2022版金考卷高中必修二新版北师大版数学答案

最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析章末综合测评(⼀)⽴体⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?/α，A∈l?A?αD.A∈l，lα?A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有⼀个平⾯B.分别在两个平⾯内的两条直线⼀定是异⾯直线C.垂直于同⼀个平⾯的两条直线是平⾏直线D.垂直于同⼀个平⾯的两个平⾯平⾏【解析】A中，可能有⽆数个平⾯；B中，两条直线还可能平⾏、相交；D中，两个平⾯可能相交.【答案】 C3.已知⽔平放置的△ABC是按“斜⼆测画法”得到如图1所⽰的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的⾯积是()图1 A. 3 B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的⾼为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平⾏于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异⾯；C中a可能与α内的直线异⾯；D 正确.【答案】 D5.已知⼀个圆锥的展开图如图2所⽰，其中扇形的圆⼼⾓为120°，底⾯圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，⾼为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平⾯ACC1A1，⽽BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平⾯ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正⽅体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成⾓的余弦值是()A.12 B.33 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异⾯直线AD1与EF所成的⾓.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所⽰，则这个⼏何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得⼏何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平⾯ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直⾓梯形，∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正⽅体，下⾯结论错误的是( )图5A.BD ∥平⾯CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平⾯CB 1D 1D.异⾯直线AD 与CB 1所成的⾓为60°【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平⾯CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平⾯ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平⾯CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的⾓，此⾓为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的主视图和俯视图如图6所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16＋20π，则r ＝( )图6D.8【解析】如图，该⼏何体是⼀个半球与⼀个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底⾯半径为r，⾼为2r，则表⾯积S＝12＋2×4πrπr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.⼜S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直⾓三⾓形ABC的斜边BC上的⾼AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平⾯后，某学⽣得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三⾓形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平⾯ADC⊥平⾯ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平⾯ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直⾓三⾓形斜边BC上的⾼，平⾯ABD⊥平⾯ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三⾓形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，⼜由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球⾯上，△ABC 是边长为1的正三⾓形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底⾯都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的⾼是三棱锥O -ABC ⾼的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所⽰， S △ABC ＝34×AB 2＝34，⾼OD ＝12－? ??332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平⾯α∥平⾯β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平⾯α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由⾯⾯平⾏的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所⽰，将等腰直⾓△ABC 沿斜边BC 上的⾼AD 折成⼀个⼆⾯⾓，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个⼆⾯⾓⼤⼩是________.图8【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三⾓形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°.【答案】 90°15.若⼀个底⾯边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在⼀个球⾯上，则此球的体积为________.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对⾓线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓A -BD -C ，则异⾯直线AB 与CD 所成的⾓等于________.【解析】如图所⽰，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的⾓. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三⾓形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本⼩题满分10分)如图9所⽰，四棱锥V -ABCD 的底⾯为边长等于2 cm 的正⽅形，顶点V 与底⾯正⽅形中⼼的连线为棱锥的⾼，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，在正⽅形ABCD中，求得CO＝ 2 cm，⼜在直⾓三⾓形VOC中，求得VO＝14 cm，∴V V－ABCD＝13S ABCD·VO＝13×4×14＝4314(cm3).故这个正四棱锥的体积为4314cm3.18.(本⼩题满分12分)如图10所⽰，P是?ABCD所在平⾯外⼀点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平⾯PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在?ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.⽽EF?/平⾯PBC，PG平⾯PBC，∴EF ∥平⾯PBC .19.(本⼩题满分12分)如图11，长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平⾯α与此长⽅体的⾯相交，交线围成⼀个正⽅形.图11(1)在图中画出这个正⽅形(不必说明画法和理由)； (2)求平⾯α把该长⽅体分成的两部分体积的⽐值. 【解】 (1)交线围成的正⽅形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂⾜为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正⽅形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长⽅体被平⾯α分成两个⾼为10的直棱柱，所以其体积的⽐值为97? ????79也正确.20.(本⼩题满分12分)如图12所⽰，在长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平⾯ABM ⊥平⾯A 1B 1M .图12【证明】由长⽅体的性质可知A1B1⊥平⾯BCC1B1，⼜BM平⾯BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.⼜CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，⼜B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从⽽BM⊥B1M.⼜A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平⾯A1B1M，因为BM平⾯ABM，所以平⾯ABM⊥平⾯A 1B1M.21.(本⼩题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底⾯ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平⾯PCD；(2)求⼆⾯⾓A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底⾯ABCD，CD平⾯ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平⾯P AC，⼜AE平⾯P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.⼜PC∩CD＝C，∴AE⊥平⾯PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂⾜为M，连接AM，如图所⽰.由(1)知，AE⊥平⾯PCD，AM在平⾯PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是⼆⾯⾓A-PD-C的平⾯⾓.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本⼩题满分12分)⼀个空间⼏何体的三视图及部分数据如图14所⽰.图14(1)请画出该⼏何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平⾯AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平⾏于平⾯AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)⼏何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正⽅形，且垂直于底⾯BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平⾯ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正⽅形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平⾯AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平⾯AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平⾯AB1C1，EF?/平⾯AB1C1，∴EF∥平⾯AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平⾯AB1C1，⼜EF∩FD＝F，∴平⾯DEF∥平⾯AB1C1.⽽DE平⾯DEF，∴DE∥平⾯AB1C1.章末综合测评(⼆)解析⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜⾓是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1D.－3【解析】由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平⾏于直线x －2y ＋3＝0的直线⽅程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的⽅程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A 5.如图1，在正⽅体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.? ?2，2，23 C.? ?2，2，13 D.? ?2，2，43【解析】∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. ⼜E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆⼼的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.? ????0，255 B.? ????0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】设圆⼼到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则05，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的⽅程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的⽅程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满⾜a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????12，－16 C.? ??12，16 D.? ??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线⽅程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平⾯内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满⾜条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】由题知满⾜题意的直线l在线段AB两侧各有1条，⼜因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的⼀点且与AB垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆⼼在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的⽅程是()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆⼼O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的⽅程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆⼼在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，⼜其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上⼀动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN 的最⼩⾯积为()A.43 B.23。

必修2测试卷石油中学 齐宗锁一、选择题（每小题4分共40分） 1、圆锥过轴的截面是（ ）A 圆B 等腰三角形C 抛物线D 椭圆2、若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )。

A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内 3、一个西瓜切3刀，最多能切出（ ）块。

A 4B 6C 7D 84．下图中不可能成正方体的是（ ）5．三个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．431倍 6．以下四个命题中正确命题的个数是（ ）①过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 ②过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 ③过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 ④过空间一点作已知直线的平行线有且只有一条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．78．已知直线06:1=++my x l 和直线023)2(:2=++-m y x m l 互相平行，则实数m 的值是（ ）A ．-1或3B ．-1C ．-3D ．1或-39．已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆122=+y x 上的点到直线l 的最大距离是( )A ．1B ．4C ．5D ．6 10．点)1,3,2(-M 关于坐标原点的对称点是（ ）A BC DA ．（-2，3，-1）B ．（-2，-3，-1）C ．（2，-3，-1）D ．（-2，3，1） 二、填空题（每题4分共16分）11、从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6、8、12，则其对角线长为12．将等腰三角形绕底边上的高旋转180o ，所得几何体是______________；13．圆C ：1)6()2(22=-++y x 关于直线0543=+-y x 对称的圆的方程是___________________；14．经过点)4,3(--P ，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程是______________________。

