2020届江苏省常州市九年级数学第二次模拟考试试题(加精)

2020年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）8-的相反数是( ) A ．8-B ．8C ．18-D ．182．（2分）用代数式表示：a 与3和的2倍．下列表示正确的是( ) A ．23a -B ．23a +C ．2(3)a -D ．2(3)a +3．（2分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（2分）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为( ) A ．1500B ．2000C ．2500D ．30005．（2分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( ) A ．等边三角形B ．正方形C ．正六边形D ．圆6．（2分）已知反比例函数8y x=-，下列结论：①图象必经过(2,4)-；②图象在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当1x >-时，则8y >．其中错误的结论有( )个 A ．3B ．2C ．1D ．07．（2分）若正比例函数(0)y kx k =≠，当x 的值减小1，y 的值就减小2，则当x 的值增加2时，y 的值( ) A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小28．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位上） 9．（2分）16的平方根是 ．10．（2分）分解因式：22a a -= ． 11．（2分）点(5,1)P -到x 轴距离为 ．12．（2分）2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为 ．13．（2分）如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠的度数为 ．14．（2分）如图，四边形ABCD 内接于半径为4的O ，45D ∠=︒，则AC = ．15．（2分）已知扇形的圆心角为120︒，弧长为2π，则它的半径为 ． 16．（2分）二次函数221y x x =-+在35x 范围内的最小值为 ．17．（2分）如图，将ABC ∆沿直线折叠，折痕为EF ．使点C 落在AB 边中点M 上，若8AB =，10AC =，则AEM ∆的周长为 ．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足90ACB ∠=︒，D 为直线y x =上的动点，则线段CD 长的最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）计算（1）0119(1)()3π---+；（2）222a ab b a b a b --+-． 20．（6分）解不等式组并求出它的整数解：580,365x x x +>⎧⎨+⎩．21．（8分）如图，四边形ABCD 是矩形，以点A 为圆心、AD 为半径画弧交BC 于点E ．DF AE ⊥于F ．若E 恰好为BC 的中点．（1）BAE ∠= ︒；（2）DF 平分AE 吗？证明你的结论．22．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个) 9 10 11 12 13 15 16 19 20 工人人数（人)116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？ 23．（8分）我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，其中“√”表示投放正确，“⨯ “表示投放错误，统计情况如表． 学生 垃圾类别 A B C D E F G H厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √ 可回收垃圾 √ ⨯√ ⨯⨯√ √ √ 有害垃圾 ⨯ √ ⨯√ √ ⨯⨯√ 其他垃圾⨯√√ ⨯⨯√ √√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C 、G 两位学生的概率．24．（8分）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花50元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等．求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元．25．（8分）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 绕点(0,6)A 旋转，当点B 落在x 轴上时，点C 刚好落在反比例函数(0,0)ky k x x=≠>的图象上．已知5sin OAB ∠=．（1）求反比例函数的表达式； （2）反比例函数ky x=的图象是否经过AD 边的中点，并说明理由．26．（10分）已知45MCN ∠=︒，点B 在射线CM 上，点A 是射线CN 上的一个动点（不与点C 重合）．点B 关于CN 的对称点为点D ，连接AB 、AD 和CD ，点F 在直线BC 上，且满足AF AD ⊥．小明在探究图形运动的过程中发现AF AB =始终成立． （1）如图，当090BAC ︒<∠<︒时． ①求证：AF AB =；②用等式表示线段CF 、CD 与CA 之间的数量关系，并证明；（2）当90135BAC ︒<∠<︒时，直接用等式表示线段CF 、CD 与CA 之间的数量关系是 ．27．（10分）已知二次函数26y ax bx ==++的图象开口向下，与x 轴交于点(6,0)A -和点(2,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是该函数图象上的一个动点（不与点C 重合）． （1）求二次函数的关系式；（2）如图1当点P 是该函数图象上一个动点且在线段AC 的上方，若PCA ∆的面积为12，求点P 的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D ，在该函数图象上是否存在点E ，使得2EAB DAC ∠=∠，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．28．（10分）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．2020年江苏省常州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）8-的相反数是( ) A ．8-B ．8C ．18-D ．18【考点】14：相反数【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，8-的相反数是(8)8--=． 故选：B ．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．（2分）用代数式表示：a 与3和的2倍．下列表示正确的是( ) A ．23a -B ．23a +C ．2(3)a -D ．2(3)a +【考点】32：列代数式【分析】根据和与倍数关系得出代数式解答即可． 【解答】解：a 与3和的2倍用代数式表示为：2(3)a +， 故选：D ．【点评】此题考查列代数式问题，关键是根据和与倍数关系得出代数式． 3．（2分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【考点】2U ：简单组合体的三视图【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形． 故选：C ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（2分）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为( ) A ．1500B ．2000C ．2500D ．3000【考点】1X ：随机事件【分析】直接利用抛掷一枚硬币正面向上的概率为12，进而估算出正面朝上的次数． 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为2500． 故选：C ．【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握概率的意义是解题关键． 5．（2分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( ) A ．等边三角形B ．正方形C ．正六边形D ．圆【考点】5R ：中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、不是中心对称图形，故本选项正确；B 、是中心对称图形，故本选项错误；C 、是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（2分）已知反比例函数8y x=-，下列结论：①图象必经过(2,4)-；②图象在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当1x >-时，则8y >．其中错误的结论有( )个 A ．3B ．2C ．1D ．0【考点】4G ：反比例函数的性质【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：①当2x =-时，4y =，即图象必经过点(2,4)-； ②80k =-<，图象在第二、四象限内；③80k =-<，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；④80k =-<，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若01x >>-，8y ->，故④错误， 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．7．（2分）若正比例函数(0)y kx k =≠，当x 的值减小1，y 的值就减小2，则当x 的值增加2时，y 的值( ) A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征；6F ：正比例函数的性质【分析】由“当x 的值减小1，y 的值就减小2”，即可求出k 值，再利用一次函数的性质可求出当x 的值增加2时y 的变化．【解答】解：依题意，得：2(1)y kx y k x =⎧⎨-=-⎩，解得：2k =， 2(2)24x x ∴+-=．故选：A ．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出k 值是解题的关键．8．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征【分析】分0x 及0x <两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当0x 时，(3)1x x -=，解得：1x =（不合题意，舍去），2x =； 当0x <时，(3)1x x --=，解得：3x =，4x ． ∴函数||3y x =-的图象上的“好点”共有3个．故选：C ．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分0x 及0x <两种情况，找出关于x 的一元二次方程是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位上）9．（2分）16的平方根是 4± ． 【考点】21：平方根【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得2x a =，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：2(4)16±=， 16∴的平方根是4±．故答案为：4±．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．（2分）分解因式：22a a -= (2)a a - ． 【考点】53：因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案． 【解答】解：22(2)a a a a -=-． 故答案为：(2)a a -．【点评】提公因式法的直接应用，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．11．（2分）点(5,1)P -到x 轴距离为 1 ． 【考点】1D ：点的坐标【分析】根据点(,)P x y 到x 轴距离为||y 求解． 【解答】解：点(5,1)P -到x 轴距离为1． 故答案为1．【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x 轴上点的纵坐标为0，在y 轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．12．（2分）2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为 77.0410⨯ ． 【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1<时，n是负数．【解答】解：7040万7==⨯．704000007.0410故答案为：7⨯．7.0410【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中a<，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1||1013．（2分）如图，在ABC∆中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠的度数为70︒．60∠=︒，则BADC∠=︒，25B【考点】KG：线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD CD∠的度数，根据三角形内角=，求出DAC和定理求出BAC∠，即可得出答案．【解答】解：DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，AD CD∴=，∴∠=∠，C DACC∠=︒，25DAC∴∠=︒，25在ABC∠=︒，25∠=︒，CB∆中，60∴∠=︒-∠-∠=︒，18095BAC B CBAD BAC DAC∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，952570故答案为：70︒．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD CD=是解此题的关键．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于半径为4的O，45∠=︒，则AC=2．D【考点】6M ：圆内接四边形的性质【分析】连接OA 、OC ，构造等腰直角三角形求得AC 的长即可． 【解答】解：如图，连接OA ，OC ， 45D ∠=︒， 90AOC ∴∠=︒，半径4OA OC ==， 242AC OA ∴==，故答案为：42．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．15．（2分）已知扇形的圆心角为120︒，弧长为2π，则它的半径为 3 ． 【考点】MN ：弧长的计算【分析】根据弧长公式代入求解即可． 【解答】解：180n Rl π=， 18023120R ππ⨯∴==．故答案为：3．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：180n Rl π=． 16．（2分）二次函数221y x x =-+在35x 范围内的最小值为 4 ．【考点】7H ：二次函数的最值【分析】将二次函数221y x x =-+化成顶点式，即可得到最小值． 【解答】解：2221(1)y x x x =-+=-，可见该二次函数图象的对称轴是1x =，且在35x 范围内y 随x 的增大而增大，∴当3x =时，2(31)4y =-=最小．故答案为4．【点评】此题考查了二次函数的最值，将一般式化为顶点式，即可直接得出二次函数的最小值．注意，此题的自变量x 是有取值范围的．17．（2分）如图，将ABC ∆沿直线折叠，折痕为EF ．使点C 落在AB 边中点M 上，若8AB =，10AC =，则AEM ∆的周长为 14 ．