2011年广东省高考三轮复习精编数学模拟题2

2011届高考第三轮复习理科数学精编模拟试卷（五）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A 212i B ．2±12i C ．212i D ．212i2．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 A ．)3,0( B ．)2,3( C ．)4,3( D ．)4,2(3．A B C ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是 A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形 C ．等边三角形 D ．其它三角形4．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221a x x ≤<时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为A ．)3,1()1,0(B ．)3,1(C ．)32,1()1,0(D ．)32,1(5．设αtan 、βtan 是方程04333=++x x 的两根，且)2,2(),2,2(ππβππα-∈-∈，则βα+的值为： A ．32π-B ．3πC ．323ππ-或 D ．323ππ或-6．过曲线33:x x y S -=上一点)2,2(-A 的切线方程为A ．2-=yB ．2=yC ．0169=-+y xD ．20169-==-+y y x 或7．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23，EF 与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为：A ．29 B ．5C ．6D ．2158．如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝A ．2nB ．2n -1C ．2n -2D ．(n －1)2n -1 9．等比的正数数列{n a }中，若965=a a ，则1032313log log log a a a +++ =A ．12B ．10C ．8D ．2+5log 3 10．双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α等于A ．eB ．e 2C ．e1 D ．21e二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分． 11．已知函数22x1x)x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f ________．12．如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________．13．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp11________．14．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线T A 、T B 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA =________，TE AD=________．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =，它们定义域的交集为D ，若对任意的D x ∈,x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素．（Ⅰ）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素；（Ⅱ）设函数)1(log )(xa a x f -=，求)(x f 的反函数)(1x f-，并判断)(x f 是否是M 的元素．17．（本小题满分12分） 已知抛物线21()4f x ax bx =++与直线y x =相切于点(1,1)A ．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[1,9]x ∈，不等式()f x t x -≤恒成立，求实数t 的取值范围． 18．（本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；P（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：121,4,a a ==且对任意的3,n n N *≥∈有12440n n n a a a ---+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）是否存在等差数列{}n b ，使得对任意的n N *∈有1212n n n n n n a b C b C b C =+++ 成立？证明你的结论．20．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率e 2，左右两个焦分别为21F F 、．过右焦点2F 且与轴垂直的．直线与椭圆C 相交M 、N 两点，且|MN|=1．（Ⅰ） 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左顶点为A,下顶点为B ，动点P 满足4PA AB m ⋅=-，（m R ∈）试求点P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C 上． 21．（本小题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++．（Ⅰ）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；（Ⅱ）若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使()()()01212fx fx fx =+⎡⎤⎣⎦成立．（Ⅲ）是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x ≥；②对x R ∀∈，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-．若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题：DCDDA DDBBC解析：1．复数i 的一个辐角为900，利用立方根的几何意义知，另两个立方根的辐角分别是900+1200与900+2400，即2100与3300，故虚部都小于0，答案为D ．2．把x =3代入不等式组验算得x=3是不等式组的解，则排除A 、B ，再把x=2代入不等式组验算得x=2是不等式组的解，则排除D ，所以选C ．3．在题设条件中的等式是关于,a A 与,b B 的对称式，因此选项在A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项C 正确，则有111222+=，即112=，从而C 被淘汰，故选D ．4．“对任意的x 1、x 2，当221a x x ≤<时，0)()(21>-x f x f ”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“)(x f 有意义”．事实上由于3)(2+-=ax x x g 在2ax ≤时递减，从而⎪⎩⎪⎨⎧>>.0)2(,1a g a 由此得a 的取值范围为)32,1(，故选D ．5．由韦达定理知0tan ,0tan ,0tan tan ,0tan tan <<><+βαβαβα且故从而(,0)2πα∈-，(,0)2πβ∈-，故.32πβα-=+故选A ．6．当点A 为切点时，所求的切线方程为0169=-+y x ，当A 点不是切点时，所求的切线方程为.2-=y 故选D ．7．由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2，∴V F －ABCD ＝31·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选D ．8．由二项展开式系数的性质有C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C nn ＝2n -1，选B ． 9．取特殊数列．．．．．n a =3，则1032313log log log a a a +++ =1033log =10，选B ．10．本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察．取双曲线方程为42x－12y=1，易得离心率e=25，cos 2α=52，故选C ．二．填空题：11．72； 12．4π；13．4a ；14．22(2)4x y +-=，)2,2(π；152解析：11．因为2222222111()()111111xxx f x f x xxxx+=+=+=++++（定值），于是1(2)()12f f +=，1(3)()13f f +=，1(4)()14f f +=，又1(1)2f =，故原式=72．12．因为正方形的面积是16，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率是4164ππ=．13．设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a把直线方程ay 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴aFQ PF 21||||==，从而a qp411=+．14．（略）15．（略） 三．解答题： 16．解：（Ⅰ）∵对任意R x ∈，x x x f f =++--=1)1())((，∴M x x f ∈+-=1)(． ∵341)12(2))((-=--=x x x g g 不恒等于x ，∴M x g ∉)(． （Ⅱ）设)1(log x a a y -=．①1>a 时，由110<-<x a 解得0,0<<y x ．由)1(log x a a y -=解得其反函数为)1(l o g xaa y -=，)0(<x ； ②10<<a 时，由110<-<x a 解得0,0>>y x ．由)1(log x a a y -=解得其反函数为)1(log xa a y -=，)0(>x ．∵x a ax f f x a a a xa =+-=-=-)11(log )1(log ))(()1(log ， ∴M a x f xa ∈-=)1(log )(．17．解：（Ⅰ）依题意，有1(1)1144(1)21f a b a f a b ⎧=++=⎪⇒=⎨⎪'=+=⎩，12b =．因此，()f x 的解析式为21()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）由()f x t x -≤（19x ≤≤）得212x t x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（19x ≤≤），解之得221)1)t -≤≤+（19x ≤≤）．由此可得2m in 1)]4t ≤=且2max 1)]4t ≥=，所以实数t 的取值范围是{|4}t t =． 18．（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点，所以A C B C ⊥．又圆柱母线1A A ⊥平面ABC ，B C ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥B C ．又1A A A C A =，所以B C ⊥平面1A A C ， 因为B C ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A A C ．（Ⅱ）解：设圆柱的底面半径为，母线长度为h ．当点C 是弧 AB 的中点时，三角形ABC 的面积为2r ，三棱柱111A B C A B C -的体积为2r h ，三棱锥1A ABC -的体积为213r h ，四棱锥111A B C C B -的体积为2221233r h r h r h -=，圆柱的体积为2r h π，四棱锥111A BC C B -与圆柱的体积比为2:3π．19．解：（Ⅰ）∵12440n n n a a a ---+=，∴11222(2)(3)n n n n a a a a n ----=-≥， 11222,(3)2n n n n a a n a a ----∴=≥-，∴数列1{2}n n a a --是首项为（212a a -），公比为2的等比数列． 2122a a -= ，2112222n n n n a a ---∴-=⋅=n ≥ 112122n n n n a a ---∴-=，∴数列1{}2n n a -是首项为1，公差为1的等差数列，12n n a n -∴=，∴12n n a n -=⋅．（Ⅱ）令1,2,3n =代入1212nn n n n n a b C b C b C =+++ 得11212221231323331412b b C b C b C b C b C =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩解得1231,2,3b b b ===．由此可猜想n b n =，即11222.n nn n n n C C nC -⋅=+++下面用数学归纳法证明： （1）当n ＝1时，等式左边＝1，右边＝111C =，∴当n ＝1时，等式成立．