北师大必修二数学参考答案北师大必修二数学参考答案在学习数学的过程中，我们常常会遇到各种各样的难题，有时候我们需要一些参考答案来帮助我们更好地理解和掌握知识。

北师大必修二数学是高中数学的重要组成部分，它涵盖了代数、几何、概率等多个方面的内容。

下面，我将为大家提供一些北师大必修二数学的参考答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 代数部分代数是数学的重要分支，它研究的是数与数之间的关系和运算。

在北师大必修二数学中，代数部分主要包括方程与不等式、函数与方程组、数列与数学归纳法等内容。

对于方程与不等式的解题，我们首先要根据题目中给出的条件，列出方程或不等式，然后通过运用代数运算的方法，将方程或不等式化简为最简形式，最后求解出未知数的值。

在解题过程中，我们要注意运用等式的性质和不等式的性质，合理利用代数运算的规则，以及运用方程与不等式的解集的性质来进行推理和判断。

在函数与方程组的解题中，我们需要根据题目中给出的函数或方程组的条件，利用代数运算的方法，将函数或方程组化简为最简形式，然后求解出未知数的值。

在解题过程中，我们要注意函数的定义域和值域的性质，以及方程组的解集的性质，合理利用函数的性质和方程组的性质来进行推理和判断。

数列与数学归纳法是代数部分的重要内容之一。

在数列的解题中，我们需要根据题目中给出的数列的条件，利用数学归纳法的方法，推导出数列的通项公式或递推关系式，然后求解出数列中的任意项。

在解题过程中，我们要注意数列的性质，合理利用数学归纳法的原理和方法来进行推理和判断。

2. 几何部分几何是数学的重要分支，它研究的是空间中的图形、形状和变换。

在北师大必修二数学中，几何部分主要包括平面几何和空间几何两个方面的内容。

在平面几何的解题中，我们需要根据题目中给出的平面图形的条件，利用几何定理和几何推理的方法，推导出平面图形之间的关系，然后求解出未知量。

在解题过程中，我们要注意几何定理的条件和结论，合理利用几何推理的原理和方法来进行推理和判断。

描述：例题：高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积与体积
一、知识清单
展开图
截面分析 表面积与体积
二、知识讲解
1.展开图
空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．
如图所示，是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与字母 相对的是（
）
A．字母 B．字母 C．字母 D．字母
解：B B E C A D 下图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 、、 和 在原正方体中
不在同一平面内的有______对．
解：将展开图恢复为正方体，如图，可见 与 ， 与 ， 与 不在同一平面内．
AB
CD EF GH 3
AB CD AB GH EF GH
解：C
分都是一个三棱锥．
′
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形作截面图如图所示，可知是六边形．
ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则
PA=PB=PC=2
，求三棱锥
R=AB
2。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。

