随机过程试卷 (A卷)【合肥工业大学】

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

安徽大学2009—2010学年第一学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号题 号 一 二 三 四 总分得 分得分一、填空题（每小题3分，共24分）1、设X 是概率空间上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ-域，定义(,,)F P Ω(|)E X C 如下：(1) ；(2) 。

2、由全数学期望公式,取()[(|)]E X E E X C =X = ，C = ，即有连续型（广义）的全概率公式 。

3、设是强度为{(),0}N t t ≥λ的Poisson 过程，则N(t)具有 增量，且充分小，有0,0t h ∀>>{}(()(0P N t h N t +−=))= , ({})()()1P N t h N t +−== 。

4、设{(是强度为),0}N t t ≥λ的Poisson 过程, {, ,分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则1},{,1n n X n S n ≥}≥12,,,n X X X 独立且服从参数为λ的指数分布， n S ∼，1(|N t X )1=∼；12(,,S S (),)|n N t n S =d 。

5、试述连续鞅（过程）的定义 。

设{(为一维标准Brown 运动，则),0}W t t ≥0,t ∀>()W t ∼ ，且由{(可构造出如下的鞅（试举两例） ),0}W t t ≥。

6、在金融衍生品定价模型中，通常假设原生资产（如：股票）的价格过程{(遵循几何Brown 运动，即股价过程服从随机微分方程： ),0}S t t ≥（其中参数的含义为 ），这是由于 。

7、试述关于测度变换的Girsanov 定理： 。

8、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为 ，其处理问题的实质在于 。

得分 二、证明分析题（共10分）假设X 是概率空间（Ω,F,P ）上的非负随机变量，且服从指数分布，即：,0a ∀>{}()1,a P X a e λ−≤=−>0λ为常数；设λ是另一个正常数，定义()(),(),X A Z Z e P A P A F λλλωλ−−===∈∫Zd ,(1)证明： ()1PΩ=； (2)求在概率测度 P下，随机变量X 的分布函数： 0,({})a P X a >≤。

《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt −π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。

4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。

二、（本题10分）解：（1）P N 12 −N 8 =0 =e −12. (5分)（2）f T t =3e −3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。

（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。

则平稳分布为 （10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = −λλμ−(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 −(λ+μ)λμ−μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分） 后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0， π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1−λμ1− λμ4,π1=λμ 1−λμ1− λμ4,π2=λμ2 1−λμ1− λμ4,π3=λμ3 1−λμ1− λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,⋯,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ⋮Z t n = t 12t 22⋮t n2 2t 12t 2⋮2t n X Y + −2−2−2−2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,⋯,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

空军工程大学2012年博士研究生入学试题考试科目： 随机过程 （A 卷） 科目代码 2091 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。

1、（12分）设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，求下列过程的协方差函数：（1）(),()W t At A +为常数；（2）()(),()~(0,1)()W t X t X t N W t +且与相互独立.2、（10分）证明：X {X(t),t T}t=0C ()=0.ττ∈在处均方连续与其协方差函数在处连续等价3、（10分）设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们分别以2/3和1/3的概率取值1-和2，求()Z t 的均值函数与自相关函数，并讨论()Z t 的平稳性。

4、（10分）设E=R, {(),1}Y n n ≥是独立随机序列，令1(1)(1),()()nk X Y X n Y k ===∑，证明：{(),1}X n n ≥是一马尔可夫过程。

5、（10分）设二阶矩过程()X t 在[,]a b 上可积，证明：(1)(())()(());b ba a D X s dsb a D X s ds ≤-⎰⎰6、（10分） 证明：当且仅当U 与V 是不相关的随机变量，并且均值都为零、方差相等时，随机过程()cos()sin()X t U t V t ωω=+是宽平稳过程。

7、（10分）设线性时不变系统的频率响应()j H j j ωαωωβ-=+，输入平稳过程()X t 的相关函数||()a X R e ττ-=，求互相关函数()YX R τ。

8、（12分）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个，每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的(),var()E W W 和(2)P W ≥。

随机过程试题及答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ijp ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1．为it(e-1)e λ。

2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．(n)nP P =。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题Happy childhood is the best, June 12, 2023一、填空题每小题3分,共15分 1、极限2sin 0lim(13)xx x →+= ．2、设2arctan()y x x =,则y ' ．3、设()f x 的一个原函数为2x e -,则()________xf x dx '=⎰． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题每小题3分,共15分 1、当1x →-时,31x +与3(1)x +为A 高阶无穷小B 低阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是 A 1sin x + B 1sin x - C 1cos x + D 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续,且0()lim 11cos x f x x→=-,则在点0x =处 ．A (0)f '不存在B (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极小值C (0)f '存在,且(0)0f '≠D (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是A 1+∞⎰111sin dx x -⎰ C 221ln dx x x +∞⎰ D 2x xe dx +∞--∞⎰ 5、曲线2211x x e y e--+=-A 没有渐近线B 仅有水平渐近线C 仅有铅直渐近线D 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题每小题6分,共36分1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ．5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩,求2(1)f x dx -⎰．四、本题满分10分设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、本题满分10分设曲线2x e y =,切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ,求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、本题满分8分证明不等式：0>x 时,有11ln ≥+xx . 七、本题满分6分设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)(≠x f 01x <<,且0)1()0(==f f ,证明：在)1,0(内至少存在一点ξ,使()2015()f f ξξ'=．。

