人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (22)

人教A版（2019）必修第二册《第8章立体几何初步》2020年单元测试卷（3）一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D—ABC体积的最大值为()．A. 12√3B. 18√3C. 24√3D. 54√32.如图，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. √22+12B. √62+12C. 32D. √32+123.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √32B. √155C. √105D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，截下一三棱锥D1−A1CD，则三棱锥D1−A1CD的体积与剩余部分的体积之比为______．5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E是AB的中点，将△ADE，△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，若三棱锥P−CDE的各个顶点在同一球面上，则该球的体积为______．6.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是______．7.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1−BB1D1D的体积为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）8.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．9.如图，已知四棱锥P−ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．(Ⅰ)证明：CE//平面PAB；(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．10.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．BC=12(1)证明：直线CE//平面PAB；(2)求二面角B−PC−D的余弦值．11.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=√2．(Ⅰ)证明：平面A1BD//平面CD1B1；(Ⅱ)求三棱柱ABD−A1B1D1的体积．12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求三棱锥C1−BCD的体积．13.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE//平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.14.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1//平面CDB1(3)求三棱锥A1−B1CD的体积．15.如图，三棱锥P−ABC，D为AC的中点，PA=PB=PC=√5，AC=2√2，AB=√2，BC=√6．(1)求证：PD⊥底面ABC；(2)求二面角P−AB−C的正切值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9√3，可得√34×AB2=9√3，解得AB=6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D为O′O的延长线与球的交点时，三棱锥的体积最大．如图：O′C=23×√32×6=2√3，OO′=√42−(2√3)2=2，则三棱锥D−ABC高的最大值为：6，则三棱锥D−ABC体积的最大值为：13×√34×63=18√3．故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是12，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离．【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=√32，AE=AB+BE=√32+12，∴鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为√32+12．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解答】解：如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，BB 1和B 1C 1的中点， 则MN//AB 1，NP//BC 1，则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,π2])， 可知MN =12AB 1=√52，NP =12BC 1=√22；作BC 中点Q ，则△PQM 为直角三角形，PQ =1，MQ =12AC ， △ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC =4+1−2×2×1×(−12)=7， ∴AC =√7，∴MQ =√72，MP =√MQ 2+PQ 2=√112； 在△PMN 中，由余弦定理得cos∠MNP =MN 2+NP 2−PM 22⋅MN⋅NP=(√52)2+(√22)2−(√112)22×√52×√22=−√105； 又异面直线所成角的范围是(0,π2]， ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105．故选C ．4.【答案】1：5【解析】解：已知长方体是直四棱柱， 设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ， 则它的体积为V =Sℎ．而三棱锥D 1−A 1CD 的体积等于棱锥C −A 1DD 1的体积， 且棱锥C −A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ， 故V D 1−A 1CD =V C−A 1DD 1=13×12Sℎ=16Sℎ， 余下部分体积为：Sℎ−16Sℎ=56Sℎ．∴棱锥D 1−A 1CD 的体积与剩余部分的体积之比为1：5． 故答案为：1：5．长方体看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1面积为S ，高为h ，利用等体积法求出棱锥D 1−A 1CD 的体积，可得余下的几何体的体积，则答案可求．本题考查几何体的体积的有关计算，转化思想的应用，考查计算能力，是基础题．5.【答案】√68π【解析】解：由题意，折叠后的几何体为正四面体P−CDE，棱长为1，设△CDE的外心为G，连接DG并延长，交CE于F，得DG=23DF=√33，∴PG=√PD2−DG2=√1−13=√63，设三棱锥P−CDE的外接球的半径为R，在Rt△PGD中，有(√63−R)2+(√33)2=R2，解得R=√64．∴该球的体积为43π×(√64)3=√68π．故答案为：√68π．由题意，折叠后的几何体为正四面体P−CDE，棱长为1，求出正四面体的高，再由勾股定理求解其外接球的半径，代入球的体积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】8【解析】解：把5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，而这个形状可以用边长为2√2的正方形来覆盖，而这个正方形面积为8，∴所需包装纸的最小面积为8．故答案为：8．5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体．审题，注意等价转化思想的合理运用．7.【答案】13【解析】【分析】本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1−BB1D1D的底面是矩形，边长分别为1和√2，四棱锥的高：12A1C1=√22，则四棱锥A1−BB1D1D的体积为：13×1×√2×√22=13．故答案为：13．8.【答案】解：(1)证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直，即平面ABCD⊥平面CDM，又平面ABCD∩平面CDM=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面DCM，∵MC⊂平面CDM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，AD⊂平面ADM，DM⊂平面ADM，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．(2)∵△ABC的面积为定值，∴要使三棱锥M−ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD 的边长为2，∴A(2,−1,0)，B(2,1，0)，M(0,0，1)， 则平面MCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面MAB 的法向量为n⃗ =(x,y ，z) 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，1)，由n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y +z =0， 令x =1，则y =0，z =2，即n ⃗ =(1,0，2)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×√1+4=√5，则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα=√1−(√5)2=2√55．【解析】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键，属于中档题． (1)根据面面垂直的判定定理证明MC ⊥平面ADM 即可．(2)根据三棱锥的体积最大，确定M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．9.【答案】证明：(Ⅰ)取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的中点，∴EF//PA ，又PA ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF//平面PAB ，在四边形ABCD 中，BC//AD ，AD =2CB ，F 为AD 中点， ∴BC = //AF ，∴四边形CBAF 为平行四边形，故CF //AB ，又AB ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ， ∴CF//平面PAB ，∵CF ∩EF =F ，EF//平面PAB ，CF//平面PAB ， CF ⊂平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴平面EFC//平面PAB ， ∵EC ⊂平面EFC ， ∴EC//平面PAB ．解：(Ⅱ)连接BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连接PF ， ∵PA =PD ，∴PF ⊥AD ，∵DF//BC ，DF =BC ，CD ⊥AD ，∴四边形BCDF 为矩形，∴BF ⊥AD ， 又AD//BC ，故PF ⊥BC ，BF ⊥BC ， 又BF ∩PF =F ，BF ，PF ⊂平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，又PB ⊂平面PBF ， ∴BC ⊥PB ，设DC =CB =1，由PC =AD =2DC =2CB ，得AD =PC =2， ∴PB =√PC 2−BC 2=√4−1=√3， BF =PF =1，∴MF =√12−(√32)2=12，又BC ⊥平面PBF ，MF ⊂平面PBF ， ∴BC ⊥MF ，又PB ∩BC =B ，PB 、BC ⊂平面PBC ，∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12， ∵DF//BC,BC ⊂平面PBC ，DF ⊄平面PBC ， ∴DF//平面PBC ，D 到平面PBC 的距离应该和F 到平面PBC 的距离相等，均为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的距离应为D 到平面PBC 的距离的一半， ∴E 到平面PBC 的距离为14，在△PCD 中,PC =2,CD =1,PD =√2，，故由余弦定理得CE =√2，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=14CE=√28．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，属于较难题．(Ⅰ)取AD 的中点F ，连结EF ，CF ，推导出EF//PA ，CF//AB ，从而平面EFC//平面PAB ，由此能证明EC//平面PAB ．(Ⅱ)连结BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连结PF ，推导出四边形BCDF 为矩形，从而BF ⊥AD ，求出BC ⊥MF ，即可得解．10.【答案】(1)证明：取PA 的中点F ，连FE 、FB ，∵E 是PD 的中点，∴FE//=12AD ，又BC//=12AD ∴FE//=BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴CE//BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， ∴CE//平面PAB ．(2)解：在平面PAB 内作PO ⊥AB 于O ，不妨令AB =BC =12AD =2，则AD =4， 由△PAB 是等边三角形，则PA =PB =2，O 为AB 的中点，PO =√3，分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(1,2，0)，D(−1,4，0)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,1)，平面PDC 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(−1,y 2,z 2)， 则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+2y 1−√3=0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2y 1+0=0⇒{x 1=√3y 1=0，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,1)， {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+2y 2−√3z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2y 2+0=0⇒{y 2=−1z 2=−√3，则n 2⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,−√3)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,0,1)⋅(−1,−1,−√3)2⋅√5=√32⋅√5=−√155， 经检验，钝二面角B −PC −D 的余弦值的大小为−√155．【解析】(1)取PA 的中点F ，连FE 、FB ，说明四边形EFBC 是平行四边形，得到CE//BF ，然后证明CE//平面PAB ．(2)分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，平面PDC 的法向量，然后求解二面角B −PC −D 的余弦值的大小．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，是中档题．11.【答案】解：(Ⅰ)∵四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB =AA 1=√2，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD//平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B//平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD//平面CD 1B 1． (Ⅱ) 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD −A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O =√A 1A 2−AO 2=√2−1=1，∴三棱柱ABD −A 1B 1D 1的体积V =S △ABD ⋅A 1O =AB 22⋅A 1O =22×1=1．【解析】(Ⅰ)由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得BD//平面CB1D1.同理可证，A1B//平面CB1D1.而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD//平面CD1B1．(Ⅱ)由题意可得A1O为三棱柱ABD−A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O=√A1A2−AO2的值，再根据三棱柱ABD−A1B1D1的体积V=S△ABD⋅A1O，运算求得结果．本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．12.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．∴AC⊥EF，AC⊥BE，∵EF∩BE=E，∴AC⊥平面BEF．(Ⅱ)解：三棱锥C1−BCD的体积为：V C1−BCD =V B−DCC1=13×S△DCC1×BE=13×12×2×2×√5−1=43．【解析】(Ⅰ)推导出AC⊥EF，AC⊥BE，由此能证明AC⊥平面BEF．(Ⅱ)三棱锥C1−BCD的体积为V C1−BCD =V B−DCC1=13×S△DCC1×BE，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】解：(1)∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE//AC，∵ABC−A1B1C1为棱柱，∴AC//A1C1，∴DE//A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE//面A1C1F；(2)在ABC−A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE//A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.【解析】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度适中．