北师大版必修第二册全册学案第一章三角函数.................................................................................................................... - 2 - 1周期变化 ................................................................................................................... - 2 - 2任意角 ....................................................................................................................... - 8 - 3弧度制 ..................................................................................................................... - 14 - 4正弦函数和余弦函数的概念及其性质.................................................................. - 20 - 5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识.......................................................... - 35 -ωx＋φ的性质与图象................................................................... - 50 - 6函数y＝A sin ()7正切函数 ................................................................................................................. - 67 - 8三角函数的简单应用.............................................................................................. - 76 - 第二章平面向量及其应用.................................................................................................. - 85 - 1从位移、速度、力到向量...................................................................................... - 85 - 2从位移的合成到向量的加减法.............................................................................. - 92 - 3从速度的倍数到向量的数乘................................................................................ - 107 - 4平面向量基本定理及坐标表示............................................................................ - 119 - 5从力的做功到向量的数量积................................................................................ - 136 - 6平面向量的应用.................................................................................................... - 150 - 第三章数学建模活动（二）............................................................................................ - 188 - 1建筑物高度的测量................................................................................................ - 188 - 2测量和自选建模作业的汇报交流........................................................................ - 188 - 第四章三角恒等变换........................................................................................................ - 195 - 1同角三角函数的基本关系.................................................................................... - 195 - 2两角和与差的三角函数公式................................................................................ - 205 - 3二倍角的三角函数公式........................................................................................ - 237 - 第五章复数 ....................................................................................................................... - 255 - 1复数的概念及其几何意义.................................................................................... - 255 - 2复数的四则运算.................................................................................................... - 268 - 3复数的三角表示.................................................................................................... - 282 - 第六章立体几何初步.......................................................................................................... - 291 - 1基本立体图形........................................................................................................ - 291 - 2直观图 ................................................................................................................... - 310 - 3空间点、直线、平面之间的位置关系.............................................................. - 318 - 4平行关系 ............................................................................................................... - 335 - 5垂直关系 ............................................................................................................... - 364 - 6简单几何体的再认识............................................................................................ - 394 -第一章三角函数1周期变化学习任务核心素养1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养．在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题．你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？知识点1周期函数的概念一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．1.(1)是否所有的函数都是周期函数？(2)周期函数的周期唯一吗？[提示](1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．知识点2最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．2.(1)为什么规定T非零？(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示](1)T若为零，则任意函数都是周期函数．(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______个周期．10[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]类型1周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？[解]因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).1.周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．[跟进训练]1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？[解]设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．类型2周期函数【例2】 (教材北师版P 3例3改编)已知函数f (x )满足f (x )f ()x ＋2＝13，求证：f (x )是周期函数．1．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝－f (x )，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝－f ()x ＋a ＝－[]－f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．2．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝1f ()x ，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝1f ()x ＋a ＝11f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．[证明] 由已知得f ()x ＋2＝13f ()x ， 所以f ()x ＋4＝13f ()x ＋2＝1313f ()x ＝f (x ). 所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．判定一个函数是周期函数需分两步(1)先猜想出其周期；(2)用周期函数的定义证之．[跟进训练]2．已知函数f (x )满足f ()x ＋1＝1＋f ()x 1－f ()x ，求证：f (x )是周期函数． [证明] 由已知得，f ()x ＋2＝1＋f ()x ＋11－f ()x ＋1＝1＋1＋f ()x 1－f ()x 1－1＋f ()x 1－f ()x ＝2－2f ()x ＝－1f ()x .所以f ()x ＋4＝－1f ()x ＋2＝－1－1f ()x ＝f (x ).所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．类型3 周期函数的应用【例3】 (教材北师版P 2例2改编)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f ()x ＋2＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f ()π的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调递增(或减)区间．第(1)问，先求函数f (x )的周期，再求f ()π的值；第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出．[解] (1)由f ()x ＋2＝－f (x )，得f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝－[]－f ()x ＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f ()π＝f ()－1×4＋π＝f ()π－4＝－f ()4－π＝－()4－π＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f ()x ＋2＝－f (x )，得f []()x －1＋2＝－f ()x －1＝f ()1－x ，即f ()1＋x ＝f ()1－x .故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △ OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z ).研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．[跟进训练]x＋4＝f(x)，则f(2)＝() 3．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f()A．0B．1C．2D．3(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7 C．8 D．9(1)A(2)B[(1)由题意，f(x)为周期函数且周期为4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.(2)当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.]当堂达标1．下列变化中，不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.] 2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，16＝()1]上的图象，则f()A.1 B ．0 C ．－1 D ．2A [由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f ()16＝f ()5×3＋1＝f ()1，而由图象可知f (1)＝1，所以f ()16＝1.]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，f (1)＝ 4，则f ()3＋f ()10的值为________．4 [由题意可知f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，令x ＝－2，可求得f ()－2＝0，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ()2＝0，即f ()x ＋4＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f ()1＝4，所以f ()3＋f ()10＝f ()－1＋f ()2＝f ()1＋0＝4.]4．若f (x )是以π2为周期的函数，且f (π3)＝1，则f (－2π3)＝________．1 [f (－2π3)＝f (π3－2×π2)＝f (π3)＝1.]5．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s ，第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________s.1.4 [质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T 2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.周期函数的定义是什么？如何判断f (x )是周期函数？[提示]一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么y＝f(x)称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．2.周期函数的定义域有什么特点？[提示]设周期为T的函数的定义域为M，则x∈M，则必有x＋nT∈M(且n∈Z 且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．2任意角学习任务核心素养1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养．周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点1角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．知识点2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角1.(1)角的三要素是什么？(2)正角、负角、零角是根据什么区分的？[提示](1)角的三要素是顶点、始边、终边．(2)根据射线是否旋转及旋转的方向．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角是钝角．()(4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×知识点3象限角如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2.第二象限角比第一象限角大吗？[提示]不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.2.－300°是第()象限角A．一B．二C．三D．四A[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.] 知识点4终边相同的角给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．3.终边相同的角一定相等吗？[提示]不一定．如30°与390°角的终边相同，但并不相等．3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．[答案]195°＋(－3)× 360°类型1角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．(1)(2)[解]由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两点注意(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”.(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．[跟进训练]1．(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．(1)－150°210°(2)－60°[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.]类型2终边相同的角【例2】(教材北师版P7例3改编)已知α＝－1 190°.(1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.[解](1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可．[跟进训练]2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．[解]终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．类型3象限角【例3】(教材北师版P6例1改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．根据终边相同的角一定是同一象限的角，可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围，再加上360°的整数倍即可．[解]第一象限角的集合：S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内，0°～360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系，所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°～360°范围内来判断．[跟进训练]3．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3C[－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．]当堂达标1．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝DD[根据角的分类，可知应选D.]2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°B[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．]3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°＝－2×360°＋263°，故选C.]4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．－252°[∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.]5．－1 060°的终边落在第________象限．一[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边在第一象限．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同？[提示]对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗？[提示]区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．3弧度制学习任务核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点)2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点)1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养．度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其它单位，它是怎样定义的？这就是本节课我们要重点研究的问题．知识点1弧度制的定义在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？[提示]确定．知识点2角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？[提示](1)1度；(2)π180弧度．1.(1)与120°角终边相同的角为()A．2kπ－2π3(k∈Z)B．11π3C．2kπ－10π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)(2)－23π12化为角度应为()A．－345°B．－15°C．－315°D．－375°(1)C(2)A[(1)120°＝2π3且2kπ－10π3＝(2k－4)π＋2π3(k∈Z)，∴120°与2kπ－10π3(k∈Z)，终边相同．(2)－23π12＝－2312×180°＝－345°.]知识点3弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απr180l＝αr扇形的面积S＝απr2360S＝12lr＝12αr22.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．32[由弧长公式l＝αR，得α＝lR＝1812＝32.]类型1弧度制的概念【例1】下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关D[A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.]1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π．2.在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围．[跟进训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A、B、C正确，D项错误．]类型2角度制与弧度制的互化【例2】(教材北师大版P10例1、例2改编)将下列各角度与弧度互化．(1)112°30′；(2)94π rad；(3)－3 rad.[解](1)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(2)94π rad＝94×180°＝405°.(3)－3 rad＝－3×180°π≈－171.9°.1.在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．2.一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．3.弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．[跟进训练]2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.[解]∵－1480°＝π180×(－1480)＝－74π9.又∵－74π9＝－10π＋169π，且0≤169π<2π.∴－1480°＝2×(－5)π＋16 9π.类型3弧长公式与扇形面积公式【例3】已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？先用半径r表示弧长，再依据S＝12lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.∵l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2(rad).∴当扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.本例将条件改为“已知扇形周长为10，面积为4”试求扇形的圆心角的大小．[解] 设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍). 故扇形圆心角为12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r 的函数，再求该函数的最值．[跟进训练]3．(1)一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．(2)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.则AB 的长为________．(1)2 rad (2)4π [(1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.(2)∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴AB ︵的长l ＝23 π×6＝4π.]当堂达标1.3π5弧度化为角度是( )A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°C [3π5＝35×180°＝108°.]2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cm B ．23π cm C ．2003π cm D ．4003π cmA [根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm).]3．把22°30′化为弧度的结果是________．π8 [22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8.]4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的度数为________rad.π3 [因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°即为π3 rad.]5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________．{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z } [若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z ).],回顾本节内容，自我完成以下问题：1.角的概念推广后，角的集合与实数集R 之间是怎样的关系？[提示] 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2.在解决与角有关的问题时，应注意什么？[提示] (1)解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．(2)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．,4正弦函数和余弦函数的概念及其性质4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4．2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习任务核心素养1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点)3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P()u，v.正弦函数sin α余弦函数cos α定义 点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数值，记作v ＝sin_α点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数值，记作u ＝cos_α在各象限的符号1.已知Q ()x ，y 是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ [提示] sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y2.1.点P (sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三 [∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P 位于第三象限．]知识点2 正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x定义域 R值域 []－1，1最大值与 最小值 当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝()2k ＋1π，k ∈Z 时，y min＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， 在[]2k π－π，2k π， k ∈Z 上单调递增的； 在[]2k π，2k π＋π， k ∈Z 上单调递减k ∈Z 上单调递减2.为什么y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数？[提示] 因为∀x ∈R ，x ＋2π与x 终边相同，所以sin ()x ＋2π＝sin x ，根据周期函数的定义可知，y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数．2.已知sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6， 则m 的取值范围是________． －74≤m ≤－54 [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，即－12 ≤2m ＋3≤ 12.∴－74 ≤m ≤－54.]类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (教材北师版P 15练习1改编)已知角α的终边过点P ()－3a ，4a ()a ≠0，求2sin α＋cos α的值．[解] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a＝－45， cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法1.在角α的终边上任选一点P (x ，y )，求出点P 到原点的距离为r ()r >0，则sin α＝y r ，cos α＝xr ．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值． [解] 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋()3a 2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12 . 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.类型2 正弦、余弦函数值符号的判断【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D [∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.] (2)[解] ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[跟进训练]2．若三角形的两内角A，B满足sin A cos B<0，则此三角形为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能B[由题意知，A，B∈(0，π)，∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角．故选B.]类型3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】(教材北师版P18例3改编)已知函数f(x)＝2sin x－1.求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间．若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．[解](1)要使函数f(x)有意义，则sin x≥1 2.如图所示，画出单位圆，作直线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，在[0，2π)范围内，sin π6＝sin5π6＝12，则点P1，P2分别在5π6，π6的终边上，又sin x≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x≥12的角α的终边所在的范围，即当x∈[0，2π)时，π6≤x≤5π6，故函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (2)由12≤sin x ≤1，得f (x )的值域为[]0，1. (3)函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π2()k ∈Z ，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋5π6()k ∈Z .若将例3函数的解析式改为“f (x )＝－2cos x －1”试求函数f (x )的定义域． [解] 若使函数f (x )有意义，则－2cos x －1≥0，即cos x ≤－12.作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域； 第三步：结合单位圆写出不等式的解集．[跟进训练]3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个取值区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D ．[0，π]A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，要使sin x ≤cos x ，由三角函数线的定义知角x 的终边应落在直线y ＝x 上或者该直线的下方，故选A.]当堂达标1．设已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32B ．－12C ．32D ．12B [由于x ＝－32，y ＝－12，由正弦函数的定义知，sin α＝y ＝－12，故选B.] 2．当α为第二象限角时，||sin αsin α－cos α||cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴||sin αsin α－cos α||cos α＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.]3．若sin α≥32，则角α的取值范围是___________________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z[如图作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .]4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P ()4，y 是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．－8 [∵sin θ＝y 42＋y2＝－255， ∴y <0，且y 2＝64，∴y ＝－8.]5．u ＝12cos α，α∈[－π3，2π3]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[－π3，0] [0，2π3] [由图可知u ＝12cos α，在[－π3，0]上是增函数，在[0，2π3]上是减函数．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？[提示] 正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R 、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，余弦函数的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )，减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z ).2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？ [提示] (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号． (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．4．3 诱导公式与对称 4．4 诱导公式与旋转学 习 任 务核 心 素 养1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点)2．理解诱导公式的推导过程．(难点)3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函1．借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．。