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）【分析】由折叠的性质可得CE EM =，由AEM ∆的周长AE EM AM =++，即可求解． 【解答】解：点M 是AB 的中点， 142AM BM AB ∴===， 将ABC ∆沿直线折叠，折痕为EF ．使点C 落在AB 边中点M 上， CE EM ∴=，AEM ∴∆的周长10414AE EM AM AE EC AM AC AM =++=++=+=+=，故答案为：14．【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足90ACB ∠=︒，D 为直线y x =上的动点，则线段CD 长的最小值为21 ．【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征；KQ ：勾股定理；5M ：圆周角定理；4J ：垂线段最短【分析】取AB 的中点E ，过点E 作直线y x =的垂线，垂足为D ，求出DE 长即可求出答案．【解答】解：取AB 的中点E ，过点E 作直线y x =的垂线，垂足为D ，点(1,0)A ，B (3,0)， 1OA ∴=，3OB =， 2OE ∴=，222ED ∴== 90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上， ∴线段CD 21．21．【点评】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C ，D 两点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）计算（10119(1)()3π--+；（2）222a ab b a b a b --+-． 【考点】6B ：分式的加减法；2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂 【分析】（1）根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；（2）根据异分母分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：（1）原式3135=-+=；（2）原式2()()()()a a b ab b a b a b ---=+-22()()a ab ab b a b a b --+=+- 2()()()a b a ba b a b a b--==+-+． 【点评】本题主要考查了分式的加减以及实数的运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．20．（6分）解不等式组并求出它的整数解：580,365x x x +>⎧⎨+⎩．【考点】CB ：解一元一次不等式组；CC ：一元一次不等式组的整数解【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的所有整数解即可．【解答】解580365x x x +>⎧⎨+⎩①②解不等式①得：85x >-，解不等式②得：3x ，则不等式组的解集为835x -<，所以不等式组的整数解为1-，0，1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（8分）如图，四边形ABCD 是矩形，以点A 为圆心、AD 为半径画弧交BC 于点E ．DF AE ⊥于F ．若E 恰好为BC 的中点．（1）BAE ∠= 30 ︒；（2）DF 平分AE 吗？证明你的结论．【考点】LB ：矩形的性质【分析】（1）由题意得AE AD =，证出1122BE AD AE ==，得出30BAE ∠=︒即可； （2）证30ADF ∠=︒，由含30︒角的直角三角形的性质得出12AF AD =，则12AF AE =，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得：AE AD =， 四边形ABCD 是矩形， 90BAD B ∴∠=∠=︒，AD BC =，点E 为BC 的中点， 12BE BC ∴=， 1122BE AD AE ∴==， 30BAE ∴∠=︒；故答案为：30；（2）DF 平分AE ，理由如下： 由（1）得：30BAE ∠=︒， 60DAF BAD BAE ∴∠=∠-∠=︒，DF AE ⊥，9030ADF DAF ∴∠=︒-∠=︒， 12AF AD ∴=， 12AF AE ∴=， AF EF ∴=，即DF 平分AE ．【点评】本题考查了矩形的性质、含30︒角的直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键．22．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【考点】4W：中位数；2W：加权平均数；5W：众数【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．【解答】解：（1）1(91101116124132152162191201)13 20x=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个)；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为1212122+=（个)，众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．23．（8分）我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“⨯“表示投放错误，统计情况如表．（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C 、G 两位学生的概率．【考点】VA ：统计表；6X ：列表法与树状图法 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）利用列表法可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）在8位学生中，有B 、C 、F 、G 、H 这5位同学有3类或4类均投放正确，8∴名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58；（2）列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中刚好抽到C 、G 两位学生的有2种结果，∴刚好抽到C 、G 两位学生的概率为21126=． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（8分）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花50元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等．求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元．【考点】7B ：分式方程的应用【分析】设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要(50)x +元，根据数量=总价÷单价结合花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要(50)x +元， 依题意，得：30010050x x=+， 解得：25x =，经检验，25x =是原方程的解，且符合题意， 5075x ∴+=．答：购买一个A 商品需要75元，购买一个B 商品需要25元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（8分）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 绕点(0,6)A 旋转，当点B 落在x 轴上时，点C 刚好落在反比例函数(0,0)ky k x x=≠>的图象上．已知5sin OAB ∠=．（1）求反比例函数的表达式； （2）反比例函数ky x=的图象是否经过AD 边的中点，并说明理由．【考点】7T ：解直角三角形；7G ：待定系数法求反比例函数解析式；6G ：反比例函数图象上点的坐标特征；7R ：坐标与图形变化-旋转；LE ：正方形的性质【分析】（1）过C 点作CE x ⊥轴于E ，如图，利用正弦的定义得到sin OB OAB AB ∠==，设OB =，则5AB x =，OA =，所以6=，解方程得到(3,0)B ，接着证明AOB BEC ∆≅∆得到6AO BE ==，3OB CE ==，从而得到(9,3)C ，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）利用平移的方法确定D 点坐标为(6,9)，再利用线段中点坐标公式得到线段AD 的中点坐标为15(3,)2，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数k y x =的图象是否经过AD 边的中点．【解答】解：（1）过C 点作CE x ⊥轴于E ，如图， (0,6)A ， 6OA ∴=，在Rt OAB ∆中，sin OB OAB AB ∠==，设OB =，则5AB x =，OA ∴=，6∴=，解得x ， 3OB ∴=，(3,0)B ∴，四边形ABCD 为正方形， BA BC ∴=，90ABC ∠=︒， 90ABO CBE ∴∠+∠=︒，而90ABO OAB ∠+∠=︒， OAB CBE ∴∠=∠，AOB BEC ∠=∠，OAB CBE ∠=∠，AB BC =，()AOB BEC AAS ∴∆≅∆， 6AO BE ∴==，3OB CE ==，(9,3)C ∴，点C 在反比例函数ky x=的图象上， 9327k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为27y x =； （2）反比例函数k y x=的图象不经过AD 边的中点． 理由如下： 点B 向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到A 点，∴点C 向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到D 点，D ∴点坐标为(6,9)，∴线段AD 的中点坐标为15(3,)2， 1545322⨯=， ∴反比例函数k y x =的图象不经过AD 边的中点．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设反比例函数解析式(k y k x=为常数，0)k ≠，然后把一组对应值代入求出k ，从而得到反比例函数解析式；也考查了正方形的性质．26．（10分）已知45MCN ∠=︒，点B 在射线CM 上，点A 是射线CN 上的一个动点（不与点C 重合）．点B 关于CN 的对称点为点D ，连接AB 、AD 和CD ，点F 在直线BC 上，且满足AF AD ⊥．小明在探究图形运动的过程中发现AF AB =始终成立．（1）如图，当090BAC ︒<∠<︒时．①求证：AF AB =；②用等式表示线段CF 、CD 与CA 之间的数量关系，并证明；（2）当90135BAC ︒<∠<︒时，直接用等式表示线段CF 、CD 与CA 之间的数量关系是 2CD CF - ．【考点】RB ：几何变换综合题【分析】（1）①先判断出四边形AGCH 是矩形，得出90GAH ∠=︒，得出FAG DAH ∠=∠，进而判断出FAG DAH ∆≅∆，即可得出结论；②由矩形AGCH 是正方形，判断出CH CG =，45CAH DCA ∠=∠=︒，由①知，AGF AHD ∆≅∆，得出FG DH =，即1()2CH CD CF =+，再根据勾股定理得，2AC CH =，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出AHD AGF ∆≅，得出DH FG =，进而得出1()2CH CD CF =-，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，点D ，B 关于CD 对称，AB AD ∴=，BAC DAC ∠=∠，45ACD MCN ∠=∠=︒，90DCM ∴∠=︒，过点A 作AM BC ⊥于M ，作AN CD ⊥于N ，AG AH ∴=，90AGC AHC DCM ∠=∠=∠=︒，∴四边形AGCH 是矩形，90GAH ∴∠=︒，AF AD ⊥，90FAD ∴∠=︒，FAG DAH ∴∠=∠，()AGF AHD ASA ∴∆≅∆，AF AD ∴=，AB AD =，AF AB ∴=；②结论：CD CF +，理由：由①知，四边形AGCH 是矩形，AG AH =，∴矩形AGCH 是正方形，CH CG ∴=，45CAH DCA ∠=∠=︒，由①知，AGF AHD ∆≅∆，FG DH ∴=，2CD CF CH DH CG FG CH ∴+=++-=，1()2CH CD CF ∴=+根据勾股定理得，1()2AC CD CF =+，CD CF ∴+；（2）结论：CD CF -=，理由：如备用图，同（1）的方法得，AHD AGF ∆≅，DH FG ∴=，2CD CF CH DH FG CG CH ∴-=+-+=，1()2CH CD CF ∴=-，根据勾股定理得，1()2AC CD CF =-，CD CF ∴-，故答案为：CD CF -=．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．27．（10分）已知二次函数26y ax bx ==++的图象开口向下，与x 轴交于点(6,0)A -和点(2,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是该函数图象上的一个动点（不与点C 重合）． （1）求二次函数的关系式；（2）如图1当点P 是该函数图象上一个动点且在线段AC 的上方，若PCA ∆的面积为12，求点P 的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D ，在该函数图象上是否存在点E ，使得2EAB DAC ∠=∠，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）函数的表达式为：2(6)(2)(412)y a x x a x x =+-=+-，即可求解；（2）112621222PCA S PGAC PG ∆=⨯=⨯⨯=，解得：4PH =，直线AC 的表达式为：6y x =+，即可求解；（3）10sin DC DAC AD ∠==，35sin 2sin sin 580DH DAC DAD EAB AD ∠=∠'====∠'，则3tan 4EAB ∠=，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：2(6)(2)(412)y a x x a x x =+-=+-，126a -=，解得：12a =-，函数的表达式为：21262y x x =--+⋯①，顶点D 坐标为(2,8)-；（2）如图1所示，过点P 作直线//m AC 交抛物线于点P '，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，作PG AC ⊥于点G ，OA OC =，45PHG CAB ∴∠=∠=︒，则2HP PG ，1126212222PCA S PG AC PG ∆=⨯=⨯⨯=，解得：4PH =，直线AC 的表达式为：6y x =+，则直线m 的表达式为：10y x =+⋯②，联立①②并解得：2x =-或4-，则点P 坐标为(2,8)-或(4,6)-；（3）点A 、B 、C 、D 的坐标为(6,0)-、(2,0)、(0,6)、(2,8)-， 则72AC =，8CD =，80AD =， 则90ACD ∠=︒，10sin DC DAC AD ∠==， 延长DC 至D '使CD CD ='，连接AD '，过点D 作DH AD ⊥'，则28DD '=，80AD AD ='=1122S ADD DD AC DH AD ∆'='⨯=⨯'， 即：287280DH 5DH =，35sin 2sin sin 580DH DAC DAD EAB AD ∠=∠'====∠'， 则3tan 4EAB ∠=， ①当点E 在AB 上方时，则直线AE 的表达式为：34y x b =+， 将点A 坐标代入上式并解得：直线AE 的表达式为：3942y x =+⋯④， 联立①④并解得：12x =（不合题意值已舍去）， 即点1(2E ，39)8； ②当点E 在AB 下方时，同理可得：点7(2E ，57)8-． 综上，点1(2E ，39)8或7(2，57)8-． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，其中（3），都要注意分类求解，避免遗漏．28．（10分）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 B ，C ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，23)的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可．（2）求出两种特殊位置时t 的值即可判断．（3）如图3中，连接OP ，OM ．首先求出POE ∠，根据图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，23)的圆为EMO ∠的角内相切圆．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆．故答案为：B ，C ．。