(1)通过证明DE//AC，进而DE//A1C1，据此可得直线DE//平面A1C1F1；(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F.14.【答案】(1)证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC…(2分)又∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1，∴AC⊥BC1.…(5分)(2)证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE//AC1，又DE⊂面CDB1，AC1⊄面CDB1，∴AC1//平面B1CD.…(10分)(3)解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB1A1，而CF=AC⋅BCAB =3×45=125，∵V A1−B1CD =V C−A1DB1，而S△DA1B1=12A1B1⋅AA1=5×4×12=10，∴V A1−B1CD =13×10×125=8.…(14分)【解析】(1)由勾股定理得AC⊥BC，由CC1⊥面ABC得到CC1⊥AC，从而得到AC⊥面BCC1，故AC⊥BC1．(2)连接B1C交BC1于点E，则DE为△ABC1的中位线，得到DE//AC1，从而得到AC1//面B1CD．(3)过C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算．本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A1B1D的距离是解题的难点．15.【答案】(1)证明：连结BD，∵三棱锥P−ABC，D为AC的中点，PA=PB=PC=√5，AC=2√2，AB=√2，BC=√6，∴PD⊥AC，AB⊥BC，∴BD=12AC=√2，PD=√5−2=√3，∴BD2+PD2=PB2，∴PD⊥BD，∵AC∩BD=D，∴PD⊥底面ABC．(2)解：由(1)知PD⊥底面ABC，过点D作DE⊥AB，连结PE，由三垂线定理知∠PED是二面角P−AB−C的平面角，∵D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=√62，∴tan∠PED=PDDE =√3√62=√2．∴二面角P−AB−C的正切值为√2．故答案为：√2．【解析】(1)由已知条件条件出PD⊥AC，PD⊥BD，由此能证明PD⊥底面ABC．(2)过点D作DE⊥AB，连结PE，由三垂线定理知∠PED是二面角P−AB−C的平面角，由此能求出二面角P−AB−C的正切值．本题考查直线与底面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为( )A．2√2B．√10C．√11D．2√32.若直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β=b，则( )A．a∥b或a与b异面B．a∥bC．a与b异面D．a与b相交3.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交D．不确定4.已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α距离相等5.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的四棱柱C．底面是菱形，且侧面均垂直于底面的四棱柱D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱6.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．43B．83C．4D．87.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12√2πB．12πC．8√2πD．10π8.若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=f a(M)．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为b，平面ABCD为g，点P是棱CC1上一动点（与C，C1不重合），Q1=f g[f b(P)]，Q2=f b[f g(P)]．给出下列三个结论：①线段PQ2长度的取值范围是[12,√22)；②存在点P使得PQ1∥平面b；③存在点P使得PQ1∧PQ2．其中，所有正确结论的序号是( )A．①②③B．②③C．①③D．①②9.在空间中，下列命题正确的是( )①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两条直线平行．A．①③④B．①②③④C．①D．①④10.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个二、填空题（共6题）11.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．12.已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是．13.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为．14.用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为．15.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=4，AD=3，则该“阳马”的体积为，其外接球的表面积为．16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，有下面三个结论：① H是△A1BD的中心；② AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90∘．其中正确结论的序号是．三、解答题（共6题）17.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱．求圆柱的表面积．18.已知在四棱锥C−ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC且平面DAC⊥平面ABC．(1) 设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；(2) 在（1）的条件下，若直线BE与平面ABC所成的角为60∘，求四棱锥C−ABED的体积．19.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，BC=BF=CF=AE=DE=2，AB=6，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上一点，且CM=2．(1) 求证：AF∥平面BDG；(2) 求证：BF⊥DE；(3) 求证：平面BGM⊥平面BFC．20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P．问：(1) 折起后形成的几何体是什么几何体？(2) 若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？21.如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A−BCDE，连接BD，CE，且BD与CE交于点H．(1) 证明：AH⊥BD；的值．(2) 设点B到平面AED的距离为ℎ1，点E到平面ABD的距离为ℎ2，求ℎ1ℎ222.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1．证明：(1) 当AB=BC时，EF⊥AC；(2) 点C1在平面AEF内．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】提示：作E关于平面A1B1C1D1的对称点F，则有PE=PF，要使PE+PQ最小，则Q、P、F三点共线，所以这时△PEQ周长等于QF+QE，取BC中点G，则QE= QG，当G、Q、F三点共线时周长有最小值FG=√10．【知识点】棱柱的结构特征2. 【答案】B【解析】如图，过a作平面γ交平面α于c，过a作平面ɛ交平面β于d，因为a∥α，所以a∥c．因为a∥β，所以a∥d，所以c∥d．又c⊄β，d⊂β，所以c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c∥b，所以a∥b．【知识点】直线与平面平行关系的性质3. 【答案】B【知识点】直线与平面垂直关系的性质4. 【答案】C【解析】对于A，在空间中取一点O，过O分别作a，b的平行线，则由过O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；对于B，平移b至bʹ与a相交，因而确定一个平面β，在β上作a，bʹ夹角的平分线l，则经过l且垂直于平面β的平面α与a，b所成角相等，故B正确；对于C，当a，b不垂直时，不存在平面α使得a⊂α，b⊥α，故C错误；对于D，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则a，b与α的距离相等，故D正确．【知识点】直线与平面的位置关系5. 【答案】D【解析】选项A，B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不一定是正方形，故排除选项A，B，C，故选D．【知识点】棱柱的结构特征6. 【答案】B【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体7. 【答案】B【解析】【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【解析】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2=8，解得R=√2，则该圆柱的表面积为：π•(√2)2×2+2√2π×2√2=12π．故选：B．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．8. 【答案】D【知识点】空间线段的长度、直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题9. 【答案】D【解析】由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故②错误；平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故③错误；由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故④正确．故选：D ．【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】B【解析】 ① 当经过两点的直线与平面 α 平行时，可作出一个平面 β，使 β∥α．② 当经过两点的直线与平面 α 相交时，由于作出的平面与平面 α 至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面 α 相交，不能作出与平面 α 平行的平面．故满足条件的平面有 0 个或 1 个．【知识点】平面与平面平行关系的判定二、填空题（共6题） 11. 【答案】 39π【解析】因为 V =13π62⋅ℎ=30π，所以 ℎ=52，所以 l =√ℎ2+r 2=√(52)2+62=132，所以 S 侧=πrl =π×6×132=39π．【知识点】圆锥的表面积与体积12. 【答案】 a ∥α 或 a ⊂α【解析】已知直线 a ，b 和平面 α，若 a ∥b ，且直线 b 在平面 α 上，则 a 与 α 的位置关系是：a ∥α 或 a ⊂α． 如图：【知识点】直线与平面的位置关系13. 【答案】√6π3【解析】设球 O 的半径为 r ，则 43πr 3=23， 解得 r =√6π3．【知识点】棱柱的表面积与体积、球的表面积与体积14. 【答案】16√3π2【解析】由题知，圆柱的底面圆的周长为 2R ，设底面圆的半径为 r 1，可得 2πr 1=2R ， 所以 r 1=R π． 圆柱的高为 ℎ1=2R ，所以体积为 V 1=S 1ℎ1=πr 12h 1=2R 3π，用一个半径为 R 的半圆卷成一个圆锥的侧面，易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：C =πR ，半圆的半径 R 为圆锥的母线长，设圆锥下底面圆的半径为 r 2，可得 2πr 2=πR ，r 2=R2，圆锥的高：ℎ2=√R 2−r 22=√32R ， 所以圆锥的体积：V 2=13S 2ℎ2=13πr 22⋅√32R =√3πR 324． 所以 V 1V 2=2R 3π√3πR 324=16√3π2． 【知识点】圆柱的表面积与体积、圆锥的表面积与体积15. 【答案】 20 ； 50π【解析】因为 PA ⊥平面ABCD ，且四边形 ABCD 是矩形， 所以该“阳马”的体积 V =13PA ×S 四边形ABCD =13×5×4×3=20，该“阳马”可以还原成长方体，则该“阳马”的外接球是以 PC 为直径的球． 因为 PA =5，AB =4，AD =3， 所以 PC =√PA 2+AB 2+AD 2=5√2， 所以外接球的半径为5√22， 因此该“阳马”外接球的表面积为 4π×(5√22)2=50π．【知识点】球的表面积与体积、棱锥的表面积与体积16. 【答案】①②③【解析】连接 A 1H ，BH ，DH ．因为 AB =AD =AA 1，AH ⊥平面A 1BD ， 所以 Rt △ABH ≌Rt △ADH ⊂Rt △AA 1H ，所以HB=HD=HA1．又因为△A1BD是等边三角形，所以H是△A1BD的中心，所以①正确．因为A1B1∥AB，A1B1=AB，CD∥AB，CD=AB，所以A1B1∥CD，且A1B1=CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D．又因为A1D⊂平面A1BD．B1C⊄平面A1BD.所以B1C∥平面A1BD．同理可证B1D1∥平面A1BD．又因为B1C∩B1D1=B1，所以平面CB1D1∥平面A1BD．又因为AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1．所以②正确．连接AC1，BC1，AD1，因为四边形BCC1B是正方形，所以B1C⊥BC1．因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AB．又因为BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1D1．又因为AC1⊂平面ABC1D1，所以AC1⊥B1C，所以直线AC1与B1C所成的角是90∘．所以③正确．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、异面直线所成的角三、解答题（共6题）17. 【答案】S=2π+2√3π．【知识点】圆柱的表面积与体积18. 【答案】(1) 取AC的中点O，连接DO和OF，因为在△DAC中，DA=DC，所以DO⊥AC．又平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DO⊥平面ABC．又因为O，F分别为AC，BC的中点，所以AB∥OF且AB=2OF．又DE∥AB，AB=2DE，所以OF∥DE且OF=DE．所以四边形DEFO为平行四边形．所以EF∥DO．所以EF⊥平面ABC．(2) 由（1）知EF⊥平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为∠EBF，所以∠EBF=60∘，因为BF=12BC=2，所以EF=DO=2√3，故可得S△DAC=12×AC×DO=12×2×2√3=2√3，又AC⊥BC，所以S△ABC=12×AC×BC=12×2×4=4．又EF∥DO，所以点E，F到平面DAC的距离相等，因为平面DAC⊥平面ABC，CF⊥AC，所以CF⊥平面DAC，所以E点到平面DAC的距离等于2．所以V C−ABED=V E−DAC+V E−ABC=13×2√3×2+13×4×2√3=4√3．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积19. 【答案】(1) 连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为在△AFC中，O为AC的中点，G为FC的中点，所以OG∥AF，因为AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，所以AF∥平面BDG．(2) 连接FM，因为四边形ABCD是矩形，AB=6，所以DC∥AB，且DC=AB=6，因为EF=4，CM=2，DM=DC−CM，所以DM=EF=4，因为DM∥AB，EF∥AB，所以DM∥EF，所以四边形DMFE是平行四边形，所以MF∥DE，MF=DE=2，因为在Rt△BCM中，∠BCM=90∘，BC=2，CM=2，所以BM=2√2，因为在△BFM中，BM=2√2，MF=2，BF=2，所以△BFM是直角三角形，所以BF⊥MF，所以BF⊥DE．(3) 因为在△FCM中，CF=CM=MF=2，所以△FCM为等边三角形，因为G为FC的中点，所以MG⊥CF，同理，由△BCF为等边三角形，可得BG⊥CF，因为BG∩MG=G，所以CF⊥平面BGM，因为CF⊂平面BFC，所以平面BGM⊥平面BFC．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定、空间中直线与直线的垂直20. 【答案】(1) 如图折起后的几何体是三棱锥．(2) S△PEF=12a2，S△DPF=S△DPE=12×2a×a=a2，S△DEF=32a2．【知识点】棱锥的结构特征、棱柱的结构特征21. 【答案】(1) 证明1：在图1中，因为△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BD⊥AC．在△BCD中，BD⊥CD，BC=2，CD=1，所以BD=√3．因为D，E分别为边AC，AB的中点，所以ED∥BC．在图2中，有DHHB =EDBC=12，所以DH=13BD=√33．因为AB⊥AD，所以△ABD为直角三角形．因为AD=1，BD=√3，所以cos∠ADB=ADBD =√33．在△ADH中，由余弦定理得AH2=AD2+DH2−2AD⋅DH⋅cos∠ADB=1+13−2×1×√33×√3 3=23．所以AH=√63．在△ADH中，因为AH2+DH2=23+13=1=AD2，所以AH⊥BD．证明2：在图1中，因为△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC=2，CD=1，所以BD=√3．因为D，E分别为边AC，AB的中点，所以ED∥BC．在图2中，有DHHB =EDBC=12，所以DH=13BD=√33．在Rt△BAD中，BD=√3，AD=1，在△BAD和△AHD中，因为DBDA =DADH=√3，∠BDA=∠ADH，所以△BAD∽△AHD．所以∠AHD=∠BAD=90∘．所以AH⊥BD．(2) 解法1：因为V B−AED=V E−ABD，所以13S△AEDℎ1=13S△ABDℎ2．所以ℎ1ℎ2=S△ABDS△AED．因为△AED是边长为1的等边三角形，所以S△AED=√34．在Rt△ABD中，BD=√3，AD=1，则AB=√2【或利用（1）证明1中AH=√63】所以S△ABD=√22．所以ℎ1ℎ2=2√63．所以ℎ1ℎ2的值为2√63．解法2：因为V B−AED=V A−BDE，所以13S△AEDℎ1=13S△BDE×AH．所以ℎ1=S△BDE×AHS△AED．因为△AED是边长为1的等边三角形，所以S△AED=√34．因为△BDE是腰长为1，顶角为120∘的等腰三角形，所以S△BDE=12．由（1）证明1中求得AH=√63，所以ℎ1=2√23．由V E−ABD=V A−BDE，同理求得ℎ2=√33．所以ℎ1ℎ2=2√63．所以ℎ1ℎ2的值为2√63．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面垂直关系的性质22. 【答案】(1) 如图，连接BD，B1D1．因为AB=BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD．又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1，所以AC⊥平面BB1D1D．由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．(2) 如图，在棱AA1上取点G，使得AG=2GA1，连接GD1，FC1，FG．因为D1E=23DD1，AG=23AA1，DD1∥AA1，DD1=AA1，所以ED1∥AG，ED1=AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1．因为B1F=13BB1，A1G=13AA1，BB1∥AA1，BB1=AA1，所以FG∥A1B1，FG=A1B1，FG∥C1D1，FG=C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、平面的概念与基本性质。