（2）假设当n ＝k 时，等式成立，即11222.k k k k k k C C kC -⋅=+++ 当n ＝k ＋1时，111(1)222222k k k k k k k k +--+⋅=⋅+=⋅+ 12012(2)().k kk k k k k k C C kC C C C =+++++++121242.kkk k k k k k C C kC C C C =+++++++11223()2()3()(1).kk k k k k k k C C C C C C k C =++++++++ 1231111123(1).k k k k k C C C k C +++++=+++++∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综上所述，存在等差数列n b n =，使得对任意的n N *∈有1212nn n n n n a b C b C b C =+++ 成立．20．解：（Ⅰ）∵2M F x ⊥轴，∴21||2M F =，由椭圆的定义得11||22M F a +=．∵2211||(2)4M F c =+，∴2211(2)424a c -=+，又2e =得2234c a =∴22423,a a a -= 0a > ，2a ∴=，∴2222114b ac a =-==，∴所求椭圆C 的方程为2214xy +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y ，则(2,)PA x y =---，(2,1)AB =-，由PA AB m ⋅= －4得－424x y m -+=-，∴点P 的轨迹方程为2y x m =+．设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得：0000111,2222y y x m x +-=-=⋅+， 解得004423,55mm x y ---==．∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴ 224423()4()455mm ---+=，整理得2230m m --=解得1m =-或32m =．∴点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+，经检验21y x =-和322y x =+都符合题设，∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+．21．解：（Ⅰ） ()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+，2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=- ，当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点．（Ⅱ）令()()()()1212g x f x fx fx =-+⎡⎤⎣⎦，则()()()()()()121112122fx f x g x f x fx f x -=-+=⎡⎤⎣⎦()()()()()()212212122fx f x g x fx fx f x -=-+=⎡⎤⎣⎦()()()()()()()212121210,4g x g x fx fx fx fx ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根，即()012,x x x ∃∈，使()()()01212f x fx fx =+⎡⎤⎣⎦成立．（Ⅲ）假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且m in ()0f x =，∴241,024b ac b aa--=-=⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒=．由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-．令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=．由12a b c b aa c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===． 当11,42a cb ===时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②．∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②．。

广东省高考全真模拟试卷二（数学理）2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（二）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 是球的半径．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 为底面的半径，l 为母线长． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知z 是纯虚数，iz -+12是实数（其中i 为虚数单位），则z = A ．2iB ．iC ．i -D ．2i -2．对命题:p A ⋂∅=∅，命题:q A A ⋂∅=，下列说法正确的是 A ．p q ∧为真 B ． p q ∨为假 C ．p ⌝为假 D ． p ⌝为真 3．图1是根据某班学生在一次数学考试 中的成绩画出的频率分布直方图，若80 分以上为优秀，根据图形信息可知： 这次考试的优秀率为 A ．25% B ．30%C ．35%D ．40%4．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，频率组距图1则ba 21+的最小值为 A ．1B ．322+C ．5D ．425．某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知 该器物的表面积为A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为A 5B 53 D ．2 7．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解， 则实数a 的取值范围为A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)-- 8．若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,),(,0)23m n π==，且点(,)P x y 在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为A ．2,πB ．2,4πC ．1,2πD ．1,42π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在二项式1(2)n x x-的展开式中，若第5项是常数项，则n =_______．（用数字作答）10．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=成立．类似地，在等比数列{}n b 中，有_____________________成立． 11．按如图3所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63，则判断框中的整数H =_________．12．设2[0,1]()1(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx =⎰_____．13．在ABC ∆中,a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且ο30=A ． 现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =．试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写)；由此得到的ABC ∆的面积为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知平面上三点)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ． （1）若2()7OA OC +=（O 为坐标原点），求向量与夹角的大小； （2）若BC AC ⊥，求α2sin 的值．A图4AB CDE F 图517．（本小题满分12分）第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行，射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为13. 求该运动员在5次射击中，（1）恰有3次射击成绩为10环的概率；（2）至少有3次射击成绩为10环的概率；（3）记“射击成绩为10环的次数”为ξ，求E ξ.（结果用分数表示） 18．（本小题满分14分）如图5，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）过点0(1,0)P 作曲线3:((0,))C y x x =∈+∞的切线，切点为1Q ，过1Q 作x 轴的垂线交x 轴于点1P ，又过1P 作曲线C 的，切点为2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交x 轴于点2P ，…，依次下去得到一系列点123,,Q Q Q ，…，设点n Q 的横坐标为n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求和1ni i i a =∑；（3）求证：1(2,)2n na n n N *>+≥∈． 20．（本小题满分14分）已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上， 且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M和（1）中所求轨迹C相交于不同两点,A B，是否存在一组正实数,,m n r，使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）己知函数1()(1)ln(1)f xx x=++．(1) 求函数()f x的定义域；(2) 求函数()f x的增区间；(3) 是否存在实数m，使不等式112(1)mx x+>+在10x-<<时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（二）答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．1.选D.提示：)0(≠=b bi z 设.2.选C.提示：由已知p 为真，q 为假.3.选B.提示：3.010005.010025.0=⨯+⨯.4.选B.提示：,1,12=+b a 所以），直线过圆心（. 22323)21)((21+≥++=++=+∴baa b b a b a b a 5.选D.提示：圆锥上面有一球，半径为1，ππππ9422111422=⋅++=∴S .6.选A.提示：5,5,5,,2222222==∴=∴=+=e e c a c b a ab. 7.选A.提示：034,421322>+-∴-<--+≤-a a a a x x . 8.选D.提示： ),sin 21,32(x x π+=. )621sin(21)(,sin 21)32(ππ-=∴=+∴x x f x x f 二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．8； 10．30302110201211b b b b b b =； 11．5；12．43； 131 14．23； 15．24．9.8.提示：8,08,)1(2)1()2(84444445==-∴-=-=---n n x C xx C T n n n n n .10.30302110201211b b b b b b =.提示：算术平均数类比几何平均数.11.5.提示：5H S ,663=∴==，不满足条件时输出时A S .12.43.提示：34131|ln |31111031102=+=+=+=⎰⎰ee x x dx x dx x 原式.13.1.提示：由正弦定理求出b ， 再根据C ab S sin 21=. 14.23.提示：23,22=+==OA PO PA PO OT ，连接. 15.24.提示：转化为直角坐标系求解三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，2()7OA OC +=，∴7sin )cos 2(22=++αα， ………………… 2分 ∴21cos =α． ………………… 4分 又)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ，设OB 与OC 的夹角为θ，则：23sin 2sin 2cos ±====ααθ， ∴OB 与OC 的夹角为6π或π65． …………… 7分 （2）(cos 2,sin )AC αα=-，)2sin ,(cos -=αα，… 9分由AC BC ⊥， ∴0AC BC ⋅=，可得21sin cos =+αα，①………………… 11分 ∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα，432sin -=α． …………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列.