江苏省常州市2020年数学中考模拟试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）A . a+b＞0B . ab＞0C . a-b＞0D . |a|-|b|＞02. （2分）(2017·深圳模拟) 下列所给图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A . 50，20B . 50，30C . 50，50D . 135，504. （2分）(2018·新北模拟) 下列运算正确的是（）A . a2+a3=a5B . （a+2b）2=a2+2ab+b2C . a6÷a3=a2D . （﹣2a3）2=4a65. （2分）(2019·南通) 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为（）A . 110°B . 125°C . 135°D . 140°6. （2分）设a，b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A . 2006B . 2007C . 2008D . 20097. （2分） (2019七上·如皋期末) 据江苏省统计局统计：2018年三季度南通市GDP总量为亿元，位于江苏省第4名，将这个数据用科学记数法表示为A . 亿元B . 亿元C . 亿元D . 亿元8. （2分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（）A . x＜﹣3B . x≤﹣3C . x＜﹣1D . x≤﹣19. （2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=2，CD=8，则⊙O的半径为（）A . 4B . 5C . 8D . 1010. （2分） (2017九上·下城期中) 二次函数（其中m＞0），下列说法正确的（）A . 当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B . 当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C . 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+D . 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2018·拱墅模拟) 分解因式：a3-16a=________。

江苏省常州市正衡中学天宁分校九年级数学第二次模拟考试试题注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与π）．3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．在下列实数中，无理数是 A ．0B ．227C ．4D ．3π 2．下列计算正确的是 A ．5522-=-a aB ．642m m m =⋅C ．xy y x 22=+D ．632)(a a =-3．下面几何体的俯视图是4．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是 A ．9B ．8C ．7D ．65．一组数据1-，0，3，5，x 的极差是8，那么x 的值可能有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．6个6．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2-+=x ax y 图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是 A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜1-D ．a ＞1-7．某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为 A. 80B. 100C. 120D. 2008．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数y ＝k x（k ≠0，x ＞0）上，若矩形ABCD 的面积为12，则k 的值为 A ．12 B ．4C ．3D ．6二、填空题（每小题2分，共20分） 9．0525+＝ ▲ ．10．已知∠A ＝60°，则cos A ＝ ▲ ．几何体A. B. C. D.O B C DAyx11．二次函数22--=x y 图像的顶点坐标是 ▲ .12．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为 ▲ ． 13．如下图，直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于 ▲ ． 14．如下图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则直径AD 为 ▲ ．15．用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 ▲ ．16．如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-≥-0203b x a x 的整数解仅有1和2，那么a 、b 的取值范围分别是 ▲ ．17．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，点E 、F 分别在AB 和AC 上，设AE ＝x ，AF ＝y ，若线段EF 平分△ABC 的面积，则用x 的代数式表示y ＝ ▲ ．18．如右上图，在正方形ABCD 中，3=AB ，以B 为圆心，半径为1画⊙B ，点P 在⊙B 上移动，连接AP ，并将AP 绕点A 逆时针方向旋转 90°至AP'，连接BP'，在点P 移动过程中，BP'长的取值范围是 ▲ ．三、解答题（共10题，共84分）19．（本题满分6分）先化简，再求值：)2(14)12(2-+--m m m ）（，其中31-=m ．20．（本题满分8分，每小题4分）解方程和不等式组：⑴ 2112--=--x x x x ； ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-.2)1(54x x x x ，21．（本题满分8分）国民体质监测中心开展了青少年形体测评．专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿情况.现对专家的测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：P P'DCAB（第18题）BCDOA（第14题） 1l 2l 21（第13题）⑴ 请将两幅统计图补充完整；⑵ 在这次形体测评中，一共抽查了 ▲ 名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有 ▲ 人； ⑶ 根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.22．（本题满分8分）某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援地震救灾．⑴ 若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果； ⑵ 求恰好选中医生甲和护士A 的概率．23．（本题满分8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ，E 为∠BCD 平分线上的点，连接BE 、DE , 延长BE 交CD 于点F ． ⑴ 求证：△BCE ≌△DCE ； ⑵ 若DE ∥AB ，求证：FD ＝FC ．站姿不良 31 %坐姿不良 20 %走姿不良37 %坐姿 不良类别站姿 不良走姿 不良三姿 良好人数25 50 75 100 125 150 175 200 A D FEBC24．（本题满分8分）某市地铁二号线某工段需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方700m3，现决定向一大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：租金(单位：元/台·时) 土石方量(单位：m3/台·时)甲型挖掘机90 50乙型挖掘机100 60⑴若租用甲、乙两种型号的挖掘机共13台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？⑵如果每小时支付的租金不超过1200元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案?25．（本题满分8分）已知Rt△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝10，且cos A ＝54. M 为线段AB 的中点， 作DM ⊥AB 交AC 于D . 点Q 在线段AC 上，点P 在线段BC 上，以PQ 为直径的圆始终过点M ， 且PQ 交线段DM 于点E .⑴ 试说明△AMQ ∽△PME ；⑵ 当△PME 是等腰三角形时，求出线段AQ 的长.26．（本题满分10分）⑴ 阅读理解问题1：已知d c b a 、、、为正数，2222d c b a +=+， bd ac =，试说明 c b d a ==,. 我们通过构造几何模型解决代数问题. 注意到条件2222d c b a +=+，如果把 d c b a ,;,分别看作为两个直角三角形的直角边，那么可构造图1所示的几何模型.∵bd ac =, ∴AB CD BC AD ⋅=⋅ ∴AB BCAD CD=请你按照以上思路继续完成说明.⑵ 深入探究问题2：若00a b >>，，试比较2ba +和ab 的大小. 为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB 为直径, O 为 圆心，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于D ，AD ＝a ，BD ＝b . 请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．⑶ 拓展运用 对于函数xx y 9+=，求当0>x 时，求y 的取值范围． CPD EQA M BACBDabcd图１Cab图227．（本题满分10分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点D 重合），点Q 是边CD 上一点，连接PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． ⑴ 若tan 4PBC ∠=，求AP 的长；⑵ 是否存在点P ，使得点Q 恰好是边CD 的中点？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．⑶ 连接BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知A （－3，0），B （4，0），C （0，4）. 二次函数的图像经过A 、B 、C 三点．点P 沿AC 由点A 处向点C 运动，同时，点Q 沿BO 由点B 处向点O 运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与二次函数的图像交于点D ，连接PD ，PD 与BC 交于点E ． 设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）.⑴ 求二次函数的表达式；⑵ 在点P 、Q 运动的过程中，当∠PQA ＋∠PDQ ＝90°时，求t 的值；⑶ 连接PB 、BD 、CD ，试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC 是平行四边形？若存在，请求出此时t 的值与点E 的坐标；若不存在，请说明理由.A P D QCBA DCB备用图九年级教学情况调研测试数学参考答案及评分标准一．选择题（本题有8小题，每小题2分，共16分）题 号 12345678答 案D B A A B C C D二．填空题 （每小题2分，共20分）9．6 10．21 11．)2,0(- 12．51 13．ο40 14．24 15．5 16．30≤<a 64<≤b 17．xy 10= 18．≤-123BP '123+≤.三、解答题（共84分） 19．化简求值：原式＝)274(1m 4422---+-m m m ------------------------------------------ 2分 ＝33+m ------------------------------------------------------------ 4分 将31=m 代入得原式＝3)31(3+-⨯ ---------------------------------------------- 5分 ＝2 ---------------------------------------------------------------------- 6分20．⑴ 解：去分母：两边乘以2-x 得12-=+-x x x --------------------------------- 1分12-=x 3=x---------------------------------------------------------- 2分 检验：将3=x 代入0132≠-=-x -------------------------------------------- 3分 ∴原分式方程的解为3=x ----------------------------------------------------- 4分 ⑵ 解不等式组：解： 解不等式①得： 2≤x ------------------------------------------------ 1分解不等式②得： 35-<x ---------------------------------------------- 2分 ∴ 原不等式组的解集为35-<x ． --------------------------------------- 4分21．⑴ 扇形图中填：三姿良好12%， ------------------------------------------------ 2分条形统计图 ---------------------------------------------------------------- 4分 ⑵ 500，12000 ---------------------------------------------------------------- 6分 ⑶ 答案不惟一，只要解答具有正确的导向性，且符合以下要点的意思，均可给分要点： 中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的不良习惯，促进身心健康发育. --------------------------------------------------------- 8分 22．解：⑴甲 乙 丙 A （甲，A ） （乙，A ） （丙，A ） B（甲，B ）（乙，B ）（丙，B ）所有等可能的情况数有6种； -------------------------------------------- 4分 ⑵ 恰好选中医生甲与护士A 的情况有1种，则P =61． 答：恰好选中医生甲和护士A 的概率为61 -------------------------------------- 8分 23．