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一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf x m m x频数也称次数。
在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。
再如在3.14159265358979324中，…9‟出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7% 一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。
频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。
而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。
频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。
掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中…正面朝上‟的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上的频数为____.解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxxx 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。
加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。
比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。
依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。
加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。
加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf xm m x加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计算内容和结果都是相同的。
简答题：1.品质标志和数量标志有什么区别？统计标志通常分为品质标志和数量标志两种。
品质标志表明总体单位属性方面的特征，其标志表现只能用文字来表现，如经济类型是品质标志，标志表现则用文字具体表现为全民所有制等；数量标志表明总体单位数量方面的特征，其标志表现可以用数值表示，即标志值。
它们从不同方面体现总体单位在具体时间、地点条件运作的结果。
2.一个完整的统计调查方案包括哪些内容？(1) 调查目的：调查目的要符合客观实际，是任何一套方案首先要明确的问题，是行动的指南。
(2) 调查对象和调查单位：调查对象即总体，调查单位即总体中的个体。
(3) 调查项目：即指对调查单位所要登记的内容。
(4) 调查表：就是将调查项目按一定的顺序所排列的一种表格形式。
调查表一般有两种形式：单一表和一览表。
一览表是把许多单位的项目放在一个表格中，它适用于调查项目不多时;单一表是在一个表格中只登记一个单位的内容。
(5) 调查方式和方法：调查的方式有普查、重点调查、典型调查、抽样调查、统计报表制度等。
具体收集统计资料的调查方法有：访问法、观察法、报告法等。
(6) 调查地点和调查时间：调查地点是指确定登记资料的地点;调查时间：涉及调查标准时间和调查期限。
(7) 组织计划：是指确保实施调查的具体工作计划3.举例说明如何理解调查单位与填报单位的关系？调查单位是调查资料的直接承担着，报告单位是调查哦资料的提交者，二者有时一致，有时不一致。
如，对某市工业企业生产经营情况调查，该市所有的工业企业是调查对象，而每一工业企业是调查单位，同事又是报告单位；又如对某市工业企业职工收入状况调查，该市多有工业企业的全体职工是调查对象，每一职工是调查单位，而每一工业企业是报告单位。
4.调查对象、调查单位和填报单位有何区别？调查对象是应搜集资料的许多单位的总体。
调查单位也就是总体单位，它是调查对象的组成要素，即调查对象所包括的具体单位。
5.某地区对占该地区工业增加值三分之二的10个企业进行调查,你认为这种调查方式是重点调查还是典型调查？为什么？重点调查,重点调查是选取一部分重要样本进行调查，这些重要样本在量的方面占优势；而典型调查是有目的的选取有代表性的样本进行调查，侧重该样本的质的方面你做的时候,记住量和质的不同6.简述变量分组的种类及应用条件。
《统计学原理》复习资料（计算部分）一、 编制分配数列（次数分布表） 统计整理公式a) 组距＝上限－下限 b) 组中值＝（上限+下限）÷2c) 缺下限开口组组中值＝上限－1/2邻组组距 d) 缺上限开口组组中值＝下限+1/2邻组组距1．某班40名学生统计学考试成绩分别为：57 89 49 84 86 87 75 73 72 68 75 82 97 81 67 81 54 79 87 95 76 71 60 90 65 76 72 70 86 85 89 89 64 57 83 81 78 87 72 61要求：⑴ 根据上述资料按成绩分成以下几组：60分以下，60~70分，70~80分，80~90分，90~100分，整理编制成分配数列。