二项分布.数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则 1~(5,)3X B .…2分（1）在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：323511(3)133P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144010279243=⨯⨯=………4分 （2）在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为：(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+= …………6分32450345555111111111333333C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭401011724324324381=++=. …………8分 （3）方法一：随机变量X 的分布列为：故32()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…12分方法二:因为1~(5,)3X B ，所以5()3E X =. …………12分18．（本小题满分14分）ABC D E FM HG （本小题主要考查空间线面关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）解法一：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点， ∴//GF DE且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ， ∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形， 则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ． ………… 4分(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， ∴DE AF ⊥． 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分 (3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ． ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE ．∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角． …………10分 设22AD DE AB a ===，则sin 452FH CF a =︒=， 2BF a ===，在R t △FHB 中，2sin 4FH FBH BF ∠==．…………13分 ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24………14分解法二：设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -， 则(,0,0)A a (0,0,)B a (2,0,0)C a(3,0)D a a (3,2)E a a a ∵F 为CD 的中点，∴33,022F a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1) 证：()()33,,0,,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ，∴//AF 平面BCE ． …………4分(2) 证：∵()()33,,0,,3,0,0,0,222AF a a CD a a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅=，∴,AF CD AF ED ⊥⊥．∴AF ⊥平面CDE ，又//AF 平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =， 由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：30,20x y z x z ++=-=，取()1,3,2n =-． …………10分又33,2BF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则422222sin =⋅==a a θ． …………13分 ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24． ………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.导数.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（1）∵3y x =，∴23y x '=．若切点是3(,)n n nQ a a ， 则切线方程为323()nn n y a a x a -=-． …………………1分 当1n =时，切线过点0(1,0)P ， 即：3211103(1)a a a -=-， 依题意10a >．所以132a =． …………………2分 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，即：32103()nn n n a a a a --=-， 依题意0n a >，所以13(1)2n n a a n -=>． ………………3分 所以数列{}n a 是首项为32， 公比为32的等比数列．所以32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………4分（2）记121121n n nn nS a a a a --=++++， 因为11213n n a a -=⋅， 所以23121213n n n n nS a a a a +-=++++． …………………5分 两式相减，得：12111113n n n nS a a a a +=+++- 2122223333n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12213322313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-1222133n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………7分∴1nn i ii S a ==∑12261333n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦262(3)3nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． …………………9分（3）证法1：112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭212111222nn nnn nC C C C ⎛⎫⎛⎫=+⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0111(2)22n n n C C n ⎛⎫>+=+≥ ⎪⎝⎭． …………………14分证法2：当2n =时，223952112442a ⎛⎫===+>+ ⎪⎝⎭．…………………10分假设n k =时，结论成立，即12k ka >+，则13313111111222222222k k k k k k a a ++⎛⎫=>+=++⋅>++=+ ⎪⎝⎭．即1n k =+时．1112k k a ++>+． …………………13分 综上，12n na >+对2,n n N *≥∈都成立． …………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆.直线与圆锥曲线位置关系等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点， 又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = …………2分 又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆， 且2,1a c ==，∴b G ==∴∴G 的轨迹方程是221.43x y +=…………6分(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： …………7分 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…………9分注意到12121y y x x k-=--， 且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k= ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内， 故022x -<<， 这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． …………13分 当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =， 则此时1212,2y y x x =+=， 代入①式得120x x -=， 这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． …………14分21．（本小题满分14分）解（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）:（1）根据函数解析式得10,11x x +>⎧⎨+≠⎩解得1x >-且0x ≠．∴函数()f x 的定义域是{},1.x x R x ∈>-≠且x 0…………3分（2）1(),(1)ln(1)f x x x =++22ln(1)1()(1)ln (1)x f x x x ++'∴=-++……………………5分 由()0f x '>得ln(1)10.x ++<11 1.x e -∴-<<-∴函数()f x 的增区间为1(1,1)e ---． …………………………8分（3）110,e x --<<11 1.e x -∴<+< 1ln(1)0.x ∴-<+< ln(1)10x ∴++>∴当110e x --<<时,22ln(1)1()0.(1)ln (1)x f x x x ++'=-<++∴在区间()1,0-上,当11x e -=-时, ()f x 取得最大值．[]1()(1)f x f e e -∴=-=-最大．……………………………10分112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立．1ln 2ln(1)1m x x ∴>++在10x -<<时恒成立． ln 2(1)ln(1)m x x ∴>++在10x -<<时恒成立．ln 2(1)ln(1)x x ++在10x -<<时的最大值等于ln 2e -．ln 2.m e ∴>-∴当ln 2m e >-时，不等式112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立．………14分海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2011.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中 错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为 A ．1 B ．2 C ． 3 D. 4 8．已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 A ．(0,1]r ∈ B ．(1,2]r ∈ C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i -+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ . 13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）乙丙甲14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.ACBD ADFEB G C17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm=+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2011．