最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析章末综合测评(一)立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊆/α，A∈l⇒A∉αD.A∈l，lα⇒A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊆/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行【解析】A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交.【答案】 C3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是()图1A. 3B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平行于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b⊆/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异面；C中a可能与α内的直线异面；D 正确.【答案】 D5.已知一个圆锥的展开图如图2所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A.12 B.32C.63 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异面直线AD1与EF所成的角.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所示，则这个几何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S-ABCD，其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )图5A.BD ∥平面CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°【解析】 由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图6所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图6A.1B.2C.4D.8【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36C.23 D.22【解析】由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.图8【解析】 连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ， 则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ， 所以∠B ′DC ＝90°. 【答案】 90°15.若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________.【解析】 球的直径等于正六棱柱的体对角线的长.设球的半径为R ， 由已知，可得2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3.所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，则异面直线AB 与CD 所成的角等于________.【解析】 如图所示，分别取BC ，AC 的中点G 、F ， 连接EG ，GF ，EF ， 则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的角. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥V -ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9【解】 连接AC ，BD 相交于点O ，连接VO ， ∵AB ＝BC ＝2 cm ， 在正方形ABCD 中， 求得CO ＝ 2 cm ， 又在直角三角形VOC 中， 求得VO ＝14 cm ， ∴V V －ABCD ＝13S ABCD ·VO ＝13×4×14＝4314(cm 3). 故这个正四棱锥的体积为4314cm 3.18.(本小题满分12分)如图10所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在P A ，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.图10 【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在▱ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.而EF⊆/平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.19.(本小题满分12分)如图11，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.图11(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解】(1)交线围成的正方形EHGF，如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝12×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎪⎫79也正确.20.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M.图12【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.21.(本小题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，又AE平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本小题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图14所示.图14(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)几何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF⊆/平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.章末综合测评(二)解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()A.－1B.3C.1D.－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】 ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2， ∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A5.如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C.(0，5)D.(0,25)【解析】 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】 在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】 令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点.故选B. 【答案】 B9.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A.(x －5)2＋y 2＝5B.(x ＋5)2＋y 2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆心O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝53，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】＝±25；当两圆内切时，由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】 0，±2 514.经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程为______.【解析】 当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.【答案】 x －y ＝0或x ＋y －2＝015.已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________. 【解析】 a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 【答案】 316.设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 【答案】 4π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.【解】 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，当y ＝0时，x ＝－m3； 当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 4＝24， ∴m ＝±24，∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18.(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.图2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19.(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1).求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程.【解】(1)k BC＝2，∵AD∥BC，∴k AD＝2，∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)k AC＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴k BD＝56，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，∴直线BD的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.20.(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C 于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.【解】(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l过点P、C，所以直线l 的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－12(x－2)，即x ＋2y －6＝0.21.(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.【解】 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y－3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22.(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值.【解】 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0， 解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0， 可知m ＝3满足题意，即实数m 的值为3.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】 由x 3－y 3＝1，得该直线的斜率k ＝33，故倾斜角为30°.【答案】 A2.在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13C.2 3D.11【解析】 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的投影为B (0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13. 【答案】 B3.点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A.(－a －1，－b －1) B.(－b －1，－a －1) C.(－a ，－b )D.(－b ，－a )【解析】 设对称点为(x ′，y ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 【答案】 B4.已知M ，N 分别是正方体AC 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，如图1是过M ，N ，A 和D ，N ，C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )图1【解析】由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.【答案】 B5.若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝∅，则a等于()A.32 B.2C.－1D.2或－1【解析】依题意，两直线平行.由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a＝2或－1.又当a＝－1时，两直线重合，故选B.【答案】 B6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是()A.l∥m，l⊥αB.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α【解析】如图l可以垂直m，且l平行α.【答案】 C7.已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD，BD于F，E两点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO ⊥BC ，所以O 为△BCD 的垂心，所以CO ⊥BD ， 所以BD ⊥AC .故选A. 【答案】 A8.已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( ) A.4 B.433 C. 6D.2【解析】 由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的，∴底面积S ＝6×12×2×3＝63，∴体积V ＝13Sh ＝12， ∴h ＝36S ＝3663＝23，在直角三角形SOB 中，侧棱长为SB ＝OB 2＋h 2＝4＋12＝4. 故选A. 【答案】 A9.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(0°，30°]B.(0°，60°]C.[0°，30°]D.[0°，60°]【解析】 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，60°].选D. 【答案】 D10.若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0【解析】 设圆心为C ，其坐标为(1,0).则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)，即x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A11.过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A.3x ＋4y －7＝0 B.3x －4y ＋25＝0 C.3x －4y ＋4＝0D.3x －4y ＝0【解析】 先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.【答案】 C12.若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.[0,1]【解析】 曲线y ＝－1－(x －2)2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________.【解析】 设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.【答案】314.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______.【解析】 如图，由条件，易判断EH ═∥FG ═∥12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF ═∥GH ═∥12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.【答案】 115.已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.【解析】 由题意知，点A 在圆上，切线斜率为－1k OA＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以所求面积为12×52×5＝254. 【答案】 25416.如图2，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________.图2①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1是异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E .【解析】 ①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误. 【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.【解】 设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.18.(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程.【解】 由⎩⎨⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)， 即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程.19.(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点.图3求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【证明】 (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1、B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F⊆/平面ADE，所以A1F∥平面ADE.20.(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16.当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，∴|QM|最小＝4.21.(本小题满分12分)如图4，多面体EF -ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF＝2.图4(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；(2)若△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EF -ABCD的体积V.【解】 (1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点， 则MN ∥BC ，MN ⊆/平面BCF ，BC 平面BCF ， ∴MN ∥平面BCF .又EF ∥AB ，EF ＝2＝12AB ， ∴EF ＝MB ，∴四边形BMEF 是平行四边形，∴ME ∥BF ， 又∵ME ⊆/平面BCF ，BF 平面BCF ， ∴ME ∥平面BCF ，又ME ∩MN ＝M ，由面面平行的判定定理知，平面MNE ∥平面BCF . (2)∵平面FBC ⊥平面ABCD ，FH ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面BCF ，∴FH 是四棱锥E -AMND 的高，MB 是三棱柱BCF -MNE 的高， ∴多面体EF -ABCD 的体积 V ＝V E -AMND ＋V BCF -MNE ＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20.22.(本小题满分12分)在一个居民小区内设计一个边长为5 m 的菱形喷水池，规划者要求，菱形的一条对角线长不大于6 m ，另一条长不小于6 m ，试问该菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为多少？【解】 设菱形喷水池的两条对角线的长度分别为x ，y ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝52，即x 2＋y 2＝100且x ≥6，y ≤6.如图作圆x 2＋y 2＝100，又作直线x ＝6，y ＝6，且y ＝6交圆周上一点P (8,6)，则满足条件的点(x ，y )应在阴影部分及AP ︵上变动.令b ＝x ＋y ，则b 是直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－x ＋b 过点P (8,6)时，b ＝x ＋y 取得最大值8＋6＝14，即两条对角线的长度之和的最大值为14 m.。