⑵ 根据整理后的分配数列，计算学生的平均成绩。
解：分配数列成绩（分） 学生人数（人） 频率（%） 60以下 4 10 60—70 6 15 70—80 12 30 80—90 15 37.5 90—100 3 7.5 合计 40 100平均成绩 55465675128515953307076.754040xf x f⨯+⨯+⨯+⨯+⨯====∑∑（分）或 5510%6515%7530%8537.5%957.5%76.75fx x f=⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑（分）2．某生产车间40名工人日加工零件数（件）如下：30 26 42 41 36 44 40 37 43 35 37 25 45 29 43 31 36 49 34 47 33 43 38 42 32 25 30 46 29 34 38 46 43 39 35 40 48 33 27 28要求：⑴ 根据以上资料分成如下几组：25~30，30~35，35~40，40~45，45~50，整理编制次数分布表。
⑵ 根据整理后的次数分布表，计算工人的平均日产量。
（作业10P 1） 解：次数分布表日加工零件数（件） 工人数（人）频率（%）25—307 17.5 30—35 8 20 35—40 9 22.5 40—45 10 25 45—50 6 15 合计 40100平均日产量 27.5732.5837.5942.51047.56150037.54040xf x f⨯+⨯+⨯+⨯+⨯====∑∑ 件或 27.517.5%32.520%37.522.5%42.525%47.515%37.5fx x f=⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑ 件二、 算术平均数和调和平均数的计算 加权算术平均数公式 xfx f=∑∑（常用） fx x f=⋅∑∑（x 代表各组标志值，f 代表各组单位数，ff∑代表各组的比重）加权调和平均数公式 m x m x=∑∑ （x 代表各组标志值，m 代表各组标志总量）分析： m x mx=总产量工人平均劳动生产率（结合题目）总工人人数从公式可以看出，“生产班组”这列资料不参与计算，是多余条件，将其删去。
统计学原理常用公式1.样本均值公式:样本均值是用来估计总体均值的一种方法，公式为：\bar{x} = \frac{{\sum_{i=1}^n x_i}}{n}\]其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(n\) 是样本容量。
2.样本方差公式:样本方差是用来估计总体方差的一种方法，公式为：s^2 = \frac{{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}}{n-1}\]其中，\(s^2\) 是样本方差，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观察值，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(n\) 是样本容量。
计算样本方差时使用的是无偏估计公式。
3.标准差公式:标准差是样本方差的平方根，公式为：s = \sqrt{s^2}\]其中，\(s\)是样本标准差。
4.离差平方和公式:离差平方和是指每个观察值与均值之差的平方的总和，公式为：\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\]5.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式给出了随机变量与其均值之间的关系，公式为：P(，X-\mu，\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]其中，\(X\) 是随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(k\) 是大于零的常数。
6.二项分布的期望值和方差公式:二项分布用于描述在\(n\)次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
其期望值和方差分别为：E(X) = np\]Var(X) = np(1-p)\]其中，\(X\)是二项分布随机变量，\(n\)是试验次数，\(p\)是单次试验成功的概率。
7.正态分布的概率密度函数和累积分布函数公式:正态分布描述了大部分自然现象中的连续性随机变量的分布。
f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x -\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]\]其中，\(x\) 是正态分布的随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差，\(\text{erf}\) 是误差函数。