2016随机过程(A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(,),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。

1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： （1） )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2） )(t X 的均值函数为:()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分)某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。

问在10：00—14：00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10：00-14：00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。

安徽大学2010—2011学年第二学期《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、填空题（每小题4分，共24分） 1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：()1 ________________ ；()2 ________________________________________ ；2、 在全数学期望公式()EX E E X C ⎡⎤=⎣⎦中，取X ＝____，C ＝____，即得连续型（广义）全概率公式___________________；3、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有_____、 _____增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；4、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，{},1n X n ≥、{},1n S n ≥分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,n X X X L L 独立同参数为λ的指数分布， n S ～ ______， ()11N t X =～ _______，()()12,,,n N t n S S S d =L _____________________________________；5、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～____， 且与Brown 运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅（过程）；6、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 __________________________________________________.二、证明分析题（共15分，选做一题）1、设X 是概率空间(),,F P Ω度函数()f x 满足：(),0x R f x ∀∈>.设g 是严格递增的可微函数，并满足：()lim y g y →-∞=-∞，()lim y g y →∞=∞，定义随机变量()Y g X =；设()h y 是满足()1h y dy +∞-∞=⎰的任一非负函数.我们希望改变概率测度，使得()h y 是随机变量Y 的密度函数.为此，定义：()()()/h g X g X Z f X ⎡⎤⎣⎦=，（1）证明随机变量Z 是非负的且1EZ =；（2）定义：()()(),A A A F P A Z dP ZdP ωω∀∈==⎰⎰，则随机变量Y 在P 下具有密度h ；2、设(){},0W t t T ≤≤是概率空间(),,F P Ω上的Brown 运动，{},0t F t T ≤≤是Brown 运动的域流；设(){},0t t T Θ≤≤是一个适应过程，定义：()X t =()()0t u dW u -Θ⎰，()()[]()1exp ,2Z t X t X X t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()()()0t W t W t u du =+Θ⎰，并且假设：()()220T E u Z u du ⎡⎤Θ<∞⎢⎥⎣⎦⎰；令()Z Z T =，则1EZ =；且在概率测度():,AP P A ZdP A F =∈⎰下，过程(){},0W t t T ≤≤是一个Brown 运动.三、计算证明题（共46分） 1、（12分）假设()X E λ～，给定0c >记忆性、条件密度和()()()A E XI E X A P A =，求()E X X c >； 2、（10分）设12,,,n X X X L 独立同[]0,1U 分布，{}12max ,,,n Y X X X =L ，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求()()()E X Y E X Y σ=；3、（6分）乘客按每分钟2人的Poisson 流到达车站候车，公交车每5分钟到达一辆，用W 表示时间(]0,5内到达的乘客的候车时间之和；当0t =时有车到达，试求EW ；4、（8分）设质点做一维标准Brown 运动(){},0W t t ≥，0a ≠，则，（1）“质点最终到达a ”的概率为1；（2）质点到达a 的平均时间是a ET =∞；5、（10分，选做一题）（1）设(){},0W t t ≥表示P 下的一维标准Brown 运动，定义：()()exp Z t uW t =⎡⎤⎣⎦，利用Ito-Doeblin 公式写出()Z t 满足的随机微分方程，由此求出()()m t def E Z t ⎡⎤⎣⎦满足的常微分方程，并通过求解其来证明：()()2exp exp 2u t E uW t ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； （2）设(){},0W t t ≥为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程()()()()d S t S t dt S t dW t μσ=+⎡⎤⎣⎦， 并求()()46,E W t E W t ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 四、应用分析题（共15分，选做一题） （1）设股价遵循几何布朗运动()()dS t S t dt μ=率为常数r .定义风险的市场价格为：r μσ-Θ=以及状态价格密度过程为：()()21exp 2t W t r t ζ⎧⎫⎛⎫=-Θ-+Θ⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；a ）证明： ()()()()d t t dW t r t dt ζζζ=-Θ-；b ）设X表示投资者采用组合过程()t ∆时其资产组合的价值（自融资组合），即有： ()()()()()()()()dX t rX t dt t r S t dt t S t dW t μσ=+∆-+∆，证明：()()t X t ζ是鞅；c ）设0T >是固定的终端时刻，证明：如果投资者从初始资本()0X 出发，希望在时刻T 资产组合价值为()V T ，其中()V T 为T F －可测随机变量，则其初始资本必为：()()()0X E T V T ζ=⎡⎤⎣⎦；（2）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton 偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式.。

《应用随机过程》A卷及其参考答案《应用随机过程》A卷一、课程简介《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。

通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。

本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。

二、考试内容1、随机过程的定义、性质和分类2、随机过程的概率分布和数字特征3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等三、考试形式1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题20分四、考试策略1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。

2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。

3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。

五、参考答案选择题部分：1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D填空题部分：1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律简答题部分：1、简述随机过程的基本概念及分类。

答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。

它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。

2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。

答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。

泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。