§2 从位移的合成到向量的加减法2.1 向量的加法 课后篇巩固提升基础达标练1.在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.CA⃗⃗⃗⃗⃗ C.BD⃗⃗⃗⃗⃗ D.DB⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 为平行四边形,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.0+AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量加法知B 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,不满足加法运算法则,C 错误;0+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 错误.故选AB.3.(多选)如图,在平行四边形ABCD 中,下列计算正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 不正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 不正确;AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选AD.4.(多选)已知点D,E,F 分别是△ABC 的边的中点,则下列等式中正确的是( )A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗B.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =0C.DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗D.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD⃗⃗⃗⃗⃗,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选ABC.5.如图,在矩形ABCD 中,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.BD⃗⃗⃗⃗⃗,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选B.6.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0.0 7.化简: (1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗ =0; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 能力提升练1.如图所示,在正六边形ABCDEF 中,若AB=1,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.1B.2C.3D.2√3,可知FE ⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.故选B.2.(浙江诸暨中学高一期中)化简:(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ 3.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点,F 为线段DE 延长线上一点,DE ∥BC,AB ∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量): (1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ = ;(2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC⃗⃗⃗⃗ = .,因为四边形DFCB 为平行四边形,由向量加法的运算法则得:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ 4.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∠AOB=60°,所以四边形OACB 为菱形,连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为D.因为∠AOB=60°,所以AB=|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.所以在Rt △AOD 中,OD=3√32. 所以|a+b|=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√32×2=3√3.素养培优练如图,已知D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,AC,AB 的中点,求证:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗ =0.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ ,由题意可知EF ⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )+0=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.。

金版教程2022数学必修二答案1、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] *A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．12、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣43、13．在海上，一座灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于灯塔（）[单选题] *A．南偏西50°方向B．南偏西40°方向(正确答案)C．北偏东50°方向D．北偏东40°方向4、下面哪个式子的计算结果是9﹣x2() [单选题] *A. (3﹣x)(3+x)(正确答案)B. (x﹣3)(x+3)C. (3﹣x)2D. (3+x)25、12、下列说法: (1)等腰三角形的底角一定是锐角; (2)等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合; (3)顶角相等的两个等腰三角形的面积相等; (4) 等腰三角形的一边不可能是另一边的2 倍. 其中正确的个数有( ). [单选题] *A. 1 个(正确答案)B. 2 个C. 3 个D. 4 个6、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 127、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)8、43、长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm的四根木棒，能搭成（首尾连结）三角形的个数为[单选题] *A．1B．2C．3(正确答案)D．49、49．若（x+2）（x﹣3）＝7，（x+2）2+（x﹣3）2的值为（）[单选题] *A．11B．15C．39(正确答案)D．5310、17．若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）[单选题] *A．﹣2B．C．D．2(正确答案)11、40、如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）[单选题] *A．3个B．4个(正确答案)C．5个D．6个12、46、在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（）[单选题] *A．8.4B．9.4(正确答案)C．10.4D．11.13、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对14、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] *A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告15、22．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）[单选题] *A．5条(正确答案)B．4条C．3条D．2条16、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减17、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)18、22．如果|x|＝2，那么x＝（）[单选题] *A．2B．﹣2C．2或﹣2(正确答案)D．2或19、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为120、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）21、5.下列结论不正确的是[单选题] *A.若a > 0，b > 0，则a + b > 0B.若a < 0，b < 0，则a + b < 0C.若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b > 0D.若a < 0，b > 0，且|a| > |b|，则a + b > 0(正确答案)22、23．若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（）种车票．[单选题] *A．49B．42(正确答案)C．21D．2023、一个直二面角内的一点到两个面的距离分别是3cm和4 cm ，求这个点到棱的距离为（）[单选题] *A、25cmB、26cmC、5cm(正确答案)D、12cm24、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] * A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣5和(正确答案)C．π和﹣14D．+20和﹣（﹣20）25、下列各角终边在第三象限的是（）[单选题] *A. 60°B. 390°C. 210°(正确答案)D. -45°26、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] * A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m27、11、在第二、四象限内两条坐标轴夹角平分线上的点，它们的横坐标与纵坐标是（）[单选题] *A.相等B.互为相反数(正确答案)C.零D.以上结论都不对28、7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）[单选题] *A．110°(正确答案)B．145°C．35°D．70°29、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] *-3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] *30、两数之和为负数，则这两个数可能是? [单选题] *A.都是负数B.0和负数(正确答案)C.一个正数与一个负数D.一正一负或同为负数或0和负数。