统计学期末（单选、10个填空、5个判断、三个计算、一道论述）第一章导论1、统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
分析数据：分为描述统计方法和推断统计方法两种方法。
描述统计：研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计：是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
推断统计内容包含参数估计和假设检验2、统计数据的类型：（1）按照采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据与数值型数据。
注意：分类数据和顺序数据都是表现事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此可以通称为定性数据或品质数据(qualitative data)。
数值型数据说明的是现象的数量特征，通常用数值来表现，因此可以统称为定量数据或数量数据(quantitative data)。
(2)按照统计数据的收集方法，可以将统计数据分为观测数据和实验数据。
(3)按照被描述的现象与时间的关系，可以将统计数据分为截面数据、时间序列数据（和面板数据 panal data）。
3、抽样独立性问题：总体区分为有限总体和无限总体，目的是为了判别在抽样中每次抽取是否独立（类似抽小球是否放回的问题）。
在统计推断中，通常是针对无限总体的，因而通常把总体看做随机变量（random variable）。
统计上的总体通常是一组观测数据，而不是一群人或者一些物品的简单集合。
4、统计指标按其所反映的数量特点和作用不同，分为数量指标、质量指标。
样本（sample）是从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素的数目称为样本量（sample size）。
抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。
5、总体参数（parameter）是用来描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的某种特征值。
样本统计量（statistic）是用来描述样本特征的概括性数字度量，是根据样本数量计算出来的一个量。
统计学原理第一章绪论统计是对客观事物的数量方面进行核算和分析，是人们对客观事物的数量表现、数量关系和数量变化进行描述和分析的一种计量活动。
统计的三层含义：统计工作、统计资料、统计学统计工作：即统计实践活动，是人们对客观事物的数据资料进行搜集、整理、分析的工作的总称，是一种社会调研活动统计资料：是统计工作的成果，包括各种统计报表、统计图形及文字资料等。
统计学：是研究大量社会现象（经济）的总体方面的方法论科学三者关系：统计学与统计实践活动的关系是理论与实践的关系，理论源于实践，理论又高于实践，反过来又指导实践。
统计工作和统计数据是工作和工作成果关系。
统计工作过程（统计工作的基本环节）：1．统计设计（准备阶段）设计方案、指标体系、分类目录等2．统计调查（调查阶段）收集和占有统计资料3．统计整理（整理阶段）分布数列、次数分布等加工资料（承上启下）4．统计分析（分析阶段）绝对指标、相对指标等5．统计的表现与运用（工作总结）统计研究的基本方法：1.大量观察法2.综合指标法3.统计分组法4.归纳推理法5.统计模型社会统计学的特点1、数量性：统计研究对象是客观事物的数量方面。
2、总体性：主要是研究社会经济现象的总体数量规律3、具体性：社会经济统计的研究对象是具体事物的数量，不是抽象的量。
4、变异性：总体中各单位的数值表现存在差异5、不确定性：是在现有的统计资料基础上或样本数据基础上进行阶段性分析，所获得的结论不确定统计的职能：信息职能、咨询职能、监督职能。
第二章统计数据的搜集统计学中几个基本概念统计数据的计量尺度统计数据：是对客观社会经济现象进行计量的结果。
1.定类尺度：也称类别尺度或列名尺度，是按照现象的某种属性对其进行平行的分组或分类。
是最粗略、计量层次最低的计量尺度。
2.定序尺度：又称顺序尺度，是对现象之间的等级差或顺序差别的一种测度。
可以确定类别的优劣或顺序3.定距尺度：也称间隔尺度，是对现象类别或次序之间间距的测度。
位值平均数计算公式1、众数：是一组数据中出现次数最多的变量值 组距式分组下限公式：002110m m d L M ⋅∆+∆∆+= 0m L ：代表众数组下限； 1100--=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组前一组频数 0m d ：代表组距； 1200+-=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组后一组频数2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。
