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三角函数的诱导公式 课件

三角函数的诱导公式 课件

sincos sin cos
sin cos
sincos
1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，
原式= sin sin［ 2m
2m cos2m 2 ］cos［2m
1
］
sin cos
sincos( )
= sinco=s-1.
sin(cos)
【归纳】三角函数式化简的思路以及含有kπ±α形式的处理 方法. 提示：(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数 转化. (2)含有kπ±α形式的化简时，需对k分是偶数还是奇数来确定 选用的公式.
3
三角函数式的化简问题 【技法点拨】
三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化 为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. (3)注意“1”的应用：1=sin2α+cos2α=tan .
4
【典例训练】
1.化简 sin 540 cos =___________. 2.化简：设kta为n(整 数18，0化) 简：ssiinn［kk1cos［］kcos1k］ .
+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°sin(180°+30°)
-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°
= 2 3 3 1 1 . 6 3 4
3.在下列各式中: ①sin(α+π)=-sinα, ②cos(-α+β)=-cos(α-β), ③sin(-α-2π)=-sinα, ④cos(-α-β)=cos(α+β). 正确的序号是_________. 【解析】对于②式,cos(-α+β)=cos［-(α-β)］=cos(α-β), 故②错误,而①③④由诱导公式可判定正确. 答案：①③④

1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标

1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标

3
3
3
32
例7：已知cos(π - α) = - 1，求sin(3π + α)的值。
4
2
解： ∵ cos(π - α) = - 1
4
∴ ∵
-cosα = - 1 4
sin( 3π + α)
即cosα
= -cosα
=
1 4
2
∴ sin( 3π + α) = - 1
2
4
课堂小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 我们可以用下面一段话来概括公式一～
y
(x, y)
p3 160
200 O
p1 (x, y)
sin 380
sin 20
y
a
2 0
P(x, y)
sin 200
y
a
20A (1,0) sin(20 ) y a
p2 (x, y)
sin160
y
a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
线段为半径作一个圆。
已知任意角α的终边与
这个圆相交于点p(x,y）， 由于角 180°+α 的终边就
是角α的终边的反向延长线，
角180°+α的终边与单位圆 的交于点p'(-x,-y)，又因
p(x,y） -1
1
π
o
1
x
-1 p'(-x,-y）
单位圆的半径 r=1，由正弦
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
设 0°≤α≤90°，对于任意一个 0°到360°的 角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。

高中数学三角函数诱导公式ppt课件

高中数学三角函数诱导公式ppt课件

单调性
正弦函数和余弦函数在 $[0, pi]$和$[0, 2pi]$上单 调性不同；正切函数在$(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 上单调递增。
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
诱导公式
通过加减周期的整数倍，将任意角度 的三角函数转化为基本角度的三角函 数，实现角度的标准化。
典型例题解析
例题1
求sin(150°)的值。
01
解析
02 利用诱导公式，将150°转化为
30°，即 sin(150°)=sin(30°)=1/2。
例题2
求cos(-420°)的值。
03
解析
利用周期性质，将-420°转化 为60°，即cos(420°)=cos(60°)=1/2。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
例题2
化简表达式(sinα
+
cosα)/(sinα - cosα)。
例题3
证明恒等式(1 + sinα + cosα)/(1 + sinα - cosα) = (1 + cosα)/sinα。

三角函数的诱导公式 课件

三角函数的诱导公式 课件
诱导公式五、六
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．

人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.3 三角函数的诱导公式(共19张PPT)

人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.3 三角函数的诱导公式(共19张PPT)

A. -1 B. 0
C. 1
D. 2
深化练习
2.思考题 若 f (n)
cos(n
)
，则
4
2
f (1) f (2) f (3) f (4) f (2019) __2_。
3.若f (n) cos( n )则
24
f (1) f (2) f (3) f (4)
2
f (2019) __2。
课堂小结
1、体现了未知到已知、复杂到简单的化归思想。
2、由例1、2，你对公式一到四的作用有什么进一 步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数 转化为锐角三角函数的步骤吗？
3、记忆：函数名不变，符号看象限，象限怎么判，把α锐角看
tan( ) tan
注： k 2π(k Z), , π 的三角函数值， 等于的同名三角函数值，前面加上一个把
看做锐角时原函数值的符号
诱导公式的记忆口诀 ： 函数名不变,符号看象限，象限怎么判，把α锐角看
复习引入
1.设 0 90 ，对于任意一个 0到 360 的角 ，
以下四种情形中有且仅有一种成立．
，
180 180
， ，
360 ，
当 0，90 当 90，180 当 180，270 当 270，360
学习新知
公式一～四的作用 公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角的 三角函数化为0～2π范围内的角的三角函数; 公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化 为第一象限角的三角函数； 公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角 的三角函数； 公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化 为第一象限角的三角函数． 因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函 数转化为锐角的三角函数．
典型例题