全书综合测评卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于向量a ，b ，下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ＝－b ，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若|a |>|b |，则a >b2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，则( ) A ．z 1的共轭复数为－1＋2i B ．z 1的虚部是2i C ．z 1＋z 2为实数 D ．z 1z 2＝4＋3i3．三个数sin 1.5·sin 2·sin 3.1，cos 4.1·cos 5·cos 6，tan 7·tan 8·tan 9中，值为负数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋2π3 )(ω>0)的最小正周期为4π，则下面结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增B ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递减C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3 对称D ．函数f (x )的图象关于点(2π3 ，0)对称5.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD 区域设计灯带．已知灯带AB ＝CD ＝10米，BC ＝20米，AD ＝102 米，且∠A ＋∠C ＝3π4，则cos ∠BCD ＝( ) A ．35 B ．0 C ．45 D ．2106．已知△ABC 中，3AB → ＋AC → －6AD →＝0，延长BD 交AC 于E ，则AE AC＝( )A ．23B ．12C ．13D ．14 7.如图，已知三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为( )A ．90° B．45° C ．30° D．60°8．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．3 D ．－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设z 1，z 2为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果z 1－z 2>0，那么z 1>z 2B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1z － 1＝z 2z －2 C ．如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 >1，那么|z 1|>|z 2|D ．如果z 21 ＋z 22 ＝0，那么z 1＝z 2＝010．已知函数f (x )＝cos (sin x )，g (x )＝sin (cos x )，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )与g (x )的定义域都是[－1，1] B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]D ．f (x )与g (x )都不是周期函数11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3.给出下列结论，其中不正确的是( )A ．最小正周期为πB ．对称轴为直线x ＝k π(k ∈Z )C ．对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π4，0D ．最大值为312.如图，已知四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为3 B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，则m ＝________．14．已知tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．15．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，则ω的最大值为________．16．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －3 c )sin A ＝b sin B －c sin C ，若△ABC 外接圆面积为π，则△ABC 面积的最大值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知复数z ＝m 2－5m ＋6＋(2m 2－3m －2)i ，m ∈R .若z 为纯虚数，求m 的值；(2)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z 满足z ·z －＋i z ＝15＋3i ，求a ，b 的值． 18.(本小题满分12分)函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[0，m ]有5个零点，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD­ A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是AB的中点．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)在棱DD1上是否存在一点P，使得AP∥平面D1EC，若存在，求DPDD1，若不存在，说明理由；(3)求D到平面D1EC的距离．20．(本小题满分12分)在①2cos2B＋cos2B＝0，②b cos A＋a cos B＝3＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝6，________，求△ABC的面积S的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，P 为线段DC 的中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP .(1)在DC 上是否存在点E 使得AD ∥平面PBE ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P ­ AD ­ B 的余弦值． 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，cos ωx )，n ＝(sin ωx ，3 )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ，且f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2 .(1)求函数f (x )的解析式；(2)设a 为常数，判断方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的解的个数；(3)在锐角△ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，求f (A )的取值范围．全书综合测评卷1．答案：B解析：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a ＝－b ，得a ，b 方向相反，则a ∥b ，故B 正确；当b ＝0，a 与c 不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误．故选B.2．答案：D解析：z 1＝1＋2i ，z －1＝1－2i ，故A 错误；z 1的虚部是2，故B 错误；z 1＋z 2＝3＋i为虚数，故C 错误；z 1·z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i －2i 2＝4＋3i ，故D 正确．故选D.3．答案：B解析：0<1.5<π，0<2<π，0<3.1<π，∴sin 1.5·sin 2·sin 3.1>0；π<4.1<3π2，cos 4.1<0，3π2 <5<2π，3π2 <6<2π，cos 5>0，cos 6>0，∴cos 4.1·cos 5·cos 6<0；2π<7<5π2 ，5π2 <8<3π，5π2<9<3π，∴tan 7>0，tan 8<0，tan 9<0，tan 7·tan 8·tan9>0；只有一个负数．故选B.4．答案：C解析：由题意知：2πω ＝4π⇒ω＝12 ，∴f (x )＝cos (12 x ＋2π3)A ，B 选项，当x ∈(0，π)时，12 x ＋2π3 ∈(2π3 ，7π6 )，当12 x ＋2π3 ∈(2π3，π)时，f (x )单调递减，12 x ＋2π3 ∈(π，7π6 )时，f (x )单调递增．因此，A 和B 都错误；C 选项，x ＝2π3 时，12 x ＋2π3 ＝π；x ＝π是cos x 的对称轴，则x ＝2π3是f (x )的对称轴．因此，C 正确；D 选项，由C 可知，x ＝2π3是对称轴的位置，则必不是对称中心，D 错误．故选C.5．答案：A 解析：如图，连接BD .在△ABD 中，由余弦定理有：BD 2＝BA 2＋AD 2－2BA ×AD ×cos A ＝300－2002 cos A ①， 在△CBD 中，由余弦定理有：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos C ＝500－400cos C ②， 由①②得：－2 cos A ＝1－2cos C ，又∠A ＋∠C ＝3π4 ，∴－2 cos (3π4－C )＝1－2cos C ，∴－sin C ＝1－3cos C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1.∴(3cos C －1)2＋cos 2C ＝1，∴cos C ＝0或cos C ＝35，∵C ∈(0，3π4)，∴sin C >0，若cos C ＝0，则sin C ＝－1(舍)，∴cos C ＝35.故选A.6．答案：C解析：依题意，设AE → ＝λAC → ，BE → ＝μBD → ，则AE → ＝λAC → ＝λ(－3AB → ＋6AD →)＝－3λAB → ＋6λAD → .又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋μBD → ＝AB → ＋μ·(AD → －AB → )＝(1－μ)AB → ＋μAD → ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1－μ，6λ＝μ， 两式相加得λ＝13 ，即AE →＝13 AC → ，所以AE AC ＝|AE →||AC →|＝13 .故选C.7．答案：A 解析：设棱长为a ，将三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1补成正三棱柱A 1B 1C 1 ­ A 2B 2C 2(如图)，使AA 1＝AA 2.平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2(或其补角)即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，A 2B ＝2a ，BM ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝52 a ，A 2M ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22 ＝132 a ，∴A 2B 2＋BM 2＝A 2M 2，∴∠MBA 2＝90°.故选A.8．答案：A解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝34 (sin 2x ＋cos 2x )＋14 sin x cosx ＋34sin x cos x ＝34 ＋12 sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24 ，此时2x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.故选A.9．答案：BC解析：取z 1＝3＋i ，z 2＝1＋i 时，z 1－z 2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A 项错误；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2.又z 1z － 1＝|z 1|2，z 2z － 2＝|z 2|2，所以z 1z － 1＝z 2z － 2，故B 项正确；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 ＝|z 1||z 2|>1，所以|z 1|>|z 2|，故C 项正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21 ＋z 22＝0，但是z 1≠z 2≠0，故D 项错误．