中位数位置21+=n 分组向上累计公式：e e e e m m m m e d f S f L M ⋅-∑+=-12 e m L 代表中位数组下限； 1-e m S ：代表中位数所在组之前各组的累计频数；e mf 代表中位数组频数； e m d 代表组距3、四分位数：也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%，处在25%和75%分位点上的数值就是四分位数。
其公式为：411+=n Q 212+=n Q （中位数） 4)1(33+=n Q 实例数据总量: 7, 15, 36, 39, 40, 41一共6项Q1 的位置=（6+1）/4=1.75 Q2 的位置=（6+1）/2=3.5 Q3的位置=3（6+1）/4=5.25 Q1 = 7+（15-7）×（1.75-1）=13，Q2 = 36+（39-36）×（3.5-3）=37.5，Q3 = 40+（41-40）×（5.25-5）=40.25数值平均数计算公式1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。
其公式为：n x n x x x X n ∑=⋯⋯++=212、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数f ）大小的影响，其公式为：fxf f f f f x f x f x X i i i ∑∑=⋯⋯++⋯⋯++=2122113、加权算术平均数的频率： 其公式为：f f X f f X f f X f f X X n ∑⋅∑=∑∑⋯⋯+∑+∑=22114、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M ）而缺少总体单位数（f ）的资料，不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，则应采用加权调和平均数。
其公式为：x m m H ∑∑=5、简单几何平均数：就是n 个变量值（Xn ）连乘积的n 次方根： 其公式为：n n n X X X X X G ∏=⋯⋯⋅⋅=3216、加权几何平均数：如果变量值较多，其出现的次数不同，则应采用加权几何平均数， 其公式为：f ff f f f n f f X X X X G n n ∑⋯⋯++∏=⋯⋯⋅=212121标志变异绝对指标及成数计算公式一、标志变异绝对指标：1、异众比率（又称离异比率或变差比，它是指非众数组的频数占总频数的比率）： 公式即，im i m i r f f f f f V ∑-=∑-∑=1 2、极差（也称全距，它是一组数据的最大值与最小值这差公式即：min max X X R -=3、平均差（总体各单位标志值对算数平均数的绝对离差的算术平均数，平均差是反映各标志值对平均数的平均距离，平均差越大，说明总体各标志值越分散，平均差越小，说明各标志值越集中），公式即为：（未分组情况）n xx D A -∑=. （分组情况）：f fx x D A ∑-∑=·.4、方差和标准差：方差（是各变量值与其均值离差平方的平均数），公式即为：（未分组情况）n x x 22)(-∑=σ （分组情况）：f f x x ∑-∑=·)(22σ标准差（方差的平方根），公式即为：（未分组情况）n x x 2)(-∑=σ （分组情况）：f f x x ∑-∑=·)(2σ 方差的数学性质：变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。
方差的简便算法：方差=平方的平均数-平均数的平方 平方的平均数表示为：n x 2∑ 平均数的平方表示为：2⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n x 方差简便算法的公式即为：222)(x x -=σ 二、是非标志的平均数、方差、标准差：是非标志：将总体分成具有某种性质和不具有某种性质的两部分，我们所关心的标志表现称为“是”，另一标志标现称为“非”。
例如：产品分为合格与不合格品。
成数：总体中，是非标志只有两种表现，我们把具有某种表现和不具有某种表现的单位占全部总体单位的比重称为成数。
具有某种性质的成数用（p ）表示，不具有某种性质的用（q ）表示。
p+q=1。
[成数的平均数（均值）就是成数本身]成数方差：)1(2p p -=σ 成数标准差：p p -=1(σ抽样平均误差、极限误差计算公式1、抽样平均误差：反映所有的样本平均数与总体平均数的平均误差，用x σ表示。
平均数公式： 重置抽样公式为：nM x x σμσ=-∑=2)( 其中σ表示总体标准差，n 表示样本容量，M 为样本个数。
不重抽样公式为：1·)(2--=-∑=N n N n M x x σμσ 其中N 为总体单位数。
成数公式：重置抽样公式为：n P P P )1(-=σ 不重置抽样公式为：1)1(--⋅-=N n N n P P P σ 2、极限误差：样本统计量与被估计的总体参数的离差的绝对值所容许的最大值，又称边际误差，用∆来表示。
x X x ∆≤- p P p ∆≤- x z σ∆=，用文字表述为：概度率=抽样极限误差÷抽样平均误差。
概率保证程度用()z F 表示，又叫置信度或置信水平，它是z 的函数。
