第六章捷联惯导6-1捷联惯导的原理¾捷联惯导系统概述•捷联惯性技术的发展过程•捷联惯导系统与平台惯导系统的对比¾捷联惯导系统的基本力学编排方程•捷联惯导系统的算法概述•捷联惯导系统原理框图的说明•姿态方程的解算（1）姿态和航向角的计算（2）姿态矩阵的微分方程（3）四元数的运动学微分方程（4）等效旋转矢量法及其微分方程（5）位移角速率方程（6）速度方程•导航位置方程（1）游动方位系与地球系之间的方向余弦矩阵（2）载体位置计算（3）方向余弦矩阵计算•垂直通道阻尼¾捷联惯性器件的余度技术•单自由度陀螺仪的配置方案（1）四陀螺仪配置方案（2）六陀螺仪系统•二自由度陀螺仪的配置方案¾捷联惯导的数值计算方法•数值积分法（1）欧拉法（2）四阶龙格－库塔法•角速率信息的提取“捷联（Strapdown）”这一术语的英文原义就是“捆绑”的意思。
因此，所谓捷联惯性系统也就是将惯性敏感元件（陀螺与加速度计）直接“捆绑”在载体上，从而完成制导和导航任务的系统。
V-2导弹“阿波罗-13”宇宙飞船“海盗”火星降落器从捷联技术的发展过程中我们已经看到捷联系统的优越性已越来越突出的显示出来，并在许多方面已日渐代替平台系统。
为什么会出现这种情况呢？为了回答这一问题，这里从生产与使用的角度将捷联系统与平台系统做一对比。
（1）硬件和软件的复杂程度由于捷联系统没有平台框架及相连的伺服装置，因而简化了硬件；代价是增加了计算机的负担，需要一个比较复杂的实时程序。
（2）可靠性捷联系统的可靠性要比平台系统高，其原因是它的机械构件少，加之容易采用多敏感元件配置，实现余度技术。
（3）成本与可维护性由于平台系统在机械结构上要复杂得多，而对于捷联系统只是算法复杂些，因而从制造成本上看捷联系统的成本要比平台系统低。
从市场供应的情况来看，数字计算机的价格一直在下降，而平台系统的价格一直在上升。
此外，捷联系统比平台系统具有较长的平均故障间隔时间，加之模块设计简化了维修，从而捷联系统的可维护性比平台系统大为提高了。
（4）初始对准精度与系统精度决定系统精度的重要因素之一是惯导系统的初始基准建立的准确性。
平台系统的陀螺安装在台体上以后还可以相对重力加速度和地球自转轴方向任意定位，还可以根据需要标定惯性敏感元件的误差；而捷联系统的敏感元件在载体上安装以后就不能再标定，因此要求捷联敏感元件有较高的参数稳定性。
在系统的精度方面，由于捷联系统是靠计算机来实现“平台”作用的，所以其算法误差比平台系统要大些。
一般要求软件误差不应超过系统误差的10%。
此外，由于捷联敏感元件工作在较恶劣的动态环境（如高角速率等）中，捷联系统往往存在着不可忽视的动态误差。
（5）参与系统综合的能力捷联系统可以提供载体所要求的全部惯性基准信号，特别是可以直接给出载体的角速率，而平台系统则无法直接给出。
至于载体的姿态捷联系统可以很高的速率和精度以数字形式提供，而平台系统则是通过框架间安装的同步器获得的，而且还需要把它们分解到机体轴上。
同样，加速度信息也要分解到机体轴上。
这样就会带来传递误差。
因而，从姿态和加速度信息的精度和完整性上来看，捷联系统要比平台系统优越。
捷联系统还可以采用共同的惯性元件来执行多项任务，即具有较强的参与系统综合的能力。
综上所述可以看出，捷联系统与平台系统相比，就可靠性、体积、重量和成本而言，前者优于后者；就精度而言，后者优于前者，由于飞船、战术导弹及飞机的惯导系统具有中等精度与低成本的要求，所以采用捷联方案是十分适宜的。
启动自检测初始化姿态矩阵计算迭代次数导航计算控制信息计算结束N OY E S图6-1-1 捷联式惯导系统流程图所谓“捷联惯导算法”是指从惯性仪表的输出到给出需要的导航和控制信息所必须进行的全部计算问题的计算方法。
计算的内容和要求，根据捷联式惯导的应用或功能要求的不同有很大差别。
一般说来，有下面几个方面的基本内容。