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , …………………4分 所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分 由sin sin a c A C=得a = …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点，∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分(Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，HADFEBGC∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分 ∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分 (Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<=-θn ， …………………………13分∴二面角C DF E --的余弦值为…………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分 ………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0e ah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增， 所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+> 此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b +=② ……………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP =====………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，故OP<≤. (13)分综上，所求OP的取值范围是2. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分 所求OP的取值范围是2. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g① …………………7分另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（二）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 是球的半径．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 为底面的半径，l 为母线长． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知z 是纯虚数，iz -+12是实数（其中i 为虚数单位），则z = A ．2i B ．i C ．i -D ．2i -2．对命题:p A ⋂∅=∅，命题:q A A ⋂∅=，下列说法正确的是 A ．p q ∧为真 B ． p q ∨为假 C ．p ⌝为假 D ． p ⌝为真 3．图1是根据某班学生在一次数学考试 中的成绩画出的频率分布直方图，若80 分以上为优秀，根据图形信息可知： 这次考试的优秀率为 A ．25%B ．30%C ．35%D ．40%4．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 21+的最小值为 A ．1B．3+C ．5D．5．某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知 该器物的表面积为A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为A．2 频率组距图 1图2图37．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解， 则实数a 的取值范围为A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)-- 8．若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b ⊗=， 已知1(2,),(,0)23m n π==，且点(,)P x y 在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为 A ．2,π B ．2,4π C ．1,2πD ．1,42π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在二项式1(2)nx x-的展开式中，若第5项是常数项，则n =_______． （用数字作答）10．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=成立．类似地，在等比数列{}n b 中， 有_____________________成立． 11．按如图3所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63，则判断框中的整数H =_________．12．设2[0,1]()1(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx =⎰_____．13．在ABC ∆中,a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且ο30=A ．现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =．试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是(用序号填写)；由此得到的ABC ∆的面积为 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则AABCDE F图515．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中， 曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知平面上三点)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ． （1）若2()7OA OC +=（O 为坐标原点），求向量OB 与OC 夹角的大小； （2）若⊥，求α2sin 的值．17．（本小题满分12分）第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行，射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为13. 求该运动员在5次射击中，（1）恰有3次射击成绩为10环的概率；（2）至少有3次射击成绩为10环的概率；（3）记“射击成绩为10环的次数”为ξ，求E ξ.（结果用分数表示）18．（本小题满分14分）如图5，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）过点0(1,0)P 作曲线3:((0,))C y x x =∈+∞的切线，切点为1Q ，过1Q 作x 轴的垂线交x 轴于点1P ，又过1P 作曲线C 的，切点为2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交x 轴于点2P ，…，依次下去得到一系列点123,,Q Q Q ，…，设点n Q 的横坐标为n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求和1ni ii a =∑；（3）求证：1(2,)2nn a n n N *>+≥∈． 20．（本小题满分14分）已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上， 且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分14分）己知函数1()(1)ln(1)f x x x =++．(1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求函数()f x 的增区间； (3) 是否存在实数m ，使不等式112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（二）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分401.选D.提示：)0(≠=b bi z 设.2.选C.提示：由已知p 为真，q 为假.3.选B.提示：3.010005.010025.0=⨯+⨯.4.选B.提示：,1,12=+b a 所以），直线过圆心（. 22323)21)((21+≥++=++=+∴baa b b a b a b a 5.选D.提示：圆锥上面有一球，半径为1，ππππ9422111422=⋅++=∴S . 6.选A.提示：5,5,5,,2222222==∴=∴=+=e e c a c b a ab. 7.选A.提示：034,421322>+-∴-<--+≤-a a a a x x . 8.选D.提示： ),sin 21,32(x x π+=. )621s i n (21)(,s i n 21)32(ππ-=∴=+∴x x f x x f 二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．8； 10．30302110201211b b b b b b =； 11．5；12．43； 131； 14．23； 15．24．9.8.提示：8,08,)1(2)1()2(84444445==-∴-=-=---n n x C xx C T n n n n n . 10.30302110201211b b b b b b =.提示：算术平均数类比几何平均数.11.5.提示：5H S ,663=∴==，不满足条件时输出时A S . 12.43.提示：34131|ln |31111031102=+=+=+=⎰⎰ee x x dx x dx x 原式.13.1.提示：由正弦定理求出b ， 再根据C ab S sin 21=. 14.23.提示：23,22=+==OA PO PA PO OT ，连接. 15.24.提示：转化为直角坐标系求解三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）∵)sin ,cos 2(αα+=+，2()7OA OC +=，∴7sin )cos 2(22=++αα， ………………… 2分 ∴21cos =α． ………………… 4分 又)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ，设与的夹角为θ，则：23sin 2sin 2cos ±====ααθOC OB ， ∴OB 与OC 的夹角为6π或π65． …………… 7分 （2）(cos 2,sin )AC αα=-，)2sin ,(cos -=ααBC ，… 9分由AC BC ⊥， ∴0AC BC ⋅=，可得21sin cos =+αα，①………………… 11分 ∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα，432sin -=α． …………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列.二项分布.数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则 1~(5,)3X B .…2分 （1）在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：323511(3)133P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144010279243=⨯⨯= ………4分 （2）在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为：(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+= …………6分32450345555111111111333333C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭401011724324324381=++=. …………8分 （3）方法一：随机变量X 的分布列为：故32()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…12分方法二:因为1~(5,)3X B ，所以5()3E X =. …………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力） 解法一：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、∴//GF DE且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ， ∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形， 则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ． ………… 4分(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， ∴DE AF ⊥． 