⑴ ∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠DCE ----------------------------------- 1分 又BC =CD,CE =CE, ---------------------------------- 2分 ∴△BCE ≌△DCE ------------------------------------ 3分 ⑵ 延长DE 交BC 于G∵AD ∥BC, DE ∥AB,∴四边形ABGD 是平行四边形， ----------------------- 4分 ∴BG =AD =DC 21------------------------------------- 5分 可证得△DFE ≌△BGE --------------------------------- 7分 ∴FD =BG =DC 21∴FD =FC. -------------------------8分24．⑴ 设甲、乙两种型号的挖掘机分别需要x 台、y 台.根据题意，得⎩⎨⎧=+=+700605013y x y x ------------------------------------------- 2分解得 ⎩⎨⎧==58y x ------------------------------------------------------------ 3分 答：甲、乙两种型号的挖掘机分别需8台、5台. --------------------------------- 4分 ⑵ 设租用a 辆甲型挖掘机，b 辆乙型挖掘机. 依题意，得50a +60b =700,所以b a 5614-= --------------------------------------5分 所以⎩⎨⎧==58b a 或⎩⎨⎧==102b a -------------------------------------------------------- 6分当a =8，b =5时，支付租金：90×8+100×5=1220元>1200元，超出限额； ------------ 7分 当a =2，b =10时，支付租金：90×2+100×10=1180元<1200元，符合题意.故只有一种租车方案，即租用2辆甲型挖掘机和10辆乙型挖据机 ------------------- 8分25．⑴ 连接MC,∵∠C =90°,M 是AB 中点， ∴MC =MA =AB 21, ∴∠A =∠MCA,∵∠MCA=∠EPM ， ∴∠A =∠EPM . ----------------------------------------------- 2分 ∵PQ 为直径 , ∴∠PMQ =90°. ∴∠PME+∠QME =90°. ∵DM ⊥AB, ∴∠AMD =90°. ∴∠AMQ +∠QME =90°.∴∠AMQ =∠PME ， ------------------------------------------------------------- 3分 ∴△AMQ ∽△PME -------------------------------------------------------------- 4分 ⑵ AB =10，M 为线段AB 的中点，∴AM =5，AD =A AM cos =455⨯=425当△AMQ 等腰三角形时，△MPE 也是等腰三角形.EQD C ABPADBE当AM =AQ 时，AQ =5; --------------------------------------------------------- 5分 当QA =QM 时，AQ =8254252121=⨯=AD ； ---------------------------------------- 6分 由题意MQ ≠AM . ---------------------------------------------------------- 7分 综上所述,当△MPE 是等腰三角形时，线段AQ 长为5或825. ----------------------- 8分26．⑴ 又∵∠B =∠D =90°∴△ADC ∽△ABC -------------------------------------------------------------- 1分 ∠DAC =∠BAC,又AC =AC, ∴△ADC ≌△ABC ∴AB =AD,BC =DC,即：a =d ， b =c . ------------------------------------------------------------- 3分 ⑵ 连接AC 、BC ，则由△ADC∽△CDB 得DB AD CD ⋅=2即ab CD =--------------------------------------------------------------- 5分过点O 作AB OE ⊥交半圆于点E,连接OE ，则半径2ba OE +=，∵OE ≥ CD ， ∴ab ba ≥+2----------------------------------------------- 8分 ⑶ ∵ab ba ≥+2，∴x x x x 929•≥+∴69≥+x x ∴6≥y ----------------------------------------------------- 10分27．⑴ 21------------------------------------------------------------------------ 2分⑵ 如图1，存在32=AP 延长PQ 交BC 延长线于点E ．设PD =x ．∵∠PBC =∠BPQ ， ∴EB =EP ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∴∠DPQ =∠E ，. ------------------------------------------------------------ 3分在△PDQ 和△ECQ 中，DPQ EDQP CQE DQ CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDQ ≌△ECQ （AAS ）. ---------------------------------------------------- 4分 ∴PD =CE ，PQ =QE ． ∴BE =EP =2+x ， ∴QP =121+x ． 在Rt △PDQ 中，∵PD 2+QD 2=PQ 2，∴221211⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x ，解得34=x ------------------------------------------- 6分∴AP =AD ﹣PD =32. ----------------------------------------------------------- 7分AP D QCBE⑶ 存在，∠PBQ =45°．作PQ BH ⊥于H 点．易证，△PAB ≌△PHB ， ------------------------------------------------------ 8分∴∠ABP =∠HBP ， ∴∠PBH =12∠ABH ． 易证，Rt △BHQ ≌Rt △BCQ ，∴∠HBQ =∠CBQ ， ∴∠HBQ =12∠HBC ，∴∠PBQ =∠PBH +∠HBQ =12（∠ABH +∠HBC ）=12∠ABC =45°． ------------------------ 10分28．⑴ 431312++-=x x y--------------------------------------------------------- 2分 ⑵ ），t t P 54533(+-，），t t t D 37314(2+-- --------------------------------------- 3分 作DQ PH ⊥,∵PQ PD = ∴HQ DQ 2=∴t t 37312+-=t 58------------------------------------------------------ 5分解得01=t （舍去），5112=t ,∴当∠PQA = 90°-∠PDQ 时，t 的值为511--------------------------------------- 6分⑶ 不存在某一时刻，使得四边形PBDC 是平行四边形. 理由：若四边形PBDC 是平行四边形, 则BC 平分线段PD ，)3047612151(2t t t E +-+-，--------------------------------------------------- 8分 ∵点E 又在直线BC : 4+-=x y 上，∴=+-t t 304761242151+-t --------------------------------------------------9分 整理得01054152=+-t t此方程根的判别式041910554)41(2<-=⨯⨯--=∆，∴方程无实数根.即不存在某一时刻，四边形PBDC 是平行四边形. --------------------------------- 10分。

2020年江苏省常州市中考数学二模试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．用长为5cm ，6cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是（ ）A ．随机事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．以上都不是2．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频率分别为（ ）A ．0.4和0.3B ．0.4和9C ．12和0.3D ．12和9 3．下列等式：⑴632=⨯；⑵2221=；⑶252322=+；⑷27=33； ⑸=+9494+；⑹32)32(2-=-．成立的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 4．如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）A ．B C ． D ． 5．若正比例函数的图象经过点（-l ，2），则这个图象必经过点（ ）A ．（1，2）B ． （-l ，-2）C ．（2，-1）D ． （1，-2） 6．下列命题不正确的是（ ）A ．在同一三角形中，等边对等角B ．在同一三角形中，等角对等边C ．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍D ．等腰三角形是等边三角形7．下列现象中，属于平移变换的是（ ）A ．前进中的汽车轮子B ．沿直线飞行的飞机C ．翻动的书D ．正在走动中的钟表指针8．把分式方程1111x x x -=--变形后，下列结果正确的是（ ） A ．1(1)x x --=B ．1(1)x x --=-C ．1(1)x x ---=-D ．1x x -=-9． 已知下列条件，不能作出三角形的是（ ）A ．两边及其夹角B 两角及其夹边C ．三边D ．两边及除夹角外的另一个角10．若222x mx +-可分解因式(21)(2)x x +-，则m 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．3 11．下列计算中，正确的是（ ） A ．835()()x x x -÷-= B ．433()()a b a b a b ÷+÷=+C ．623(1)(1)(1)x x x -÷-=-D ．532()a a a -÷-=12．下列合并同类项正确的是（ ） A ．22523x x -=B ．6713x y xy +=C ．2222a b a b a b -+=D ．523x x -= 13．计算222222113(22)(46)32a c b a b c +-+---的结果是（ ）A ． 225106a b + B ． 221106a b -- C ． 221106a b -+ D ． 225106a b - 二、填空题14．已知抛物线y ＝ax 2与双曲线y ＝－2ｘ交点的横坐标大于0，则a 0. <15．如图，正方形ABCD 的边长为4，MN ∥BC 分别交AB ，CD 于点M ，N ，在MN 上任取两点P ，Q ，那么图中阴影部分的面积是 ．16．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 ．17．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8 cm ，则这个菱形的周长为 ．18．如图，直线y kx b =+经过A(2，1)、B(-l ，-2)两点，则不等式122x kx b >+>-的解为 .19．a 是数据l ，2，3，4，5的中位数，b 是数据2，3，3，4的方差，则点P （a ，b ）关于x轴的对称点的坐标为 . 20．等边三角形三个角都是 ．21．若1232n =，则n ＝_____. 22．在243y x 中，如果5.1=x ，那么y = ； 如果y ＝0，那么x = . 23．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________米．三、解答题24．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC 的长．25．．某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量 y(张)之间有如下关系：x (元)3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10(1)根据表中数据在直角坐标系中描出实数 对(x ，y)的对应点；(2)猜测并确定 y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为ω元，试求ω与x 之间的函数关系式，如果物价局规定此贺卡售价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？60︒CB A26．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．(1）用代数式表示，这种商品的单价为x 元（x<40）时，销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；(2）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润为4500元．27．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，若AE=12，BD=15，AC=20，求梯形ABCD 的面积．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数162y x =-+的图象分别交x ，y 轴于点A ，B ，与一次函数y x =的图象交于第一象限内的点 C ． (1)分别求出A ，B ，C 的坐标；(2)求出△AOC 的面积.29．已知28mx y +=，564x y -=，2590x y +-=三个方程有公共解，求m 的值.30．如图，已知要从电杆离地面 5m 的A处向地面拉一条锁线加固，地面缆线固定点 B到电杆底部C的距离是4m.求缆线 AB 的长( 已知缆线的计算公式22=+结果保留 2 个有效AB AC BC数字).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．C4．D5．D6．D7．B8．B9．D10．C11．D12．C13．C二、填空题14．15．816．平行四边形17．32 cm18．12x-<<19．(3，1 2 -)20．60°21．-522．-3 , 623．22.5三、解答题24．如图，作AD⊥BC于D，则AD=AB·sin60°=2，BD=AB·cos60°=52，CD112===，∴BC=BD+CD=8．25．（1)如图，(2)是反比例函数，60y x= (x 为正整数)图象如图. (3)60120(2)60w x x x=-⋅=- ，当定价x 定为10元/张时，利润最大，为48 元. 26．（1）x －20；200＋（40－x ）×20；（2）（x －20）（1000－20x ）＝4500，x ＝35． 27．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．(1) A(12,0), B(0,6), C(4,4) (2) 2429．564(1)2590(2)x y x y -=⎧⎨+-=⎩，由①，②得21x y =⎧⎨=⎩，代入28mx y +=，得228m +=，所以3m =. 30．6.4 m。