最重要的一部分(1)系统的初始化(2)惯性仪表的误差补偿(3)姿态矩阵的计算(4)导航计算(5)导航和控制信息的提取由于载体的姿态是不断改变的，因此，姿态矩阵的元素是时间的函数。
为随时定出载体的姿态，当用四元数方法确定姿态矩阵时，应解一个四元数的运动学方程（若用方向余弦方法时，要解一个方向余弦矩阵微分方程）即加速度计组件陀螺仪组件误差补偿姿态计算位置计算地球角速率计算姿态速率微分方程位移角速率微分方程位移角速率积分消除有害加速度及速度积分b iban iban bCb nC n epVn enωij Cb ibωb inωn ieωe ieω,,L λα,,ψθγ载体计算机图6-1-2 捷联式惯导系统原理+-++n b C 12b nb ω= qq•（1）姿态和航向角的计算图6-1-4 游动方位系统导航坐标系 与 系之间关系O abψab ψaz by ay ax bx θθγbz γθabψγn b 图6-1-3 游动方位系统平台航向角 与 、 之间的关系αψabψOy α()t y N by tx ab ψαψ载体的姿态可用航向角、俯仰角和横滚角表示。
假定开始时,载体坐标轴与导航坐标系完全重合。
进行图6-1-4所示的三次旋转可以到达的位置。
三次旋转方向余弦矩阵由下式得到b b b ox y z a a a ox y z b b b ox y zc o s c o s sin sin sin c o s sin sin sin c o s sin c o s c o s sin c o s c o s sin sin c o s c o s sin sin sin sin c o s sin c o s c o s c o s a b a b a b a b b n a b a b a b a b a b a b C γψγθψγψγθψγθθψθψθγψγθψγψγθψγθ+−+−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦记111213212223313233bnT T T CT T T T T T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦值得注意的是横滚角和偏航角分别是定义在和之间,所以他们都存在多值问题,平台航向角的真值可根据表6-1的符号来确定，计算机程序框图如图6-1-5。
[1800]−，181231133312122s i n ()t a n ()t a n()a ba bT T T T T θγψψψα−−−==−=−=−γab ψ[0]，360ab ψ22T ε>12122tan ab T T ψ−=主Yes220T >ab ab ψψ=主abψ2ab ab ψψπ=+主NoYesab ab ψψπ=+主32abπψ=210T >2ab πψ=YesNoNoabψ210T >NoYesb n C 元素是时间的函数。
为求()b n C t 需要解方向余弦矩阵微分方程：b b b n n nbC C =Ω 式中，bnbΩ为角速度[,,]b b b b T nb nbxnby nbzωωωω=组成的反对称矩阵。
上式两边转置，则可得到方向余弦矩阵微分方程的另一种形式即b b b n nb nC C =−Ω 它们都对应九个一阶微分方程。
通过求解，可得()bn C t从第一章可知，四元数微分方程的表达式为,式中的是载体坐标系相对地理坐标系的旋转角速度的斜对称矩阵，其表达式为b =Ω q q bΩ1231232313122222X Y Z X Z Y Y X Z Z Y XP P P P P P P P P P P P λωωωλωωωλωωωλωωω••••=−−−=+−=+−=+−解微分方程，则令211d 20()()t b t tt et Ω∫=q q []000d 00x y z t x z y b t y z x z y x t θθθθθθθθθθθθθ−Δ−Δ−Δ⎡⎤⎢⎥ΔΔ−Δ⎢⎥Δ=Ω=⎢⎥Δ−ΔΔ⎢⎥ΔΔ−Δ⎢⎥⎣⎦∫传统的姿态更新算法有欧拉角法、方向余弦法和四元数法。