3、计算题步骤：第一套：()z F 求∆1、抽样 计算 区间估计⇒x()x x S σ⇒2、根据：()z F 查表z 3、计算：x z σ⋅=∆，写出x ：()∆+∆-x ，x 4、成数计算步骤： 第一套：()z F 求∆ 1、抽样 计算 区间估计⇒P ()p x S σ⇒ 2、根据：()z F 查表z 3、计算：p pz σ⋅=∆写出（P p ，P P ∆+∆-） 样本容量、相关系数、估计标准误差一、样本容量的确定1、平均数：重复抽样下样本容量222∆=σz n ；不重复抽样下样本容量22222)1(σσz N Nz n +∆-= 2、成数：重复抽样下样本容量22)1(p p p z n ∆-⋅=；不重复抽样下样本容量)1()1()1(222p p z N p p Nz n p -⋅+∆--⋅=二、相关系数：在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
公式1：2222)()())(()()())((y y x x y y x x y y x x y y x x r -∑⋅-∑--∑=-∑⋅-∑--∑= 公式2：()()2222y y n x x n y x xy n r ∑-∑⋅∑-∑∑⋅∑-∑= 公式3：yx y x xy r σσ⋅⋅-= 三、一元线性回归分析：只涉及一个自变量时称为一元回归。
1、估计回归方程可表示为：x b b y 10+=，其中0b 是估计的回归直线在y 轴上的截距，是当x =0时的期望值；1b 是直线的斜率，称为第二套：∆求()z F 1、抽样 计算 区间估计⇒x ()x x S σ⇒ 2、根据：x z σ∆= 查表 ()z F 3、由x 和∆，写出()∆+∆-x ，x第二套：∆求()z F1、抽样 计算 区间估计⇒P()p x S σ⇒2、根据：P P z σ∆= 查表 ()z F3、由P 和p ∆，写出（P p ，P P ∆+∆-）回归系数，表示当x 每变动一个单位时y 的值平均变动。
2、最小二乘法（残差平方和最小）221)())((x x n y x xy n b ∑-∑∑∑-∑= x b y b 10-= 2221)()())((x x n y x xy n x x y y x x b ∑-∑∑⋅∑-∑=-∑--∑= n x b n y b ∑-∑=10三、回归直线的似合程度1、判定系数（可决系数）：等于相关系数的平方。
2222212)()(y y n x x n b r ∑-∑∑-∑⋅=2、估计标准误差：实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 计算公式为22)ˆ(1022-∑-∑-∑=--∑=n xy b y b y n y y S y 四、利用回归方程式进行估计1、点估计：对于自变量 x 的一个给定值x 0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值根据回归方程：x b b y 10+=得出y 的估计值。
时间序列的分析指标1、绝对数时间序列的计算：（用算术平均数计算） ①、时期序列的序时平均数：n y y y y yn /21∑=⋯⋯++= ②、时点序列的序时平均数： 连续时点：连续每天资料不同：n y y /∑= 持续天内资料不变：t yt y ∑∑=/间断时点：间隔时间相等序时平均数的计算(首末折半)：12121121-++⋯⋯++=-n y y y y y n n间断时点：间隔不相等序时平均数的计算：tt y y t y y t y y y n n n ∑++⋯⋯++++=--11232121)2()2()2( 2、绝对数或平均数时间序列的序时平均数：应先分别求出构成相对数或平均数的分子和分母的平均数，而后再进行对比（先平均，再对比）：b a y /=3、增长量：增长量=报告期水平-基期水平。
逐期增长量：是报告期水平与前一期水平之差，表示本期比前一期增长的绝对数量累积增长量：是报告期水平与某一固定时期水平之差，说明报告期与某一固定期增长的绝 逐期增长量与累积增长量之间存在一定的关系：各逐期增长量的和等于相应时期的累积增长量；两相邻时期累积增长量之差等相应时期的逐期增长量。
4、平均增长量： n y y n y y y n i i 01)(-=-∑=∆-(n 为逐期增长量个数，它是观察数量的个数减1)平均增长量=逐期增长量之和/逐期增长量个数=累积增长量/观察期数。
5、发展速度：发展速度=报告期水平/基期水平环比发展速度：是报告期发展水平与前一水平之比，说明现象逐期发展变化的程度定基发展速度：是报告期发展水平与某一固定时期水平之比，说明现象整个观察期内总的发展变化程度。
以上两种发展速度之间存在着一定的数量：各个环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度；两个相邻的定基发展速度之比等于相应的各期环比发展速度。
6、增长速度：增长速度=增长量/基期水平=报告期水平-基期水平/基期水平=发展速度-1 环比增长速度：1//111-=-=---i i i i i i y y y y y G （i=1,2…n ）定基增长速度：1//000-=-=y y y y y G i i i （i=1,2…n ）环比增长速度与定基增长速度之间没有直接关系：若由环比增长速度推算定基增长速度，可先将各环比增长速度加1后连乘，再将结果减1，即得定期增长速度。