又CD DE D =， 故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分 (3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ． ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE ．∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角． …………10分 设22AD DE AB a ===，则sin 45FH CF =︒=，2BF a ===，在R t △FHB 中，s i n4FH FBH BF ∠==…………13分∴直线BF和平面BCE 所成角的正弦值为4 (14)分解法二：设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -， 则(,0,0)A a (0,0,)B a (2,0,0)C a(,0)D a (,2)E a a∵F 为CD 的中点，∴3,02F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1) 证：()()33,,0,,3,,2,0,2AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ． …………4分(2) 证：∵()()33,,0,,3,0,0,0,222AF a a CD a a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅=， ∴,AF CD AF ED ⊥⊥．∴AF ⊥平面CDE ，又//AF 平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =， 由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：30,20x y z x z ++=-=，取)1,3,2n =-． …………10分又3,2BF a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，设BF 和平面BCE 所成的角为θ， 则422222sin =⋅==a a θ． …………13分∴直线BF 和平面BCE ． ………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.导数.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（1）∵3y x =，∴23y x '=．若切点是3(,)n n n Q a a则切线方程为323()n n n y a a x a -=-． …………………1分当1n =时，切线过点0(1,0)P ，即：3211103(1)a a a -=-，依题意10a >．所以132a =． …………………2分 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，即：32103()n n n n a a a a --=-，依题意0n a >，所以13(1)2n n a a n -=>． ………………3分 所以数列{}n a 是首项为32， 公比为32的等比数列．所以32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………4分（2）记121121n n nn nS a a a a --=++++， 因为11213n n a a -=⋅， 所以23121213n n n n nS a a a a +-=++++． …………………5分 两式相减， 得：12111113n n n nS a a a a +=+++-2122223333n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12213322313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-1222133n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………7分∴1nn i ii S a ==∑ 12261333n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦262(3)3nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． …………………9分（3）证法1：112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2012111222nn n n n n C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0111(2)22n n n C C n ⎛⎫>+=+≥ ⎪⎝⎭． …………………14分证法2：当2n =时， 223952112442a ⎛⎫===+>+ ⎪⎝⎭．…………………10分假设n k =时，结论成立，即12k k a >+， 则13313111111222222222k k k k k k a a ++⎛⎫=>+=++⋅>++=+⎪⎝⎭．即1n k =+时．1112k k a ++>+． …………………13分 综上，12n na >+对2,n n N *≥∈都成立． …………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆.直线与圆锥曲线位置关系等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = …………2分又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+==∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，∴b G ==∴G 的轨迹方程是221.43x y +=…………6分(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： …………7分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ，故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ， 则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…………9分 注意到12121y y x x k-=--， 且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ， 则00314x y k= ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． …………13分当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=，代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． …………14分21．（本小题满分14分）解（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）:（1）根据函数解析式得10,11x x +>⎧⎨+≠⎩解得1x >-且0x ≠．∴函数()f x 的定义域是{},1.x x R x ∈>-≠且x 0…………3分（2）1(),(1)ln(1)f x x x =++22ln(1)1()(1)ln (1)x f x x x ++'∴=-++……………………5分由()0f x '>得ln(1)10.x ++<11 1.x e -∴-<<-∴函数()f x 的增区间为1(1,1)e ---． …………………………8分（3）110,e x --<<11 1.e x -∴<+<1ln(1)0.x ∴-<+<ln(1)10x ∴++>∴当110e x --<<时,22ln(1)1()0.(1)ln (1)x f x x x ++'=-<++∴在区间()1,0-上,当11x e -=-时, ()f x 取得最大值． []1()(1)f x f e e -∴=-=-最大．……………………………10分112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立．1ln 2ln(1)1m x x ∴>++在10x -<<时恒成立．ln 2(1)ln(1)m x x ∴>++在10x -<<时恒成立． ln 2(1)ln(1)x x ++在10x -<<时的最大值等于ln 2e -．ln 2.m e ∴>-∴当ln2m e>-时，不等式112(1)mx x+>+在10x-<<时恒成立．………14分。

2011年高考广东数学(理科)模拟试题本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={-1,0,a},B={x02，条件q:x A．（-∞,-1） B. （-∞,-1] C. （3,+∞） D. [3,+∞）6．已知函数g(x)=2x，且有g(a)g(b)=2，若a>0且b>0，则ab的最大值为（）A．B．C. 2 D． 47. 设和是两个不重合的平面，给出下列命题：①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②若外一条直线l与内一条直线平行，则l//；③设∩=l，若内有一条直线垂直于l，⊥；④直线l⊥的充要条件是l与内的两条直线垂直．上面的命题中，真命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②③④8．定义一种运算S=ab，运算原理如下框图所示，则式子cos45°sin15°+sin45°cos15°的值为（）9．已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=010．已知凸函数的性质定理：“若函数f（x）在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x1,x2,…,xn，有：[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（）”．若函数y=sinx在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）A．B．C．D．第二部分非选择题(共100分)二、填空题：(本大题共6小题，其中11-14题为必做题. 15、16题为选做题，任选一题完成．每小题5分，共30分，将正确答案填在答卷相应的位置上）（一）必做题：9-13题是必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知向量=(1,2),=(x,-4)若//,则&#8226;等于.12．若△ABC的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，=2，则b= .13．若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8=．14．已知正实数x,y满足xy=1,则(+y)(+x)的最小值为.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为sin(+)=，则点A(2,)到这条直线的距离为.16．（几何证明选讲选做题）如图：已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2. AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知=(1,sinx-1),=（sinx+sinxcosx,sinx）,f（x）=&#8226;.(x∈R)求：（1）函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．18．（本小题12分）如图3，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,AC⊥BC,点D是A1B1中点.(1)求证：平面AC1D⊥平面A1ABB1;(2)若AC1与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求二面角D-AC1-A1的余弦值.19．（本小题12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；(Ⅱ) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知定点E(-1,0)，F(1,0)，动点A满足AE=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M．（1）求点M的轨迹C1的方程；（2）抛物线C2：y2=4x与C1在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ 弧上的点R到直线PQ的距离的最大值．21．（本题满分13分）设数列{an}是首项为a1(a1>0)，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且,,成等差数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=的前n项和为Tn，求Tn.22．（本题满分14分）已知三次函数f （x）=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).（Ⅰ）若函数f （x）过点(-1，2)且在点(1，f （1）) 处的切线方程为y+2=0，求函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有f （x1）-f （x2）≤t，求实数的最小值；（Ⅲ）当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f （x）的表达式.2011年高考广东数学（理科）仿真试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题（每小题5分，共25分，15、16题为选做题）11. -10;12. 5;13. 28;14. 4;15. ;16. .三、解答题17．（本小题满分12分）解：（1）f（x）=&#8226;=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx …………2分=sin(2x-)+，…………4分∴x=k+(k∈Z)时，f（x）取得最大值，…………6分最小正周期为. …………8分（2）当2k-≤2x-≤2k+,k∈Z…10分即k-≤x≤k+,k∈Z时函数为增函数， (11)分∴原函数的递增区间是[k-,k+](k∈Z) (12)分18. （1）据题意A1C1=B1C1，且D为A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，又BB1⊥面A1B1C1，C1D 面A1B1C1，∴BB1⊥C1D, ∴C1D⊥面A1ABB1. …………2分又C1D 面AC1D，∴面AC1D⊥平面A1ABB1．……………4分（2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1,∴∠C1AD为AC1与平面A1ABB1所成的角． (6)分设AC=CB=1,AA1=x,则AC1=,C1D=，sin∠C1AD===,∴x=2.…………8分又因为AC、CB、CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：取面A1C1A的法向量为==(0,1,0)，设面ADC1的法向量为=(x,y,z)，又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(,,2),∴=(1,0,-2),=(,,0),&#8226;=0, ∴x-2z=0．&#8226;=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴=(2,-2,1)．cos〈，〉=＝＝－.………11分又D在面A1AC1上的射影为A1C1的中点，故二面角D-AC1-A1为锐角，设为，所以cos= .…………………12分19.(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只”, i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只”, i=0,1,2, …………………2分依题意有: P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P（B0）=×=,P(B1)=2××=,……4分所求概率为:P=P(B0&#8226;A1)+P(B0&#8226;A2)+P(B1&#8226;A2) =×+×+×=．………………6分(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,).P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)=C31××()2=,P(ξ=2)=C32×()2×=,P(ξ=3)=()3=．…………………10分ξ的分布列为:数学期望: Eξ=3×=.……………………12分20. （1）依题意有ME+MF＝ME+MA＝AE＝4>EF ＝2，∴点M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆． (3)分∵2a=4,2c=2，∴a=2,b=，故所求点M的轨迹方程是+=1.………6分（2）联立方程y2=4x，+=13x2+16x-12=0，解得x=或x=-6（舍去）．将x=代入抛物线方程得y=，∴点P的坐标为P(,)．……………8分∴kPF=-2，于是可得PQ所在直线的方程为：2x+y-2=0．………………………………9分设PQ的平行线方程为：2x+y+t=0，由y2=4x，2x+y+t=024x2+4(-t)x+t2=0．令△=16(t-1)2-96t2=0t=．………11分∵R到PQ的最大距离即为直线2x+y+=0与PQ之间的距离，故所求为d==．………………………………13分21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2， (2)分由,,成等差数列得，2=+，即2=+，解得a1=1，故an=2n-1．…………………4分（Ⅱ）bn===(2n-1)()n，……………5分法1：Tn=1×()1+3×()2+5×()3+…+(2n-1)×()n………………………………①①×，得Tn=1×()2+3×()3+5×()4+…+(2n-3)×()n+(2n-1)×()n+1………………………………②①-②，得Tn=+2×()2+2×()3+…+2×()n-(2n-1)×()n+1=2×--(2n-1)×()n+1=--，………………………………10分∴Tn=3--=3-．………………12分法2：bn===n&#8226;-，设Fn=，记f（x）=(kxk-1)，则f（x）=(xk)′=(xk)′=()′=，∴Fn=4-(n+2)()n-1， (10)分故Ｔn=Fn-=4-(n+2)&#8226;-1+=3-．……………………12分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵函数f（x）过点(-1,2)，∴f（-1）=-a+b-c=2，………………………………①又f（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点(1, f（1）)处的切线方程为y+2=0，∴ f （1）=-2, f （1）=0, ∴a+b+c=-2,3a+2b+c=0. ………………②由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x3-3x．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，解得x=±1，∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，∴在区间[-3,2]上fmax（x）=2，fmin（x）=-18，∴对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1，x2，f（x1）-f（x2）≤20，∴t≥20，从而t的最小值为20．……………8分（Ⅲ）∵ f ′（x）＝3ax2+2bx+c，则f ′（0）=c,f ′（-1）=3a-2b+cf ′（1）=3a+2b+c,,可得6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）．∵当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，∴f ′（-1）≤1，f ′（0）≤1，f ′（1）≤1，∴6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）≤f ′（-1）+f ′（1）+2f ′（0）≤4，∴a≤，故a的最大值为．当a=时，f ′（0）=c=1,f ′（-1）=2-2b+c=1,f ′（1）=2+2b+c=1,解得b=0，c=-1，∴a取得最大值时f（x）=x3-x． (14)分（作者单位：刘会金：光明新区教育科学研究管理中心；陈兴旺：光明新区高级中学）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

2011年广东高考数学模拟试卷（文科）（一）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.只有一项符合题目要求. 1．集合{1,2},{2,4},{1,2,3,4}A B U ===，则()U A B = ðA ．{2}B ．{3}C ．{1,2,3}D ．{1,4}2．复数1i i+的实部是A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．抛物线2y x =的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)2D ．1(0,)44．某地共有10万户家庭，其中城市住户与农村住户之比为4:6，为了落实家电下乡政策，现根据分层抽样的方法，调查了该地区1000户家庭冰箱拥有情况，调查结果如右表， 那么可以估计该地区农村住户中无冰箱总户数约为 A ．1.6万户B ．1.76万户C ．0.24万户D ．4.4万户5．1x >是1||x x>的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，周期为1的奇函数是A ．212sin y x π=-B ．sin cos y x x ππ=C ．tan2y xπ= D ．sin(2)3y x ππ=+7．设m 、n 是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题中正确的是A ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥B ．若,αβ⊥,//m n αβ⊥，则m n ⊥C ．若,,m αβαβ⊥= m n ⊥，则n β⊥D ．若//,αβ,//m n αβ⊥8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=, 则9S =A ．18B ．36C ．45D ．60 9．已知如右程序框图，则输出的i 是A ．9B ．11C ．13D ．1510．为加强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员x 名，行政 管理人员y 名，若x 、y 满足4y xy x ≤⎧⎨≤-+⎩，33z x y =+的最大值为A ．4B ．12C ．18D ．24OCBA 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前3项和为21，则345a a a ++= .12．设,a b都是单位向量，且a与b 的夹角为60︒，则||a b +=.13．比较大小：lg 9lg 11⋅ 1（填“>”，“<”或“=”）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；如果二题都做，则按第14题评分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)3M π到直线:s i n ()42l πρθ+=的距离为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知,45OA OB OC ACB ==∠=︒，则O B A ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[,]124ππ上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值．17．（本小题满分12分） 口袋中装有质地大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏： 甲先摸一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号.如果两个编号的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜.（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？说明理由.18．（本小题满分14分）如图，矩形A B C D 中，AD ⊥平面,2,ABE AE EB BC === F为C E 上的点，且B F ⊥平面AC E ，.BD AC G =（1）求证：A E ⊥平面BC E ； （2）求证：//A E 平面BFD ； （3）求三棱锥E A D C -的体积.19．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，点(1,2A 在椭圆C上.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,0)B ，设点P 是椭圆C 上任一点，求1PF PB ⋅的取值范围.DBA20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112n n T b +=．(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求证：数列{}n b 是等比数列； (3) 记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．21．