其中四元数法算法简单，计算量小，因而在工程实际中经常采用。
但在四元数法中不可避免地引入了不可交换误差，特别是在载体处在高动态环境时，这种误差就会很大，必须采取有效措施加以克服。
七、八十年代，JOHN E.BORTZ、MILLER等人对旋转矢量进行了研究，并指出了旋转矢量在捷联惯性导航中的应用，为设计高精度的捷联惯性导航系统提供了理论基础和思路下面我们分别从这几个方面来研究等效旋转矢量算法:a. 旋转矢量的概念b. 旋转矢量及其与四元数、方向余弦、欧拉角的关系c. 等效旋转矢量微分方程d. 姿态算法的比较设动坐标系在起始时刻t0与参考坐标系重合，记为000Z Y OX ,在时刻t 历经具体转动而到达t t t Z Y OX 位置。
由理论力学可知，不管具体转动如何，我们都可以等效的认为动坐标系在起始位置000Z Y OX 依次三个轴转动三次而到达t t t Z Y OX 的位置，并称对应三次转动的角度为一组欧拉角。
但事实上，我们也可以等效的认为通过绕某一瞬时轴转过一定的角度依次到达t 时刻位置t t t Z Y OX 。
如果记转过的角度为φ，沿瞬时轴方向的单位矢量为n那么我们便将矢量n φ=Φ称为等效描述刚体转动的旋转矢量，简称为旋转矢量。
(a)旋转矢量与四元数[][]bnr I r⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×Φ−+×Φ+=22cos 1sin φφφφ上式表明当我们知道描述两坐标系间的旋转矢量时，我们便可以进行矢量在两坐标系间的坐标变换，所以在导航系统中，我们能用旋转矢量来形成更新载体姿态矩阵的新算法，这种新算法比传统的四元数法或方向余弦法的精度高，计算量小，其性能十分优越。
（b ）旋转矢量与方向余弦矩阵若记将矢量在动坐标系上的坐标值变换到参考坐标系的姿态转换矩阵为n b C ，那么：bnbnrC r=由于r 为动坐标系上的任意矢量，所以比较可得：[][]⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×Φ−+×Φ+=22cos 1sin φφφφI C nb（a ）转动的不可交换性在力学中，刚体的有限转动是不可交换的。
如果刚体先绕X 轴转动90°，再绕Y 轴转动90 °，和先绕Y 轴转动90 °，再绕X 轴转动90 °，两种情况的结果显然是不同的。
这就是转动的不可交换性。
（b ）等效旋转矢量微分方程(Bortz 方程)利用上节给出的旋转矢量与四元素之间的关系可得2sin()12sin()[cos()2sin()]cos()2222222ωφφφφφφφφφωωφφφΦ⋅⎧=⎪⎪⎨⎪ΦΦ+−=Φ+⎪⎩2()()ωωωφΦΦ=ΦΦ⋅− ()/()/φωφωφωφΦ=ΦΦ⋅=ΦΦ+ 可得到等效旋转矢量微分方程，方程如下：)(])cos 1(2sin 1[1212ωφφφφωω×Φ×Φ−−+×Φ+=Φ 又因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==− 7532472512945224512312222)cos 1(2sin φφφφφφφφφφφctg−−−−=30240720121642φφφ代入等效旋转矢量微分方程可得:2411()()()21272030240φφωωωωωΦ=+Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ 由于姿态更新周期一般都很短，φ角很小，φφ的高次项可略去不计，得到工程中常用的近似方程:11()212ωωωΦ=+Φ+ΦΦ 11()212ωωωΦ=+Φ+ΦΦ （c ）四元数更新方程设n 为导航坐标系，b 为机体坐标系，r 为某一向量。