三角函数的诱导公式ppt课件

三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。

高中数学《诱导公式》课件


sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六

三角函数的诱导公式 课件

探究点一
三角函数求值
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角
函数的基本步骤是：
任意负角的 三角函数
―用―公―式―一―或―三→
任意正角的 三角函数
―用―公―式―一→
0～2π的角 的三角函数
―用―公―式―二―或―四→
锐角三 角函数
可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的 数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再 查表”．
探究点二
利用诱导公式化简
三角函数式化简时，当三角函数中含nπ(k∈Z)时， 不能直接应用诱导公式变形，需分n＝2k和n＝2k＋ 1(k∈Z)进行讨论．
化简ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα](k∈Z)．
[提示] 对k按奇数、偶数进行讨论，然后利用诱导公式 化简．
[提示] 观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手， 利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．
[证明] 左边＝csions22cππo－－sπαα－·sαinsi－nαπ－coαs－α ＝－cossinαα－－cosisnααscinoαsα＝－csionsαα＝－tanα＝右边． ∴原式成立．
化简 sin4k－4 1π－α＋cos4k4＋1π－α，k∈Z. [错解] 原式＝sinkπ－π4＋α＋coskπ＋π4－α ＝sinπ4＋α－cosπ4－α ＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α ＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0.
②当 k 为偶数时，设 k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin2nπ－π4＋α＋cos2nπ＋π4－α ＝－sinπ4＋α＋cosπ4－α ＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.
[解] 当 k 为偶数 2n(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[22nnπ＋－1απc＋osα[]2cno－s21nππ－ ＋αα] ＝sins－inαπ＋cosα－coπs－α α ＝－s－insαicnoαscoπs＋α α＝－cocsoαsα＝－1； 当 k 为奇数 2n＋1(n∈Z)时， 原式＝sins[in2[n＋2n2＋π1＋πα－]cαo]sc[o2sn2＋nπ1－πα＋ α] ＝sisnin2ππ＋－ααccoossπ－＋αα ＝sinsαinα－cocsoαsα＝－1. ∴当 k∈Z 时，原式＝－1.

1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标


则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)

三角函数诱导公式(公开课)ppt课件

cosθ = 邻边/斜边
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
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(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于___y_轴___对称．
(2)诱导公式四
公式四：sin(π－α)＝___s_i_n_α____；cos(π－α)＝__－__c_o_s_α___； tan(π－α)＝__－__ta_n__α___．
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(3)公式一～四可以概括为：
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2．诱导公式三
(1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中，－α 的终边与角 α 的终边关于__x_轴__对称．
(2)诱导公式三 sin(－α)＝__－__s_in__α___；cos(－α)＝__co_s__α__；tan(－α)＝___－__t_a_n_α___．
3．诱导公式四
(4)在△ABC 中，sin(A＋B)＝sin C．( )
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【解析】 (1)由公式三可知该结论成立． (2)诱导公式中的角 α 是任意角，不一定是锐角． (3)由公式三知 cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故 cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (4)因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋B＝π－C，
∴cos α＝－13，
sinπ2 ＋α＝cos α＝－13.
【答案】 －13
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ห้องสมุดไป่ตู้
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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给角求值问题
[小组合作型]
(1)求下列各三角函数值． ①sin－103π；②cos 269π； (2)求 sin2nπ＋2π 3 ·cosnπ＋4π 3 (n∈Z)的值． 【精彩点拨】 (1)先化负角为正角，再将大于 360°的角化为 0°到 360 °内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分 n 为奇数、偶数两种情况讨论．
阶
阶
段
段
一
三
1.3 三角函数的诱导公式
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他 诱导公式．(难点)
2．诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用．(重点) 3．各种诱导公式的特征．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 诱导公式二～公式四
π2 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一
个把 α 看成__锐__角______时原函数值的符号． 公式一～六都叫做诱导公式．
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若 cos(π＋α)＝13，则 sinπ2 ＋α＝________.
【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝13，
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(2)sin 167π＝sin2π＋56π＝sin 56π
＝sinπ2 ＋π3 ＝cos π3 ＝12.
(3)①当 n 为奇数时，原式＝cos
2π 3 ·－sin
4π 3
＝cosπ－π3 ·－sinπ＋π3
＝－cos
π3 ·sin
原式＝sin
2π 3 ·－cos
43π＝sinπ－π3 ·－cosπ＋π3 ＝sin
π 3 ·cos
π 3
＝ 23×12＝ 43；
②当 n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π
＝sinπ－π3 ·cosπ＋π3 ＝sin
π3 ·－cos
π3 ＝
23×－12＝－
3 4.
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1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角 函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值．
所以 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
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教材整理 2 诱导公式五、六
阅读教材 P26 第七行以下至“例 3”以上内容，完成下列问题． 1．公式五：sinπ2 －α＝__c_o_s__α____，cosπ2 －α＝___s_in__α____． 2．公式六：sinπ2 ＋α＝__c_o_s_α_____，cosπ2 ＋α＝__－__s_i_n_α___． 3．公式五和公式六可以概括为：
2．凡涉及参数 n 的三角函数求值问题．由于 n 为奇数、偶数时，三角函数 值有所不同，故考虑对 n 进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公 式的作用也是解题的关键．
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[再练一题] 1．求下列各三角函数值． (1)tan(－855°)；(2)sin 167π； (3)cos2nπ＋23π·sinnπ＋43π(n∈Z)． 【解】 (1)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
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【自主解答】 (1)①sin－103π
＝－sin
103π＝－sin2π＋4π 3 ＝－sin
4π 3
＝－sinπ＋π3 ＝sin
π3 ＝
3 2.
②cos
269π＝cos4π＋5π 6 ＝cos
5π 6
＝cosπ－π6 ＝－cos
π 6 ＝－
3 2.
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(2)①当 n 为奇数时，
阅读教材 P23～P24 例 1 以上内容，完成下列问题． 1．诱导公式二 (1)对应角终边之间对称关系 在平面直角坐标系中，π＋α 的终边与角 α 的终边关于__原__点___对称． (2)诱导公式二
sin(π＋α)＝__－__s_in__α___；cos(π＋α)＝__－__c_o_s_α___；tan(π＋α)＝__ta_n__α__．
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于 α 的__同__名__函__数__值____， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 诱 导 公 式 三可 以 将任 意 负 角的 三 角函 数值 转 化 为正 角 的三 角函 数 值．( ) (2)对于诱导公式中的角 α 一定是锐角．( ) (3)由公式三知 cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )