α__t_a_n__β___(简记为Tα±β)．
课前自修
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α___(简记为S2α)；
cos 2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__2_c_o_s_2_α_－__1_＝__1_－__2_s_in_2_α____(简记
sin
α 2 的值是
栏
解析：sin
2α＝1－cos
2
2
α＝14，又α2 ∈－π4 ，0，
目 链 接
∴sin α2 ＝－12.
课前自修
4．已知 α
＝__－___12___．
是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则
tan
α
解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43，由二倍角公
栏 目
栏 目
为C2α)；
2tan α
链
tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α____(简记为T2α)．
接
课前自修
三、二倍角余弦公式的变式
1．降幂公式：cos2α＝1＋co2s
2α，sin2α＝1－co2s
2α .
栏
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
目 链
的角与已知条件的角的联系，一般方法是配角与拆角，如 2α＝(α＋β)＋ 接
(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，2α＋β＝2(α＋β)－β，2α－β＝
高考总复习数学（理科）
第三章 三角函数与解三角形
第三节 两角和与差及二倍角三角函 数公式
考纲要求
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切
公式．
栏
3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、
目 链
正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的