故选BC.10．答案：ABD解析：f (x )与g (x )的定义域是R ，故A 错误；f (－x )＝cos (sin (－x ))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，故B 错误；∵－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，∴f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]，故C 正确；f (x ＋2π)＝cos (sin (x ＋2π))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是周期函数，故D 错误．故选ABD.11．答案：BCD解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＋3＝－12 cos2x ＋3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，图象的对称轴为直线x ＝k 2 π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k 2π，3 ，k ∈Z ，最大值为3＋12 ＝72 ，故只有A 正确．故选BCD.12．答案：AD 解析：给四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1补上一个小四棱锥S ­ A 1B 1C 1D 1即可得到四棱锥S ­ ABCD ，如图．连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO .由AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2，则SA ＝2AA 1＝4.由题意可得AO ＝2，则SO ＝23 ，则OO 1＝3 ，故该四棱台的高为3 ，A 正确；因为SA ＝SC ＝AC ＝4，所以AA 1与CC 1的夹角为60°，B 错误；由题意可得该四棱台侧面的高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝142 ，则四棱台的表面积S ＝S上底＋S下底＋S 侧＝2＋8＋4×2＋222 ×142＝10＋67 ，C 错误；因为四棱台ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在OO 1上．连接OB 1，在平面B 1BOO 1中，由OO 1＝3 ，B 1O 1＝1，得OB 1＝2＝OB ，即点O 到点B 与到点B 1的距离相等，则外接球半径r ＝OB ＝2，所以该四棱台外接球的表面积为4πr 2＝16π，D 正确．故选AD.13．答案：－1解析：因为复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m ＋3＝0，m ＋3≠0， 所以m ＝－1.14．答案：－37解析：∵tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－32 ，tan αtan β＝－52 ，由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－37 . 15．答案：343解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，所以T 2 ≥π3 －π4 ＝π12 ，解得T ≥π6 ，所以2πω ≥π6 ，解得0<ω≤12.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，所以2k ＋14 T ＝π－π4 ＝3π4 ，k ∈N *，所以T ＝3π2k ＋1 ，所以2πω ＝3π2k ＋1 ，所以ω＝4k ＋23 ，k ∈N *，当ω＝4k ＋23 ≤12时，解得k ≤172 ，k ∈N ，所以ωmax ＝4×8＋23 ＝343.16．答案：2＋34解析：由已知及正弦定理得a 2－3 ac ＝b 2－c 2，所以a 2＋c 2－b 2＝3 ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.由△ABC 的外接圆面积为π，得外接圆的半径R ＝1. 由正弦定理得b ＝2R sin B ＝1，所以a 2＋c 2－1＝3 ac ，所以a 2＋c 2＝3 ac ＋1≥2ac ，解得ac ≤2＋3 ，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝14 ac ≤2＋34，当且仅当a ＝c 时等号成立．17．解析：(1)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，2m 2－3m －2≠0， 解得m ＝3.(2)设z ＝a ＋b i ，所以z －＝a －b i ， z ·z －＋i z ＝(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝a 2＋b 2－b ＋a i ＝15＋3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2＋b 2－b ＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. 18．解析：(1)因为A >0，由图象可知A ＝2，且有T 2 ＝πω ＝2π3 －π6 ＝π2，所以ω＝2，因为图象过点(π6 ，2)，所以2cos (2·π6＋φ)＝2，即φ＋π3 ＝2k π，解得φ＝2k π－π3 ，k ∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π3 ，故f (x )＝2cos (2x －π3).(2)由(1)知f (x )＝2cos (2x －π3 )，因为x ∈[0，m ]，所以2x －π3 ∈[－π3 ，2m －π3]，由函数f (x )在区间[0，m ]上有5个零点，令2x －π3＝t ，即y ＝2cos t 在区间[－π3 ，2m －π3]有5个零点，由y ＝cos t 的图象知，只需9π2 ≤2m －π3 <11π2即可，解得29π12 ≤m <35π12 ，故m ∈[29π12 ，35π12).19．解析：(1)如图所示，连接AD 1交A 1D 于点O ，则O 为AD 1的中点，由题意可知，四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1. ∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥AD 1. 又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ，即D 1E ⊥A 1D .(2)存在一点P 满足DP DD 1 ＝12时，使得AP ∥平面ED 1C ，当点P 满足DP DD 1 ＝12，即P 为DD 1的中点，取CD 1的中点Q ，连接PQ ，EQ ， 在△DD 1C 中，P ，Q 为中点，∴PQ ∥DC ，PQ ＝12DC ，∵在长方体AC 1中，E 是AB 的中点，∴AE ∥DC 且AE ＝12DC ，∴AE ∥PQ 且AE ＝PQ ，∴四边形AEQP 为▱AEQP ，∴AP ∥EQ ， 又EQ ⊂平面D 1EC ，AP ⊄平面D 1EC ，∴AP ∥平面D 1EC . (3)连接DE ，设D 到平面D 1EC 的距离为h ， ∵在长方体AC 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∵矩形ABCD ，点E 是AB 的中点，∴S △DCE ＝12 S 矩形ABCD ＝12×1×2＝1，∴VD 1－DCE ＝13 S △DCE ·DD 1＝13 ×1×1＝13，在Rt△D 1DC 中，D 1C ＝DD 21＋DC 2＝5 ， 在Rt△ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝2 ，∵DD 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ， 在Rt△D 1DE 中，D 1E ＝DD 21 ＋DE 2＝3 ， 在Rt△BCE 中，EC ＝BC 2＋BE 2＝2 ，∴D 1E 2＋EC 2＝CD 21 ，∴ED 1⊥CE ，∴S △D 1CE ＝12 D 1E ×EC ＝12 ×3 ×2 ＝62 ，又VD ­D 1CE ＝VD 1­DCE ，∴13 S △D 1EC ×h ＝13 ，h ＝63 ，∴D 到平面D 1EC 的距离为63. 20．解析：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ， 显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以A ＝π4 . 若选择①，由2cos 2B ＋cos2B ＝0得， cos 2B ＝14. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴B ＝π3 ， 由a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2. 又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22 ×12 ＋22 ×32 ＝6＋24 ， 所以S ＝12 ab sin C ＝3＋32. 若选择②，b cos A ＋a cos B ＝3 ＋1，则b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋c 2－a 22c ＋a 2＋c 2－b 22c ＝c ＝3 ＋1，所以S ＝12 bc sin A ＝12 ×6 ×(3 ＋1)×22 ＝3＋32. 21．解析：(1)存在．如图所示：连接AC ，BP ，设AC 交BP 于点F ，∵CP ∥AB ，且CP ＝12AB ， ∴CF CA ＝PF PB ＝13. 取DC 的三等分点E ，使CE CD ＝13，连接EF ，PE ，BE ，则EF ∥AD ， 又EF ⊂平面PBE ，AD ⊄平面PBE ，∴AD ∥平面PBE .故存在满足条件的点E ，且E 是线段CD 上靠近点C 的三等分点．(2)在矩形ABCD 中，AP ＝BP ＝2 ，AB ＝2，∴AP 2＋BP 2＝AB 2，∴AP ⊥BP ，又平面ADP ⊥平面ABCP ，BP ⊂平面ABCP ，平面ADP ∩平面ABCP ＝AP ，∴BP ⊥平面ADP ，∴BP ⊥DP ，∴BD 2＝DP 2＋BP 2＝1＋2＝3.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥DB ，又PD ⊥AD ，PD ⊂平面ADP ，BD ⊂平面ADB ，平面ADP ∩平面ADB ＝AD ，∴∠PDB 为二面角P ­ AD ­ B 的平面角，在Rt△PDB 中，cos ∠PDB ＝DP BD ＝13＝33 ，∴二面角P ­ AD ­ B 的余弦值为33. 22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2(12 sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 . ∵f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2 ， ∴T 2 ＝7π12 －π12 ＝π2，∴T ＝π， 又ω>0，∴ω＝2πT＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，π3 ≤2x ＋π3 ≤4π3 ， 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象(图略)可知， 当a ∈[3 ，2)时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有两解； 当a ∈[－3 ，3 )或a ＝2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有一解； 当a <－3 或a >2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上无解． (3)在锐角△ABC 中，0<B <π2 ，－π6 <π3 －B <π3， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，∴π3 －B ＝0，∴B ＝π3 . 在锐角△ABC 中，0<A <π2 ，A ＋B >π2， ∴π6 <A <π2 ，∴2π3 <2A ＋π3 <4π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 ， ∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈(－3 ，3 ). ∴f (A )的取值范围是(－3 ，3 ).GS －2。