九年级教学情况调研测试数学参考答案及评分意见一、选择题（每题2分，共16分）二、填空题（每题2分，共20分）9．210．x ≥211．1.5×107 12．（2，2） 13．114．)2)(2(-+a a a 15．26 16．15π 17．25 18．415 三、解答题（共10小题，满分84分） 19．计算（每小题4分，共8分）⑴ 1)21(1260sin 4---︒ 232234--⨯= ------------------------------------------------------------------------------ 3分 23232--=＝－2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 4分⑵ 2)2()2)(2b a b a b a --+-（ )44(42222b ab a b a +---= ----------------------------------------------------------------- 2分2222444b ab a b a -+--= -------------------------------------------------------------------- 3分284b ab -= ---------------------------------------------------------------------------------------- 4分20．解： 由①得：2<x --------------------------------------------------------------------------------- 1分由②得：3->x -------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∴23<<-x ------------------------------------------------------------------------------------ 5分---------- 6分21．证明：如图1⑴ ∵等腰直角△EBF ∴BE ＝BF ，∠EBF ＝90°------------------------ 1分 ∵正方形ABCD ，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90° ------------------------ 2分 ∴∠ABE ＋∠ABF ＝∠CBF ＋∠ABF∴∠ABE ＝∠CBF -------------------------- 3分1312123x x x+⎧⎪+⎨-⎪⎩＜＜①②ABCDEF 图1在△ABE 和△CBF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BF BE CBF ABE CB AB ∴△ABE ≌△CBF （说明不一定要用大括号形式）； ------- 4分⑵ 如图2，CF ⊥AE ． ---------------- 5分 理由：∵△ABE ≌△CBF∴∠1＝∠2 --------------------------------------------------------------------------------------- 6分 ∵∠1＋∠3＋∠AGO ＝180°，∠2＋∠4＋∠CBO ＝180°∠3＝∠4 ------------ 7分 ∴∠AGO ＝∠CBO ＝90°∴CF ⊥AE ------------------------------------------------------------------------------------- 8分22．解：⑴ 120 ， 30% ；（每空2分） --------------------------------------------------------- 4分⑵ 补全条形统计图如下：102030405060人数12183654---------------------------------------------------- 6分⑶45018001201812=⨯+（人）． 答：估计全校需要强化安全教育的学生约有450名． ------------------------------ 8分23．解：⑴41 -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分⑵ 列树状图如下：----------------------------- 6分∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能 组成三角形有2种结果， ----------------------------------------------------------- 7分 ∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为61122=． ----------------------------------------------------------------------------------- 8分 注：学生在解答过程中，不考虑先后顺序，将总情况理解成6种，也是正确的．A BCDEFG O1234图224．解：⑴ 设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 2，根据题意得：30030032x x-= --------------------------------------------------------------------------------- 3分 解得：x ＝50， ------------------------------------------------------------------------------- 4分经检验，x ＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m 2）， --------------------- 5分 答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m 2、50m 2； --------------- 6分 ⑵ 由题意得：100x ＋50y ＝1200， --------------------------------------------------------- 7分 整理得：x xy 224501001200-=-=． ---------------------------------------------- 8分25．解：过点D 作DH ⊥AN 于H ，过点E 作EF ⊥DH 于F ，∵在Rt △EDF 中，tan ∠EDF ＝tan ∠DEM ＝DFEF＝3:1 -------------------------- 1分 设EF ＝k ，DF ＝k 3，∴ 22220)3(=+k k --------------------------------- 2分 ∵0>k∴k ＝10∴EF ＝10，DF ＝310， ------------------------------ 3分 ∴DH ＝DF ＋EC ＋CN ＝310＋30， ----------------- 4分 在Rt △ADH 中，tan ∠ADH ＝33=DH AH ， ∴AH ＝33×DH ＝10＋310， --------------------- 5分 ∴AN ＝AH ＋EF ＝20＋310， ----------------------- 6分∵在Rt △BCN 中，∠BCN ＝45°，∴CN ＝BN ＝20， ------------------------------------------- 7分 ∴AB ＝AN －BN ＝310，答：条幅的长度是310米． --------------------------- 8分26．解：⑴ 如图1所示.图1ABC D 1D 2D 3D 4ADBC图2EFGH图3Q（说明：画出一个点得1分，学生画出3个点即可，其中点D 2D 4直接描出也给分）------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3分 ⑵ 如图2，理由如下：∵∠ABC ＝80°，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝40°，∴∠A ＋∠ADB ＝140° -------------------------------------------------------------------- 4分 ∵∠ADC ＝140°，∴∠BDC ＋∠ADB ＝140°∴∠A ＝∠BDC ----------------------------------------------------------------------------- 5分 ∴△ABD ∽△DBC∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”. ------------------------------------------ 6分 ⑶ 如图3，∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似. 又∠EFH ＝∠HFG ∴△FEH ∽△FHG ∴FGFHFH FE =----------------------------------------------------- 7分 ∴FG FE FH ⋅=2 ------------------------------------------------------------------------ 8分 过点E 作EQ ⊥FG 垂足为Q ，可得FE in FE EQ 2360s =︒⨯=， ∵3621=⨯EQ FG ，∴362321=⨯FE FG -------------------------------- 9分 ∴24=⋅FE FG∴242=⋅=FE FG FH∴62=FH ------------------------------------------------------------------------------- 10分27．⑴ 如图1 ∵OA ＝6，OB ＝8，∴由勾股定理可求得：AB ＝10， ------------------------------- 1分 由题意知：OQ ＝AP ＝t ，∴AC ＝2t ， --------------------------------------------------------- 2分 ∵AC 是⊙P 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴CD ∥OB ， ∴△ACD ∽△ABO ，∴AO AD AB AC =， ∴AD ＝t 56， ------------------------------ 3分 当Q 与D 重合时， AD ＋OQ ＝OA ， ∴t 56＋t ＝6， ∴t ＝1130； ------------------------------------ 4分 ⑵ 如图2，（Ⅰ）若AC ＝AQ ，则2t ＝6－t 得：t ＝2 ---------------- 5分 （Ⅱ）若AC ＝QC ，则AD ＝QD ，即：t t-=⨯6256 ， 解得：1730=t ， ---------------------------------------------------- 6分 （Ⅲ）若AQ ＝QC ，则AQ 2＝QC 2， 由△ACD ∽△ABO ，∴BO CD AB AC =，可得：CD ＝58t， 即：222)566()58()6(t t t t --+=- -------------------------- 7分BOB图3解得：491=t ，02=t （舍去） --------------------------------- 8分 （注：第（Ⅲ）情况，如图3，若学生连接QP ，利用△AQP ∽△ABO 可得：AB AQ AO AP = 即：1066tt -=则更简单） ⑶ 当QC 与⊙P 相切时，如图4， 此时∠QCA ＝90°，∵OQ ＝AP ＝t ， ∴AQ ＝6－t ，AC ＝2t ， ∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠O ， ∴△AQC ∽△ABO ， ∴AOACAB AQ =， ∴62106t t -=， ∴t ＝1813， ∴当0＜t ≤1813时，⊙P 与QC 只有一个交点， ------------ 9分当QC ⊥OA 时，此时Q 与D 重合，由（1）可知：t ＝3011，∴当3011＜t ≤5时，⊙P 与QC 只有一个交点，综上所述，当，⊙P 与QC 只有一个交点，t 的取值范围为：0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． ------------------------------------------- 10分28．⑴ 把A （0，4），B （4，0）分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，解得b ＝3，c ＝4，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4，-------------------------------------------------------- 2分 ⑵ 如图1，当y ＝0时，－x 2＋3x ＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝∴C （－1，0）；∵△AQP ∽△AOC ，∴AQ PQAO CO =， ∴441AQ AO PQ CO ===，即AQ ＝4PQ ， 设PQ ＝k ， AQ ＝4k ，当点P 在点Q 下方时：P （4k ，4∴k k k -=+⨯+-4443)4(2， --------------------------------------------------------------- 3分解得：16131=k ，02=k （舍去），此时P ⎪⎭⎫ ⎝⎛1651,413， ------------------------------- 4分 当点P 在点Q 上方时：同理可得：P ⎪⎭⎫⎝⎛1675,411综上所述，点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1651,413或⎪⎭⎫⎝⎛1675,411； -------------------------------------- 6分图4O B⑶ 设P （m ，－m 2＋3m ＋4）（m ＞32），当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2， 则PQ ＝4－（－m 2＋3m ＋4）＝m 2－3m ， ∵△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q ′，∴∠A Q ′P ＝∠AQP ＝90°，A Q ′＝AQ ＝m ，P Q ′＝PQ ＝m 2﹣3∵∠A Q ′O ＝∠Q ′PH ， ∴Rt △AO Q ′∽Rt △Q ′HP ，∴Q P Q A H Q OA ''='，即mm mH Q 342-='，解得Q ′H ＝4m －12， ------------------------- 7分 ∴O Q ′＝m －（4m －12）＝12－3m ，在Rt △AO Q ′中，42＋（12－3m ）2＝m 2， ----------------------------------------------- 8分 整理得m 2－9m ＋20＝0，解得m 1＝4，m 2＝5， ---------------------------------------- 9分 此时P 点坐标为（4，0）或（5，－6）；综上所述，点P 的坐标为（4，0）或（5，－6）．-------------------------------------- 10分。