必修第二册第八章立体几何初步提升卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷共22小题，其中单选8小题，多选4小题，填空4小题，解答题6小题，满分150分一、单选题1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【答案】D【分析】根据正四棱柱的概念，结合反例，即可得答案；【详解】选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，故选：D.2．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM ED①//EF CD②//③CN与BM为异面直线④DM BN以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】D【分析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //【答案】C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 4．在直三棱柱111ABC A B C -中，16AA AB ==，8BC =，10AC =，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）A ．16πB ．24πC ．36πD ．64π 【答案】A【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r ，又1r AA <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可.【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形， 6810222AB BC AC r +-+-===， 又∵16AA =，26<，∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时2244216S r πππ==⨯=表面积.故选：A .【点睛】关键点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算. 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 6．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD -(如图)，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π【答案】B【分析】 把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图象可得当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而可求得各个边长，根据正弦定理，可求得AFD 外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中，可确定外接球球心的位置，根据勾股定理，可求得外接球半径，即可得答案.【详解】把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置(如下图)，延长DC 到D ，使得1CD '=，则DF D F '=，因为PD 的长度为定值，故只需求PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，只需P '，E ，F ，D 四点共线，因为4P D '=，2DD '=，CF CD P D DD '=''，所以2CF =，所以2AF =，5DF =，45DAF ∠=︒，由正弦定理得，AFD 外接圆的半径15102222r =⨯=. 设ADF 外接圆的圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，因为O 到点P ，A 的距离相等，所以22101112442PA OA r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 此即为三棱锥P ADF -外接球的半径， 所以该球的表面积为2114π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】难点在于，需将平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的位置，当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，求得各个边长，进而再结合正弦定理，勾股定理求解，考查数形结合，分析计算的能力，属中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A ．2213+B ．213+C ．3225+D ．325+【答案】A【分析】 将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，展开图计算求解即可.【详解】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时()22122113EQ QC +=++=,又113FH HC EQ QC +=+=.∴周长()122213EF EQ QC =++=+故选:A8．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，22GF CF == 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形故3GFC π∠=故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题9．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状；B ．水面四边形EFGH 的面积不改变；C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B ；由11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D 可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D.【详解】由于BC 固定，所以倾斜的过程中，始终有AD //EH //FG //BC ，且平面AEFB //平面DHGC ，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形EFGH 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC 为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，且棱11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D ，∴11//A D 平面EFGH ；∵体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，即EA BF +为定值，综上ACD 正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.10．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积【答案】ACD【分析】 由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断A ，而11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B ，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD ．【详解】平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值，A 正确； 平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，B 错误； P 点到直线CD 的距离是确定，而EF 的长度不变，因此PEF S △为定值，又Q 到平面PEF 的距离为定值，从而三棱锥P QEF -的体积为定值，C 正确；11//A B CD ，Q 到EF 的距离为定值，EF 的长度不变，∴QEF △的面积为定值，D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住11//A B CD ，由此得平面QEF 是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值． 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a【答案】AC 【分析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形， 点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处， 分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点）， 则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意， 因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形， 平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ， 所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确，故选：AC 【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MN B ．1B C ⊥平面1MNC C ．A 到直线MN 的距离为324D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π 【答案】ACD 【分析】由11//A D B C 可得判断AB ，利用11AD A D ⊥，1AD MN ⊥，求出距离可判断C ，由对称性得过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小的圆是以MN 所在弦为直径的圆，圆心为MN 中点F ，求出圆面积断D ． 【详解】正方体中，11//A D B C ，而M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则1//MN A D ，所以1//B C MN ，A 正确，B 错误；设1AD 与1,A D MN 分别交于点,E F ，则11AD A D ⊥，1AD MN ⊥， 由M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，知F 是1ED 中点，133244AF AD ==，C 正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点O ，由对称性知过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以MN 所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F ，13OD =，124DF =，11126cos 3AD OD F BD ∠===， 222111112cos OF D F D O D F D OFD O =+-⋅∠23236321648=+-⨯⨯⨯=， 截面圆半径为r ，则2221333488r OD OF =-=-=，面积为238S r ππ==，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中的平行与垂直，考查球的截面圆问题．特殊的几何图形如正方体、正四面体等几何体中有许多直线、平面间的平行与垂直关系，我们必须掌握，并能应用，在判断D 时，利用正方体的对称性是解题的关键．这样可得到面积最小的截面圆的直径是MN 所在的弦，从而求得半径长．三、填空题13．如图，矩形O A B C ''''水平放置的一个平面图形OABC 的直观图，其中6O A ''=，3O C ''=，//B C x '''轴，则原平面图形OABC 的面积为______.【答案】362 【分析】还原图形后可知原图形的高是直观图中矩形高的22底不变，由此可得面积比，利用直观图的面积求得原图形的面积.【详解】设B C ''与y '轴交于点D ，还原后BC 与y 轴交于点DO D ''在y '轴上 ∴OD 在y 轴上且2OD O D ''=，可还原图形如下：OD ∴为还原后的平行四边形OABC 的高 222OD O D O C ''''==，OA O A ''=∴原平面图形OABC 的面积S 为矩形O A B C ''''的面积S '的2222222263362S S O A O C '''''∴==⋅=⨯=故答案为：362【点睛】本题考查根据直观图计算原图形的面积的问题，关键是能够通过高的比例关系得到直观图面积与原图形面积的比例关系，进而求得结果.14．中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______. 83π【分析】根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则12242r ππ=⨯⨯，解得2r ，圆锥的高为224223h =-=，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为218322333V ππ=⨯⨯=. 故答案为：833π. 15．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．【答案】336π【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，可得56l r =，311R =，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案. 【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，则3sin 3652lr =︒=，得56lr =， 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是22225116l h l r l ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222()R r R h =+-，即22251166l R R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得311R =．所以该正二十面体的外接球表面积为222311364411S R l l πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球，而该正二十面体的表面积是2120sin 60532S l l l =⨯⨯⨯⨯︒=正二十面体， 所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336π． 故答案为：553. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16．如图，已知边长为1的正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，P 为EF 的中点，Q 为线段FC 上的动点，当三棱锥P ABQ -的体积最大时，三棱锥P ABQ -的外接球的表面积为______.【答案】4116π 【分析】由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，问题转化为求三棱锥P ABC -外接球的表面积，然后，利用勾股定理求出外接球半径R ，进而可求解 【详解】如图，由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，即求三棱锥P ABC -外接球的表面积，因为正方形ABCD 与正方形BCFE 的边长均为1，点P 为EF 的中点，所以1AB BC ==，2AC =，5BP PC ==过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ，由正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，得PG ⊥平面ABC .设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，AC 的中点为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC .延长1OO 到点H ，使1O H PG =.连接,,PH OP OA ，设1OO x =，则1OH x =-，()222221122x x ⎛⎛⎫+=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得38x =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2221314128264R x ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭.故所求表面积24141446416S R πππ==⨯= 故答案为：4116π 【点睛】关键点睛：三棱锥的体积与底面积和高有关，若底面面积不变，高增大时，体积增大；若高不变，底面面积增大时，体积增大，本题中，点A 到平面PBQ 的距离不变，当三角形PBQ 的面积最大时，三棱锥P ABQ -的体积取最大值，另外求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半径，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.四、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，114===B B AB AB ，3BC =，D 为AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥11-B A CB 体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，得1//OD AB ，可证得线面平行；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，证明1'B O 是三棱锥11-B A CB 的高，由体积公式可得． 【详解】（1）证明：设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B C CB 是平行四边形， 因为对角线1B C 与1C B 交于点O ，所以O 为1B C 的中点， 因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB 因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 是平行四边形， 因为114===B B AB AB ，所以侧面11A ABB 是菱形，1322443A B BO '===， 因为1B A ，1A B 为菱形11A ABB 的对角线，所以11B A A B ⊥因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，平面11A ABB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为11,⊂A B B A 平面11A ABB ，所以1⊥BC B A ，1BC A B ⊥ 因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面ABC ，1B A ⊥平面1A CB 所以三棱锥11-B A CB 的高为1'B O ， 所以三棱锥11-B A CB 的体积11111143344332212V BA BC B A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，考查求三棱锥的体积．证明线面平行的方法是利用中位线定理得线线平行，然后根据线面平行的判定定理得出结论．求棱锥的体积的方法是棱锥体积公式，找到棱锥的高，求出底面积即可得体积．18．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图)，G 为AE 中点.（1）求证：DG ⊥平面ABCE ； （2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）523；（3）存在，34BP BD = 【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ； （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证明//PCF 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//PF AD 计算BPBD的值. 【详解】（1）因为G 为AE 中点，2AD DE ==， 所以DG AE ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ； （2）在直角三角形ADE 中，2AD DE ==，22AE ∴=，122DG AE ∴== 所以四棱锥D ABCE -的体积为()111521422332D ABCE ABCE V S DG -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形； （3）如图，过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ， 因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ， 所以//CF 平面ADE ， 同理//PF 平面ADE ， 又因为CF PF F ⋂=， 所以平面//PCF 平面ADE ， 因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ，所以BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，//AE CF ，//AF CE∴四边形AECF 是平行四边形，1AF CE ∴==， 3FB ∴=，又//PF AD ，34BP BF BD AB ∴==. 19．在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33-. 【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得2PE EC ==，取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点， 又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得22EC BC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，2PE EC ∴==.取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD 又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又311,1,EM AE AM ===，3cos MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为3-. 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.20．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AC BF ⊥；（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【分析】（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=， 由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥，则BF == AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥，DF ∴=，222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=，11022BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD内的射影为O ，连接DO ，则ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，132ABD ABC S S AB AC ==⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△，可得313021010ABD BDFAF S AO S ⨯⋅===△△，又2AD =，30130sin 2AO ADO AD ∠==⨯=，2370cos 1sin ADO ADO ∴∠=-∠=， 因此，直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值为37020； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点，//AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =，所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ，FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，()min 11321sin120132P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.21．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且34,3AB PD == ①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π. 【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果； （Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角. 【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°， ∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ， ∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒， 过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥． ∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4． ②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影． ∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )A．B．C．D．2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A．B．C．D．3.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是( )A．直线BQ∥平面EFG B．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFG D．平面A1BQ∥平面EFG4.如图，若Ω是长方体ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台5.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面6.练习1．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中OʹBʹ=OʹCʹ=1，则此三棱锥的体积为( )A．√3B．3√3C．√34D．3√347.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是( )A．A1F与D1E不可能平行B．A1F与BE是异面直线C．点F的轨迹是一条线段D．三棱锥F−ABD1的体积为定值8.如图，在各棱长均为1的正三棱柱ABC−A1B1C1中，M,N分别为线段A1B,B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条9.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．4．给10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=√33出下列四个结论：① CE⊥BD；② 三棱锥E−BCF的体积为定值；③ △BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形④ 在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题）11.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β;②若α∥β，l⊂α，m⊂β,则l∥m；③若α∩β= l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则加m∥n.其中所有真命题的序号为12.直线与平面垂直的性质定理．注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．13.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )（2）平行于同一条直线的两个平面平行．( )（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )（4）若α∥β，直线a∥α，则a∥β．( )14.直线与平面平行的判定定理15.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是．16.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=√3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：a3；④ 平面ABC⊥① AB与DE所成角的正切值是√2；② AB∥CE；③ V B−ACE=16平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）三、解答题（共6题）17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如图．(1) 求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2) 试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E=EF=FC．18.几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？19.如图所示，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．20.如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C，21.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CDD的点．(1) 证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2) 当三棱锥 M −ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．22. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，PD ⊥ 底面 ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD =AB =1，BC =√2．(1) 求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2) 设 H 为 CD 上一点，满足 CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =2HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 √63，求二面角 H −PB −C 的余弦值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】直观图2. 【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．【知识点】直线与平面平行关系的判定3. 【答案】B【解析】过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），因为A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，所以A1B∥平面EFG．【知识点】平面与平面平行关系的判定4. 【答案】D【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，又EH∥B1C1，所以Ω是棱柱，所以A,C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1,EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以B正确．【知识点】棱柱的截面分析、直线与平面平行关系的性质、直线与平面垂直关系的性质5. 【答案】B【解析】对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定、充分条件与必要条件6. 【答案】A【解析】由直观图可知：正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，所以底面面积为12×2×2×√3 2=√3，所以三棱锥的体积为：13×√3×3=√3．故选：A．【知识点】直观图、棱锥的表面积与体积7. 【答案】A【解析】设平面D1AE与直线BC交于G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，如图，因为A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，又A1M，MN是平面A1MN内的两条相交直线，所以平面A1MN∥平面D1AE，而A1F∥平面D1AE，所以A1F⊂平面A1MN，得点F的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当F与M重合时，A1F与D1E平行，故A错误；因为平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，所以A1F与BE是异面直线，故B正确；因为MN∥EG，则点F到平面D1AE的距离为定值，所以三棱锥F−ABD1的体积为定值，故D正确．【知识点】直线与直线的位置关系8. 【答案】D【解析】如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC 交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．故选D．【知识点】直线与平面平行关系的判定9. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为BD⊥平面ACC1，所以BD⊥CE，故① 正确；因为点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，所以三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故② 正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，所以△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH．因为线段EF的长是定值，所以线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③ 正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④ 对．【知识点】直线与平面垂直关系的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】③【解析】① 中α还可能与β相交；②中直线l与m还可能异面；③中结合线面平行的性质可以证得m∥n．【知识点】空间的平行关系12. 【答案】平行【知识点】直线与平面垂直关系的性质13. 【答案】×；×；×；×【知识点】直线与平面平行关系的判定14. 【答案】此平面内一条直线平行【知识点】直线与平面平行关系的判定15. 【答案】矩形【解析】如图所示，因为点M，N，P，Q分别是四条边的中点，AC，所以MN∥AC，且MN=12AC，PQ∥AC，且PQ=12所以MN∥PQ，且MN=PQ，因为四边形MNPQ是平行四边形，又因为AC⊥BD，NP∥BD，所以PQ⊥NP，所以四边形MNPQ是矩形．【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】①③④【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：因为A点在平面BCDE上的射影为D点，所以AD⊥平面BCDE．因为BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC．因为四边形BCDE是正方形，所以BC⊥CD，又AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC．又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；因为DE∥BC，所以∠ABC为AB与DE所成的角或其补角，因为BC⊥平面ADC，AC⊂平面ADC，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=ACBC，因为AB=√3BC，BC=a，所以在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√2a，所以tan∠ABC=ACBC=√2，故①正确；连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，所以CE⊥AD．又BD∩AD=D，所以CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以CE⊥AB．故②错误；在Rt△ABE中，AB=√3a，BE=a．所以AE=√2a，又DE=a，AD⊥DE，所以AD=a，所以三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V A−BCE=13S△BCE⋅AD=13×12×a2×a=a36，故③正确．【知识点】直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD∥B1C1，AD=B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理，B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1=B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2) 如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E．又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E=EF=FC．因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1，平面A1C1C∩平面C1BD=C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E=EF．同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即 FC =EF ，所以 A 1E =EF =FC ．【知识点】平面与平面平行关系的判定、平面与平面平行关系的性质18. 【答案】没有，平行四边形．【知识点】平面的概念与基本性质19. 【答案】因为正四棱台的上底面是边长为 2 的正方形，下底面是边长为 4 的正方形，所以上底面、下底面的面积分别是 4，16， 因为侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形， 所以侧面等腰梯形的高为 √4−(4−22)2=√3，所以一个侧面等腰梯形的面积为 12×(2+4)×√3=3√3， 所以四棱台的表面积为 4+16+3√3×4=20+12√3． 【知识点】棱台的表面积与体积20. 【答案】这个几何体不是棱柱，截去的部分是一个四棱锥 C 1−EA 1B 1F ，如图所示．在四边形 ABB 1A 1 中，在 AA 1 上取点 E ，使 AE =2，在 BB 1 上取点 F 使 BF =2，连接 C 1E ，EF ，C 1F ，则过点 C 1，E ，F 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱 ABC −EFC 1，其侧棱长为 2．截去的部分是一个四棱锥 C 1−EA 1B 1F ，也可以从点 C 截． 【知识点】棱柱的结构特征21. 【答案】(1) 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，面CMD ∩面ABCD =CD ． 因为 BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面CMD ， 故 BC ⊥DM ．因为 M 为 CD ⏜ 上异于 C ，D 的点，且 DC 为直径， 所以 DM ⊥CM ，又 BC ∩CM =C ，BC ⊂面BCM ，CM ⊂面BCM ， 所以 DM ⊥平面BMC ，而 DM ⊂平面AMD ，故 平面AMD ⊥平面BMC ．(2) 以 D 为坐标原点，DA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D −xyz ． 当三棱锥 M −ABC 体积最大时，M 为 CD⏜ 的中点． 由题设得 D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设 n ⃗ =(x,y,z ) 是平面 MAB 的法向量，则 {n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x +y +z =0,2y =0.可取 n ⃗ =(1,0,2)．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 MCD 的法向量，所以 cos⟨n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣∣∣∣DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√55，sin⟨n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=2√55， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2√55．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题22. 【答案】(1) 因为 AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD =AB =1， 所以 BD =√2． 又 BC =√2，所以 CD =2， 所以 BC ⊥BD ． 因为 PD ⊥ 底面 ABCD ， 所以 PD ⊥BC ， 又 PD ∩BD =D ， 所以 BC ⊥平面PBD ． 又因为 BC ⊂平面PBC ，所以 平面PBD ⊥平面PBC ．(2) 由（Ⅰ）可知 ∠BPC 为 PC 与平面 PBD 所成的角， 所以 tan∠BPC =√63， 所以 PB =√3，PD =1．由 CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =2HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及 CD =2 得 CH =43，DH =23． 以点 D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D −xyz ，则 B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H (0,23,0)． 设平面 HPB 的法向量为 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则 {HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即 {−23y 1+z 1=0,x 1+13y 1=0.取 y 1=−3，则 n ⃗ =(1,−3,−2)． 设平面 PBC 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则 {PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,即 {x 2+y 2−z 2=0,−x 2+y 2=0.取 x 2=1，则 m ⃗⃗ =(1,1,2)， 又 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=−√217， 所以二面角 H −PB −C 的余弦值为√217． 【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2.下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3.截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台4.下列图形中不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形5.如图的简单组合体是由组合而成.A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱6.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥7.下面是一些命题的叙述语（A，B表示点，a表示直线α，β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是( )A．若A∈α，B∈α，则AB∈αB．若a∈α，a∈β，则α∩β=aC．若A∈α，a⫋α，则A∈αD．若A∉a，a⫋α，则A∉α8.下列四个命题中真命题是( )A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个9.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A．1B．2C．3D．410.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α二、填空题（共6题）11.几何体体积说明棱柱V棱柱=SℎS为棱柱的 ,ℎ为棱柱的 棱锥V棱锥=13SℎS为棱锥的 ,ℎ为棱锥的 棱台V棱台=13(Sʹ+√SʹS+S)ℎSʹ,S分别为棱台的 ,ℎ为棱台的 12.如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为．13.思考辨析 判断正误棱锥的体积等于底面面积与高之积．14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是．15.思考辨析，判断正误．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．16.思考辨析，判断正误在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1) 直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？(2) 平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的？(3) 线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？19.有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥．问a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？20.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点P与直线AB；(2) 点C与直线AB；(3) 点M与平面AC；(4) 点A1与平面AC；(5) 直线AB与直线BC；(6) 直线AB与平面AC；(7) 平面A1B与平面AC．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.观察（1），（2），（3）三个图形，说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能，可将两条直线放在长方体里进行研究．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】D【解析】等腰三角形的两底角相等，但在直观图中不相等，故A错误；正方形的直观图是平行四边形，正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，故B，C错误．【知识点】直观图3. 【答案】C【解析】由球的结构特征知该几何体是球．【知识点】球的结构特征4. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质5. 【答案】B【解析】该简单组合体的上面是一个棱锥，下面是一个棱柱．【知识点】组合体6. 【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．【知识点】棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征7. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、直线与直线的位置关系、球的结构特征9. 【答案】B【解析】设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R12−R22)=48π，2π(R1+R2)=12π，所以R1−R2=2．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】点A在直线l上，表示为A∈l，l在平面α内，表示为l⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题（共6题）11. 【答案】底面积；高；底面积；高；上、下底面面积；高【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、棱台的表面积与体积12. 【答案】4:9【解析】因为V1:V2=8:27=R13:R23，所以R1:R2=2:3，所以S1:S2=R12:R22=4:9．【知识点】球的表面积与体积13. 【答案】×【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】90°【解析】通过计算可知NC12=NM2+MC12，故∠NMC1=90∘．如图．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】√【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】×【知识点】直观图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】(1) 根据展开图还原长方体，其示意图如图所示， 则 直线DM ∥平面ABQP ．(2) 平面 DCMN 垂直于平面 ERFG ．(3) 线段 BC 的长度是点 C 到平面 APQB 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系19. 【答案】构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3， 等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b=P．②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】图（1）表示两个相交的半平面；图（2）表示开口向里的两个相交的半平面；图（3）表示开口向外的两个相交的半平面．【知识点】平面的概念与基本性质。

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》同步练习《8.1 基本几何图形》同步练习第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A．B．C．D．2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？《8.1 基本几何图形》同步练习答案解析第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】 由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm ，3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】5 6 9【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥 （2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝32a 2.《8.1 基本几何图形》同步练习第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形6．（多选题）下列结论中错误的是（ ）A ．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D ．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台二、填空题7．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是______.（填序号）8．下列命题中正确的是________（填序号）.①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.9.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是 ．10.一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆半径为 cm ，面积为 cm 2.三、解答题9．如图，四边形ABCD 为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.10．一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为24cm π和225cm π．（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．《8.1 基本几何图形》同步练习及答案解析第2课时圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，错误；②：母线的定义，显然正确；③：圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知错误；④圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，正确；只有②④两个命题是正确的.故选C.2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.故选：D.3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 【答案】C【解析】圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与，所以底面的面积为2ππ4Q ⋅=⎝⎭. 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A ,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A 正确；对于B ,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B 正确；对于C ,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C 错误；对于D ,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D 正确.故选:ABD 。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为( )A．43B．916C．34D．1692.已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB=90∘，C为该球面的动点，若三棱锥O−ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π3.在空间内，可以确定一个平面的条件是( )A．三个点B．两条直线C．两两相交三条直线D．两两相交的三条直线且不交于同一点4.已知α，β是不同的两个平面，直线a⫋α，直线b⫋β．若命题M为“a与b无公共点”，命题N为“α∥β”，则M是N的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分又非必要条件5.已知某三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，正视图如图所示．若该三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A．18πB．1218πC．6πD．12124π6.若三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )A．1B．2C．1或3D．37.如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：① AB与CD所在直线垂直；② CD与EF所在直线平行；③ AB与MN所在直线成60∘角；④ MN与EF所在直线异面．其中正确结论的序号是( )A．①②B．①③C．③④D．②④8.如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．3条9.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A．9πB．10πC．11πD．12π10.圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为( )A．20πcm2B．10πcm2C．28πcm2D．14πcm2二、填空题（共6题）11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列说法正确的是（填序号）．① AD1∥平面BC1；② AC与BC1相交；③点A1，D1到平面BCC1B1的距离相等；④与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个．12.在北纬45∘东经30∘有一座城市A，在北纬45∘东经120∘有一座城市B，设地球半径为R，则A，B两地之间的距离是．13.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，① GH与EF平行；② BD与MN为异面直线；③ GH与MN成60∘角；④ DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．14.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作．15.已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为．16.已知圆锥的体积为√33π，母线与底面所成角为π3，则该圆锥的表面积为．三、解答题（共6题）17.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90∘．(1) 证明：直线BC∥平面PAD；(2) 若△PCD的面积为2√7，求四棱锥P−ABCD的体积．18.如图所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120∘．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，求四面体PBCD的体积的最大值．19.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图．20.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且的值．平面BC1D∥平面AB1D1，在本例中，试求ADDC21.如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置，使CD=AC．(1) 求证：平面ABD⊥平面ABC；(2) 求二面角C−BD−A的余弦值．22.已知P在平面ABC外，满足PA⊥BC，PB⊥AC，PO⊥平面ABC，垂足为点O，求证：点O为底面△ABC的垂心．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】如图所示，圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上， 所以该圆柱底面圆周半径为 r =√22−12=√3， 所以该圆柱的体积为：V =Sℎ=π×(√3)2×2=6π， 又因为球的体积为：43πR 3=43π×23=32π3；所以球的体积与圆柱的体积的比值：32π36π=169．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积2. 【答案】C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于平面 AOB 的球的直径端点时，三棱锥 O −ABC 的体积最大．设球 O 的半径为 R ，此时 V O−ABC =V C−AOB =13×12R 2×R =16R 3=36，解得 R =6，故球 O 的表面积为 4πR 2=144π．故选C ．【知识点】球的表面积与体积3. 【答案】D【解析】A.三个点，当三点共线时不能确定平面，排除；B.两条直线，当两条直线异面时不能确定平面，排除；C.两两相交的三条直线，当三条直线交于一点时不能确定平面，排除；D.两两相交的三条直线且不交于同一点，可以确定平面，正确；故选：D．【知识点】平面的概念与基本性质4. 【答案】B【解析】由a与b无公共点，可以推得a∥b或a与b成异面直线，当a∥b时，由a⫋α，b⫋β，不能确定α∥β，事实上α，β可能相交于直线c，而a∥b∥c；当a与b成异面直线时，由a⫋α，b⫋β也不能确定α∥β，事实上α，β可能相交于直线c，a，b与c分别相交于不同的两点A，B．由此得命题M不是命题N的充分条件；由α∥β得α与β无公共点，又a⫋α，b⫋β，故a与b无公共点．由此得M是N的必要条件．综上所述，应选B．【知识点】平面与平面平行关系的判定5. 【答案】A【解析】如图所示，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为点E，连接AE，AD．由正弦定理得2AE=2√3sin60∘=4，所以AE=2，因为SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S−ABC的高SE=2√2，所以SA=√AE2+SE2=2√3．由于点A是以SD为直径的球O上一点，所以∠SAD=90∘．由射影定理可知，球O的直径2R=SD=SA 2SE =2√2=3√2，因此，球O的表面积为4πR2=π(2R)2=18π．【知识点】由三视图还原空间几何体、球的表面积与体积6. 【答案】C【知识点】平面与平面的位置关系7. 【答案】C【解析】还原正方体如图所示，由图可知①②错误；连接DN，DM，AB∥DN，MN=ND=DM，所以三角形DMN为等边三角形，所以AB与MN所在直线成60∘角．显然MN与EF所在直线是异面．【知识点】直线与直线的位置关系8. 【答案】C【解析】显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点．AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α．同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．【知识点】直线与平面平行关系的判定9. 【答案】D【知识点】由三视图还原空间几何体、球的表面积与体积、圆柱的表面积与体积10. 【答案】A【解析】圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，=2π×2×5=20π(cm2)．则圆柱的侧面积为S侧【知识点】圆柱的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】①③【解析】②中，AC与BC1既不相交也不平行；④中，与AB平行的面有两个，分别为平面CD1和平面A1C1．易知①③正确．【知识点】直线与平面平行关系的判定、空间的平行关系R12. 【答案】π3【解析】由已知地球半径为R，R，则北纬45∘的纬线圈半径为√22又因为两座城市的经度分别为东经30∘和东经120∘，R⋅√2=R，故连接两座城市的弦长L=√22，则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB=π3R．则A，B两地之间的距离是π3【知识点】球的结构特征13. 【答案】②③④【解析】把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60∘角，DE⊥MN．【知识点】空间中直线与直线的垂直、直线与直线的位置关系、异面直线所成的角、空间中直线与直线平行14. 【答案】A∈b，b⊂β，A∈β【知识点】平面的概念与基本性质15. 【答案】20π【解析】圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r=12√42+22=√5．所以该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π．【知识点】组合体、球的表面积与体积16. 【答案】3π【解析】设圆锥的底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，则V锥=13πr2h=√33π⇒r2h=√3．又母线与底面所成的角为π3，所以ℎr=tan60∘=√3⇒ℎ=√3r，解得r=1，ℎ=√3，所以l=√r2+ℎ2=2．所以S表=πr2+πrl=3π．【知识点】圆锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90∘，所以BC∥AD．又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD．(2) 取AD的中点M，连接PM，CM．由AB=BC=12AD及BC∥AD，∠ABC=90∘得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM．设BC=x，则CM=x，CD=√2x，PM=√3x，PC=PD=2x．取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN=√142x．因为△PCD的面积为2√7，所以12×√2x×√142x=2√7，解得x=−2（舍去），x=2．于是AB=BC=2，AD=4，PM=2√3．所以四棱锥P−ABCD的体积V=13×2(2+4)2×2√3=4√3．【知识点】直线与平面平行关系的判定、棱锥的表面积与体积18. 【答案】由题意可知，△ABD≌△PBD，所以△PBD可以看成是△ABD绕BD轴旋转形成的．点D在边AC上每选定一个位置，则底面BCD就为定值，此时，当平面PBD垂直地面BCD时，四面体PBCD的体积就取最大值．过点P作BD的垂线，则该垂线即为三棱锥P−BCD的高，且高等于△ABD中BD边上的高线AE（如图所示），在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120∘，则AC=2√3．设AD=x（0<x<2√3），则S△BCD=12BC⋅CDsin30∘=12×2(2√3−x)×12=√3−x2．在△ABD中，由余弦定理可得，BD=√22+x2−2×2xcos30∘=√(x−√3)2+1，因为S△ABD=12×2xsin30∘=12BD⋅AE，所以AE=√(x−√3)+1，所以四面体PBCD的体积V=13S△BCD⋅AE=13(√3−2x)⋅√(x−√3)+1=√3−x) 6√(x−√3)+1=√3)26√(x−√3)+1．设m=√(x−√3)2+1（1≤m<2），则V=−m2−46m =−m6+23m（1≤m<2）．因为函数V=−m6+23m在[1,2)上单调递减，所以当m=1，即x=√3，即点D为边AC的中点时，V=−m6+23m取得最大值，最大值为V max=−16+23=12．【知识点】棱锥的表面积与体积19. 【答案】（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．（2）画对应的xʹ轴、yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘．在xʹ轴上截取OʹBʹ=OʹCʹ=2cm，在yʹ轴上截取OʹAʹ=12OA，连接AʹBʹ，AʹCʹ，则△AʹBʹCʹ即为正△ABC的直观图，如图②所示．【知识点】直观图20. 【答案】连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O，所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1=A1OOB=1，同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD=D1C1，又AC=A1C1，所以A1D1D1C1=DCAD，所以DCAD =1，即ADDC=1．【知识点】平面与平面平行关系的性质21. 【答案】(1) 如图，取AB的中点O，连接OD，OC．因为△ABD是等腰直角三角形，所以DO⊥AB，且DO=√22AD．同理得CO⊥AB，且CO=√22AC，因为AD=AC，所以DO=CO=√22AC．因为CD=AC，所以DO2+CO2=CD2，所以△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO，又AB∩CO=O，所以DO⊥平面ABC．又因为DO⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC．(2) 取BD的中点E，连接CE，OE．易知△BCD为等边三角形，所以CE⊥BD．又因为△BOD为等腰直角三角形，所以 OE ⊥BD ．所以 ∠OEC 为二面角 C −BD −A 的平面角．由（1）易证得 CO ⊥平面ABD ，所以 CO ⊥OE ，所以 △COE 为直角三角形．设 BC =1，则 CE =√32，OE =12， 所以 cos∠OEC =OE CE =√33， 即二面角 C −BD −A 的余弦值为√33． 【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角22. 【答案】连接 OA ，OB ，OC ，易证 BC ⊥平面PAO ，AC ⊥平面PBO ，从而可得 AO ⊥BC ，BO ⊥AC ，所以 O 为底面 △ABC 的垂心．【知识点】直线与平面垂直关系的性质。

第八章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（ ）A .三角形的直观图仍然是一个三角形B .90︒角的直观图为45︒角C .与y 轴平行的线段长度变为原来的一半D .原来平行的线段仍然平行2.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m β⊥的是（ ）A .αβ∥，且m α⊂B .m n ∥，且n β⊥C .m n ⊥，且n β⊂D .m n ⊥，且n β∥3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1丈等于10尺）（ ）A .29尺B .24尺C .26尺D .30尺4.设,,αβγ为三个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（ ）A .当αβ⊥时，若βγ∥，则αγ⊥B .当m α⊥，n β⊥时，若αβ∥，则m n ∥C .当m α⊂，n β⊂时，若αβ∥，则,m n 是异面直线D .当m n ∥，n β⊥时，若m α⊂，则αβ⊥5.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为4，底面边长为.若点M 是线段11A C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为（ ）A .53B .43C .34D .456.如图所示，表面积为 ）AB .13πC .23πD7.已知三棱锥P ABC -中，PA =3AB =，4AC =，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为（ ）A .16B .28C .64D .968.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点,E F 分别为边,BC AD 的中点，将ABF △沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE △沿DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）A .无论翻折到什么位置，A C 、两点都不可能重合B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒9.等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（ ）A .S S 正方体球＞B .S S 正方体球＜C .S S =正方体球D .无法确定10.1111ABCD A B C D 内有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC ，为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A .B .CD 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.下列命题为真命题的是（ ）A .若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B .若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C .垂直于同一条直线的两条直线相互平行D .若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直12.如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形为（ ）A B C D 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.（本题第一空2分，第二空3分）14.已知正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60︒，则该四棱锥的高为________.15.如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点,,B C D a ∈，线段,,AB AC AD 分别交α于点,,E F G .若44,5,BD CF AF ===,则EC =________.16.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，沿AE 将DAE △向上折起，使D 到'D 的位置，且平面'AED ⊥平面ABCE ，则直线'AD 与平面ABC 所成角的正弦值为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用a 将h 表示出来。

第八章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(C)A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直解析：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A，B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确．2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(A)A．平行于z′轴且大小为10 cmB．平行于z′轴且大小为5 cmC．与z′轴成45°且大小为10 cmD．与z′轴成45°且大小为5 cm解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则(B) A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD解析：如图所示，连接AC ，BD ，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以四边形ABCD 是正方形，AC ⊥BD ，CE ⊥平面ABCD ， 所以BD ⊥AC ，BD ⊥CE ，而AC ∩CE ＝C ，故BD ⊥平面ACE ，因为BD ∥B 1D 1，故B 1D 1⊥平面ACE ，故B 1D 1⊥AE .4．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( A ) A.6π6 B.π2 C.2π2 D.3π2π 解析：由6a 2＝4πR 2得a R ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6.(其中a 为正方体的棱长，R 为球的半径)． 5．如果圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( A )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形6．如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，CN，BM 所在直线所成角的大小为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由平面展开图可得原正方体如图，连接AN，则AN∥BM，则CN，BM所在直线所成角为∠ANC，连接AC，则△ANC为等边三角形，则∠ANC＝60°，即CN，BM所在直线所成角的大小为60°.7．将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(A)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：如图，连接B′C.则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝2a，所以∠B′DC＝90°，故选A.8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有(A)①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C.A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，如图，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝12A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，所以总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，由已知得DE⊥CE，若DE⊥A1C，则DE⊥平面A1CE，则DE⊥A1E，又在△A1DE中DA1⊥A1E，所以DE与A1E不可能垂直，即DE与A1C不可能垂直，故③错误．二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是(ABCD) A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析：若与三个平面相交，则截面是三角形；与四个平面相交，则截面是四边形；与五个平面相交，则截面是五边形；与六个平面相交，则截面是六边形，故选ABCD.10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，给出下列命题中正确命题的为(ABC) A．EF⊥B1CB．BC1∥平面EFGC．A1C⊥平面EFGD．异面直线FG，B1C所成角的大小为π4解析：如图，对于A，连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，则EF⊥B1C，故A正确；对于B，因为BC1∥EF，EF⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG，所以BC1∥平面EFG，故B正确；对于C，A1C⊥EF，A1C⊥EG，EF∩EG＝E，所以A1C⊥平面EFG，故C正确；对于D，FG∥AB1，所以∠AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，，可得△AB1C为等边三角形，则∠AB1C＝π3，故D错误．即异面直线FG，B1C所成角的大小为π311．已知平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β＝l，在下列说法中，正确的有(BC)A．若m⊥n，则m⊥lB．若m⊥l，则m⊥βC．若m⊥β，则m⊥nD．m⊥n，则m⊥β解析：平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β＝l，若m⊥n，可得m，l可能平行，故A、D错误；若m⊥l，由面面垂直的性质定理可得m⊥β，故B正确；若m⊥β，可得m⊥n，故C正确．12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是(ABC)A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．异面直线BC1与AC所成的角为60°D．MO⊥平面ABCD解析：如图，在A中，取A1C1中点E，连接BE，则D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确．在B中，因为D1O⊥AM，D1O⊥AC，所以D1O⊥平面MAC，故B正确；在C中，因为AC∥A1C1，所以∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，又△A1C1B是正三角形，所以异面直线BC1与AC所成的角为60°，故C正确．在D 中，MB ⊥平面ABCD ，MO ∩MB ＝M ，故MO 与平面ABCD 不垂直，故D 错误．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱、两个圆锥．14．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝209.解析：因为a ∥α，EG ＝α∩平面ABD ，所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝EG BD ，即54＋5＝EG 4，所以EG ＝209. 15．下列命题正确的是①.①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线； ②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．解析：对于①，由空间中两条直线的位置关系可知其正确；对于②，满足条件的两个平面可能相交也可能重合，故②错误；对于③，满足条件的直线和平面可能平行，可能相交，也可能在平面内，故③错误；对于④，满足条件的两条直线可能相交、异面或平行，故④错误；对于⑤，只能作出一个符合要求的平面，故⑤错误．综上，只有①正确．16．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，则你认为的正确的命题有2个，其中一个是若②③④，则①(或若①③④，则②)．解析：若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，则n与α可能平行也可能相交，也可能n⊂α，即④n⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，则m与β可能平行也可能相交，也可能m⊂β，即③m⊥β不一定成立．若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，则②α⊥β成立．若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，则①m⊥n成立．四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)， 所以圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410π(cm 2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x 6，所以r ＝6－x 3，所以圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]，所以当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.18．(12分)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点．(1)求证：AD 1∥平面DOC 1.(2)求异面直线AD 1和OC 1所成角的大小． 解：(1)证明：如图，连接D 1C 交DC 1于点O 1，连接OO 1，因为O ，O 1分别是AC 和D 1C 的中点，所以OO 1∥AD 1.又OO 1⊂平面DOC 1，AD 1⊄平面DOC 1，所以AD 1∥平面DOC 1.(2)由(1)知，OO 1∥AD 1，所以∠O 1OC 1为异面直线AD 1和OC 1所成角，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则O 1C 1＝O 1O ＝2，OC 1＝22＋(2)2＝6，所以cos ∠O 1OC 1＝(2)2＋(6)2－(2)22×2×6＝32， 所以∠O 1OC 1＝π6.即异面直线AD 1和OC 1所成角的大小为π6.19．(12分)如图所示，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面ABCD ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于点E ，过点E 作EF ⊥SC 交SC 于点F .(1)求证：AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明：(1)因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC，因为AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC.又EF⊥SC，所以SC⊥平面AEF，所以AF⊥SC.(2)因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥DC，又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD，所以DC⊥AG.由(1)知SC⊥平面AEF，因为AG⊂平面AEF，所以SC⊥AG，因为SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC，所以AG⊥SD.20．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．(1)求证：PB∥平面MNC.(2)若AC＝BC，求证：平面P AC⊥平面MNC.证明：(1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为AC＝BC，M为AB的中点，所以CM⊥AB，因为平面P AB ⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，CM⊂平面ABC，所以CM ⊥平面P AB，所以CM⊥P A，因为P A⊥PB，PB∥MN，所以P A⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC，又P A⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面MNC.21．(12分)如图，多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，AD⊥DE，AB＝2，AE＝3，ED＝EC＝5，EF∥DB，且EF＝12DB.(1)求证：平面ABCD⊥平面EDC.(2)求四棱锥C-BDEF的体积．解：(1)证明：因为平面ABCD为正方形，所以AD ⊥DC ，又AD ⊥DE ，且DE ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面EDC ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EDC .(2)如图，连接BE ，由题意知V C -BDEF ＝32V C -BDE ＝32V E -BCD . 取CD 的中点O ，连接EO ，由ED ＝EC ＝5，得EO ⊥DC ，由(1)可知，EO ⊥平面ABCD ，因为CD ＝2，所以EO ＝2，所以V E -BCD ＝13S △BCD ·EO ＝13×12×2×2×2＝43，所以V C -BDEF ＝32×43＝2.22．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面是棱长为1的菱形，∠ADC ＝60°，P A ＝2，M 是PB 的中点．(1)求证：PD ∥平面ACM .(2)求直线CM 与平面P AB 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OM ，由底面ABCD 是菱形，知O 是BD 的中点，又M 是BP 的中点，所以OM ∥DP ，又OM ⊂平面ACM ，所以PD ∥平面ACM .(2)如图，取AB 中点E ，连接ME ，CE ，由题可知△ACB 是等边三角形，所以CE ⊥AB ， 又P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AB ，所以平面ABCD ⊥平面P AB ，又平面ABCD ∩平面P AB ＝AB ，所以CE ⊥平面P AB ，所以直线CM 与平面P AB 所成角为∠CME ，因为ME ＝12P A ＝22，CE ＝32，又MC ＝CE 2＋ME 2＝52， 所以sin ∠CME ＝CE MC ＝155.。