第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。

5.2平行关系的性质1.已知直线a∥平面α,点P∈α,则过点P且平行于直线a的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在平面α内C.只有一条,在平面α内D.有无数条,一定在平面α内答案:C2.平面α∥平面β,AB,CD是夹在α和β间的两条线段,E,F分别为AB,CD的中点,则EF与α()A.平行B.相交C.垂直D.不能确定解析:当AB,CD共面时,由中位线的性质可得EF∥α;当AB,CD不共面时,连接AD,并取AD的中点M,连接EM与FM,则可得EM∥平面β,且FM∥平面α.故平面EFM∥平面α,即EF与α平行.答案:A3.用平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行解析:当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错;当平面α∥SA时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥α时得到GF∥DE,因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案:D4.给出下列三个命题:①若平面α∥平面β,直线a⫋α,直线b⫋β,则a∥b;②若直线a∥直线b,a⫋平面α,b⫋平面β,则α∥β;③若直线a∥平面α,a∥平面β,则α∥β.其中正确的命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:对于①,a,b可能异面;对于②,α,β可能相交;对于③,α,β可能相交.答案:A5.若不共线的三点到平面α的距离相等,且三点都不在平面α内,则这三点确定的平面β与α的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定解析:若三点在平面α的同侧,则三点确定的平面β与已知平面α是平行的;若三点分别在α的异侧,则这三点所确定的平面与平面α相交.故选C.答案:C6.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是棱AA 1的中点,过C ,M ,D 1作正方形的截面,则截面的面积为( )A .9B .92C .18D .185解析:如图所示,由面面平行的性质知截面与平面ABB 1A 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,且MN=√2,CD 1=2√2,CN=D 1M=√5,所以梯形的高为h=√(√5)2-(√22)2=3√22,所以S=12×(√2+2√2)×3√22=92. 答案:B 7.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,过BD 1的平面分别与AA 1,CC 1交于M ,N ,则四边形BND 1M 的形状为 .解析:设过BD 1的平面为α,因为平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1,α∩平面ABB 1A 1=BM ,α∩平面CDD 1C 1=D 1N ,所以BM ∥D 1N ,同理可得BN ∥D 1M ,所以四边形BND 1M 为平行四边形. 答案:平行四边形8.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 的长分别为8和12,过AB 的中点E 且平行于BD ,AC 的截面是四边形,则此四边形的周长为 .解析:如图所示,设截面为EFGH ,因为AC ∥平面EFGH ,平面ACB ∩平面EFGH=EF ,AC ⫋平面ABC ,所以AC ∥EF ,同理可得GH ∥AC ,所以EF ∥GH.同理FG ∥EH ,故四边形EFGH 为平行四边形,所以四边形的周长为2(EF+EH )=AC+BD=20.答案:209.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,平面α∥平面ABC ,α分别交线段PA ,PB ,PC 于点A',B',C'.若PA 'A 'A=23,求S △A 'B 'C 'S △ABC的值.解∵平面α∥平面ABC ,平面PAB ∩平面α=A'B',平面PAB ∩平面ABC=AB ,∴A'B'∥AB.同理可得B'C'∥BC ,A'C'∥AC.∴∠B'A'C'=∠BAC ,∠A'B'C'=∠ABC ,∠A'C'B'=∠ACB , ∴△A'B'C'∽△ABC.又PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5, ∴A'B'∶AB=2∶5.∴S △A'B'C'∶S △ABC =4∶25,即S△A 'B 'C 'S△ABC=425.★10.如图,已知平面α∥平面β,线段PQ ,PF ,QC 分别交平面α于A ,B ,C 点,交平面β于D ,F ,E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是72,试求△DEF 的面积.( 提示:S △DEF =12·DF ·DE ·sin ∠EDF ,S △ABC =12·AB ·AC ·sin ∠CAB )解因为平面α∥平面β,所以AB ∥DF ,AC ∥DE , 所以∠CAB=∠EDF. 在△PDF 中,AB ∥DF ,DF=PA+AD PA ·AB=73AB , 同理DE=4AC.S △DEF =12·73AB ·47AC ·sin ∠CAB=43S △ABC =96. ★11.如图所示,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是BC 的中点.(1)若E 为A 1C 1的中点,求证:DE ∥平面ABB 1A 1;(2)若E 为A 1C 1上一点,且A 1B ∥平面B 1DE ,求A 1EEC 1的值.(1)证明取B 1C 1的中点G ,连接EG ,GD ,如图所示,则EG ∥A 1B 1,DG ∥BB 1. 又EG ∩DG=G ,所以平面DEG ∥平面ABB 1A 1. 因为DE ⫋平面DEG , 所以DE ∥平面ABB 1A 1. (2)解设B 1D 交BC 1于点F ,则平面A 1BC 1∩平面B 1DE=EF. 因为A 1B ∥平面B 1DE ,A 1B ⫋平面A 1BC 1, 所以A 1B ∥EF , 所以A 1E EC 1=BF FC 1. 又BF FC 1=BD B 1C 1=12,所以A 1E EC 1=12.。

§4 数列在日常经济生活中的应用课后训练巩固提升1.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ). A.1升 B.6766升C.4744升D.3733升{a n }的公差为d, 则有{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4.解得{a 1=1322,d =766.则a 5=a 1+4d=6766,故第5节的容积为6766升.2.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举,OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步,相邻桁的举步的比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列,直线OA的斜率为0.725,则k3=( ).图1图2(第2题)A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.由题意得DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725,即0.5+k1+k2+k34=0.725.∵k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,∴0.5+k3-0.2+k3-0.1+k34=0.725.解得k3=0.9.故选D.3.《孙子算经》中“物不知数”问题的解法,西方称之为“中国剩余定理”,这是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题:将1至2 022这2 022个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},则此数列共有项,这些项的和为.3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故a n=21n-20,.由1≤a n≤得1≤n≤97521=97873.又n∈N+,故此数列共有97项,这些项的和为(1+)×97297 8734.一卷卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层.若把各层都视为同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为m.(结果精确到个位),=480π≈1507.2(cm)≈15m.所以l=πd1+πd2+…+πd60=60π×4+1225.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出T n与T n-1(n≥2)的递推关系式;(2)求证:T n=A n+B n,其中{A n}是一个等比数列,{B n}是一个等差数列.T n=T n-1(1+r)+a n(n≥2).,对n≥2反复使用上述关系式,得1=a1T n=T n-1(1+r)+a n=T n-2(1+r)2+a n-1(1+r)+a n=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+a n-1(1+ r)+a n,①在①式两端同乘1+r,得(1+r)T n=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+a n-1(1+r)2+a n(1+r),②②-①,得rT n=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-a n=d[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-ra n.即T n=a1r+dr2(1+r)n-drn-a1r+dr2.记A n=a1r+dr2(1+r)n,B n=-a1r+dr2−drn,则T n=A n+B n.其中{A n}是以a1r+dr2(1+r)为首项,以1+r(r>0)为公比的等比数列;{B n}是以-a1r+dr2−dr为首项,-dr为公差的等差数列.。