2020年常州市中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．用代数式表示：a与3和的2倍．下列表示正确的是（）A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（）A．1500B．2000C．2500D．30005．下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆6．已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3B．2C．1D．07．若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）A．增加4B．减小4C．增加2D．减小28．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共10小题）.9．16的平方根是．10．分解因式：a2﹣2a＝．11．点P（﹣5，1）到x轴距离为．12．2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为．13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为．14．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，∠D＝45°，则AC＝．15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为．16．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为．17．如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．计算（1）﹣（1﹣π）0+（）﹣1；（2）﹣．20．解不等式组并求出它的整数解：．21．如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF⊥AE 于F．若E恰好为BC的中点．（1）∠BAE ＝°；（2）DF平分AE吗？证明你的结论．22．车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？23．我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“ד表示投放错误，统计情况如表．A B C D E F G H学生垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C、G两位学生的概率．24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花50元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元．25．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）反比例函数y＝的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．26．已知∠MCN＝45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）．点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF⊥AD．小明在探究图形运动的过程中发现AF＝AB始终成立．（1）如图，当0°＜∠BAC＜90°时．①求证：AF＝AB；②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是．27．已知二次函数y═ax2+bx+6的图象开口向下，与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图象上的一个动点（不与点C重合）．（1）求二次函数的关系式；（2）如图1当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D，在该函数图象上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．28．如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）＝8．故选：B．2．用代数式表示：a与3和的2倍．下列表示正确的是（）A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）【分析】根据和与倍数关系得出代数式解答即可．解：a与3和的2倍用代数式表示为：2（a+3），故选：D．3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．故选：C．4．抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（）A．1500B．2000C．2500D．3000【分析】直接利用抛掷一枚硬币正面向上的概率为，进而估算出正面朝上的次数．解：抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为2500．故选：C．5．下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．6．已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3B．2C．1D．0【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．解：①当x＝﹣2时，y＝4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k＝﹣8＜0，图象在第二、四象限内；③k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；④k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，故选：B．7．若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2【分析】由“当x的值减小1，y的值就减小2”，即可求出k值，再利用一次函数的性质可求出当x的值增加2时y的变化．解：依题意，得：，解得：k＝2，∴2（x+2）﹣2x＝4．故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：当x≥0时，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位上）9．16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．10．分解因式：a2﹣2a＝a（a﹣2）．【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．11．点P（﹣5，1）到x轴距离为1．【分析】根据点P（x，y）到x轴距离为|y|求解．解：点P（﹣5，1）到x轴距离为1．故答案为1．12．2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为7.04×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：7040万＝70400000＝7.04×107．故答案为：7.04×107．13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为70°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠C＝25°，∴∠DAC＝25°，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，故答案为：70°．14．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，∠D＝45°，则AC＝4．【分析】连接OA、OC，构造等腰直角三角形求得AC的长即可．解：如图，连接OA，OC，∵∠D＝45°，∴∠AOC＝90°，∵半径OA＝OC＝4，∴AC＝OA＝4，故答案为：4．15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为3．【分析】根据弧长公式代入求解即可．解：∵l＝，∴R＝＝3．故答案为：3．16．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为4．【分析】将二次函数y＝x2﹣2x+1化成顶点式，即可得到最小值．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可见该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．故答案为4．17．如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB＝8，AC＝10，则△AEM的周长为14．【分析】由折叠的性质可得CE＝EM，由△AEM的周长＝AE+EM+AM，即可求解．解：∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝AB＝4，∵将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，∴CE＝EM，∴△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EC+AM＝AC+AM＝10+4＝14，故答案为：14．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为﹣1．【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED＝＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．计算（1）﹣（1﹣π）0+（）﹣1；（2）﹣．【分析】（1）根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；（2）根据异分母分式的加减法法则计算即可．解：（1）原式＝3﹣1+3＝5；（2）原式＝＝＝．20．解不等式组并求出它的整数解：．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．【解答】解解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集为﹣＜x≤3，所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3．21．如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF⊥AE 于F．若E恰好为BC的中点．（1）∠BAE＝30°；（2）DF平分AE吗？证明你的结论．【分析】（1）由题意得AE＝AD，证出BE＝AD＝AE，得出∠BAE＝30°即可；（2）证∠ADF＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AF＝AD，则AF＝AE，即可得出结论．解：（1）由题意得：AE＝AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC，∵点E为BC的中点，∴BE＝BC，∴BE＝AD＝AE，∴∠BAE＝30°；故答案为：30；（2）DF平分AE，理由如下：由（1）得：∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝60°，∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝30°，∴AF＝AD，∴AF＝AE，∴AF＝EF，即DF平分AE．22．车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．解：（1）＝×（9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1）＝13（个）；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为＝12（个），众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．23．我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“ד表示投放错误，统计情况如表．A B C D E F G H学生垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C、G两位学生的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）利用列表法可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．解：（1）∵在8位学生中，有B、C、F、G、H这5位同学有3类或4类均投放正确，∴8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；（2）列表如下：A C F GA CA FA GAC AC FC GCF AF CF GFG AG CG FG由表可知，共有12种等可能结果，其中刚好抽到C、G两位学生的有2种结果，∴刚好抽到C、G两位学生的概率为＝．24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花50元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元．【分析】设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+50）元，依题意，得：＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝75．答：购买一个A商品需要75元，购买一个B商品需要25元．25．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）反比例函数y＝的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．【分析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，利用正弦的定义得到sin∠OAB＝＝，设OB＝x，则AB＝5x，OA＝2x，所以2x＝6，解方程得到B（3，0），接着证明△AOB≌△BEC得到AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，从而得到C（9，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）利用平移的方法确定D点坐标为（6，9），再利用线段中点坐标公式得到线段AD 的中点坐标为（3，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数y ＝的图象是否经过AD边的中点．解：（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，∵A（0，6），∴OA＝6，在Rt△OAB中，sin∠OAB＝＝，设OB＝x，则AB＝5x，∴OA＝＝2x，∴2x＝6，解得x＝，∴OB＝3，∴B（3，0），∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，而∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∠OAB＝∠CBE，AB＝BC，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，∴C（9，3），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝9×3＝27，∴反比例函数解析式为y＝；（2）反比例函数y＝的图象不经过AD边的中点．理由如下：∵点B向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到A点，∴点C向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到D点，∴D点坐标为（6，9），∴线段AD的中点坐标为（3，），∵3×＝，∴反比例函数y＝的图象不经过AD边的中点．26．已知∠MCN＝45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）．点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF⊥AD．小明在探究图形运动的过程中发现AF＝AB始终成立．（1）如图，当0°＜∠BAC＜90°时．①求证：AF＝AB；②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是CD﹣CF＝AC．【分析】（1）①先判断出四边形AGCH是矩形，得出∠GAH＝90°，得出∠FAG＝∠DAH，进而判断出△FAG≌△DAH，即可得出结论；②由矩形AGCH是正方形，判断出CH＝CG，∠CAH＝∠DCA＝45°，由①知，△AGF ≌△AHD，得出FG＝DH，即CH＝（CD+CF），再根据勾股定理得，AC＝CH，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△AHD≌AGF，得出DH＝FG，进而得出CH＝（CD﹣CF），即可得出结论．解：（1）①如图1，∵点D，B关于CD对称，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ACD＝∠MCN＝45°，∴∠DCM＝90°，过点A作AM⊥BC于M，作AN⊥CD于N，∴AG＝AH，∠AGC＝∠AHC＝∠DCM＝90°，∴四边形AGCH是矩形，∴∠GAH＝90°，∵AF⊥AD，∴∠FAD＝90°，∴∠FAG＝∠DAH，∴△AGF≌△AHD（ASA），∴AF＝AD，∵AB＝AD，∴AF＝AB；②结论：CD+CF＝AC，理由：由①知，四边形AGCH是矩形，AG＝AH，∴矩形AGCH是正方形，∴CH＝CG，∠CAH＝∠DCA＝45°，由①知，△AGF≌△AHD，∴FG＝DH，∴CD+CF＝CH+DH+CG﹣FG＝2CH，∴CH＝（CD+CF）根据勾股定理得，AC＝CH＝×（CD+CF），∴CD+CF＝AC；（2）结论：CD﹣CF＝AC，理由：如备用图，同（1）的方法得，△AHD≌AGF，∴DH＝FG，∴CD﹣CF＝CH+DH﹣FG+CG＝2CH，∴CH＝（CD﹣CF），根据勾股定理得，AC＝CH＝×（CD﹣CF），∴CD﹣CF＝AC，故答案为：CD﹣CF＝AC．27．已知二次函数y═ax2+bx+6的图象开口向下，与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图象上的一个动点（不与点C重合）．（1）求二次函数的关系式；（2）如图1当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D，在该函数图象上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即可求解；（2）S△PCA＝PG×AC＝×PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，即可求解；（3）sin∠DAC＝＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，即可求解．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝×PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣）．综上，点E（，）或（，﹣）．28．如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是⊙B，⊙C；（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO 的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可．（2）求出两种特殊位置时t的值即可判断．（3）如图3中，连接OP，OM．首先求出∠POE，根据图象可知当射线OM在∠POF 的内部（包括射线OP，不包括射线OF）时，存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆．解：（1）如图1中，观察图象可知，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆．故答案为：⊙B，⊙C．（2）解：如图，当⊙D1与y轴相切时，设切点为M，则MD1＝1，可得t1＝1．当⊙D2与y＝x相切时，设切点为H，连接HD2，设直线y＝x与直线y＝2交于点K，则△HKD2，△MOK都是等腰直角三角形，∵KH＝HD2＝1，∴KD2＝，∵OM＝MK＝2，∴MD2＝MK+KD2＝2+可得t2＝2+，观察图象可知，满足条件的t的取值范围是1≤t≤2+．（3）如图3中，连接OP，OM．∵P（2，2），∴tan∠POE＝＝，∴∠POE＝60°，观察图象可知当射线OM在∠POF的内部（包括射线OP，不包括射线OF）时，存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆，∴60°≤∠EOM＜90°．。

常州市中考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（）A . 0.149×106B . 1.49×107C . 1.49×108D . 14.9×1072. （2分）(2020·南召模拟) 下列各式计算正确的是（）A . 2a2＋3a2＝5a4B . (－2ab)3＝－6ab3C . (3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2D . a3·(－2a)＝－2a33. （2分）(2019·成都模拟) 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2013·湛江) 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（）A .B .C .D . 15. （2分）已知 m=（﹣）×（﹣2 ），则有（）A . 5＜m＜6B . 4＜m＜5C . ﹣5＜m＜﹣4D . ﹣6＜m＜﹣56. （2分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于A . 30°B . 40°C . 60°D . 70°7. （2分）(2019·婺城模拟) 已知点（1，y1），（2，y2）（3，y3）均在反比例函数的图象上，则y1 ， y2 ， y3 ，的大小关系是（）A . y3＜y2＜y1B . y2＜y3＜y1C . y1＜y2＜y3D . y1＜y3＜y28. （2分）(2019·包头) 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，则阴影部分的面积是（）A .B .C .D .9. （2分）在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；在平面直角坐标系中，点（-7，-2m+1）在第三象限，则m的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）为了直观地表示出5班女生人数在全年级女生人数中所占的比例，应该选用（）。

2020年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（2分）用代数式表示：a与3和的2倍．下列表示正确的是（）A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）3．（2分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．（2分）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（）A．1500B．2000C．2500D．30005．（2分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆6．（2分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3B．2C．1D．07．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）A．增加4B．减小4C．增加2D．减小28．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位上）9．（2分）16的平方根是．10．（2分）分解因式：a2﹣2a＝．11．（2分）点P（﹣5，1）到x轴距离为．12．（2分）2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为．13．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，∠D＝45°，则AC＝．15．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为．16．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为．17．（2分）如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB ＝8，AC＝10，则△AEM的周长为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）计算（1）﹣（1﹣π）0+（）﹣1；（2）﹣．20．（6分）解不等式组并求出它的整数解：．21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF ⊥AE于F．若E恰好为BC的中点．（1）∠BAE＝°；（2）DF平分AE吗？证明你的结论．22．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？23．（8分）我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“ד表示投放错误，统计情况如表．A B C D E F G H学生垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C、G两位学生的概率．24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花50元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元．25．（8分）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y ＝（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB ＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）反比例函数y ＝的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．26．（10分）已知∠MCN＝45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）．点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF⊥AD．小明在探究图形运动的过程中发现AF＝AB始终成立．（1）如图，当0°＜∠BAC＜90°时．①求证：AF＝AB；②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是．27．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象开口向下，与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图象上的一个动点（不与点C重合）．（1）求二次函数的关系式；（2）如图1，当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D，在该函数图象上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．28．（10分）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B 和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x 有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EOM的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．2020年江苏省常州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）＝8．故选：B．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（2分）用代数式表示：a与3和的2倍．下列表示正确的是（）A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）【分析】根据和与倍数关系得出代数式解答即可．【解答】解：a与3和的2倍用代数式表示为：2（a+3），故选：D．【点评】此题考查列代数式问题，关键是根据和与倍数关系得出代数式．3．（2分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（2分）抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为（）A．1500B．2000C．2500D．3000【分析】直接利用抛掷一枚硬币正面向上的概率为，进而估算出正面朝上的次数．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币5000次，正面朝上的次数最有可能为2500．故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握概率的意义是解题关键．5．（2分）下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（2分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3B．2C．1D．0【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：①当x＝﹣2时，y＝4，即图象必经过点（﹣2，4），正确；②k＝﹣8＜0，图象在第二、四象限内，正确；③k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；④k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0时，y＜8，故④错误，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．7．（2分）若正比例函数y＝kx（k≠0），当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2【分析】由“当x的值减小1，y的值就减小2”，即可求出k值，再利用一次函数的性质可求出当x的值增加2时y的变化．【解答】解：依题意，得：，解得：k＝2，∴2（x+2）﹣2x＝4．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出k值是解题的关键．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”的坐标为（x，y），当x≥0时，则y＝x﹣1，所以，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，则y＝﹣x﹣3，所以，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x＜0两种情况，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位上）9．（2分）16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．（2分）分解因式：a2﹣2a＝a（a﹣2）．【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．11．（2分）点P（﹣5，1）到x轴距离为1．【分析】根据点P（x，y）到x轴距离为|y|求解．【解答】解：点P（﹣5，1）到x轴距离为1．故答案为1．【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．12．（2分）2020年抗疫、复工生产两不误，4月份，我市轨道交通出口约7040万元，同比增长56.7%．数据7040万用科学记数法可表示为7.04×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：7040万＝70400000＝7.04×107．