第八章立体几何初步1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 1 -2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征................................................ - 7 -3、立体图形的直观图.................................................................................................. - 12 -4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 18 -5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积...................................................................... - 23 -6、球的表面积和体积.................................................................................................. - 29 -7、平面 ......................................................................................................................... - 35 -8、空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 40 -9、直线与直线平行直线与平面平行...................................................................... - 44 -10、平面与平面平行.................................................................................................... - 49 -11、直线与直线垂直.................................................................................................... - 56 -12、直线与平面垂直.................................................................................................... - 63 -13、平面与平面垂直.................................................................................................... - 70 -章末综合测验................................................................................................................ - 76 -1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、选择题1．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台ACD[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]2．(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形ABC[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②]3．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()C[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①②]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1-ABC，三棱锥C1-ABB1，三棱锥A-A1B1C1，共3个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．①②③11．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是() A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．(3)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－12a2－a2－a2＝32a2.15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．[解]把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90，74，80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.2、圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①和②C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B ．]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解]如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.11. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的AB[如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．]12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分A[由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′)，当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在BC上运动时，M 的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]13．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.x2＋16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝Ll＝π2.由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16 (0≤x≤4)．所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]14．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．[解]设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由πr21＝5π，得r1＝ 5.由πr22＝8π，得r2＝2 2.(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有R2－r21－R2－r22＝1，即R2－5＝1＋R2－8，解得R＝3.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有R2－5＋R2－8＝1.此方程无解．由(1)(2)知球的半径为3.15．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．[解]圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心．过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1＝1，AO2＝4，∴AF＝3.∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，∴GEAF＝DEDF＝23，∴GE＝2.∴⊙O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.3、立体图形的直观图一、选择题1．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是()A B C DCD[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同ACD [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A ．]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋2A[画出其相应平面图易求，故选A．]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(4,2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.] 7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解](1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC．(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A ．2B ．4C ．2 2D ．42D [设△AOB 的边OB 上的高为h ，由题意，得S 原图形＝22S 直观图，所以12OB ·h ＝22×12×2×O ′B ′.因为OB ＝O ′B ′，所以h ＝4 2.故选D ．]12．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cmD [由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D ．]13．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA ． 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′， 又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]14.如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．[解]四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，＝AC·AD＝2 2.所以S四边形ABCD15．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解](1)画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.①②4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A ．13 B ．12 C ．23D ．34C [∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B＝1－13＝23.] 2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96[答案] B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3 B [两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32 A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ∴正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2，∴S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋yC [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得， ⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ∴4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ∴z (x ＋y )＝xy ， ∴1z ＝1x ＋1y .] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．6[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．(一题两空)已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．3 212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.33a [在三棱锥A 1-ABD 中，AA 1是三棱锥A 1-ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A -A 1BD ， ∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a .] 三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体， ∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体． 而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( ) A ．3π B ．43 C ．32πD ．1B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.]12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( ) A ．423 B ． 2 C ．223 D ．23D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.]13．(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.]14．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.15．一个正三棱锥P -ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝ha x ，于是OO 1＝h －PO 1＝h －h a x ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a .所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．5、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( ) A ．πQ B ．2πQ C ．3πQD ．4πQB [正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S ＝2πrl ＝2π·Q ·Q ＝2πQ .故选B ．]2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8C[圆台的轴截面如图，由题意知，l＝12(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.]3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3A[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．210 B．2 5C．3 D．2A[圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22＋62＝210.故选A．]5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A．1∶3 B．1∶ (3－1)C．1∶9 D．3∶2B[由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶3，故截面把圆锥母线分为1∶(3－1)两部分，故选B．]二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．2 [设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.]7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 3 [圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3(102＋10×6＋62)×9π×142＝3(寸)．]8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．7 000π3 3 cm 3[180°＝20－10l ×360°，∴l ＝20， h ＝103，V ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)·h ＝7 0003π3 (cm 3)．] 三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝⎝⎛⎭⎪⎫61572－⎝⎛⎭⎪⎫1572＝53，V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π.10．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？[解] 因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022x ＝100πx .所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6. 故杯里的水将下降0.6 cm.11．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是( ) A ．C 34πS B ．4πS C 3 C ．CS 2πD ．SC 4πD [设圆柱底面半径为r ，高为h ，则⎩⎨⎧Ch ＝S ，C ＝2πr ，∴r ＝C 2π，h ＝S C .∴V ＝πr 2·h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2π2·S C ＝SC4π.]12．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b .那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．πr 2(a ＋b )2 [采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.]13．(一题两空)圆柱内有一个内接长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，长方体的体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，则圆柱的底面半径为________cm ，高为________cm.5 10 [设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：⎩⎨⎧(2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π， 所以⎩⎨⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.]14．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？[解] (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V 1，V 2.方案一：仓库的底面直径变成16 m ，则其体积V 1＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1622×4＝2563π(m 3)； 方案二：仓库的高变成8 m ，则其体积V 2＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×8＝96π(m 3)．(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S 1，S 2. 方案一：仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ， 此时圆锥的母线长为l 1＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×(8＋45)＝(64＋325)π(m 2)；方案二：仓库的高变成8 m ，此时圆锥的母线长为l 2＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×(6＋10)＝96π(m 2)． (3)因为V 2>V 1，S 2<S 1， 所以方案二比方案一更加经济．。