（本小题满分14分） 已知函数3()3.f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.2010年高考（广东）模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分.其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答，只计算前一题得分.11．8412．13．< 14215．45︒三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．解： 21()cos cos 122f x x x x =++15cos 2sin 2444x x =++15sin(2)264x π=++…………………………………………………………4分（1）()f x 的最小正周期22T ππ==…………………………………………6分（2）[,]124x ππ∈ 22[,]633x πππ∴+∈ ∴当262x ππ+=，即6x π=时，m ax 157()244f x =+=当263x ππ+=或2263x ππ+=时，即12x π=或4x π=时，min 155()2244f x +=⋅+= (12)分17．解：（1）设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A .甲编号x ，乙编号y ，(,)x y 表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1，1），（1，2），……，（1，5），（2，1），（2，2），……，（5，4）， （5，5）共25个基本事件；……………………………………………………………………1分A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个 …………3分所以51()255P A == …………………………………………………………………………4分答：编号之和为6且甲胜的概率为15。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是 （ ）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值范围是 （ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是 （ ）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9） （6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安 岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 （ ） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是 （ ） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为 （ ）A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为 （ ）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ ） A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试理科数学2011.05.24 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题(40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1、函数lg(1)y x =-的定义域为A ，函数1()3xy =的值域为B ，则A B ⋂= （ ）A . (0,1) B. 1(,1)3C. φD. R2、 复数31i i+的模等于（ ）A .12B. 2C.D. 13.若函数y f(x )=的图象和y sin(x )4π=+的图象关于点P(,0)4π对称则f (x)的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 5．设随机变量X ～ N （2，82），且P {2＜x ＜4}＝0.3，则P {x ＜0}＝（ ）．第10题1侧视图俯视图正视图1.5411A ．0.8 B ．0.2 C ．0.5 D ．0.46．已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是( )A. 1m <B.1m ≤C.1m >D.1m ≥7．已知1F 、2F 是椭圆:C 12222=+by a x 的左右焦点，P 是C 上一点，2214||||3b PF PF =⋅→→，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．21,0( B ．23,0( C ．)1,23[ D ． )1,21[ 8．以下三个命题：①关于x 的不等式11≥x的解为]1,(-∞ ②曲线2sin 2y x =与直线0x =，34x π=及x 轴围成的图形面积为1s ，曲线y =与直线0x =，2x =及x 轴围成的图形面积为2s ，则122s s += ③直线03=-y x 总在函数x y ln =图像的上方其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题）9、如右图程序框图，输出s= ． （用数值作答）10、一个几何体的三视图如右图所示， 这个几何体的体积为11、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 12. 15二项展开式中，第__________项是常数项.13、已知函数6(3) 3 (6)() (x>6)x a x x f x a---≤⎧=⎨⎩(),n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，⊙O 和⊙'O 都经过点A 和点B ， PQ 切⊙O 于点P ，交⊙'O 于Q 、M ，交AB的延长线于N ，1NM =，3MQ =，则PN = 15．（《坐标系与参数方程》选做题）极坐标系下，圆2cos()2πρθ=+上的点与直线sin()4πρθ+=上的点的最大距离是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 且2||5a b -=. （I ）求cos()αβ-的值；（II ）若202π<α<<β<π-,且5sin 13β=-,求sin α的值.17．（本小题满分12分）现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。

2011届高考第三轮复习理科数学精编模拟试卷（七）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么12x-等于A ．13 B．6 C．9 D．42．已知(){}()(){}222,,,1E x y y x F x y xy a =≥=+-≤，那么使EF F =成立的充要条件是A ． 54a ≥B ．54a = C ．1a ≥ D ．0a > 3．设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7．5)等于A ．0．5B ．－0．5C ．1．5D ．－1．5 4．若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则A ．RPQB ．PQ RC ．QPRD ．P RQ 5．函数y=sin(π3－2x)＋sin2x 的最小正周期是 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 6．在圆x 2＋y 2＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是A ．（85，65） B ．(85，－65) C ．(－85，65) D ．(－85，－65) 7．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是A ．（0，2）B ．（0，2．5）C ．（0，6）D ．（0，3） 8．在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是A ．（n n 2-π，π） B ．（n n 1-π，π） C ．（0，2π） D ．（n n 2-π，nn 1-π） 9．定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合,设 a>b>0 ,给出下列不等式:① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④10．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是A ．50<<kB ．05<<-kC ．130<<kD ．50<<k二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分． 11．如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 ．12．设复数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπθθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z +=，则tan ϕ= ．13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从到． 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 ． 14．(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程)4πρθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是 ．15．(几何证明选讲选做题) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知)2(,21)4tan(παππα<<-=+． （Ⅰ）求αtan 的值； （Ⅱ）求)4sin(cos 22sin 2πααα--的值．17．（本小题满分12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q ，若第k 次出现“○”，则记1=k a ；出现“×”，则记1-=k a ，令.21n n a a a S +++=（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．18．（本小题满分14分）已知函数()b f x ax c x =++（a b c 、、是常数）是奇函数，且满足517(1),(2)24f f ==， （Ⅰ）求a b c 、、的值； （Ⅱ）试判断函数()f x 在区间1(0,)2上的单调性并说明理由；（Ⅲ）试求函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离． 20．（本小题满分14分）设()f k 是满足不等式223()2()0 x g k x g k -⋅⋅+≤的自然数x 的个数，其中1*()2 ()k g k k N -=∈． （Ⅰ）求(1)f 的值； （Ⅱ）求()f k 的解析式；（Ⅲ）记1()nn i S f i ==∑，令()*∈-+=N n n n Pn12，试比较n S 与n P 的大小．21．（本小题满分14分）直线AB 过抛物线x 2=2py （p >0）的焦点F ，并与其相交于A ．B 两点，Q 是线段AB 的中点，M 是抛物线的准线与y 轴的交点，O 是坐标原点． （Ⅰ）求MB MA ·的取值范围；（Ⅱ）过A ．B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N 点．求证：OF NQ OF MN ∥,0·=； （Ⅲ）若p 是不为1的正整数，当24·P MB MA =，△ABN 的面积的取值范围为［55，205］时，求该抛物线的方程．参考答案一．选择题：DABBB ACACA解析：1．由题干可得()322log log 1log 3x x =⇒=32.x ⇒=13222x--∴==故选D ． 2．E 为抛物线2y x =的内部（包括周界），F 为动圆()221x y a +-=的内部（包括周界）．该题的几何意义是为何值时，动圆进入区域E ，并被E 所覆盖．a 是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是()a c c R +≥∈，故可排除B 、D ，而当1a =时，.E F F ≠（可验证点()0,1．故选A ． 3．由f(x ＋2)＝－f(x)得f(7．5)＝－f(5．5)＝f(3．5)＝－f(1．5)＝f(－0．5)，由f(x)是奇函数，得f(－0．5)＝－f(0．5)＝－0．5，所以选B ． 4．取a ＝100，b ＝10，此时P ＝2，Q ＝23＝R ＝lg55＝PQR ，所以选B ．ABD1A 1B 1C5． f(x ＋π2)＝sin[π3－2(x ＋π2)]＋sin[2(x ＋π2)]＝－f(x)，而f(x ＋π)＝sin[π3－2(x ＋π)]＋sin[2(x ＋π)]＝f(x)．