故答案为：7.04×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为70°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠C＝25°，∴∠DAC＝25°，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD＝CD是解此题的关键．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，∠D＝45°，则AC＝4．【分析】连接OA、OC，构造等腰直角三角形求得AC的长即可．【解答】解：如图，连接OA，OC，∵∠D＝45°，∴∠AOC＝90°，∵半径OA＝OC＝4，∴AC＝OA＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆心角是圆周角的2倍是解答此题的关键．15．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为3．【分析】根据弧长公式代入求解即可．【解答】解：设扇形的半径为R，根据题意得：l＝，∴R＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝．16．（2分）二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为4．【分析】将二次函数y＝x2﹣2x+1化成顶点式，即可得到最小值．【解答】解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．故答案为4．【点评】此题考查了二次函数的最值，将一般式化为顶点式，即可直接得出二次函数的最小值．注意，此题的自变量x是有取值范围的．17．（2分）如图，将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，若AB ＝8，AC＝10，则△AEM的周长为14．【分析】由折叠的性质可得CE＝EM，由△AEM的周长＝AE+EM+AM，即可求解．【解答】解：∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝AB＝4，∵将△ABC沿直线折叠，折痕为EF．使点C落在AB边中点M上，∴CE＝EM，∴△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EC+AM＝AC+AM＝10+4＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为﹣1．【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED＝＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C，D两点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）计算（1）﹣（1﹣π）0+（）﹣1；（2）﹣．【分析】（1）根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；（2）把第二个分式的分子分子分母分解因式，约分后，再根据同分母分式的加减法法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+3＝5；（2）原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的加减以及实数的运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．20．（6分）解不等式组并求出它的整数解：．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．【解答】解解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集为﹣＜x≤3，所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF ⊥AE于F．若E恰好为BC的中点．（1）∠BAE＝30°；（2）DF平分AE吗？证明你的结论．【分析】（1）由题意得AE＝AD，证出BE＝AD＝AE，得出∠BAE＝30°即可；（2）证∠ADF＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AF＝AD，则AF＝AE，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得：AE＝AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC，∵点E为BC的中点，∴BE＝BC，∴BE＝AD＝AE，∴∠BAE＝30°；故答案为：30；（2）DF平分AE，理由如下：由（1）得：∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝60°，∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝30°，∴AF＝AD，∴AF＝AE，∴AF＝EF，即DF平分AE．【点评】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．22．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）91011121315161920工人人数（人）116422211（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．【解答】解：（1）＝×（9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1）＝13（个）；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）中位数为＝12（个），众数为11个，当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．23．（8分）我市实施城乡生活垃圾分类管理，推进生态文明建设．为增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“ד表示投放错误，统计情况如表．学生A B C D E F G H垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果，并求出刚好抽到C、G两位学生的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）利用列表法可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵在8位学生中，有B、C、F、G、H这5位同学有3类或4类均投放正确，∴8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；（2）列表如下：A C F GA CA F A GAC AC FC GCF AF CF GFG AG CG FG由表可知，共有12种等可能结果，其中刚好抽到C、G两位学生的有2种结果，∴刚好抽到C、G两位学生的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花50元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元．【分析】设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+50）元，依题意，得：＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝75．答：购买一个A商品需要75元，购买一个B商品需要25元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（8分）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB＝．（1）求反比例函数的表达式；（2）反比例函数y＝的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．【分析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，利用正弦的定义得到sin∠OAB＝＝，设OB＝x，则AB＝5x，OA＝2x，所以2x＝6，解方程得到B（3，0），接着证明△AOB≌△BEC得到AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，从而得到C（9，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）利用平移的方法确定D点坐标为（6，9），再利用线段中点坐标公式得到线段AD 的中点坐标为（3，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数y＝的图象是否经过AD边的中点．【解答】解：（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，∵A（0，6），∴OA＝6，在Rt△OAB中，sin∠OAB＝＝，设OB＝x，则AB＝5x，∴OA＝＝2x，∴2x＝6，解得x＝，∴OB＝3，∴B（3，0），∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，而∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∠OAB＝∠CBE，AB＝BC，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，∴C（9，3），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝9×3＝27，∴反比例函数解析式为y＝；（2）反比例函数y＝的图象不经过AD边的中点．理由如下：∵点B向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到A点，∴点C向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到D点，∴D点坐标为（6，9），∴线段AD的中点坐标为（3，），∵3×＝，∴反比例函数y＝的图象不经过AD边的中点．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式；也考查了正方形的性质．26．（10分）已知∠MCN＝45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）．点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF⊥AD．小明在探究图形运动的过程中发现AF＝AB始终成立．（1）如图，当0°＜∠BAC＜90°时．①求证：AF＝AB；②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135°时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是CD﹣CF＝AC．【分析】（1）①先判断出四边形AGCH是矩形，得出∠GAH＝90°，得出∠F AG＝∠DAH，进而判断出△F AG≌△DAH，即可得出结论；②由矩形AGCH是正方形，判断出CH＝CG，∠CAH＝∠DCA＝45°，由①知，△AGF ≌△AHD，得出FG＝DH，即CH＝（CD+CF），再根据勾股定理得，AC＝CH，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△AHD≌AGF，得出DH＝FG，进而得出CH＝（CD﹣CF），即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，∵点D，B关于CD对称，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ACD＝∠MCN＝45°，∴∠DCM＝90°，过点A作AM⊥BC于M，作AN⊥CD于N，∴AG＝AH，∠AGC＝∠AHC＝∠DCM＝90°，∴四边形AGCH是矩形，∴∠GAH＝90°，∵AF⊥AD，∴∠F AD＝90°，∴∠F AG＝∠DAH，∴△AGF≌△AHD（ASA），∴AF＝AD，∵AB＝AD，∴AF＝AB；②结论：CD+CF＝AC，理由：由①知，四边形AGCH是矩形，AG＝AH，∴矩形AGCH是正方形，∴CH＝CG，∠CAH＝∠DCA＝45°，由①知，△AGF≌△AHD，∴FG＝DH，∴CD+CF＝CH+DH+CG﹣FG＝2CH，∴CH＝（CD+CF）根据勾股定理得，AC＝CH＝×（CD+CF），∴CD+CF＝AC；（2）结论：CD﹣CF＝AC，理由：如备用图，同（1）的方法得，△AHD≌AGF，∴DH＝FG，∴CD﹣CF＝CH+DH﹣FG+CG＝2CH，∴CH＝（CD﹣CF），根据勾股定理得，AC＝CH＝×（CD﹣CF），∴CD﹣CF＝AC，故答案为：CD﹣CF＝AC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．27．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象开口向下，与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图象上的一个动点（不与点C重合）．（1）求二次函数的关系式；（2）如图1，当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，该函数图象的顶点为D，在该函数图象上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即可求解；（2）方法一：S△PCA＝PG×AC＝×PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，即可求解；方法二：过点P作y轴上平行线交AC于H，设出点P的坐标，则PH＝4，利用S△APH+S＝12直接求出点P的横坐标；△CPH（3）sin∠DAC＝＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，即可求解．【解答】解：（1）因为点A（﹣6，0）和点B（2，0），设函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），则﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）解法一：如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝×PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；解法二：如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，﹣x2﹣2x+6）．∵△PCA的面积为12，∴OA•PH＝12，即×6•PH＝12．∴PH＝4，∴PH•|x A﹣x P|+PH•|x P|＝12，即×4•|﹣6﹣x P|+×4•|x P|＝12，∴x P＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣）．综上，点E（，）或（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，其中（3）都要注意分类求解，避免遗漏．28．（10分）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B 和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是⊙B，⊙C；（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x 有公共点，求t的取值范围；（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EOM的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可．（2）求出两种特殊位置时t的值即可判断．（3）如图3中，连接OP，OM．首先求出∠POE，根据图象可知当射线OM在∠POF 的内部（包括射线OP，不包括射线OF）时，存在一个半径为1且过点P（2，2）的。