所以应选B ．6．在同一直角坐标系中作出圆x 2＋y 2＝4和直线4x ＋3y －12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A ．7．不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2．5，6和3哪个为方程xxx x +-=+-2233的根，逐一代入，选C ．8．当正n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n 棱柱便又是另一极限状态，此时α→nn 2-π，且大于nn 2-π，故选A ． 9．取满足题设的特殊函数．．．．．．．．．．f(x)=x ，g(x)=|x|,则f(b)-f(-a)=a+b ，g(a)-g(-b)=a-b ，又f(a)-f(-b)=a+b ，g(b)-g(-a)=b-a ；∴选C ． 10．作直线和圆的图象,从图中可以看出:k 的取值范围应选A ． 二．填空题：11．[)+∞∈,2a ； 12．.1tan 21tan 2-+θθ；13．%.75.0； 14．(x －1)2＋(y －1)2＝2；15．15 解析：11．根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数xa y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a ． 12．应用复数乘法的几何意义，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin 43cos 12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 222++--= 于是，1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=θθθθθθϕ 故应填.1tan 21tan 2-+θθ 13．中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有35P 种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355⨯P 种，于是中奖面为%,75.0%10010000005335=⨯⨯P 故应填%.75.014．由)4πρθ=+得cos )ρθθ=+=2(sin cos )θθ+， ∴22(sin cos )22y x ρρθθ=+=+，化简得(x －1)2＋(y －1)2＝2．15．依题意，BC =，∴AC =5，2AD =.AB AC =15，∴AD =15．三．解答题：16．解：（Ⅰ）由21tan 1tan 1,21)4tan(-=-+-=+ααπα得，解之得3tan -=α． （Ⅱ）ααααααπαααcos 22)cos (sin 22cos 2cos sin 2)4sin(cos 22sin 22=--=--，tan 32παπα<<=-且 ，cos α= 552-=∴原式．17．解：（Ⅰ）||3S =ξ 的取值为1，3，又,21==q p .41)31()21()3(,432)21()21()1(33213=⋅+===⋅⋅==∴ξξP C P ∴ξ的分布列为E ξ=1×43+3×41=23．（Ⅱ）当S 8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知),4,3,2,1(0=≥i S i若第一．三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一．二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为).218780(3803830)32()31()(78353536或=⨯=⋅⋅+=C C P18．解：（Ⅰ）∵函数()f x 是奇函数，则()()0f x f x -+=，即 0b bax c ax c x x--++++= ∴0c =．由517(1),(2)24f f ==得517,2224b a b a +=+= 解得12,2a b ==． ∴12,2a b ==，0c =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()22f x x x =+，∴21'()22f x x =-．当1(0,)2x ∈时21022x <<，2122x >，∴'()0f x <，即函数()f x 在区间1(0,)2上为减函数．（Ⅲ）由21'()22f x x =-＝0，0x >得12x =．∵当12x >，2122x<，∴'()0f x >，即函数()f x 在区间1(,)2+∞上为增函数．∴12x =是函数的最小值点，即函数()f x 在(0,)+∞取得最小值1()22f =．19．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ． AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直 线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=．在AED Rt ∆中，tan 45AEED==，解得x =∴此正三棱柱的侧棱长为（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系xyz o -．则1(0,1,0),(0,1,0),(,0)A B C D -．设1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021n AB n得0y y ⎧=⎪-+=．取1(6,n =- 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ．结合图形可知，二面角C BD A --的大小为arccos（Ⅲ）由（Ⅱ）得1(6,),n =-(0,1CA =-∴点C 到平面ABD 的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-= 20．解：（Ⅰ）当1k =时，原不等式即2320x x -+≤，解得12x ≤≤，x N +∈，∴1,2x = 即(1)2f =（Ⅱ）原不等式等价于11(2)(2)022k k k k x x x ----≤⇔≤≤，()1212211+=+-=--k k k k f ， ∴0111()(1)(2)()22221nn n n i S f i f f f n n n -===+++=++++=+-∑．（Ⅲ）∵22n P S n n n -=-，当n=1时，;01221>-；n=2时，;02222=- 当n=3时，;03223<-；n=4时，;04224=-当n=5时，;05225>-；n=6时，;06226>- 猜想：5≥n 时n n P S >．下面用数学归纳法给出证明．①当n=5时，55P S >，已证；②假设()5≥=k k n 时结论成立即22,k P S k k k >>，那么n=k+1时，122222(1)2221221k kk k k k k k +-+=⋅--->⋅---2221(1)2k k k =--=--．在5≥k 范围内，()0212>--k 恒成立,则122(1)k k +>+，即11++>k K P S由①②可得，猜想正确，即5≥n 时，n n P S >．综上所述：当n=2,4时,n n P S =;当n=3时,n n P S <；当n=1或5≥n 时n n P S >．21．解：（Ⅰ）由条件得M (0，－2p )，F (0，2p )．设直线AB 的方程为y =kx +2p，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )， 则1212py x =，222x py =，Q (222121y y x x ++，)． 由⎪⎩⎪⎨⎧++=py x p kx y 222得0222=--p pkx x ．∴由韦达定理得1x +2x =2pk ，1x ·2x =－2p ，从而有1y 2y =44222221p px x = 1y +2y =k(1x +2x )+p=2pk 2÷p ．∴·的取值范围是[)∞+，0． （Ⅱ）抛物线方程可化为221x p y =，求导得x p y 1=．∴切线NA 的方程为：y －)(21121x x px p x -=即p x x p x y 2211-=，切线NB 的方程为：px x p x y 2222-=．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=p x x p x y px x p x y 22222211解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=p x x y x x x 2·22121∴N (p x x x x 222121，+)，从而可知N 点Q 点的横坐标相同但纵坐标不同．∴NQ ∥OF ．即∥．又由（Ⅰ）知1x +2x =2pk ，1x ·2x =－p 2，∴N (pk ，－2p )．而M (0，－2p) ∴)0(，pk =，又)2,0(p=． ∴0·=．（Ⅲ）由24·p MB MA =．又根据(Ⅰ)知22·k p MB MA =，∴4p 2=p 2k 2，而p>0，∴k 2=4，k =±2．由于NF =(－pk ，p )，),1)(()21)(()(1221121212k x x px x x x y y x x -=++-=--=，， ∴0))(()1)((·)(·1212=---=--=pk pk x x k x x p pk AB NF ，，，从而AB NF ⊥． 又||=p p k p 5222=+，||=.1022221p p pk p y y =-=++∴2 5510521||·||21p p p S ABN =⨯⨯==△， 而ABN S △的取值范围是［55，205］．∴55≤55p 2≤205，1≤p 2≤4．而p >0，∴1≤p ≤2．又p 是不为1的正整数．∴p =2．故抛物线的方程：x 2=4y ．。

中山市2011年高三第三次模拟试题理科数学本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式： 线性回归方程系数公式：ˆybx a =+，其中121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数421ii-+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．3 B ．6 C ．3- D ．22．命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,xx e x ∃∈≤R3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(1)0.9P ξ>=，则(5)P ξ<=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.1D ．0.2 4．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称的图形5．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1133CM CB CA =+，则MA MB ⋅=（ ） A ．2- B ．2 C ．23- D ．236．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，其中所有真命题．．．的序号是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①②7．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2011项2011a 满足（ ）A ．20111010a <<B ．20111110a ≤<C ．2011110a ≤≤D ．201110a >8．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ） A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是 10．已知x 、y 的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.86.7若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ； 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在ABC ∆中，已知(1,3)A ，A ∠的平分线的方程为2y x =+，BC 边上的高所在的直线的方程是142y x =-+，则AC 边所在的直线的方程为13. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则点集{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积分别为 ； ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________； 15．(几何证明选讲选做题） 如图, ,PC DA 是O 的两条切线，AB 为O 的直径，若2, :1:2DA CD DP ==，则AB = ________ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。